Biased coins, blindfold players Vincius G. Pereira de S - - PowerPoint PPT Presentation

Biased ¡coins, ¡blindfold ¡players ¡

¡ Vinícius ¡G. ¡Pereira ¡de ¡Sá ¡ ¡

based ¡on ¡the ¡paper ¡“Blind-­‑friendly ¡von ¡Neumann’s ¡heads ¡or ¡tails”, ¡ ¡ to ¡appear ¡in ¡The ¡American ¡MathemaFcal ¡Monthly, ¡ joint ¡work ¡with ¡Celina ¡M. ¡H. ¡de ¡Figueiredo ¡

¡ ¡

¡

¡

¡ ¡ ¡ ¡

…back ¡in ¡2007 ¡

…back ¡in ¡2007 ¡ ¡

Guilherme ¡Dias ¡da ¡Fonseca ¡

• biased ¡randomness ¡ ¡ ¡à ¡ ¡ ¡unbiased ¡randomness ¡
• counterintuiFve ¡probabiliFes ¡

– a ¡simple ¡2-­‑player ¡dice ¡game ¡(a ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles?) ¡ – condiFoning ¡on ¡seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ – an ¡interesFng ¡lemma ¡ ¡

• fair ¡heads ¡or ¡tails ¡with ¡a ¡“concealed” ¡biased ¡coin ¡

– how ¡not ¡to ¡do ¡it ¡ – how ¡to ¡do ¡it ¡

¡

What’s ¡in ¡this ¡talk? ¡

a ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles? ¡

A ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles? ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

A ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡B ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡C ¡ A ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡B ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡C ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡D ¡

A ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles? ¡

A ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡B ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡C ¡ A ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡B ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡C ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡D ¡

Pr{E3} = X

i∈Ω

p3

i .

Pr{E2,2} = X

i∈Ω

p2

i

!2

¡ ¡

E3 ¡:= ¡ ¡A ¡= ¡B ¡= ¡C ¡

¡ ¡

¡

¡

¡

E2,2 ¡:= ¡ ¡A ¡= ¡B ¡ ¡and ¡ ¡C ¡= ¡D ¡ ¡ ¡

A ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles? ¡

A ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡B ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡C ¡ A ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡B ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡C ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡D ¡

Pr{E3} = X

i∈Ω

p3

i .

Pr{E2,2} = X

i∈Ω

p2

i

!2

¡ ¡

E3 ¡:= ¡ ¡A ¡= ¡B ¡= ¡C ¡

¡ ¡

¡

¡

¡

E2,2 ¡:= ¡ ¡A ¡= ¡B ¡ ¡and ¡ ¡C ¡= ¡D ¡ ¡ ¡

A ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles? ¡

Pr{E3} = X

i∈Ω

p3

i .

Pr{E2,2} = X

i∈Ω

p2

i

!2

A ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles? ¡

Pr{E3} = X

i∈Ω

p3

i .

Pr{E2,2} = X

i∈Ω

p2

i

!2

Cauchy ¡inequality: ¡

X

i∈Ω

xiyi !2 ≤ X

i∈Ω

x2

i

! X

i∈Ω

y2

i

!

A ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles? ¡

Pr{E3} = X

i∈Ω

p3

i .

Pr{E2,2} = X

i∈Ω

p2

i

!2

Cauchy ¡inequality: ¡

X

i∈Ω

xiyi !2 ≤ X

i∈Ω

x2

i

! X

i∈Ω

y2

i

!

Setting xi = p3/2

i

X d yi = p1/2

i

, !

A ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles? ¡

Pr{E3} = X

i∈Ω

p3

i .

Pr{E2,2} = X

i∈Ω

p2

i

!2

Cauchy ¡inequality: ¡

X

i∈Ω

xiyi !2 ≤ X

i∈Ω

x2

i

! X

i∈Ω

y2

i

!

Setting xi = p3/2

i

X d yi = p1/2

i

, !

X

i∈Ω

p2

i

!2 ≤ X

i∈Ω

p3

i

! X

i∈Ω

pi ! = X

i∈Ω

p3

i

1 ¡

A ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles? ¡

• perfectly ¡fair ¡dice ¡

¡

• perfectly ¡unfair ¡(loaded) ¡dice ¡

¡

¡

• coins ¡

¡

Pr{E2,2} ! ≤ Pr{E3} =

X

i∈Ω

p2

i

!2 ,

} =

= X

i∈Ω

p3

i .

} =

A ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles? ¡

• perfectly ¡fair ¡dice ¡

¡

• perfectly ¡unfair ¡(loaded) ¡dice ¡

¡

¡

• coins ¡

¡

Pr{E2,2} ! ≤ Pr{E3} =

X

i∈Ω

p2

i

!2 ,

} =

= X

i∈Ω

p3

i .

} = re pi = 1/n for all i ∈ Ω;

Pr{E3} = Pr{E2,2} = 1 n2 ,

n = | Ω |

A ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles? ¡

• perfectly ¡fair ¡dice ¡

¡

• perfectly ¡unfair ¡(loaded) ¡dice ¡

¡

¡

• coins ¡

¡

Pr{E2,2} ! ≤ Pr{E3} =

X

i∈Ω

p2

i

!2 ,

} =

= X

i∈Ω

p3

i .

} = re pi = 1/n for all i ∈ Ω;

Pr{E3} = Pr{E2,2} = 1 n2 ,

• g. p1 = 1,

d pi = 0 and every

that the same sid for i 2 {2, . . . , n}.

Pr{E3} = Pr{E2,2} = 1

n = | Ω |

A ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles? ¡

• perfectly ¡fair ¡dice ¡

¡

• perfectly ¡unfair ¡(loaded) ¡dice ¡

¡

¡

• coins ¡

¡

Pr{E2,2} ! ≤ Pr{E3} =

X

i∈Ω

p2

i

!2 ,

} =

= X

i∈Ω

p3

i .

} = re pi = 1/n for all i ∈ Ω;

Pr{E3} = Pr{E2,2} = 1 n2 ,

• g. p1 = 1,

d pi = 0 and every

that the same sid for i 2 {2, . . . , n}.

Pr{E3} = Pr{E2,2} = 1

g p1 = p an a triple when d p2 = 1 p ⇤ ⇥

interested in the fu Pr{E3}Pr{E2,2}

• )

= ⇥ p3 + (1 p)3⇤

• ⇥

p2 + (1 p)2⇤2

= =

⇥

• ⇤
• ⇥

= 4p4 + 8p3 5p2 + p.

n = | Ω |

A ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles? ¡

¡ ¡ ¡ ¡

¡

• coins ¡

¡ g p1 = p an

a triple when d p2 = 1 p ⇤ ⇥

interested in the fu Pr{E3}Pr{E2,2}

• )

= ⇥ p3 + (1 p)3⇤

• ⇥

p2 + (1 p)2⇤2

= =

⇥

• ⇤
• ⇥

= 4p4 + 8p3 5p2 + p.

A ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles? ¡

• coins ¡

¡ g p1 = p an

a triple when d p2 = 1 p ⇤ ⇥

interested in the fu Pr{E3}Pr{E2,2}

• )

= ⇥ p3 + (1 p)3⇤

• ⇥

p2 + (1 p)2⇤2

= =

⇥

• ⇤
• ⇥

= 4p4 + 8p3 5p2 + p.

interested in the fu Pr{E3}Pr{E2,2}

• f p

0.0625 ¡

0.5

= 1/2 ± 1/(2 p 2)

• ⇥

2 +

≈ ¡0.1464 ¡ ≈ ¡0.8536 ¡

seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡

Seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

A ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡B ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡C ¡ A, ¡B, ¡C ¡ ¡independent ¡idenFcally ¡distributed ¡(iid) ¡random ¡variables ¡

Seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

A ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡B ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡C ¡ A, ¡B, ¡C ¡ ¡independent ¡idenFcally ¡distributed ¡(iid) ¡random ¡variables ¡

? ¡

Pr{ ¡C ¡= ¡B ¡} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Pr{ ¡C ¡= ¡B ¡ ¡| ¡ ¡B ¡≠ ¡A ¡} ¡

= ¡

Seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

? ¡

Pr{ ¡C ¡= ¡B ¡} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Pr{ ¡C ¡= ¡B ¡ ¡| ¡ ¡B ¡≠ ¡A ¡} ¡

= ¡

Seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

? ¡

Pr{ ¡C ¡= ¡B ¡} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Pr{ ¡C ¡= ¡B ¡ ¡| ¡ ¡B ¡≠ ¡A ¡} ¡

= ¡

Pr{C = B} = X

i∈Ω

p2

i

Pr{C = B | B 6= A} = Pr{C = B 6= A} Pr{B 6= A} = P

i∈Ω[p2 i (1 pi)]

P

i∈Ω[pi(1 pi)] .

Seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

? ¡

Pr{ ¡C ¡= ¡B ¡} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Pr{ ¡C ¡= ¡B ¡ ¡| ¡ ¡B ¡≠ ¡A ¡} ¡

= ¡

Pr{C = B} = X

i∈Ω

p2

i

Pr{C = B | B 6= A} = Pr{C = B 6= A} Pr{B 6= A} = P

i∈Ω[p2 i (1 pi)]

P

i∈Ω[pi(1 pi)] .

Seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

Pr{C = B} = X

i∈Ω

p2

i

Pr{C = B | B 6= A} = Pr{C = B 6= A} Pr{B 6= A} = P

i∈Ω[p2 i (1 pi)]

P

i∈Ω[pi(1 pi)] .

Pr{C = B | B 6= A}  Pr{C = B} Pr{

Pr{

 Pr{C = B}

Seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

Pr{C = B} = X

i∈Ω

p2

i

Pr{C = B | B 6= A} = Pr{C = B 6= A} Pr{B 6= A} = P

i∈Ω[p2 i (1 pi)]

P

i∈Ω[pi(1 pi)] .

Pr{C = B | B 6= A}  Pr{C = B} Pr{

Pr{ Pr{C = B 6= A} 1 Pr{B = A} . 

Pr{C = B}  Pr{C = B}

Seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

Pr{C = B} = X

i∈Ω

p2

i

Pr{C = B | B 6= A} = Pr{C = B 6= A} Pr{B 6= A} = P

i∈Ω[p2 i (1 pi)]

P

i∈Ω[pi(1 pi)] .

Pr{C = B | B 6= A}  Pr{C = B} Pr{

Pr{ Pr{C = B 6= A} 1 Pr{B = A} . 

Pr{C = B}  Pr{C = B}

Pr{C = B 6= A}  Pr{C = B}

} Pr{C = B} , Pr{B = A}

Seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

Pr{C = B} = X

i∈Ω

p2

i

Pr{C = B | B 6= A} = Pr{C = B 6= A} Pr{B 6= A} = P

i∈Ω[p2 i (1 pi)]

P

i∈Ω[pi(1 pi)] .

Pr{C = B | B 6= A}  Pr{C = B} Pr{

Pr{ Pr{C = B 6= A} 1 Pr{B = A} . 

Pr{C = B}  Pr{C = B}

Pr{C = B 6= A}  Pr{C = B}

} Pr{C = B} , Pr{B = A} d, Pr{B = A} t to as Pr{C = B}

=

A, ¡B, ¡C ¡iid ¡

Pr{C = B 6= A}  Pr{C = B} Pr{C = B}2

Seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

Pr{C = B} = X

i∈Ω

p2

i

Pr{C = B | B 6= A} = Pr{C = B 6= A} Pr{B 6= A} = P

i∈Ω[p2 i (1 pi)]

P

i∈Ω[pi(1 pi)] .

Pr{C = B | B 6= A}  Pr{C = B} Pr{

Pr{ Pr{C = B 6= A} 1 Pr{B = A} . 

Pr{C = B}  Pr{C = B}

Pr{C = B 6= A}  Pr{C = B}

} Pr{C = B} , Pr{B = A} d, Pr{B = A} t to as Pr{C = B}

=

A, ¡B, ¡C ¡iid ¡

Pr{C = B 6= A}  Pr{C = B} Pr{C = B}2 Pr{C = B 6= A}  { } = Pr{C = B 6= A}

{ } } + Pr{C = B = A}

} Pr{C = B}2

Seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

Pr{C = B} = X

i∈Ω

p2

i

Pr{C = B | B 6= A} = Pr{C = B 6= A} Pr{B 6= A} = P

i∈Ω[p2 i (1 pi)]

P

i∈Ω[pi(1 pi)] .

Pr{C = B | B 6= A}  Pr{C = B} Pr{

Pr{ Pr{C = B 6= A} 1 Pr{B = A} . 

Pr{C = B}  Pr{C = B}

Pr{C = B 6= A}  Pr{C = B}

} Pr{C = B} , Pr{B = A} d, Pr{B = A} t to as Pr{C = B}

=

A, ¡B, ¡C ¡iid ¡

Pr{C = B 6= A}  Pr{C = B} Pr{C = B}2 Pr{C = B 6= A}  { } = Pr{C = B 6= A}

{ } } + Pr{C = B = A}

} Pr{C = B}2

Pr{C = B}2  Pr{C = B = A}.

Seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

Pr{C = B} = X

i∈Ω

p2

i

Pr{C = B | B 6= A} = Pr{C = B 6= A} Pr{B 6= A} = P

i∈Ω[p2 i (1 pi)]

P

i∈Ω[pi(1 pi)] .

Pr{C = B | B 6= A}  Pr{C = B} Pr{

Pr{ Pr{C = B 6= A} 1 Pr{B = A} . 

Pr{C = B}  Pr{C = B}

Pr{C = B 6= A}  Pr{C = B}

} Pr{C = B} , Pr{B = A} d, Pr{B = A} t to as Pr{C = B}

=

A, ¡B, ¡C ¡iid ¡

Pr{C = B 6= A}  Pr{C = B} Pr{C = B}2 Pr{C = B 6= A}  { } = Pr{C = B 6= A}

{ } } + Pr{C = B = A}

} Pr{C = B}2

Pr{C = B}2  Pr{C = B = A}. X

i∈Ω

p2

i

!2

= X

i∈Ω

p3

i .

= ¡ = ¡

Seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

Pr{C = B} = X

i∈Ω

p2

i

Pr{C = B | B 6= A} = Pr{C = B 6= A} Pr{B 6= A} = P

i∈Ω[p2 i (1 pi)]

P

i∈Ω[pi(1 pi)] .

Pr{C = B | B 6= A}  Pr{C = B} Pr{

Pr{ Pr{C = B 6= A} 1 Pr{B = A} . 

Pr{C = B}  Pr{C = B}

Pr{C = B 6= A}  Pr{C = B}

} Pr{C = B} , Pr{B = A} d, Pr{B = A} t to as Pr{C = B}

=

A, ¡B, ¡C ¡iid ¡

Pr{C = B 6= A}  Pr{C = B} Pr{C = B}2 Pr{C = B 6= A}  { } = Pr{C = B 6= A}

{ } } + Pr{C = B = A}

} Pr{C = B}2

Pr{C = B}2  Pr{C = B = A}. X

i∈Ω

p2

i

!2

= X

i∈Ω

p3

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= ¡ = ¡

≤ ¡

Seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

} = } =

Pr{C = B}

Pr{C = B | B 6= A}

! ≤

= X

i∈Ω

p2

i

P

i∈Ω[p2 i (1 pi)]

P

i∈Ω[pi(1 pi)] .

Example: ¡ ¡ ¡

t Ω = {1, 2, 3}, }, p1 = 0.8, For an exam p2 = p3 = 0.1.

Seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

} = } =

Pr{C = B}

Pr{C = B | B 6= A}

! ≤

= X

i∈Ω

p2

i

P

i∈Ω[p2 i (1 pi)]

P

i∈Ω[pi(1 pi)] .

Example: ¡ ¡ ¡

t Ω = {1, 2, 3}, }, p1 = 0.8, For an exam p2 = p3 = 0.1.

e, Pr{C = B} = 0.66, { } as Pr{C = B | B 6= A} ⇡ 0.429.

Seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

} = } =

Pr{C = B}

Pr{C = B | B 6= A}

! ≤

= X

i∈Ω

p2

i

P

i∈Ω[p2 i (1 pi)]

P

i∈Ω[pi(1 pi)] .

Example: ¡ ¡ ¡

t Ω = {1, 2, 3}, }, p1 = 0.8, For an exam p2 = p3 = 0.1.

e, Pr{C = B} = 0.66, { } as Pr{C = B | B 6= A} ⇡ 0.429.

Seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

} = } =

Pr{C = B}

Pr{C = B | B 6= A}

! ≤

= X

i∈Ω

p2

i

P

i∈Ω[p2 i (1 pi)]

P

i∈Ω[pi(1 pi)] .

• perfectly ¡fair ¡dice ¡

¡

• perfectly ¡unfair ¡(loaded) ¡dice ¡

¡

¡

• coins ¡

¡

Seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

} = } =

Pr{C = B}

Pr{C = B | B 6= A}

! ≤

= X

i∈Ω

p2

i

P

i∈Ω[p2 i (1 pi)]

P

i∈Ω[pi(1 pi)] .

• perfectly ¡fair ¡dice ¡

¡

• perfectly ¡unfair ¡(loaded) ¡dice ¡

¡

¡

• coins ¡

¡

re pi = 1/n for all i ∈ Ω;

n = | Ω |

Pr{C = B | B 6= A}

Pr{C = B}

C = C =

pi = 1/n

Seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

} = } =

Pr{C = B}

Pr{C = B | B 6= A}

! ≤

= X

i∈Ω

p2

i

P

i∈Ω[p2 i (1 pi)]

P

i∈Ω[pi(1 pi)] .

• perfectly ¡fair ¡dice ¡

¡

• perfectly ¡unfair ¡(loaded) ¡dice ¡

¡

¡

• coins ¡

¡

re pi = 1/n for all i ∈ Ω;

n = | Ω |

Pr{C = B | B 6= A}

Pr{C = B}

C = C =

pi = 1/n

• g. p1 = 1,

d pi = 0 and every

that the same sid for i 2 {2, . . . , n}.

= B 6= A}

impossible ¡event ¡

Seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

} = } =

Pr{C = B}

Pr{C = B | B 6= A}

! ≤

= X

i∈Ω

p2

i

P

i∈Ω[p2 i (1 pi)]

P

i∈Ω[pi(1 pi)] .

• perfectly ¡fair ¡dice ¡

¡

• perfectly ¡unfair ¡(loaded) ¡dice ¡

¡

¡

• coins ¡

¡

re pi = 1/n for all i ∈ Ω;

n = | Ω |

Pr{C = B | B 6= A}

Pr{C = B}

C = C =

pi = 1/n

• g. p1 = 1,

d pi = 0 and every

that the same sid for i 2 {2, . . . , n}.

= B 6= A}

impossible ¡event ¡

Pr{C = B} = p2

1 + p2 2 = p2 + (1 p)2 = 2p2 2p + 1,

minimum ¡at ¡(0.5, ¡0.5) ¡

Seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

} = } =

Pr{C = B}

Pr{C = B | B 6= A}

! ≤

= X

i∈Ω

p2

i

P

i∈Ω[p2 i (1 pi)]

P

i∈Ω[pi(1 pi)] .

• perfectly ¡fair ¡dice ¡

¡

• perfectly ¡unfair ¡(loaded) ¡dice ¡

¡

¡

• coins ¡

¡

re pi = 1/n for all i ∈ Ω;

n = | Ω |

Pr{C = B | B 6= A}

Pr{C = B}

C = C =

pi = 1/n

• g. p1 = 1,

d pi = 0 and every

that the same sid for i 2 {2, . . . , n}.

= B 6= A}

impossible ¡event ¡

Pr{C = B} = p2

1 + p2 2 = p2 + (1 p)2 = 2p2 2p + 1,

minimum ¡at ¡(0.5, ¡0.5) ¡

Pr{C = B | B 6= A} = p2(1 p) + (1 p)2p 2p 2p2

• =

p p2 2p 2p2

Seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

} = } =

Pr{C = B}

Pr{C = B | B 6= A}

! ≤

= X

i∈Ω

p2

i

P

i∈Ω[p2 i (1 pi)]

P

i∈Ω[pi(1 pi)] .

• perfectly ¡fair ¡dice ¡

¡

• perfectly ¡unfair ¡(loaded) ¡dice ¡

¡

¡

• coins ¡

¡

re pi = 1/n for all i ∈ Ω;

n = | Ω |

Pr{C = B | B 6= A}

Pr{C = B}

C = C =

pi = 1/n

• g. p1 = 1,

d pi = 0 and every

that the same sid for i 2 {2, . . . , n}.

= B 6= A}

impossible ¡event ¡

Pr{C = B} = p2

1 + p2 2 = p2 + (1 p)2 = 2p2 2p + 1,

minimum ¡at ¡(0.5, ¡0.5) ¡

Pr{C = B | B 6= A} = p2(1 p) + (1 p)2p 2p 2p2

• =

p p2 2p 2p2

0.5

=

Seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

Pr{C = B | B 6= A} = p2(1 p) + (1 p)2p 2p 2p2

• =

p p2 2p 2p2

0.5

=

Seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡

Pr{C = B | B 6= A} = p2(1 p) + (1 p)2p 2p 2p2

• =

p p2 2p 2p2

0.5

=

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Lemma: ¡

Pr{C = B | B 6= A} = p2(1 p) + (1 p)2p 2p 2p2

• =

p p2 2p 2p2

0.5

=

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Given ¡three ¡independent ¡Bernoulli ¡random ¡variables ¡A, ¡B, ¡and ¡C ¡ ¡ ¡ ¡ ¡with ¡success ¡probability ¡0 ¡< ¡p ¡< ¡1, ¡we ¡have ¡ regardless ¡of ¡p. ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Lemma: ¡

Pr{C = B | B 6= A} = p2(1 p) + (1 p)2p 2p 2p2

• =

p p2 2p 2p2

0.5

=

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Given ¡three ¡independent ¡Bernoulli ¡random ¡variables ¡A, ¡B, ¡and ¡C ¡ ¡ ¡ ¡ ¡with ¡success ¡probability ¡0 ¡< ¡p ¡< ¡1, ¡we ¡have ¡ regardless ¡of ¡p. ¡

fair ¡heads ¡or ¡tails ¡ with ¡a ¡concealed ¡biased ¡coin ¡

von ¡Neumann’s ¡idea ¡

take ¡a ¡biased ¡coin, ¡flip ¡it ¡twice ¡ (H)eads-­‑(T)ails, ¡Player ¡1 ¡wins ¡ ¡ ¡T-­‑H, ¡Player ¡2 ¡wins ¡ H-­‑H ¡or ¡T-­‑T, ¡start ¡over ¡

¡p = Pr{H}

Pr{H-­‑T} ¡ ¡= ¡ ¡Pr {T-­‑H} ¡ ¡= ¡ ¡p ¡(1 ¡– ¡p) ¡

von ¡Neumann’s ¡idea ¡

Pr{H-­‑T} ¡ ¡= ¡ ¡Pr {T-­‑H} ¡ ¡= ¡ ¡p ¡(1 ¡– ¡p) ¡ Pr{someone ¡wins ¡at ¡a ¡given ¡turn} ¡ ¡= ¡ ¡Pr {T-­‑H} ¡ ¡+ ¡ ¡Pr{H-­‑T} ¡ ¡ ¡= ¡ ¡2 ¡p ¡(1 ¡– ¡p) ¡ expected ¡# ¡flips ¡unFl ¡someone ¡wins ¡ ¡= ¡ ¡ ¡2 ¡ ¡x = ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡1 ¡

2 ¡p ¡(1 ¡– ¡p) ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡1 ¡

¡p ¡(1 ¡– ¡p) ¡

von ¡Neumann’s ¡idea ¡

Pr{H-­‑T} ¡ ¡= ¡ ¡Pr {T-­‑H} ¡ ¡= ¡ ¡p ¡(1 ¡– ¡p) ¡ Pr{someone ¡wins ¡at ¡a ¡given ¡turn} ¡ ¡= ¡ ¡Pr {T-­‑H} ¡ ¡+ ¡ ¡Pr{H-­‑T} ¡ ¡ ¡= ¡ ¡2 ¡p ¡(1 ¡– ¡p) ¡ expected ¡# ¡flips ¡unFl ¡someone ¡wins ¡ ¡= ¡ ¡ ¡2 ¡ ¡x = ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡1 ¡

2 ¡p ¡(1 ¡– ¡p) ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡1 ¡

¡p ¡(1 ¡– ¡p) ¡ many ¡variaFons/improvements ¡ever ¡since, ¡e.g. ¡

13] S. Vembu, S. Verd´ u, Generating random bits from an arbitrary source: fundamental limits, IEEE Transactions on Information Theory 41 (1995) 1322–1332. 12] Q. F. Stout, B. Warren, Tree algorithms for unbiased coin tossing with a biased coin, The Annals of Probability 12 (1984) 212–222. 4] P. Elias, The efficient construction of an unbiased random sequence, The Annals of Mathematical Statistics 43 (1972) 865–870. 11] A. Srinivasan, D. Zuckerman, Computing with very weak random sources, SIAM Journal on Computing 28 (1999) 1433–1459.

Concealed ¡biased ¡coins ¡

• a ¡coin ¡that ¡is ¡possibly ¡biased ¡(the ¡exact ¡bias ¡is ¡unknown) ¡
• the ¡players ¡are ¡not ¡able ¡to ¡know ¡whether ¡the ¡coin ¡flip ¡resulted ¡H ¡or ¡T ¡
• it ¡is ¡possible ¡to ¡infer ¡a ¡(mis)match ¡between ¡the ¡two ¡latest ¡results ¡

Concealed ¡biased ¡coins ¡

• a ¡coin ¡that ¡is ¡possibly ¡biased ¡(the ¡exact ¡bias ¡is ¡unknown) ¡
• the ¡players ¡are ¡not ¡able ¡to ¡know ¡whether ¡the ¡coin ¡flip ¡resulted ¡H ¡or ¡T ¡
• it ¡is ¡possible ¡to ¡infer ¡a ¡(mis)match ¡between ¡the ¡two ¡latest ¡results ¡

the ¡latest ¡result ¡is ¡the ¡same ¡as ¡the ¡previous ¡ ¡

a ¡hand ¡clap ¡(Cl) ¡

the ¡latest ¡result ¡is ¡different ¡from ¡the ¡previous ¡ ¡

a ¡whistle ¡(W) ¡

Hand ¡claps ¡and ¡whistles ¡

Hand ¡claps ¡and ¡whistles ¡

Hand ¡claps ¡and ¡whistles ¡

Hand ¡claps ¡and ¡whistles ¡

Hand ¡claps ¡and ¡whistles ¡

Hand ¡claps ¡and ¡whistles ¡

Hand ¡claps ¡and ¡whistles ¡

Hand ¡claps ¡and ¡whistles ¡

state ¡ Fme ¡ H ¡ T ¡ ALERT! ¡ ALERT! ¡ ALERT! ¡ t1 ¡ t2 ¡ t3 ¡ t4 ¡ t5 ¡ t6 ¡

First ¡aoempt: ¡Cl ¡vs. ¡W ¡(2 ¡flips) ¡

Player ¡1: ¡Cl ¡ Player ¡2: ¡W ¡

• r ¡

P1 = Pr{Player ¡1 ¡wins} ¡ ¡ ¡= ¡ ¡p2 ¡+ ¡(1 ¡– ¡p)2 ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡2p2 ¡– ¡2p ¡+ ¡1 ¡ ¡ ¡

• r ¡

¡p = Pr{H}

First ¡aoempt: ¡Cl ¡vs. ¡W ¡(2 ¡flips) ¡

Player ¡1: ¡Cl ¡ Player ¡2: ¡W ¡

• r ¡

P1 = Pr{Player ¡1 ¡wins} ¡ ¡ ¡= ¡ ¡p2 ¡+ ¡(1 ¡– ¡p)2 ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡2p2 ¡– ¡2p ¡+ ¡1 ¡ ¡ ¡

• r ¡

¡p = Pr{H}

Not ¡fair! ¡

Second ¡aoempt: ¡Cl-­‑W ¡vs. ¡W-­‑Cl ¡(iniFal ¡+ ¡2 ¡flips ¡per ¡turn) ¡

Player ¡1: ¡Cl-­‑W ¡ Player ¡2: ¡W-­‑Cl ¡

• r ¡

…..…..H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Cl ¡ ¡ ¡W ¡ ..……..T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Cl ¡ ¡ ¡W ¡

• r ¡

………..T ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W ¡ ¡ ¡Cl ¡ ………..H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W ¡ ¡ ¡Cl ¡

H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Cl ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W ¡

From ¡now ¡on… ¡

Second ¡aoempt: ¡Cl-­‑W ¡vs. ¡W-­‑Cl ¡(iniFal ¡+ ¡2 ¡flips ¡per ¡turn) ¡

Player ¡1: ¡Cl-­‑W ¡

• r ¡

…..…..H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Cl ¡ ¡ ¡W ¡ ..……..T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Cl ¡ ¡ ¡W ¡

• r ¡

………..T ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W ¡ ¡ ¡Cl ¡ ………..H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W ¡ ¡ ¡Cl ¡

P1 = P H

1 · p + P T 1 · (1 − p).

:= ¡ ¡probability ¡that ¡Player ¡1 ¡wins ¡the ¡game ¡provided ¡the ¡first ¡coin ¡flip ¡yields ¡a ¡H ¡ { | g P H

1

P H

1

= X

S∈S

Pr{P H

1

| S} · Pr{S} = P H

1 · p2 + 1 · p(1 − p) + P H 1 · (1 − p)p + 0 · (1 − p)2,

where S = {H-H, H-T, T-H, T-T}

= p.

Player ¡2: ¡W-­‑Cl ¡

Second ¡aoempt: ¡Cl-­‑W ¡vs. ¡W-­‑Cl ¡(iniFal ¡+ ¡2 ¡flips ¡per ¡turn) ¡

Player ¡1: ¡Cl-­‑W ¡

• r ¡

…..…..H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Cl ¡ ¡ ¡W ¡ ..……..T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Cl ¡ ¡ ¡W ¡

• r ¡

………..T ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W ¡ ¡ ¡Cl ¡ ………..H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W ¡ ¡ ¡Cl ¡

P1 = P H

1 · p + P T 1 · (1 − p).

:= ¡ ¡probability ¡that ¡Player ¡1 ¡wins ¡the ¡game ¡provided ¡the ¡first ¡coin ¡flip ¡yields ¡a ¡H ¡ { | g P H

1

P H

1

= X

S∈S

Pr{P H

1

| S} · Pr{S} = P H

1 · p2 + 1 · p(1 − p) + P H 1 · (1 − p)p + 0 · (1 − p)2,

where S = {H-H, H-T, T-H, T-T}

= p.

ain P1 = p2 +(1−p)2 = 2p2 −2p+1.

Player ¡2: ¡W-­‑Cl ¡

Second ¡aoempt: ¡Cl-­‑W ¡vs. ¡W-­‑Cl ¡(iniFal ¡+ ¡2 ¡flips ¡per ¡turn) ¡

Player ¡1: ¡Cl-­‑W ¡

• r ¡

…..…..H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Cl ¡ ¡ ¡W ¡ ..……..T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Cl ¡ ¡ ¡W ¡

• r ¡

………..T ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W ¡ ¡ ¡Cl ¡ ………..H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W ¡ ¡ ¡Cl ¡

P1 = P H

1 · p + P T 1 · (1 − p).

:= ¡ ¡probability ¡that ¡Player ¡1 ¡wins ¡the ¡game ¡provided ¡the ¡first ¡coin ¡flip ¡yields ¡a ¡H ¡ { | g P H

1

P H

1

= X

S∈S

Pr{P H

1

| S} · Pr{S} = P H

1 · p2 + 1 · p(1 − p) + P H 1 · (1 − p)p + 0 · (1 − p)2,

where S = {H-H, H-T, T-H, T-T}

= p.

ain P1 = p2 +(1−p)2 = 2p2 −2p+1.

Not ¡fair! ¡

Player ¡2: ¡W-­‑Cl ¡

Third ¡aoempt: ¡Cl-­‑W ¡vs. ¡W-­‑Cl ¡(4 ¡flips ¡per ¡turn) ¡

Player ¡1: ¡Cl-­‑W ¡ Player ¡2: ¡W-­‑Cl ¡

• r ¡

H ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Cl ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W ¡ H ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Cl ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W ¡

• r ¡

T ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Cl ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W ¡ T ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Cl ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W ¡

• r ¡
• r ¡

H ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Cl ¡ T ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Cl ¡

• r ¡

H ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Cl ¡ T ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Cl ¡

• r ¡

. ¡ . ¡ . ¡ . ¡ . ¡ . ¡ . ¡ . ¡ . ¡ . ¡ . ¡ . ¡ . ¡ . ¡ . ¡ . ¡

Third ¡aoempt: ¡Cl-­‑W ¡vs. ¡W-­‑Cl ¡(4 ¡flips ¡per ¡turn) ¡

Player ¡1: ¡Cl-­‑W ¡ Player ¡2: ¡W-­‑Cl ¡

• r ¡

expected ¡# ¡flips ¡unFl ¡someone ¡wins ¡ ¡= ¡ ¡ ¡ H ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Cl ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W ¡ H ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Cl ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W ¡

• r ¡

T ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Cl ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W ¡ T ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Cl ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W ¡

• r ¡
• r ¡

H ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Cl ¡ T ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Cl ¡

• r ¡

H ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Cl ¡ T ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Cl ¡

• r ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡1 ¡

¡– ¡2p4 ¡+ ¡4p3 ¡– ¡3p2 ¡+ ¡p ¡

. ¡ . ¡ . ¡ . ¡ . ¡ . ¡ . ¡ . ¡ . ¡ . ¡ . ¡ . ¡ . ¡ . ¡ . ¡ . ¡

Third ¡aoempt: ¡Cl-­‑W ¡vs. ¡W-­‑Cl ¡(4 ¡flips ¡per ¡turn) ¡

expected ¡# ¡flips ¡unFl ¡someone ¡wins ¡ ¡= ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡1 ¡

¡– ¡2p4 ¡+ ¡4p3 ¡– ¡3p2 ¡+ ¡p ¡

expected ¡# ¡flips ¡unFl ¡someone ¡wins ¡ ¡= ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡1 ¡

¡– ¡2p4 ¡+ ¡4p3 ¡– ¡3p2 ¡+ ¡p ¡ expected ¡# ¡flips ¡(regular ¡von ¡Neumann’s) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡1 ¡

¡p ¡(1 ¡– ¡p) ¡

Third ¡aoempt: ¡Cl-­‑W ¡vs. ¡W-­‑Cl ¡(4 ¡flips ¡per ¡turn) ¡

expected ¡# ¡flips ¡unFl ¡someone ¡wins ¡ ¡= ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡1 ¡

¡– ¡2p4 ¡+ ¡4p3 ¡– ¡3p2 ¡+ ¡p ¡ expected ¡# ¡flips ¡(regular ¡von ¡Neumann’s) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡1 ¡

¡p ¡(1 ¡– ¡p) ¡

÷ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡1 ¡

¡2p2 ¡– ¡2p ¡+ ¡1 ¡

= ¡

for ¡0 ¡< ¡p ¡< ¡1, ¡this ¡means ¡up ¡to ¡twice ¡the ¡number ¡of ¡flips!! ¡

Third ¡aoempt: ¡Cl-­‑W ¡vs. ¡W-­‑Cl ¡(4 ¡flips ¡per ¡turn) ¡

Our ¡method: ¡W*-­‑Cl ¡vs. ¡W*-­‑W ¡(2 ¡flips ¡per ¡turn ¡+ ¡final) ¡

Player ¡1: ¡W*-­‑Cl ¡

• r ¡

……….H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W* ¡ ¡ ¡Cl ¡ ¡ ¡ ¡ ..……..T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W* ¡ ¡ ¡Cl ¡

Player ¡2: ¡W*-­‑W ¡

¡W* ¡ ¡:= ¡ ¡a ¡whistle ¡of ¡even ¡parity

. ¡ . ¡

• r ¡

……….H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W* ¡ ¡ ¡W ¡ ¡ ¡ ¡ ..……..T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W* ¡ ¡ ¡W ¡

. ¡ . ¡

Our ¡method: ¡W*-­‑Cl ¡vs. ¡W*-­‑W ¡(2 ¡flips ¡per ¡turn ¡+ ¡final) ¡

Player ¡1: ¡W*-­‑Cl ¡

• r ¡

……….H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W* ¡ ¡ ¡Cl ¡ ¡ ¡ ¡ ..……..T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W* ¡ ¡ ¡Cl ¡

Player ¡2: ¡W*-­‑W ¡

¡W* ¡ ¡:= ¡ ¡a ¡whistle ¡of ¡even ¡parity

. ¡ . ¡

• r ¡

……….H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W* ¡ ¡ ¡W ¡ ¡ ¡ ¡ ..……..T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W* ¡ ¡ ¡W ¡

. ¡ . ¡

…. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W* ¡ ¡ ¡ ¡

A B C the ¡three ¡last ¡flips ¡

Our ¡method: ¡W*-­‑Cl ¡vs. ¡W*-­‑W ¡(2 ¡flips ¡per ¡turn ¡+ ¡final) ¡

Player ¡1: ¡W*-­‑Cl ¡

• r ¡

……….H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W* ¡ ¡ ¡Cl ¡ ¡ ¡ ¡ ..……..T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W* ¡ ¡ ¡Cl ¡

Player ¡2: ¡W*-­‑W ¡

¡W* ¡ ¡:= ¡ ¡a ¡whistle ¡of ¡even ¡parity

. ¡ . ¡

• r ¡

……….H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W* ¡ ¡ ¡W ¡ ¡ ¡ ¡ ..……..T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W* ¡ ¡ ¡W ¡

. ¡ . ¡

Perfectly ¡fair! ¡

…. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W* ¡ ¡ ¡ ¡

A B C the ¡three ¡last ¡flips ¡

Pr{C 6= B | B 6= A} = Pr{C = B | B 6= A} = 0.5

Our ¡method: ¡W*-­‑Cl ¡vs. ¡W*-­‑W ¡(2 ¡flips ¡per ¡turn ¡+ ¡final) ¡

Player ¡1: ¡W*-­‑Cl ¡

• r ¡

……….H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W* ¡ ¡ ¡Cl ¡ ¡ ¡ ¡ ..……..T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W* ¡ ¡ ¡Cl ¡

Player ¡2: ¡W*-­‑W ¡

¡W* ¡ ¡:= ¡ ¡a ¡whistle ¡of ¡even ¡parity

. ¡ . ¡

• r ¡

……….H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W* ¡ ¡ ¡W ¡ ¡ ¡ ¡ ..……..T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W* ¡ ¡ ¡W ¡

. ¡ . ¡

W* ¡occurs ¡by ¡the ¡end ¡of ¡a ¡“H-­‑T” ¡or ¡a ¡“T-­‑H” ¡turn ¡

¡

Pr{W*} ¡ ¡= ¡ ¡2 ¡p ¡(1 ¡– ¡p) ¡ ¡expected ¡# ¡flips ¡unFl ¡someone ¡wins ¡ ¡= ¡ ¡ ¡2 ¡ ¡x + ¡ ¡1 ¡ ¡= ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡+ ¡ ¡1

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡1 ¡

2 ¡p ¡(1 ¡– ¡p) ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡1 ¡

¡p ¡(1 ¡– ¡p) ¡

Our ¡method: ¡W*-­‑Cl ¡vs. ¡W*-­‑W ¡(2 ¡flips ¡per ¡turn ¡+ ¡final) ¡

Player ¡1: ¡W*-­‑Cl ¡

• r ¡

……….H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W* ¡ ¡ ¡Cl ¡ ¡ ¡ ¡ ..……..T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W* ¡ ¡ ¡Cl ¡

Player ¡2: ¡W*-­‑W ¡

¡W* ¡ ¡:= ¡ ¡a ¡whistle ¡of ¡even ¡parity

. ¡ . ¡

• r ¡

……….H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W* ¡ ¡ ¡W ¡ ¡ ¡ ¡ ..……..T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡W* ¡ ¡ ¡W ¡

. ¡ . ¡

W* ¡occurs ¡by ¡the ¡end ¡of ¡a ¡“H-­‑T” ¡or ¡a ¡“T-­‑H” ¡turn ¡

¡

Pr{W*} ¡ ¡= ¡ ¡2 ¡p ¡(1 ¡– ¡p) ¡ ¡expected ¡# ¡flips ¡unFl ¡someone ¡wins ¡ ¡= ¡ ¡ ¡2 ¡ ¡x + ¡ ¡1 ¡ ¡= ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡1 ¡

2 ¡p ¡(1 ¡– ¡p) ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

+ ¡1 ¡

Thank ¡you! ¡

Biased ¡coins, ¡blindfold ¡players ¡

¡ Vinícius ¡G. ¡Pereira ¡de ¡Sá ¡ ¡

based ¡on ¡the ¡paper ¡“Blind-­‑friendly ¡von ¡Neumann’s ¡heads ¡or ¡tails”, ¡ ¡ to ¡appear ¡in ¡The ¡American ¡MathemaFcal ¡Monthly, ¡ joint ¡work ¡with ¡Celina ¡M. ¡H. ¡de ¡Figueiredo ¡

¡ ¡

¡

¡

¡ ¡ ¡ ¡