Efficient Enumeration of Induced Subtrees in a K-Degenerate Graph - - PowerPoint PPT Presentation

Efficient Enumeration

• f Induced Subtrees

in a K-Degenerate Graph

¡ Kunihiro ¡Wasa1, ¡Hiroki ¡Arimura1, ¡and ¡Takeaki ¡Uno2

• 1. Hokkaido ¡University, ¡Japan ¡
• 2. National ¡Institute ¡of ¡Informatics, ¡Japan ¡

1 ¡

ISAAC ¡2014, ¡Dec. ¡15-­‑17, ¡Jeonju, ¡Korea

Induced ¡subtree 2 4 3 7 6 5 1

A ¡labeled ¡graph ¡G ¡= ¡(V, ¡E). ¡ ¡

2 ¡

Induced ¡subtree 1 2 4 3 7 6 5

A ¡labeled ¡graph ¡G ¡= ¡(V, ¡E). ¡ ¡

• 1. Select ¡a ¡set ¡

S ¡of ¡vertices ¡

3 ¡

S

Induced ¡subtree 2 4 3 7 6 5

• 1. Select ¡a ¡set ¡

S ¡of ¡vertices ¡

• 2. Take ¡all ¡

edges ¡both ¡

• f ¡whose ¡

endpoints ¡ belong ¡to ¡S

1

A ¡labeled ¡graph ¡G ¡= ¡(V, ¡E). ¡ ¡

4 ¡

S

Induced ¡subtree 2 4 3 7 6 5

S ¡is ¡an ¡induced ¡ subtree! ¡

• 1. Select ¡a ¡set ¡

S ¡of ¡vertices ¡

• 2. Take ¡all ¡

edges ¡both ¡

• f ¡whose ¡

endpoints ¡ belong ¡to ¡S

1

A ¡labeled ¡graph ¡G ¡= ¡(V, ¡E). ¡ ¡

5 ¡

S

Induced ¡subtree 2 4 3 7 6 5 1

A ¡labeled ¡graph ¡G ¡= ¡(V, ¡E). ¡ ¡

6 ¡

S

Induced ¡subtree 2 4 3 7 6 5

Not ¡an ¡ induced ¡ subtree ¡S ¡

1

A ¡labeled ¡graph ¡G ¡= ¡(V, ¡E). ¡ ¡

7 ¡

S

Induced ¡subtree 2 4 3 7 6 5

The ¡task ¡is ¡ ¡ to ¡enumerate ¡ ¡ all ¡induced ¡subtrees ¡ in ¡G ¡

1

A ¡labeled ¡graph ¡G ¡= ¡(V, ¡E). ¡ ¡

8 ¡

Problem: ¡Induced ¡subtree ¡enumeration

Input: ¡ ¡ ¡A ¡labeled ¡graph ¡G ¡= ¡(V, ¡E). ¡ ¡ Task: ¡ ¡ ¡ ¡Enumerate ¡all ¡induced ¡subtrees ¡in ¡G ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡without ¡duplication. ¡

1 2 4 3 7 6 5 ・・・

G

1 2 4 6

S5

2 3 7 5

S4

3 7

S3

1 2 7

S2

1 S1 3 5

S6

9 ¡

Related ¡work: ¡Enumeration

Subtrees ¡

n Spanning ¡trees ¡in ¡a ¡graph ¡(1970s ¡to ¡1990s) ¡

– Polynomial ¡time ¡enumeration ¡(Read ¡& ¡Tarjan, ¡Networks, ¡1975) ¡

– Constant ¡time ¡enumeration ¡(Shioura, ¡Tamura, ¡Uno, ¡SIAM ¡J. ¡Comp., ¡

1997). ¡ ¡

n Fixed-­‑size ¡subtrees ¡in ¡a ¡graph. ¡(2010’s) ¡ – O(size ¡of ¡subtree) ¡time ¡enumeration ¡in ¡a ¡graph ¡(Ferreira, ¡

Grossi, ¡Rizzi, ¡ESA ¡2011). ¡

– Constant ¡time ¡enumeration ¡in ¡a ¡tree. ¡(Wasa, ¡Kaneta, ¡Uno, ¡

Arimura, ¡COCOON ¡2012). ¡ ¡

Induced ¡subgraphs ¡

n Connected ¡induced ¡subgraphs ¡in ¡a ¡graph. ¡ ¡ – Polynomial ¡time ¡enumeration ¡(Avis ¡& ¡Fukuda, ¡DAM, ¡1996). ¡

Applications ¡of ¡reverse ¡search. ¡ ¡

n Chordless ¡cycles ¡and ¡chordless ¡paths ¡in ¡a ¡graph. ¡ ¡ – Linear ¡time ¡enumeration ¡(Ferreira, ¡Grossi ¡et ¡al. ¡ESA ¡2014; ¡Uno ¡& ¡

Satoh, ¡DS ¡2014) ¡ ¡

10 ¡

Related ¡work: ¡Enumeration

Subtrees ¡

n Spanning ¡trees ¡in ¡a ¡graph ¡(1970’s ¡to ¡1990’s) ¡

– Polynomial ¡time ¡enumeration ¡(Read ¡& ¡Tarjan, ¡Networks, ¡1975) ¡

– Constant ¡time ¡enumeration ¡(Shioura, ¡Tamura, ¡Uno, ¡SIAM ¡J. ¡Comp., ¡

1997). ¡ ¡

n Fixed-­‑size ¡subtrees ¡in ¡a ¡graph. ¡(2010’s) ¡ – O(size ¡of ¡subtree) ¡time ¡enumeration ¡in ¡a ¡graph ¡(Ferreira, ¡

Grossi, ¡Rizzi, ¡ESA ¡2011). ¡

– Constant ¡time ¡enumeration ¡in ¡a ¡tree. ¡(Wasa, ¡Kaneta, ¡Uno, ¡

Arimura, ¡COCOON ¡2012). ¡ ¡

Induced ¡subgraphs ¡

n Induced ¡subgraphs ¡in ¡a ¡graph. ¡ ¡ – Polynomial ¡time ¡enumeration ¡(Avis ¡& ¡Fukuda, ¡DAM, ¡1996). ¡

Applications ¡of ¡reverse ¡search. ¡ ¡

n Chordless ¡cycles ¡and ¡chordless ¡paths ¡in ¡a ¡graph. ¡ ¡ – Linear ¡time ¡enumeration ¡(Ferreira, ¡Grossi ¡et ¡al. ¡ESA ¡2014; ¡Uno ¡& ¡

Satoh, ¡DS ¡2014) ¡ ¡

11 ¡

Complexity ¡of ¡enumeration ¡of ¡ Induced ¡subtrees ¡in ¡a ¡graph ¡is ¡ still ¡open! ¡

Research ¡Goal

n We ¡study ¡the ¡complexity ¡of ¡enumeration ¡of ¡ Induced ¡subtrees. ¡

– From ¡the ¡view ¡of ¡amortized ¡time ¡per ¡solution ¡

¡

Observations ¡ n O(maximum ¡degree) ¡time ¡enumeration ¡is ¡not ¡hard. ¡ ¡ n Constant ¡amortized ¡time ¡enumeration ¡seems ¡ difficult ¡for ¡general ¡input ¡graphs. ¡ n Can ¡induced ¡subtrees ¡be ¡enumerable ¡if ¡we ¡restrict ¡ input ¡graph? ¡ Trees, ¡bounded-­‑degree, ¡Chordal ¡graphs, ¡ bounded-­‑tree ¡width, ¡Planar ¡graphs, ¡…. ¡

12 ¡

K-­‑degeneracy

n A ¡property ¡describing ¡the ¡average ¡degree ¡of ¡a ¡ given ¡graph ¡G. ¡ ¡ n Well-­‑known ¡graph ¡classes ¡have ¡K-­‑degenerate ¡ for ¡some ¡K ¡

– K ¡= ¡1: ¡trees, ¡forests ¡ – K ¡= ¡2: ¡grid ¡graphs, ¡outer ¡planar ¡graphs ¡ – K ¡= ¡3: ¡ ¡Apollonian ¡graphs ¡ – K ¡= ¡5: ¡planar ¡graphs ¡

13 ¡

Definition ¡1: ¡

Every ¡induced ¡subgraph ¡of ¡G ¡has ¡a ¡vertex ¡whose ¡degree ¡is ¡at ¡most ¡k. ¡ ¡

Definition ¡2: ¡ ¡ ¡

There ¡is ¡an ¡ordering ¡among ¡vertices ¡such ¡that, ¡for ¡every ¡vertex, ¡ ¡ the ¡number ¡of ¡its ¡larger ¡neighbors ¡is ¡at ¡most ¡k. ¡

• We ¡can ¡get ¡this ¡ordering ¡in ¡linear ¡time ¡[MB83]. ¡ ¡

K-­‑degenerate ¡Graph

1 2 4 3 7 6 5 1 2 4 3 7 6 5

G

2-­‑degenerate ¡graph

[MB83] ¡Matula, ¡Beck.: ¡ ¡Smallest-­‑last ¡ordering ¡and ¡clustering ¡and ¡graph ¡coloring ¡algorithms, ¡J. ¡of ¡ ¡ACM ¡30 ¡(3): ¡417–427,1983.

14 ¡

small large

Main ¡result

15 ¡

Theorem ¡1: ¡There ¡exists ¡an ¡enumeration ¡ algorithm ¡that ¡lists ¡all ¡induced ¡subtrees ¡ in ¡a ¡graph ¡G ¡in ¡O(k) ¡amortized ¡time ¡per ¡ solution ¡where ¡k ¡is ¡the ¡degeneracy ¡of ¡G. ¡

Corollary ¡2: ¡All ¡induced ¡subtrees ¡in ¡a ¡graph ¡ are ¡constant ¡amortized ¡time ¡enumerable ¡for ¡ planar ¡input ¡graphs ¡(k ¡= ¡5) ¡

Proposed ¡algorithm

16 ¡

Basic ¡Ideas ¡of ¡our ¡algorithm

• 1. Dynamic ¡partitioning ¡based ¡enumeration ¡ ¡

⇒ ¡O(input ¡size) ¡time ¡

• 2. Incremental ¡update ¡of ¡the ¡candidate ¡set ¡ ¡

⇒ ¡O(degree) ¡time ¡

• 3. Reducing ¡the ¡cost ¡of ¡acyclicity ¡check ¡for ¡

neighbors ¡ ¡ ¡ ⇒ ¡O(k) ¡time

17 ¡

Partitioning ¡based ¡enumeration

n By ¡iteratively ¡adding ¡vertices, ¡ ¡ we ¡get ¡a ¡larger ¡induced ¡subtree ¡ ¡ from ¡a ¡smaller ¡one. ¡ n Many ¡redundant ¡ ¡ additions.

1 2 1

Add ¡1? Add ¡2? ¡ Add ¡3? Add ¡2? Add ¡3?

1 2 4 3 7 6 5 Input 1 2 3 1 3

Add ¡4?

1 4 3

Add ¡5?

1 4 3 5

empty ¡ subtree

18 ¡

Yes No

Partitioning ¡based ¡enumeration

n By ¡iteratively ¡adding ¡vertices, ¡ ¡ we ¡get ¡a ¡larger ¡induced ¡subtree ¡ ¡ from ¡a ¡smaller ¡one. ¡ n Many ¡redundant ¡ ¡

• additions. ¡

1 2

Add ¡1? Add ¡2? Add ¡3? Add ¡2? Add ¡3?

1 2 4 3 7 6 5 Input 1 2 3 1 3

Add ¡4?

1 4 3

Add ¡5?

1 4 3 5 Cycle Disconnected 1

empty ¡ subtree

19 ¡

Yes No

Partitioning ¡based ¡enumeration

n By ¡iteratively ¡adding ¡vertices, ¡ ¡ we ¡get ¡a ¡larger ¡induced ¡subtree ¡ ¡ from ¡a ¡smaller ¡one. ¡ n Many ¡redundant ¡ ¡

• additions. ¡

1 2

Add ¡1? Add ¡2? Add ¡3? Add ¡2? Add ¡3?

1 2 4 3 7 6 5 Input 1 2 3 1 3

Add ¡4?

1 4 3

Add ¡5?

1 4 3 5 Cycle Disconnected 1

empty ¡ subtree

20 ¡

Yes No

How ¡can ¡we ¡avoid ¡ ¡ these ¡ ¡generations?

Basic ¡Idea ¡1: ¡Dynamic ¡partitioning

n We ¡iteratively ¡add ¡only ¡vertices ¡ ¡ that ¡does ¡not ¡make ¡cycles ¡ and ¡disconnect ¡ ¡ to ¡an ¡induced ¡subtree. ¡ ¡

1 2 1

Add ¡1? Add ¡2? Add ¡4? Add ¡2? Add ¡3?

1 2 4 3 7 6 5 Input 1 3

Add ¡5? Add ¡4?

1 4 3 5

Skip ¡checking ¡3 Add ¡4 ¡after ¡5

1 3 5 1 2 4

21 ¡

Basic ¡Idea ¡1: ¡Dynamic ¡partitioning

n We ¡iteratively ¡add ¡only ¡vertices ¡ ¡ that ¡does ¡not ¡make ¡cycles ¡ and ¡disconnect ¡ ¡ to ¡an ¡induced ¡subtree. ¡ ¡

1 2 1

Add ¡1? Add ¡2? Add ¡4? Add ¡2? Add ¡3?

1 2 4 3 7 6 5 Input 1 3

Add ¡5? Add ¡4?

1 4 3 5

Skip ¡checking ¡3 Add ¡4 ¡after ¡5

1 3 5 1 2 4

22 ¡

All ¡we ¡have ¡to ¡do ¡is ¡maintain ¡ the ¡vertex ¡set ¡whose ¡vertex ¡ can ¡be ¡added. ¡

Basic ¡Idea2: ¡Maintaining ¡the ¡candidate ¡set ¡

A ¡vertex ¡v ¡is ¡in ¡the ¡candidate ¡set ¡C(S) ¡of ¡an ¡induced ¡subtree ¡ S ¡if ¡(1) ¡v ¡is ¡not ¡contained ¡in ¡S, ¡and ¡(2) ¡v ¡has ¡exactly ¡one ¡ neighbor ¡in ¡S. ¡ ¡ ¡ Lemma: ¡If ¡S ¡is ¡an ¡induced ¡subtree, ¡then ¡for ¡any ¡vertex ¡v, ¡ ¡ S ¡u ¡{v} ¡is ¡an ¡induced ¡subtree ¡if ¡and ¡only ¡if ¡v ¡belongs ¡to ¡C(S). ¡ ¡

1 2 4 3 7 6 5 Example: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡The ¡candidate ¡set ¡of ¡{2, ¡4, ¡6} ¡is ¡{1, ¡3}. ¡ ¡

• 5 ¡and ¡7 ¡are ¡not ¡in ¡the ¡set ¡since ¡
• {2, ¡4, ¡6, ¡5} ¡has ¡a ¡cycle ¡and ¡
• {2, ¡4, ¡6, ¡7} ¡is ¡disconnected. ¡ ¡

Candidate ¡set Induced ¡ ¡ subtree

23 ¡

Incremental ¡maintenance ¡

n After ¡v ¡∈ ¡C(S) ¡is ¡added ¡to ¡S, ¡we ¡delete ¡or ¡add ¡ its ¡neighbor ¡vertices ¡to ¡obtain ¡C(S ¡u ¡{v}). ¡ ¡

Time ¡complexity ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡O(d) ¡time ¡per ¡solution ¡by ¡checking ¡all ¡neighbors ¡of ¡v, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡where ¡d ¡is ¡the ¡maximum ¡degree ¡of ¡G. ¡

1 2 4 3 7 6

5

8 1 2 4 3 7 6

5

8

S ¡= ¡{1, ¡2, ¡4, ¡7} ¡ C(S) ¡= ¡5, ¡6 Add ¡5 ¡to ¡S S ¡u ¡{5} ¡= ¡{1, ¡2, ¡4, ¡5, ¡7} ¡ C(S ¡u ¡{5}) ¡= ¡8

24 ¡

Delete ¡6 ¡from ¡C(S ¡u ¡{5}) ¡ Add ¡8 ¡to ¡C(S ¡u ¡{5})

Basic ¡idea ¡3: ¡Reducing ¡acyclicity ¡checking ¡

n By ¡using ¡the ¡ordering ¡of ¡the ¡degenerated ¡graph, ¡ we ¡can ¡skip ¡some ¡acyclicity ¡checkings. ¡ ¡

25 ¡

Larger

v

Smaller

At ¡most ¡k ¡ acyclicity ¡ ¡ checkings

skip ¡ acyclicity ¡ ¡ checkings ¡

Add

S

Outline ¡of ¡the ¡improved ¡maintenance

• 1. Add ¡the ¡smallest ¡vertex ¡v ¡in ¡C(S) ¡to ¡S. ¡ ¡
• 2. Add ¡a ¡larger ¡neighbor ¡to ¡C(S ¡u ¡{v}), ¡ ¡

if ¡it ¡does ¡not ¡make ¡a ¡cycle ¡ ¡when ¡added ¡to ¡S ¡u ¡{v}. ¡ ¡

– Otherwise, ¡delete ¡from ¡C(S ¡u ¡{v}). ¡ ¡

• 3. Add ¡some ¡smaller ¡neighbors ¡without ¡deletion ¡and ¡

checking ¡whether ¡it ¡makes ¡a ¡cycle ¡or ¡not. ¡ ¡

Larger

v

Smaller

Add

26 ¡

S

At ¡most ¡k ¡ acyclicity ¡ ¡ checkings

Detail ¡of ¡adding ¡smaller ¡neighbors

n No ¡vertex ¡is ¡deleted ¡since ¡v ¡is ¡the ¡smallest ¡in ¡C(S). ¡ ¡ n Add ¡a ¡smaller ¡neighbor ¡w ¡to ¡C(S ¡u ¡{v}) ¡

– if ¡we ¡have ¡never ¡added ¡w ¡to ¡the ¡candidate ¡set ¡so ¡far. ¡ ¡ – Otherwise, ¡we ¡can ¡not ¡add ¡w ¡since ¡w ¡is ¡a ¡neighbor ¡of ¡ v ¡and ¡S, ¡and ¡adding ¡w ¡makes ¡a ¡cycle. ¡ ¡

27 ¡

Larger Smaller

S

… ¡vertices ¡added ¡to ¡C(S ¡u ¡{v}) ¡

v

Detail ¡of ¡adding ¡smaller ¡neighbors

n No ¡vertex ¡is ¡deleted ¡since ¡v ¡is ¡the ¡smallest ¡in ¡C(S). ¡ ¡ n Add ¡a ¡smaller ¡neighbor ¡w ¡to ¡C(S ¡u ¡{v}) ¡

– if ¡we ¡have ¡never ¡added ¡w ¡to ¡the ¡candidate ¡set ¡so ¡far. ¡ ¡ – Otherwise, ¡we ¡can ¡not ¡add ¡w ¡since ¡w ¡is ¡a ¡neighbor ¡of ¡ ¡ v ¡and ¡S, ¡and ¡adding ¡w ¡makes ¡a ¡cycle. ¡ ¡

28 ¡

Larger Smaller

S

… ¡vertices ¡added ¡to ¡C(S ¡u ¡{v}) ¡

v

ADD SKIP

Marking ¡in ¡advance

n Initially, ¡we ¡mark ¡all ¡vertices ¡as ¡ADD ¡in ¡each ¡

• neighbors. ¡ ¡

n Marking ¡w ¡as ¡SKIP ¡in ¡z ¡if ¡we ¡add ¡w ¡to ¡the ¡candidate ¡set. ¡ ¡

– To ¡avoid ¡we ¡add ¡w ¡to ¡C(S ¡u ¡{v, ¡z}) ¡since ¡S ¡u ¡{v, ¡w, ¡z} ¡has ¡cycles. ¡ ¡ ¡

n The ¡time ¡is ¡O(k ¡|C(S ¡u ¡{v})|) ¡delay ¡for ¡output ¡S ¡u ¡{v}. ¡ ¡

w

v z

S

w

z

S

v

Add ¡v ¡to ¡S. ¡ ¡ Add ¡w ¡to ¡C(S ¡u ¡{v}). ¡ ¡

ADD SKIP ADD SKIP

z: ¡larger ¡neighbor ¡of ¡w. ¡ ¡ ¡

29 ¡

Amortized ¡analysis

n Time ¡for ¡addition ¡(O(k ¡|C(S ¡u ¡{v})|) ¡delay) ¡ ¡

– By ¡distributing ¡O(k) ¡time ¡to ¡S ¡u ¡{v,w} ¡for ¡each ¡w ¡in ¡ ¡ C(S ¡u ¡{v}), ¡the ¡time ¡is ¡O(k) ¡amortized ¡time. ¡ ¡

• S ¡u ¡{v, ¡w} ¡receives ¡O(k) ¡time ¡from ¡S ¡u ¡{v} ¡only. ¡ ¡
• If ¡S ¡u ¡{v} ¡is ¡the ¡leaf ¡in ¡the ¡search ¡tree, ¡the ¡time ¡is ¡O(1). ¡ ¡

n Time ¡for ¡deletion ¡

– The ¡time ¡is ¡O(k) ¡per ¡solution. ¡ ¡

n O(k) ¡amortized ¡time ¡ ¡ per ¡solution. ¡ ¡

S ¡u ¡{v}

Distribute ¡O(k) ¡ ¡ to ¡S ¡u ¡{v, ¡w1} ¡ For ¡deletion ¡ ¡O(k) . ¡. ¡. ¡ Receive ¡O(k)

30 ¡

Distribute ¡O(k) ¡ ¡ to ¡S ¡u ¡{v, ¡w2} ¡ Distribute ¡O(k) ¡ ¡ to ¡S ¡u ¡{v, ¡wi} ¡

Main ¡result

31 ¡

Theorem ¡1: ¡There ¡exists ¡an ¡enumeration ¡ algorithm ¡that ¡lists ¡all ¡induced ¡subtrees ¡ in ¡a ¡graph ¡G ¡in ¡O(k) ¡amortized ¡time ¡per ¡ solution ¡where ¡k ¡is ¡the ¡degeneracy ¡of ¡G. ¡

Corollary ¡2: ¡All ¡induced ¡subtrees ¡in ¡a ¡graph ¡ are ¡constant ¡amortized ¡time ¡enumerable ¡for ¡ planar ¡input ¡graphs ¡(k ¡= ¡5) ¡

Conclusion ¡& ¡future ¡work

n We ¡considered ¡the ¡induced ¡subtree ¡enumeration ¡

• problem. ¡ ¡

– We ¡proposed ¡an ¡efficient ¡algorithm ¡for ¡induced ¡ subtree ¡enumeration ¡problem. ¡ ¡ – O(k) ¡amortized ¡time ¡per ¡solution. ¡ ¡

n Future ¡work ¡is ¡… ¡ ¡

– Can ¡we ¡enumerate ¡the ¡maximal ¡induced ¡subtrees ¡in ¡ polynomial ¡delay? ¡ ¡ – Can ¡we ¡develop ¡efficient ¡enumeration ¡algorithms ¡for ¡

• ther ¡subgraph ¡enumeration ¡problem ¡by ¡using ¡the ¡

property ¡of ¡the ¡degeneracy? ¡

32 ¡