Complexity Divide a program in basic blocks and count the - - PDF document

6/7/10 ¡ 1 ¡

CS420 ¡lecture ¡four ¡ Recurrence ¡Rela6ons ¡

wim ¡bohm, ¡cs.colostate ¡

Complexity ¡

• Divide ¡a ¡program ¡in ¡basic ¡blocks ¡and ¡count ¡the ¡
• rder ¡of ¡magnitude ¡number ¡of ¡basic ¡block ¡

execu6ons ¡

– basic ¡block: ¡code ¡fragment ¡that ¡takes ¡constant ¡ 6me ¡to ¡execute ¡ – careful: ¡some ¡language ¡constructs ¡may ¡take ¡more ¡ than ¡constant ¡6me ¡

• contains ¡in ¡Java ¡
• + ¡in ¡APL ¡/ ¡C++ ¡
• paMern ¡matching ¡in ¡SNOBOL ¡/ ¡Python ¡ ¡

Recurrence ¡Rela6ons ¡

• The ¡complexity ¡of ¡an ¡algorithm ¡can ¡oRen ¡be ¡

expressed ¡in ¡a ¡recurrence ¡rela3on ¡with ¡the ¡ input ¡size ¡as ¡parameter. ¡Eg ¡(merge ¡sort) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T(n) ¡= ¡2T(n/2)+n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T(1) ¡= ¡1 ¡

Repeated ¡subs6tu6on ¡

• Simple ¡recurrence ¡rela6ons ¡(one ¡recurrent ¡

term ¡in ¡the ¡rhs) ¡can ¡some6mes ¡be ¡solved ¡ using ¡repeated ¡subs3tu3on ¡

• Two ¡types: ¡ ¡Linear ¡and ¡DivCo ¡

– Linear ¡F(n) ¡= ¡aF(n-­‑d)+g(n), ¡base: ¡F(1)=v1 ¡ – Divco ¡ ¡F(n)= ¡aF(n/d)+g(n), ¡base: ¡F(1)=v1 ¡ ¡

• Two ¡ques6on: ¡

– what ¡is ¡the ¡paMern ¡ – how ¡oRen ¡is ¡it ¡applied ¡un6l ¡we ¡hit ¡the ¡base ¡case ¡

6/7/10 ¡ 2 ¡

Linear ¡Example ¡

¡ ¡ ¡Hanoi: ¡ ¡M(n)=2M(n-­‑1)+1, ¡ ¡M(1)=1 ¡

¡ ¡ ¡M(n) ¡= ¡2M(n-­‑1)+1 ¡= ¡2(2M(n-­‑2)+1)+1 ¡= ¡4M(n-­‑2)+2+1 ¡= ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡4(2M(n-­‑3)+1)+2+1= ¡8M(n-­‑3)+4+2+1= ¡... ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡2kM(n-­‑k)+2k-­‑1+2k-­‑2+...+2+1= ¡ ¡ ¡hit ¡base ¡for ¡k ¡= ¡n-­‑1: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡2n-­‑1M(1)+2n-­‑1+2n-­‑2+...+2+1 ¡= ¡2n-­‑1 ¡

DivCo ¡example ¡

Merge ¡sort: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T(n) ¡= ¡2T(n/2) ¡+ ¡n, ¡ ¡T(1)=1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡n ¡= ¡2k ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T(n)=2(2(T(n/4)+n/2)+n ¡= ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡4T(n/4) ¡+ ¡2n ¡= ¡8T(n/8) ¡+ ¡3n ¡... ¡= ¡ ¡2kT(n/2k)+kn ¡ ¡ hit ¡base ¡for ¡k ¡= ¡logn ¡ ¡ ¡ ¡= ¡2kT(n/2k)+kn ¡= ¡ ¡n+kn ¡= ¡O(nlogn) ¡

Another ¡one: ¡binary ¡search ¡

Let ¡n ¡= ¡2k ¡ ¡ ¡and ¡f(1)=1 ¡ ¡and ¡ ¡f(n) ¡= ¡f(n/2)+c ¡ f(n)=f(n/2)+c ¡= ¡f(n/4)+2c ¡= ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f(n/8)+3c ¡= ¡f(n/2k)+kc ¡= ¡ ¡ hit ¡base ¡for ¡k=lg ¡n: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f(1)+lgn.c ¡= ¡O(lg ¡n) ¡

DivCo ¡repeated ¡subs6tu6on ¡paMern ¡

n ¡= ¡bk ¡ f(n)= ¡af(n/b)+g(n) ¡= ¡ ¡a(af(n/b2)+g(n/b))+g(n) ¡= ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡a2f(n/b2)+ag(n)+g(n) ¡= ¡a2(af(n/b2)+g(n)+ag(n)+g(n) ¡= ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡a3f(n/b3)+a2g(n/b2)+ag(n/b)+g(n) ¡= ¡... ¡ f (n) = ak f (n /bk) + ai

i=0 k−1

∑

g(n /bi) n = bk, so f (n) = ak f (1) + ai

i=0 k−1

∑

g(n /bi)

6/7/10 ¡ 3 ¡ Linear ¡repeated ¡subs6tu6on ¡paMern ¡

n ¡= ¡kb+1 ¡ f(n)= ¡af(n-­‑b)+g(n) ¡= ¡a(f(n-­‑2b)+g(n-­‑b)+g(n)= ¡ a2f(n-­‑2b)+ag(n-­‑b)+g(n) ¡=a2(af(n-­‑3b)+g(n))+ag(n-­‑b)+g(n)= ¡ a3f(n-­‑3b)+a2g(n-­‑2b)+ag(n-­‑b)+g(n) ¡= ¡... ¡

f (n) = ak f (n − kb) + ai

i=0 k−1

∑

g(n − ib) f (n) = ak f (1) + ai

i=0 k−1

∑

g(n − ib)

Master ¡Method ¡

Cookbook ¡approach ¡to ¡solu6on, ¡recognizing ¡the ¡ ¡

• form. ¡Cormen ¡et.al.'s ¡method ¡is ¡more ¡complex ¡ ¡

than ¡Rosen: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡An ¡= ¡C ¡An/d+knp ¡

– An ¡= ¡O(np) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡if ¡C ¡< ¡dp ¡ ¡ ¡ ¡ ¡eg ¡ ¡ ¡An ¡= ¡3 ¡An/2+n2 ¡ – An ¡= ¡O(nplog(n)) ¡if ¡C ¡= ¡dp ¡ ¡ ¡ ¡ ¡eg ¡ ¡An ¡= ¡2An/2+n ¡ – An ¡= ¡O(nlogdc) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡if ¡C ¡> ¡dp ¡ ¡ ¡ ¡ ¡eg ¡ ¡An ¡= ¡3 ¡An/2+n ¡

Proof ¡based ¡on ¡repeated ¡subs6tu6on ¡plus ¡induc6on ¡

Let's ¡prove ¡a ¡simpler ¡version ¡

Let ¡f(n)=af(n/b)+c, ¡n=bk, ¡ ¡ ¡then ¡ proof: ¡ f (n) = O(nlogb a) if a >1 f (n) = O(logn) if a =1

f (n) = ak f (1) + a j

i=0 k−1

∑

c from repeated subst case a =1: f (n) = f (1) + c 1

i=0 k−1

∑

k = lgb n so f (n) = f (1) + clogb n case a >1: geometric progression ai

i=0 k−1

∑

= ak −1 a −1 f (n) = ak f (1) + c ak −1 a −1 = ak( f (1) + c a −1) − c a −1 = C1ak + C2 because ak = alogb n = nlogb a : f (n) = C1nlogb a + C2

App: ¡mul6plying ¡two ¡n ¡digit ¡numbers ¡

¡ ¡ ¡A ¡x ¡B ¡ ¡= ¡ ¡ ¡an-­‑1an-­‑2..a1a0 ¡ ¡X ¡ ¡ ¡bn-­‑1bn-­‑2..b1b0 ¡

• high ¡school ¡method: ¡ ¡O(n2) ¡ ¡
• divide ¡and ¡conquer ¡approach ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A ¡= ¡A110n/2+A2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡B ¡= ¡B110n/2+B2 ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡AxB ¡= ¡A1B110n+(A1B2+A2B1)10n/2+ ¡A2B2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A1B2+A2B1 ¡= ¡(A1+A2)(B1+B2)-­‑A1B1-­‑A2B2 ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡so ¡we ¡only ¡need ¡3 ¡n/2 ¡digit ¡mul3plica3ons: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A1B2, ¡A2B1 ¡ ¡and ¡(A1+A2)(B1+B2) ¡

6/7/10 ¡ 4 ¡ Complexity ¡of ¡DivCo ¡n ¡digit ¡mul6ply ¡

¡ ¡Tn=3Tn/2+O(n) ¡ Look ¡up ¡in ¡master ¡table: ¡

Complexity ¡of ¡DivCo ¡n ¡digit ¡mul6ply ¡

¡ ¡Tn=3Tn/2+O(n) ¡ Look ¡up ¡in ¡master ¡table: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Tn=O(nlg3)~O(n1.6) ¡

Similar ¡trick ¡for ¡ ¡matrix ¡mul6ply ¡

C ¡= ¡AxB, ¡ ¡ simple ¡O(n3) ¡code ¡ ¡ ¡ ¡for ¡i=1 ¡to ¡n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡for ¡j ¡= ¡1 ¡to ¡n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡C[i,j]=0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡for ¡k ¡= ¡1 ¡to ¡n ¡ ¡C[i,j]+=A[i,k]*B[k,j] ¡ ¡

Ci, j = Ai,k

k=1 n

∑

* Bk, j

Block ¡matrix ¡mul6ply ¡

¡ ¡A1,1 ¡ ¡ ¡A1,2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡B1,1 ¡ ¡ ¡B1,2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡* ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡A2,1 ¡ ¡A2,2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡B2,1 ¡ ¡B2,2 ¡ ¡A1,1 ¡B1,1 ¡+ ¡A1,2 ¡B2,1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A1,1 ¡B1,2 ¡+ ¡A1,2 ¡B2,2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A2,1 ¡B1,1 ¡+ ¡A2,2 ¡B2,1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A2,1 ¡B1,2 ¡+ ¡A2,2 ¡B2,2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

6/7/10 ¡ 5 ¡

naive ¡block ¡matmult ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T(n) ¡= ¡8T(n/2) ¡+ ¡O(n2) ¡ master ¡table: ¡

naive ¡block ¡matrix ¡mul6ply ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T(n) ¡= ¡8T(n/2) ¡+ ¡O(n2) ¡ master ¡table: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡T(n) ¡= ¡O(nlog8)=O(n3) ¡

Strassen ¡

Strassen ¡shows ¡that ¡we ¡only ¡need ¡7 ¡block ¡mul6plies ¡ ¡ (plus ¡O(n2) ¡ ¡work: ¡matrix ¡adds/subtracts ¡) ¡ ¡ see ¡notes ¡ T(n) ¡= ¡7T(n/2) ¡+ ¡O(n2) ¡ master ¡table: ¡ ¡T(n) ¡= ¡O(nlg7)~O(n2.81) ¡

Linear ¡homogeneous ¡recurrence ¡ rela6ons ¡(source: ¡Rosen ¡chapter ¡7) ¡

• an ¡= ¡c1.an-­‑1 ¡+ ¡c2.an-­‑2 ¡+ ¡.. ¡+ ¡cr.an-­‑r ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡a0 ¡= ¡v0, ¡.. ¡, ¡ar-­‑1 ¡= ¡vr-­‑1 ¡: ¡ini6al ¡values ¡

• Guess ¡individual ¡solu6ons ¡of ¡form ¡αn ¡ ¡

– give ¡rise ¡to ¡characteris3c ¡equa3on ¡ – solve ¡to ¡obtain ¡characteris3c ¡roots ¡

• General ¡solu3on ¡

– linear ¡combina6on ¡of ¡roots ¡

• Specific ¡solu3on ¡

– find ¡coefficients ¡of ¡general ¡solu6on ¡using ¡ini6al ¡values ¡

6/7/10 ¡ 6 ¡

Example: ¡Fibonacci ¡

Fn=Fn-­‑1+Fn-­‑2, ¡F0=F1=1 ¡ 1, ¡ ¡1, ¡ ¡2, ¡ ¡3, ¡ ¡5, ¡ ¡8, ¡ ¡13, ¡ ¡21, ¡ ¡34, ¡ ¡55, ¡... ¡ Exponen6al ¡growth, ¡guess ¡αn ¡ ¡and ¡subs6tute ¡ αn ¡=αn-­‑1 ¡+αn-­‑2 ¡ α2 ¡=α ¡+1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡characteris6c ¡eq: ¡ ¡α2 ¡-­‑ ¡α ¡-­‑ ¡1 ¡= ¡0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ quadra6c ¡equa6on: ¡ ¡ax2+bx+c ¡= ¡0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡solu6on: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡x1,2=(-­‑b±sqrt(b2-­‑4ac))/2a ¡

General ¡Solu6on ¡

• Roots ¡of ¡ ¡ ¡ ¡α2 ¡-­‑ ¡α ¡-­‑ ¡1 ¡= ¡0 ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡α1,2= ¡(1±sqrt(1+4))/2 ¡= ¡ ¡(1±sqrt(5))/2 ¡ general ¡solu6on: ¡linear ¡combina6on ¡of ¡the ¡roots ¡

Fn = A

1(1+

5 2 )n + A2(1− 5 2 )n

A1 ¡and ¡A2 ¡for ¡specific ¡Solu6on ¡

• Specific ¡solu6on ¡uses ¡the ¡ini6al ¡values ¡ ¡F0=F1=1 ¡
• two ¡equa6ons ¡two ¡unknowns, ¡solve ¡to ¡find ¡As ¡

F0 =1: A

1 + A2 =1

F

1 =1: A 1(1+

5 2 ) + A2(1− 5 2 ) =1

A

1 = 1

5 (1+ 5 2 ) A2 = − 1 5 (1− 5 2 )

Specific ¡Solu6on ¡

Fn = 1 5 (1 2 + 1 2 5)n+1 − 1 5 (1 2 − 1 2 5)n+1

6/7/10 ¡ 7 ¡

Does ¡it ¡always ¡work? ¡

Characteris6c ¡equa6on ¡ ¡ ¡ ¡roots ¡r1 ¡and ¡r2. ¡ The ¡general ¡solu6on: ¡A1r1

n+A2r2 n ¡

Ini6al ¡values: ¡f0=C0 ¡and ¡f1=C1 ¡ ¡specific ¡solu6on: ¡ f0= ¡C0 ¡= ¡A1+A2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A2=C0-­‑A1 ¡ f1= ¡C1 ¡= ¡A1r1+A2r2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡C1=A1r1+(C0-­‑A1)r2= ¡A1(r1-­‑r2)+C0r2 ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡only ¡works ¡if ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡r1 ¡ ¡≠ ¡ ¡r2 ¡

A

1

A

1 = C1 − C0r 2

r

1 − r 2

A2 = C0 − A

1 = C0 − C1 − C0r 2

r

1 − r 2

= C0r

1 − C1

r

1 − r 2

Is ¡it ¡a ¡problem? ¡

Not ¡really. ¡

¡ ¡Equal ¡roots ¡r ¡come ¡from ¡characteris6c ¡equa6on: ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡(x-­‑r)(x-­‑r)=x2-­‑2rx+r2=0 ¡ ¡ ¡ ¡come ¡from ¡recurrence ¡rela6on: ¡fn=2rfn-­‑1 ¡-­‑ ¡ ¡r2fn-­‑2 ¡ ¡ ¡ ¡If ¡our ¡recurrence ¡rela6on ¡has ¡only ¡posi3ve ¡coefficients ¡we ¡ ¡ ¡ ¡cannot ¡get ¡equal ¡roots. ¡ ¡ ¡ ¡For ¡Analysis ¡of ¡Algorithms ¡we ¡can ¡restrict ¡the ¡recurrences ¡to ¡ ¡ ¡ ¡having ¡only ¡posi6ve ¡coefficients. ¡We ¡ADD ¡the ¡complexity ¡of ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡sub ¡solu6ons ¡together ¡ ¡

First ¡order ¡Linear ¡Homogeneous ¡ Recurrence ¡Rela6ons ¡

¡ ¡Simple ¡form ¡ ¡Fn=cFn-­‑1 ¡ ¡ ¡ ¡F0=a ¡ ¡ ¡Use ¡repeated ¡subs6tu6on ¡to ¡solve ¡

First ¡order ¡Linear ¡Homogeneous ¡ Recurrence ¡Rela6ons ¡

¡ ¡Simple ¡form ¡ ¡Fn=cFn-­‑1 ¡ ¡ ¡ ¡F0=a ¡ ¡ ¡Use ¡repeated ¡subs6tu6on ¡to ¡solve ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Fn=cFn-­‑1 ¡=c2Fn-­‑2=c3Fn-­‑3= ¡... ¡= ¡cnF0=cna ¡

6/7/10 ¡ 8 ¡

20% ¡yearly ¡interest ¡on ¡$1000 ¡

What ¡is ¡the ¡value ¡in ¡year ¡n ¡ ¡ ¡Vn=1.2Vn-­‑1 ¡ ¡ ¡V0=1000 ¡

20% ¡yearly ¡interest ¡on ¡$1000 ¡

What ¡is ¡the ¡value ¡in ¡year ¡n ¡ ¡ ¡Vn=1.2Vn-­‑1 ¡ ¡ ¡V0=1000 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Vn=(1.2)n.1000 ¡

Exercise ¡

• Determine ¡the ¡general ¡ ¡and ¡specific ¡solu6on ¡of ¡

¡ ¡ ¡ ¡Fn= ¡Fn-­‑1+2Fn-­‑2 ¡ ¡with ¡F0=2 ¡and ¡F1=7 ¡

Exercise ¡2 ¡

• Fn= ¡Fn-­‑1+2Fn-­‑2 ¡ ¡with ¡F0=2 ¡and ¡F1=7 ¡

¡ ¡ ¡ ¡Characteris6c ¡equa6on? ¡

6/7/10 ¡ 9 ¡

Exercise ¡3 ¡

• Fn= ¡Fn-­‑1+2Fn-­‑2 ¡ ¡with ¡F0=2 ¡and ¡F1=7 ¡

¡ ¡ ¡ ¡Characteris6c ¡equa6on: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡x2-­‑x-­‑2=0 ¡

Exercise ¡4 ¡

• ¡Fn= ¡Fn-­‑1+2Fn-­‑2 ¡ ¡with ¡F0=2 ¡and ¡F1=7 ¡

¡ ¡ ¡ ¡Characteris6c ¡equa6on: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡x2-­‑x-­‑2=0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Roots? ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡x1,2=(1±sqrt(1-­‑(-­‑8)))/2 ¡

Exercise ¡5 ¡

• Fn= ¡Fn-­‑1+2Fn-­‑2 ¡ ¡with ¡F0=2 ¡and ¡F1=7 ¡

¡ ¡ ¡ ¡Characteris6c ¡equa6on: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡x2-­‑x-­‑2=0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Roots: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡r1=2 ¡ ¡r2=-­‑1 ¡

Exercise ¡6 ¡

• Fn= ¡Fn-­‑1+2Fn-­‑2 ¡ ¡with ¡F0=2 ¡and ¡F1=7 ¡

¡ ¡ ¡ ¡General ¡Solu6on? ¡

6/7/10 ¡ 10 ¡

Exercise ¡7 ¡

• Fn= ¡Fn-­‑1+2Fn-­‑2 ¡ ¡with ¡F0=2 ¡and ¡F1=7 ¡

¡ ¡ ¡ ¡General ¡Solu6on: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Fn=A12n+A2(-­‑1)n ¡

Exercise ¡8 ¡

• Fn= ¡Fn-­‑1+2Fn-­‑2 ¡ ¡with ¡F0=2 ¡and ¡F1=7 ¡

¡ ¡ ¡ ¡Specific ¡Solu6on? ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Find ¡A1 ¡and ¡A2 ¡using ¡ini6al ¡values ¡

Exercise ¡9 ¡

• Fn= ¡Fn-­‑1+2Fn-­‑2 ¡ ¡with ¡F0=2 ¡and ¡F1=7 ¡

¡ ¡ ¡ ¡Specific ¡Solu6on: ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡F0=2=A1+A2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡F1=7=A1.2+A2.(-­‑1) ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A1=3 ¡ ¡A2=-­‑1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Fn=3.2n-­‑(-­‑1)n ¡

Exercise ¡10 ¡

• Fn= ¡Fn-­‑1+2Fn-­‑2 ¡ ¡with ¡F0=2 ¡and ¡F1=7 ¡

¡ ¡ ¡ ¡Specific ¡Solu6on: ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡F0=2=A1+A2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡F1=7=A1.2+A2.(-­‑1) ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A1=3 ¡ ¡A2=-­‑1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Fn=3.2n-­‑(-­‑1)n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡DONE??? ¡

6/7/10 ¡ 11 ¡

Exercise ¡11 ¡

• Fn= ¡Fn-­‑1+2Fn-­‑2 ¡ ¡with ¡F0=2 ¡and ¡F1=7 ¡

¡ ¡ ¡ ¡Specific ¡Solu6on: ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡F0=2=A1+A2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡F1=7=A1.2+A2.(-­‑1) ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A1=3 ¡ ¡A2=-­‑1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Fn=3.2n-­‑(-­‑1)n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡NO! ¡ ¡Check ¡your ¡answer ¡

Exercise ¡11 ¡

• Fn= ¡Fn-­‑1+2Fn-­‑2 ¡ ¡with ¡F0=2 ¡and ¡F1=7 ¡

¡ ¡ ¡ ¡Specific ¡Solu6on: ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡F0=2=A1+A2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡F1=7=A1.2+A2.(-­‑1) ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A1=3 ¡ ¡A2=-­‑1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Fn=3.2n-­‑(-­‑1)n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Check ¡F0 ¡ ¡F1 ¡ ¡F2 ¡ ¡F3 ¡

Linear ¡INhomogeneous ¡recurrences ¡

¡ ¡Find ¡the ¡homogeneous ¡solu3on ¡ ¡ ¡Suppose ¡pn ¡is ¡a ¡par3cular ¡solu3on ¡ ¡ ¡Then ¡the ¡general ¡solu6on ¡is ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡constant*homogeneous ¡solu6on ¡+ ¡par6cular ¡solu6on ¡

Linear ¡Inhomogeneous ¡

Simple ¡case ¡an ¡= ¡c1.an-­‑1 ¡+ ¡f(n) ¡ ¡happens ¡most ¡oRen ¡

– Very ¡simple, ¡special ¡case: ¡c1 ¡= ¡1 ¡

• an ¡ ¡ ¡= ¡ ¡an-­‑1 ¡+ ¡f(n) ¡= ¡... ¡= ¡a0 ¡+ ¡f(1) ¡+..+ ¡f(n) ¡

– General ¡case: ¡

• Solve ¡homogeneous ¡part: ¡hn ¡= ¡A.c1

n ¡

• if ¡α*

n ¡is ¡a ¡par6cular ¡solu6on ¡then ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡an ¡ ¡= ¡A.c1 n ¡ ¡+ ¡α* n ¡is ¡the ¡general ¡solu6on ¡

• Par6cular ¡solu6on ¡“mimics” ¡f(n) ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f(n): ¡ ¡ ¡c, ¡ ¡d.n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡ ¡d.n2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡ ¡dn ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡α*

n ¡: ¡ ¡ ¡b, ¡ ¡a.n ¡+ ¡b, ¡ ¡a.n2+b.n+c, ¡ ¡b.dn ¡ ¡ ¡ ¡ ¡or ¡ ¡b.n.dn ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡(d≠c1) ¡or ¡ ¡(d=c1) ¡

6/7/10 ¡ 12 ¡

Some ¡par6cular ¡solu6ons ¡for ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡An ¡= ¡C ¡An-­‑1 ¡+ ¡f(n) ¡

linear ¡→ linear, quadratic → quadratic, etc. ¡ Let’s ¡try ¡it ¡on ¡ ¡ ¡ ¡Mn ¡= ¡2 ¡Mn-­‑1 ¡+1, ¡ ¡M1 ¡= ¡1 ¡

F(n) Particular(n) a (constant) b (constant) a n b n + c a n2 b n2 + c n + d an b an

Example: ¡Hanoi ¡

¡ ¡Mn=2Mn-­‑1+1 ¡ ¡ ¡ ¡M1=1 ¡ ¡ ¡Homogeneous ¡solu6on: ¡ ¡ ¡A.2n ¡ ¡ ¡Par6cular ¡solu6on: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡B ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡B ¡obeys ¡the ¡recurrence ¡rela6on ¡so ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡B=2B+1 ¡-­‑> ¡B=-­‑1 ¡ ¡ ¡ ¡General ¡solu6on: ¡ ¡Mn=A.2n-­‑1 ¡ ¡ ¡M1=1 ¡ ¡so ¡A.2-­‑1=1 ¡-­‑> ¡A=1 ¡ ¡ ¡Specific ¡solu3on: ¡ ¡ ¡Mn=2n-­‑1 ¡ ¡ ¡

Another ¡example ¡

¡ ¡ ¡An=2An-­‑1+n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A0=0 ¡ ¡ ¡ ¡A1=1 ¡ ¡A2=4 ¡ ¡A3=11 ¡... ¡ ¡ ¡ ¡1. ¡homogeneous ¡solu6on? ¡ ¡

Another ¡example ¡1 ¡

¡ ¡ ¡An=2An-­‑1+n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A0=0 ¡ ¡ ¡ ¡A1=1 ¡ ¡A2=4 ¡ ¡A3=11 ¡ ¡A4=26 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡1. ¡homogeneous ¡solu6on: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡An=2An-­‑1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡An=2n ¡

6/7/10 ¡ 13 ¡

Another ¡example ¡2 ¡

¡ ¡ ¡An=2An-­‑1+n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A0=0 ¡ ¡ ¡ ¡A1=1 ¡ ¡A2=4 ¡ ¡A3=11 ¡ ¡A4=26 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡1. ¡homogeneous ¡solu6on: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡An=2An-­‑1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡An=2n ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡2. ¡par6cular ¡solu6on? ¡

Another ¡example ¡3 ¡

¡ ¡ ¡An=2An-­‑1+n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A0=0 ¡ ¡ ¡ ¡A1=1 ¡ ¡A2=4 ¡ ¡A3=11 ¡ ¡A4=26 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡1. ¡homogeneous ¡solu6on: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡An=2An-­‑1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡An=2n ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡2. ¡par6cular ¡solu6on ¡.... ¡ ¡ ¡has ¡form ¡ ¡ ¡a.n+b ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡fits ¡the ¡recurrence ¡

Another ¡example ¡4 ¡

¡ ¡ ¡An=2An-­‑1+n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A0=0 ¡ ¡ ¡ ¡A1=1 ¡ ¡A2=4 ¡ ¡A3=11 ¡ ¡A4=26 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡2. ¡par6cular ¡solu6on ¡has ¡form ¡a.n+b ¡and ¡fits ¡the ¡recurrence ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡a.n+b=2(a.(n-­‑1)+b)+n ¡= ¡2a.n-­‑2a+2b+n ¡

Another ¡example ¡5 ¡

¡ ¡ ¡An=2An-­‑1+n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A0=0 ¡ ¡ ¡ ¡A1=1 ¡ ¡A2=4 ¡ ¡A3=11 ¡ ¡A4=26 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡2. ¡par6cular ¡solu6on ¡has ¡form ¡a.n+b ¡and ¡fits ¡the ¡recurrence ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡a.n+b=2(a.(n-­‑1)+b)+n ¡= ¡2a.n-­‑2a+2b+n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡0 ¡= ¡a.n-­‑2a+b+n ¡

6/7/10 ¡ 14 ¡

Another ¡example ¡6 ¡

¡ ¡ ¡An=2An-­‑1+n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A0=0 ¡ ¡ ¡ ¡A1=1 ¡ ¡A2=4 ¡ ¡A3=11 ¡ ¡A4=26 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡2. ¡par6cular ¡solu6on ¡has ¡form ¡a.n+b ¡and ¡fits ¡the ¡recurrence ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡a.n+b=2(a.(n-­‑1)+b)+n ¡= ¡2a.n-­‑2a+2b+n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡0 ¡= ¡a.n-­‑2a+b+n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡(a+1).n=2a-­‑b ¡

Another ¡example ¡7 ¡

¡ ¡ ¡An=2An-­‑1+n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A0=0 ¡ ¡ ¡ ¡A1=1 ¡ ¡A2=4 ¡ ¡A3=11 ¡ ¡A4=26 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡2. ¡par6cular ¡solu6on ¡has ¡form ¡a.n+b ¡and ¡fits ¡the ¡recurrence ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡a.n+b=2(a.(n-­‑1)+b)+n ¡= ¡2a.n-­‑2a+2b+n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡0 ¡= ¡a.n-­‑2a+b+n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡(a+1).n=2a-­‑b ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡n=0: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡0=2a-­‑b ¡ ¡ ¡ ¡ ¡-­‑> ¡ ¡ ¡ ¡ ¡2a=b ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡n=1: ¡ ¡ ¡a+1=0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡-­‑> ¡ ¡ ¡ ¡ ¡a=-­‑1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡-­‑> ¡ ¡ ¡ ¡b=-­‑2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡par6cular ¡solu6on: ¡ ¡ ¡-­‑n-­‑2 ¡ ¡

Another ¡example ¡8 ¡

¡ ¡ ¡An=2An-­‑1+n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A0=0 ¡ ¡ ¡ ¡A1=1 ¡ ¡A2=4 ¡ ¡A3=11 ¡ ¡A4=26 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡2. ¡par6cular ¡solu6on ¡has ¡form ¡a.n+b ¡and ¡fits ¡the ¡recurrence ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡a.n+b=2(a.(n-­‑1)+b)+n ¡= ¡2a.n-­‑2a+2b+n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡0 ¡= ¡a.n-­‑2a+b+n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡(a+1).n=2a-­‑b ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡n=0: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡0=2a-­‑b ¡ ¡ ¡ ¡ ¡-­‑> ¡ ¡ ¡ ¡ ¡2a=b ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡n=1: ¡ ¡ ¡a+1=0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡-­‑> ¡ ¡ ¡ ¡ ¡a=-­‑1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡-­‑> ¡ ¡ ¡ ¡b=-­‑2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡par6cular ¡solu6on: ¡ ¡ ¡-­‑n-­‑2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡CHECK ¡IT! ¡ ¡

Another ¡example ¡9 ¡

¡ ¡ ¡An=2An-­‑1+n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A0=0 ¡ ¡ ¡ ¡A1=1 ¡ ¡A2=4 ¡ ¡A3=11 ¡ ¡A4=26 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡2. ¡par6cular ¡solu6on ¡has ¡form ¡a.n+b ¡and ¡fits ¡the ¡recurrence ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡par6cular ¡solu6on: ¡ ¡ ¡-­‑n-­‑2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡CHECKING ¡whether ¡–n-­‑2 ¡fits: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡An=2An-­‑1+n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡-­‑n-­‑2 ¡= ¡2(-­‑(n-­‑1)-­‑2) ¡+n ¡= ¡ ¡-­‑2n+2-­‑4+n ¡ ¡= ¡-­‑n-­‑2 ¡ ¡CHECK ¡

6/7/10 ¡ 15 ¡

Another ¡example ¡10 ¡

¡ ¡ ¡An=2An-­‑1+n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A0=0 ¡ ¡ ¡ ¡A1=1 ¡ ¡A2=4 ¡ ¡A3=11 ¡ ¡A4=26 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡2. ¡par6cular ¡solu6on ¡has ¡form ¡a.n+b ¡and ¡fits ¡the ¡recurrence ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡par6cular ¡solu6on: ¡ ¡ ¡-­‑n-­‑2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡CHECKING ¡whether ¡–n-­‑2 ¡fits: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡An=2An-­‑1+n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡-­‑n-­‑2 ¡= ¡2(-­‑(n-­‑1)-­‑2) ¡+n ¡= ¡ ¡-­‑2n+2-­‑4+n ¡ ¡= ¡-­‑n-­‑2 ¡ ¡CHECK ¡ ¡ ¡ ¡3. ¡General ¡Solu6on? ¡

Another ¡example ¡11 ¡

¡ ¡ ¡An=2An-­‑1+n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A0=0 ¡ ¡ ¡ ¡A1=1 ¡ ¡A2=4 ¡ ¡A3=11 ¡ ¡A4=26 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡2. ¡par6cular ¡solu6on ¡has ¡form ¡a.n+b ¡and ¡fits ¡the ¡recurrence ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡par6cular ¡solu6on: ¡ ¡ ¡-­‑n-­‑2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡CHECKING ¡whether ¡–n-­‑2 ¡fits: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡An=2An-­‑1+n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡-­‑n-­‑2 ¡= ¡2(-­‑(n-­‑1)-­‑2) ¡+n ¡= ¡ ¡-­‑2n+2-­‑4+n ¡ ¡= ¡-­‑n-­‑2 ¡ ¡CHECK ¡ ¡ ¡ ¡3. ¡General ¡Solu6on: ¡ ¡ ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡constant*homogeneous ¡+ ¡par6cular ¡

Another ¡example ¡12 ¡

¡ ¡ ¡An=2An-­‑1+n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A0=0 ¡ ¡ ¡ ¡A1=1 ¡ ¡A2=4 ¡ ¡A3=11 ¡ ¡A4=26 ¡ ¡ ¡... ¡ ¡ ¡looks ¡exponen6al ¡ ¡ ¡ ¡2. ¡par6cular ¡solu6on: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡-­‑n-­‑2 ¡ ¡ ¡

¡ ¡ ¡3. ¡general ¡Solu6on: ¡ ¡ ¡constant*homogeneous+par6cular ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡An=C.2n+(-­‑n-­‑2) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡4. ¡ ¡specific ¡solu6on? ¡ ¡

Another ¡example ¡13 ¡

¡ ¡ ¡An=2An-­‑1+n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A0=0 ¡ ¡ ¡ ¡A1=1 ¡ ¡A2=4 ¡ ¡A3=11 ¡ ¡A4=26 ¡ ¡ ¡... ¡ ¡ ¡looks ¡exponen6al ¡ ¡ ¡ ¡2. ¡par6cular ¡solu6on: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡-­‑n-­‑2 ¡ ¡ ¡

¡ ¡ ¡3. ¡general ¡Solu6on: ¡ ¡ ¡An=C.2n+(-­‑n-­‑2) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡4. ¡ ¡specific ¡solu6on: ¡ ¡A0=0 ¡ ¡ ¡-­‑> ¡ ¡ ¡C-­‑2=0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡-­‑> ¡C=2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡An=2n+1-­‑n-­‑2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡CHECK ¡IT!! ¡

6/7/10 ¡ 16 ¡

Another ¡example ¡14 ¡

¡ ¡ ¡An=2An-­‑1+n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A0=0 ¡ ¡ ¡ ¡A1=1 ¡ ¡A2=4 ¡ ¡A3=11 ¡ ¡A4=26 ¡ ¡ ¡... ¡ ¡ ¡looks ¡exponen6al ¡ ¡ ¡ ¡2. ¡par6cular ¡solu6on: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡-­‑n-­‑2 ¡ ¡ ¡

¡ ¡ ¡3. ¡general ¡Solu6on: ¡ ¡An=C.2n+(-­‑n-­‑2) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡4. ¡ ¡specific ¡solu6on: ¡ ¡A0=0 ¡ ¡ ¡-­‑> ¡ ¡ ¡C-­‑2=0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡-­‑> ¡C=2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡An=2n+1-­‑n-­‑2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡CHECKING: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A0=2-­‑0-­‑2=0 ¡ ¡ ¡A1=4-­‑1-­‑2=1 ¡ ¡ ¡A2=8-­‑2-­‑2=4 ¡ ¡A3=16-­‑3-­‑2=11 ¡ ¡check ¡

Assignment1: ¡Ackermann ¡

Ackermann ¡invented ¡a ¡recurrence ¡rela6on ¡that: ¡

• has ¡only ¡ ¡increments ¡and ¡decrements, ¡ ¡
• grows ¡insanely ¡fast, ¡and ¡ ¡
• makes ¡even ¡more ¡recursive ¡calls ¡when ¡

implemented ¡as ¡a ¡recursive ¡func6on ¡ ¡

Ackermann ¡

int ¡ack ¡(int ¡m, ¡int ¡n) ¡{ ¡ ¡ ¡ ¡c ¡= ¡c+1; ¡ ¡ ¡ ¡ ¡if ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡(m==0) ¡ ¡return(n+1); ¡ ¡ ¡ ¡ ¡else ¡if ¡ ¡(n==0) ¡ ¡ ¡return(ack(m-­‑1,1)); ¡ ¡ ¡ ¡else ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡return(ack(m-­‑1,ack(m,n-­‑1))); ¡ ¡ } ¡ c ¡counts ¡the ¡number ¡of ¡calls ¡

Ackermann ¡

Play ¡with ¡it, ¡run ¡it ¡for ¡m=1,2,3,4 ¡ ¡ ¡ ¡(careful ¡with ¡m=4) ¡ Analyse ¡it: ¡

• 1. ¡What ¡are ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ack(1,n), ¡ ¡ack(2,n), ¡ack(3,n)? ¡

• 2. ¡How ¡many ¡calls ¡for ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ack(1,n), ¡ ¡ack(2,n), ¡ack(3,n)? ¡

6/7/10 ¡ 17 ¡

Solving ¡Ackermann ¡

• Don't ¡infer ¡solu6on ¡by ¡fi}ng ¡the ¡answer ¡ ¡
• Create ¡recurrences ¡and ¡solve ¡them, ¡eg ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡A(1,n)=A(0,A(1,n-­‑1))=A(1,n-­‑1)+1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A(1,0)=A(0,1)=2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Solve ¡it. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Then ¡go ¡on ¡to ¡A(2,n), ¡then ¡A(3,n) ¡

Solving ¡Ackermann ¡

• part ¡deux: ¡derive ¡the ¡number ¡of ¡calls ¡for ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡m=1,2,3 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Create ¡recurrences ¡for ¡the ¡number ¡of ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡func6on ¡calls. ¡They ¡are ¡all ¡inhomogeneous ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡recurrences ¡of ¡the ¡kind ¡we ¡discussed. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Solve ¡them. ¡Case ¡m=3 ¡is ¡complex. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡You ¡can ¡leave ¡the ¡answer ¡in ¡terms ¡of ¡sums ¡

another ¡exercise ¡

¡fn=2fn-­‑1+3fn-­‑2 ¡ ¡ ¡ ¡f0=f1=1 ¡ characteris6c ¡eq? ¡

another ¡exercise ¡1 ¡

¡fn=2fn-­‑1+3fn-­‑2 ¡ ¡ ¡ ¡f0=f1=1 ¡ characteris6c ¡eq: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡x2-­‑2x-­‑3=0 ¡ solve ¡it ¡

6/7/10 ¡ 18 ¡

another ¡exercise ¡2 ¡

¡fn=2fn-­‑1+3fn-­‑2 ¡ ¡ ¡ ¡f0=f1=1 ¡ characteris6c ¡eq: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡x2-­‑2x-­‑3=0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡general ¡solu6on? ¡ x1,2 = 2 ± 4 +12 2 x1 = −1 x2 = 3

another ¡exercise ¡3 ¡

¡fn=2fn-­‑1+3fn-­‑2 ¡ ¡ ¡ ¡f0=f1=1 ¡ x1=-­‑1 ¡ ¡ ¡x2=3 ¡ general ¡solu6on: ¡ A13n+A2(-­‑1)n ¡ specific ¡solu6on? ¡

another ¡exercise ¡4 ¡

¡fn=2fn-­‑1+3fn-­‑2 ¡ ¡ ¡ ¡f0=f1=1 ¡ general ¡solu6on: ¡ ¡ ¡fn ¡= ¡A13n+A2(-­‑1)n ¡ specific ¡solu6on: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A1+A2=1 ¡ ¡ ¡ ¡3A1-­‑A2=1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A1=1/2 ¡ ¡ ¡ ¡A2=1/2 ¡

another ¡exercise ¡5 ¡

¡fn=2fn-­‑1+3fn-­‑2 ¡ ¡ ¡ ¡f0=f1=1 ¡ general ¡solu6on: ¡ ¡ ¡fn ¡= ¡A13n+A2(-­‑1)n ¡ specific ¡solu6on: ¡ ¡ ¡fn ¡= ¡(1/2)3n+(1/2)(-­‑1)n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A1+A2=1 ¡ ¡ ¡ ¡3A1-­‑A2=1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A1=1/2 ¡ ¡ ¡ ¡A2=1/2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡CHECK ¡IT ¡

6/7/10 ¡ 19 ¡

another ¡exercise ¡6 ¡

¡fn=2fn-­‑1+3fn-­‑2 ¡ ¡ ¡ ¡f0=f1=1 ¡ general ¡solu6on: ¡ ¡ ¡fn ¡= ¡A13n+A2(-­‑1)n ¡ specific ¡solu6on: ¡ ¡ ¡fn ¡= ¡(1/2)3n+(1/2)(-­‑1)n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡1/2+1/2=1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡3/2-­‑1/2=1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡9/2+1/2=5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡27/2-­‑1/2=13 ¡ ¡ ¡check ¡

inhomogeneous ¡

¡fn=2fn-­‑1+3fn-­‑2+5 ¡ ¡ ¡ ¡f0=f1=0 ¡ ¡ ¡ ¡ homogeneous ¡solu6on: ¡ ¡ ¡hn ¡= ¡A13n+A2(-­‑1)n ¡ par6cular ¡solu6on? ¡

inhomogeneous ¡1 ¡

¡fn=2fn-­‑1+3fn-­‑2+5 ¡ ¡ ¡ ¡f0=f1=0 ¡ ¡ ¡ ¡ homogeneous ¡solu6on: ¡ ¡ ¡hn ¡= ¡A13n+A2(-­‑1)n ¡ par6cular ¡solu6on: ¡B ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡B=2B+3B+5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡4B=-­‑5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡B=-­‑5/4 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡CHECK ¡IT ¡

inhomogeneous ¡2 ¡

¡fn=2fn-­‑1+3fn-­‑2+5 ¡ ¡ ¡ ¡f0=f1=0 ¡ ¡ ¡ ¡ homogeneous ¡solu6on: ¡ ¡ ¡hn ¡= ¡A13n+A2(-­‑1)n ¡ par6cular ¡solu6on: ¡B ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡B=2B+3B+5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡4B=-­‑5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡B=-­‑5/4 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡-­‑5/4=-­‑10/4-­‑15/4+20/4 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡check ¡

6/7/10 ¡ 20 ¡

inhomogeneous ¡3 ¡

¡fn=2fn-­‑1+3fn-­‑2+5 ¡ ¡ ¡ ¡f0=f1=0 ¡ ¡ ¡ ¡ homogeneous ¡solu6on: ¡ ¡ ¡hn ¡= ¡A13n+A2(-­‑1)n ¡ par6cular ¡solu6on: ¡-­‑5/4 ¡ general ¡solu6on: ¡ ¡fn= ¡A13n+A2(-­‑1)n-­‑5/4 ¡ specific ¡solu6on? ¡

inhomogeneous ¡4 ¡

¡fn=2fn-­‑1+3fn-­‑2+5 ¡ ¡ ¡ ¡f0=f1=0 ¡ ¡ ¡ ¡ general ¡solu6on: ¡ ¡fn= ¡A13n+A2(-­‑1)n-­‑5/4 ¡ specific ¡solu6on: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f0=0= ¡ ¡ ¡ ¡A1+A2-­‑5/4 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f1=0= ¡ ¡3A1-­‑A2-­‑5/4 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A1=A2=5/8 ¡

inhomogeneous ¡5 ¡

¡fn=2fn-­‑1+3fn-­‑2+5 ¡ ¡ ¡ ¡f0=f1=0 ¡ ¡ ¡ ¡ general ¡solu6on: ¡ ¡fn= ¡A13n+A2(-­‑1)n-­‑5/4 ¡ specific ¡solu6on: ¡ ¡fn= ¡(5/8)3n+(5/8)(-­‑1)n-­‑5/4 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡check ¡it ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

inhomogeneous ¡6 ¡

¡fn=2fn-­‑1+3fn-­‑2+5 ¡ ¡ ¡ ¡f0=f1=0 ¡ ¡ ¡ ¡ general ¡solu6on: ¡ ¡fn= ¡A13n+A2(-­‑1)n-­‑5/4 ¡ specific ¡solu6on: ¡ ¡fn= ¡(5/8)3n+(5/8)(-­‑1)n-­‑5/4 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f0=0= ¡ ¡5/8+5/8-­‑5/4 ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f1=0= ¡ ¡3(5/8)-­‑5/8-­‑5/4 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f2=5= ¡ ¡9(5/8)+5/8-­‑5/4=50/8 ¡– ¡10/8 ¡= ¡40/8 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f3=15= ¡ ¡27(5/8)-­‑5/8-­‑5/4=120/8 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡check ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

6/7/10 ¡ 21 ¡

• ne ¡more ¡

¡fn=3fn-­‑1+n ¡ ¡ ¡ ¡f0=1 ¡ ¡ ¡ ¡ homogeneous ¡hn= ¡A13n ¡ par6cular ¡solu6on? ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

• ne ¡more ¡1 ¡

¡fn=3fn-­‑1+n ¡ ¡ ¡ ¡f0=1 ¡ ¡ ¡ ¡ homogeneous ¡hn= ¡A13n ¡ par6cular ¡solu6on: ¡ ¡shape ¡ ¡ ¡ ¡an+b ¡

¡ ¡ ¡ ¡an+b ¡= ¡3(a(n-­‑1)+b)+n ¡= ¡3an-­‑3a+3b+n ¡= ¡(3a+1)n-­‑3a+3b ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡0 ¡= ¡(2a+1)n-­‑3a+2b ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡n=0 ¡ ¡ ¡3a=2b ¡ ¡ ¡a=(2/3)b ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡n=1 ¡ ¡ ¡2a+1 ¡– ¡3a+2b=0 ¡ ¡ ¡ ¡a=2b+1 ¡ ¡ ¡(2/3)b=2b+1 ¡ ¡b=-­‑3/4 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡a=(2/3)b= ¡-­‑1/2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

• ne ¡more ¡2 ¡

¡fn=3fn-­‑1+n ¡ ¡ ¡ ¡f0=1 ¡ ¡ ¡ ¡ homogeneous ¡hn= ¡A13n ¡ par6cular ¡solu6on: ¡ ¡Pn=-­‑(1/2)n-­‑3/4 ¡

¡ ¡ ¡ ¡check ¡it! ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

• ne ¡more ¡3 ¡

¡fn=3fn-­‑1+n ¡ ¡ ¡ ¡f0=1 ¡ ¡ ¡ ¡ homogeneous ¡hn= ¡A13n ¡ par6cular ¡solu6on: ¡ ¡Pn=-­‑(1/2)n-­‑3/4 ¡

¡ ¡ ¡ ¡-­‑(1/2)n-­‑3/4 ¡= ¡3((-­‑1/2)(n-­‑1)-­‑3/4)+n ¡ ¡= ¡-­‑(3/2)n+3/2+9/4+n ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡-­‑1/2n-­‑3/4 ¡ ¡check ¡ general ¡solu6on? ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

6/7/10 ¡ 22 ¡

• ne ¡more ¡4 ¡

¡fn=3fn-­‑1+n ¡ ¡ ¡ ¡f0=1 ¡ ¡ ¡ ¡ homogeneous ¡hn= ¡A13n ¡ par6cular ¡solu6on: ¡ ¡Pn=-­‑(1/2)n-­‑3/4 ¡

general ¡solu6on: ¡ ¡A3n-­‑(1/2)n-­‑3/4 ¡ specific ¡solu6on? ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

• ne ¡more ¡5 ¡

¡fn=3fn-­‑1+n ¡ ¡ ¡ ¡f0=1 ¡ ¡ ¡ ¡ homogeneous ¡hn= ¡A13n ¡ par6cular ¡solu6on: ¡ ¡Pn=-­‑(1/2)n-­‑3/4 ¡

general ¡solu6on: ¡ ¡A3n-­‑(1/2)n-­‑3/4 ¡ specific ¡solu6on: ¡ ¡A-­‑3/4 ¡= ¡1 ¡ ¡ ¡ ¡A=7/4 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡fn=(7/4)3n-­‑(1/2)n-­‑3/4 ¡

• ne ¡more ¡6 ¡

¡fn=3fn-­‑1+n ¡ ¡ ¡ ¡f0=1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡specific ¡solu6on: ¡ ¡A-­‑3/4 ¡= ¡1 ¡ ¡ ¡ ¡A=7/4 ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡fn=(7/4)3n-­‑(1/2)n-­‑3/4 ¡

• ne ¡more ¡7 ¡

¡fn=3fn-­‑1+n ¡ ¡ ¡ ¡f0=1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡specific ¡solu6on: ¡ ¡A-­‑3/4 ¡= ¡1 ¡ ¡ ¡ ¡A=7/4 ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡fn=(7/4)3n-­‑(1/2)n-­‑3/4 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡7/4-­‑3/4 ¡= ¡1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡21/4-­‑1/2-­‑3/4=16/4=4 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡(7/4)9-­‑1-­‑3/4=63/4-­‑7/4=56/4=14 ¡ ¡ ¡check ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡