[PPT] - Coarse space over the ages or The evolu1on of the PowerPoint Presentation

SLIDE 1

Coarse ¡space ¡over ¡the ¡ages ¡

r ¡

The ¡evolu1on ¡of ¡the ¡coarse ¡space ¡

Jan ¡Mandel ¡and ¡Bedrich ¡Sousedik ¡ University ¡of ¡Colorado ¡Denver ¡ New: ¡the ¡paper ¡is ¡now ¡available ¡at ¡h2p://arxiv.org/abs/0911.5725 ¡ DD19, ¡Zhangjiajie, ¡China, ¡August ¡2009 ¡ Supported ¡by ¡NSF ¡DMS-‑0713876 ¡

SLIDE 2

Coarse ¡space ¡ ¡

Facilitates ¡global ¡exchange ¡of ¡informa1on ¡in ¡mul1grid ¡and ¡

domain ¡decomposi1on ¡

Essen1al ¡for ¡scalable ¡performance ¡in ¡ellip1c ¡problems ¡
Mul1grid ¡

– Large ¡coarse ¡space ¡(mesh ¡ra1o ¡2-‑3) ¡ – Not ¡very ¡powerful ¡fine ¡solvers ¡(relaxa1on) ¡

Domain ¡decomposi1on ¡

– Small ¡coarse ¡space ¡(1 ¡or ¡few ¡dofs ¡per ¡subdomain) ¡ – Powerful, ¡fine ¡solvers ¡(direct ¡solvers ¡on ¡subdomain) ¡

But ¡the ¡math ¡is ¡more ¡or ¡less ¡the ¡same… ¡
There ¡is ¡a ¡reason ¡why ¡mul1grid ¡and ¡domain ¡decomposi1on ¡

have ¡just ¡one ¡MSC ¡code: ¡65N55 ¡

SLIDE 3

Common ¡form: ¡varia1onal ¡correc1on ¡

Cast ¡as ¡varia1onal ¡(Galerkin) ¡correc1on ¡… ¡though ¡some1mes ¡ that ¡requires ¡some ¡contor1on ¡ Fine ¡problem: ¡ ¡ ¡ v ¡in ¡V, ¡a(u,v)=f(v) ¡for ¡all ¡v ¡in ¡V ¡ The ¡simplest ¡coarse ¡problem: ¡ ¡ w ¡in ¡W, ¡a(u+w,z)=f(z) ¡for ¡all ¡z ¡in ¡W ¡ ¡ W ¡is ¡a ¡coarse ¡space ¡ Improvements/complica1ons: ¡ ¡ a ¡split ¡into ¡sum; ¡each ¡term ¡over ¡one ¡subdomain ¡ ¡ a ¡replaced ¡by ¡something ¡else ¡ General ¡convergence ¡theory ¡for ¡spli_ng ¡into ¡many ¡subspaces ¡ & ¡precondi1oning ¡by ¡a ¡bilinear ¡form ¡in ¡each ¡Dryja, ¡Widlund ¡ (1994) ¡

SLIDE 4

How ¡to ¡design ¡the ¡coarse ¡space ¡

Contains ¡the ¡local ¡nullspace ¡(constants ¡for ¡

Laplace, ¡rigid ¡body ¡modes ¡for ¡elas1city,…). ¡ Necessary ¡and ¡sufficient ¡for ¡condi1on ¡number ¡ bound ¡independent ¡of ¡the ¡number ¡of ¡ substructures ¡(M., ¡1990) ¡

Coarse ¡interpola@on ¡does ¡not ¡increase ¡

energy ¡too ¡much: ¡implies ¡condi1on ¡growing ¡ slowly ¡with ¡substructure ¡size ¡Sufficient: ¡Dryja, ¡ Widlund ¡(1986 ¡& ¡later). ¡Necessary: ¡lower ¡ bounds, ¡Brenner ¡and ¡Sung ¡(2000) ¡

SLIDE 5

How ¡to ¡design ¡the ¡coarse ¡space ¡(2) ¡

For ¡hard ¡problems, ¡try ¡enlarging ¡the ¡coarse ¡space. ¡

– Throw ¡the ¡trouble ¡in ¡the ¡coarse ¡space, ¡eventually ¡it ¡will ¡be ¡dealt ¡with ¡by ¡a ¡ direct ¡solver! ¡ – Much ¡more ¡powerful ¡than ¡enhancing ¡the ¡fine-‑level ¡solve ¡(e.g., ¡overlap ¡ substructures ¡in ¡DD, ¡beher ¡smoothing ¡in ¡MG) ¡ – But ¡nonlocal ¡and ¡more ¡expensive, ¡also ¡messes ¡up ¡load ¡balancing ¡and ¡demands ¡ more ¡complicated ¡soiware ¡structure ¡ – Works ¡by ¡reducing ¡the ¡complement ¡of ¡the ¡coarse ¡space: ¡condi1on ¡number ¡ bounds ¡formulated ¡as ¡the ¡maximum ¡of ¡a ¡Rayleigh ¡quo1ent ¡over ¡the ¡ complement ¡. ¡Make ¡the ¡complement ¡consist ¡of ¡nice ¡func1ons ¡only. ¡ ¡ ¡

Mind ¡the ¡computer ¡architecture: ¡some@mes ¡the ¡best ¡coarse ¡space ¡is ¡a ¡

small ¡one ¡or ¡no ¡coarse ¡problem ¡at ¡all ¡

– Memory: ¡if ¡adding ¡a ¡coarse ¡problem ¡makes ¡you ¡swap, ¡you ¡are ¡beher ¡off ¡ without ¡(historical) ¡ – Brute ¡force ¡(esp. ¡of ¡parallel ¡compu1ng): ¡a ¡simpler ¡program ¡can ¡be ¡faster ¡even ¡ if ¡not ¡op1mal ¡mathema1cally ¡ – Scalability ¡is ¡always ¡for ¡a ¡poten1ally ¡infinite ¡class ¡of ¡problems. ¡If ¡something ¡ works ¡beher ¡for ¡some ¡specific ¡problems, ¡take ¡it, ¡fine, ¡but ¡it ¡means ¡lihle. ¡

SLIDE 6

Enlarging ¡the ¡coarse ¡space ¡is ¡powerful ¡

When ¡the ¡coarse ¡space ¡is ¡the ¡whole ¡space, ¡we ¡have ¡a ¡direct ¡solver ¡

– ¡the ¡poten1al ¡is ¡there! ¡

In ¡the ¡p-‑version ¡FEM ¡

– linear ¡coarse ¡space ¡when ¡all ¡is ¡nice ¡ – Quadra1c ¡coarse ¡in ¡thin ¡direc1on ¡for ¡thin ¡elements ¡ – Quadra1c ¡in ¡all ¡direc1ons ¡when ¡things ¡go ¡bad ¡ – Up ¡to ¡whole ¡element ¡in ¡coarse ¡space ¡when ¡things ¡are ¡really ¡bad ¡

In ¡mul1grid, ¡semicoarsening ¡for ¡anisotropic ¡problems ¡

– No ¡coarsening ¡along ¡weak ¡couplings ¡

In ¡BDD ¡and ¡FETI2 ¡for ¡plates, ¡add ¡special ¡basis ¡func1ons ¡to ¡hold ¡

down ¡the ¡corners ¡

In ¡adap1ve ¡BDDC, ¡add ¡more ¡corners ¡or ¡edge ¡averages ¡(see ¡the ¡

plenary ¡talk) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

SLIDE 7

Intelligent ¡itera1ve ¡method ¡

Direct ¡method ¡ Itera1ve ¡ method ¡ Flexible ¡ precondi1oner ¡ Ar1ficial ¡ Intelligence/ Expert ¡system ¡ Cost ¡es1mate ¡ ¡ Convergence ¡ es1mate ¡ ¡ Problem ¡data ¡ (M., ¡1993) ¡

SLIDE 8

1 2 3 1 2 3 0.2 0.4 0.6 0.8 1 piecewise bilinear

Piecewise ¡(bi)linear ¡

Linear ¡or ¡bilinear ¡on ¡

each ¡subdomain ¡

Determined ¡by ¡

subdomain ¡corner ¡dofs ¡

Standard ¡in ¡MG ¡
In ¡DD: ¡Widlund ¡(1988), ¡

Bramble ¡Pasciak ¡Schatz ¡ 1 ¡(1986) ¡

SLIDE 9

Piecewise ¡constant ¡

Aggrega1on ¡– ¡

high ¡energy ¡

But ¡in ¡the ¡dual ¡

space ¡OK: ¡FETI ¡

More ¡generally: ¡

piecewise ¡rigid ¡ body ¡modes ¡

! " # $ ! " # $ !# !"%& !" !!%& ! !%& " "%&

SLIDE 10

1 2 3 1 2 3 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Balancing ¡domain ¡decomposi1on ¡ (BDD) ¡

Mandel ¡1993 ¡
On ¡subdomain ¡

interfaces, ¡1/ #neighbors, ¡discrete ¡ harmonic ¡inside ¡

more ¡general, ¡

weighted ¡by ¡ substructure ¡ coefficients ¡(De ¡ Roeck, ¡Le ¡Tallec, ¡ 1991), ¡independent ¡

n ¡coefficient ¡jumps ¡

Mandel, ¡Brezina ¡ (1996) ¡

SLIDE 11

Corner, ¡edge, ¡face ¡discrete ¡harmonic ¡

In ¡3D: ¡Dryja, ¡

Widlund, ¡Smith ¡ 1994 ¡

With ¡weights, ¡

independent ¡of ¡ coefficient ¡jumps ¡ (Dryja, ¡Sarkis, ¡ Widlund, ¡1996) ¡

0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.5 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1

SLIDE 12

0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Spike ¡at ¡a ¡corner ¡

Mandel, ¡Farhat, ¡Tezaur ¡

(1996) ¡FETI2 ¡for ¡plates: ¡ Low ¡energy ¡because ¡it ¡ lives ¡in ¡the ¡dual ¡space ¡

Was ¡used ¡for ¡plate ¡

bending ¡as ¡point ¡force ¡to ¡ hold ¡error ¡to ¡zero ¡at ¡ corners ¡– ¡avoid ¡a ¡kink ¡on ¡ the ¡boundary ¡= ¡high ¡ energy ¡in ¡a ¡4th ¡order ¡ problem ¡

In ¡3D, ¡low ¡energy ¡in ¡

primal ¡space ¡anyway; ¡ Bramble ¡Pasciak ¡Schatz ¡ (1989) ¡(BPS ¡IV), ¡Dryja ¡ Widlund ¡1990s ¡

SLIDE 13

0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Values ¡at ¡nodes, ¡discrete ¡harmonic ¡

BDD ¡for ¡plates, ¡

Le ¡Tallec ¡Mandel ¡ Vidrascu ¡(1998) ¡

The ¡spike ¡in ¡

FETI2 ¡was ¡ actually ¡the ¡dual ¡

f ¡this ¡
BDDC, ¡Dohrmann ¡

(2003) ¡

Figure: ¡Jakub ¡Sistek ¡

SLIDE 14

Values ¡at ¡nodes, ¡averages ¡at ¡edges, ¡ discrete ¡harmonic ¡(BDDC) ¡

! !"# !"$ !"% !"& ' ! !"# !"$ !"% !"& ' !!"# ! !"# !"$ !"% !"& ' '"# ! !"# $ ! !"% !"& !"' !"( $ !!"% ! !"% !"& !"' !"( $ $"% $"&

SLIDE 15

Evolu1on ¡of ¡BDD/BDDC/FETI-‑DP ¡

Balancing ¡domain ¡decomposi1on ¡ (BDD) ¡(M. ¡1993): ¡mul1plica1ve ¡ coars, ¡rigid ¡body ¡modes/constants ¡ ¡ Balancing ¡Neumann-‑Neumann ¡ (Dryja, ¡Widlund ¡1994) ¡: ¡addi1ve ¡ coarse; ¡need ¡(1+log ¡h/H) ¡in ¡coarse ¡ because ¡of ¡coarse/fine ¡overlap ¡ ¡ BDDC ¡(Dohrmann ¡2003): ¡making ¡ substructure ¡spaces ¡smaller ¡avoids ¡ coarse/fine ¡overlap, ¡addi1ve ¡ BDD ¡for ¡plates ¡(Le ¡Tallec, ¡M., ¡ Vidrascu ¡1996, ¡1998): ¡energy ¡ minimal ¡coarse ¡space ¡ FETI-‑DP ¡(Farhat, ¡Lesoinne, ¡Pierson; ¡ Dryja, ¡Widlund): ¡edge ¡averages ¡ BDDC ¡and ¡FETI-‑DP ¡spectrally ¡iden1cal ¡(M., ¡ Dohrmann, ¡Tezaur ¡1996; ¡Li ¡Widlund ¡1997; ¡ Brenner ¡Sung ¡1998) ¡ Primal ¡FETI-‑DP ¡(Cros, ¡ 2003; ¡Fragakis ¡ Papadrakakis ¡2003) ¡ BDDC=Primal ¡FETI-‑ DP ¡(M., ¡Sousedik ¡ 2008) ¡

SLIDE 16

Smoothed ¡aggrega1on ¡and ¡ constrained ¡energy ¡minimiza1on ¡

Smoothed ¡aggrega1on: ¡Vanek ¡early ¡90s, ¡Vanek, ¡M., ¡Brezina ¡(1996) ¡
Aggrega1on ¡coarse ¡space ¡contains ¡the ¡local ¡nullspace ¡

– constant ¡for ¡Laplace ¡(original ¡aggrega1on) ¡ – Generalized: ¡Rigid ¡body ¡modes, ¡waves ¡

Smoothing ¡the ¡basis ¡func1ons ¡decreases ¡energy ¡and ¡preserves ¡the ¡

nullspace: ¡Vanek, ¡M., ¡Brezina ¡(1996): ¡

– “each ¡coarse ¡space ¡should ¡contain ¡polynomials ¡up ¡to ¡degree ¡… ¡[the ¡nullspace] ¡ away ¡from ¡the ¡essenCal ¡boundary ¡condiCons” ¡ – ¡“For ¡each ¡coarse ¡basis ¡funcCon, ¡its ¡energy ¡should ¡be ¡minimal, ¡up ¡to ¡a ¡constant ¡ factor, ¡among ¡the ¡set ¡of ¡all ¡funcCons ¡with ¡the ¡same ¡L2 ¡norm ¡and ¡support ¡ contained ¡in ¡the ¡support ¡of ¡[the ¡funcCon]” ¡ ¡

Smoothed ¡aggrega1on ¡is ¡one ¡step ¡of ¡descent ¡method ¡for ¡constrained ¡

energy ¡minimiza1on ¡(M., ¡Brezina, ¡Vanek, ¡1999), ¡coarsening ¡ra1o ¡3 ¡

Constrained ¡energy ¡minimiza1on ¡by ¡solving ¡explicit ¡constrained ¡

minimiza1on ¡problem, ¡coarsening ¡ra1o ¡2: ¡Wan ¡(1998), ¡Wan, ¡Chan, ¡Smith ¡ (2000), ¡fast ¡prac1cal ¡version: ¡Xu ¡Zikatanov ¡(2004) ¡ ¡ ¡

SLIDE 17

Smoothed ¡aggrega1on ¡

Pictures ¡from ¡Vanek, ¡Mandel, ¡Brezina ¡(1996) ¡

SLIDE 18

Smoothed ¡aggrega1on ¡(2) ¡