GEOMETRIC APPROACH TO PARADOXES OF VOTING POWER Workshop on Voting - - PDF document

GEOMETRIC APPROACH TO PARADOXES OF VOTING POWER

Workshop on Voting Theory and Preference Modelling Sponsored by DIMACS and LAMSADE Paris, Universit´ e Paris Dauphine 28 October 2006

Michael A. Jones Department of Mathematical Sciences Montclair State University Montclair, NJ 07043, USA jonesm@mail.montclair.edu 1

Short History of the Literature on Power Indices

Applications

• Examining existent institutions: International Monetary Fund (Dreyer

and Schotter, 1980; Leech, 2002b), the Electoral College (Mann and Shapley, 1964), the European Union Council of Ministers (Johnston, 1995; Leech, 2002a), and the Israeli Knesset (Laruelle, 2001).

• Part of debate about the design of new institutions: new members in

the EU (Turnovec, 1996; Widgr´ en, 1994).

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Short History of the Literature on Power Indices

Applications

• Examining existent institutions: International Monetary Fund (Dreyer

and Schotter, 1980; Leech, 2002b), the Electoral College (Mann and Shapley, 1964), the European Union Council of Ministers (Johnston, 1995; Leech, 2002a), and the Israeli Knesset (Laruelle, 2001).

• Part of debate about the design of new institutions: new members in

the EU (Turnovec, 1996; Widgr´ en, 1994). Counterintuitive results

• paradox of redistribution (Dreyer and Schotter, 1980; Schotter, 1981), the

donor and transfer paradoxes (Felsenthal and Machover, 1998), the paradox

• f quarreling members (Kilgour, 1974), the paradox of a new member (Brams,

1975; Brams and Affuso, 1976), and the paradox of large size (Brams, 1975; Shapley, 1953)

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Short History of the Literature on Power Indices

Applications

• Examining existent institutions: International Monetary Fund (Dreyer

and Schotter, 1980; Leech, 2002b), the Electoral College (Mann and Shapley, 1964), the European Union Council of Ministers (Johnston, 1995; Leech, 2002a), and the Israeli Knesset (Laruelle, 2001).

• Part of debate about the design of new institutions: new members in

the EU (Turnovec, 1996; Widgr´ en, 1994). Counterintuitive results

• paradox of redistribution (Dreyer and Schotter, 1980; Schotter, 1981), the

donor and transfer paradoxes (Felsenthal and Machover, 1998), the paradox

• f quarreling members (Kilgour, 1974), the paradox of a new member (Brams,

1975; Brams and Affuso, 1976), and the paradox of large size (Brams, 1975; Shapley, 1953)

• Analyzing the domain and its geometry results in a classification of

paradoxes of voting power

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Voting, Simple Voting, and Simple Weighted-Voting Games

Voter i’s power in a voting game is defined by pi =

• S⊆N

λS [v(S) − v(S/i)] where the set of parameters λS indicates the specific measure of power (power index, semivalue, etc.).

• v(S) − v(S/i): value added to S by voter i
• Simple Voting Game: v(S) − v(S/i) = 0 or 1
• Simple Weighted-Voting Game

− Finite set of voters N = {1, 2, . . ., n} − Voter i’s vote carries weight wi such that w = n

i=1 wi

− There exists a quota q∗ where w

2 < q∗ ≤ w

− For S ⊆ N, v(S) = 0 if

i∈S wi < q∗,

1 if

i∈S wi ≥ q∗.

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Partitioning the Normalized Simplex (Domain) into Win- ning and Losing Coalitions

• Let xi = wi

w and q = q∗ w .

• (x1, x2, . . . , xn) can be viewed as a point on the simplex where xi ≥ 0 and

n

i=1 xi = 1

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Partitioning the Normalized Simplex (Domain) into Win- ning and Losing Coalitions

• Let xi = wi

w and q = q∗ w .

• (x1, x2, . . . , xn) can be viewed as a point on the simplex where xi ≥ 0 and

n

i=1 xi = 1

• Winning and losing coalitions . . .

v(S) = 0 if

i∈S xi < q,

1 if

i∈S xi ≥ q.

• What is the effect of this equation?

− Equations of the form

i∈S xi = q partition the simplex into winning

and losing coalitions

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Power Indices and Generalized Power Indices

• Many different power indices (e.g., measuring P-power or I-power)

− Banzhaf (1965), Shapley-Shubik (1954), Coleman (1971), Penrose (1946), Deegan and Packel (1982), etc.

• Geometry is independent of the particular power index

− Even though certain power indices may not be susceptible to a specific paradox, when the paradox occurs we will understand what is happening − For concreteness, I will refer to specific power indices in examples but will be clear about what generalizes to all power indices

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Power Indices and Generalized Power Indices

• Many different power indices (e.g., measuring P-power or I-power)

− Banzhaf (1965), Shapley-Shubik (1954), Coleman (1971), Penrose (1946), Deegan and Packel (1982), etc.

• Geometry is independent of the particular power index

− Even though certain power indices may not be susceptible to a specific paradox, when the paradox occurs we will understand what is happening − For concreteness, I will refer to specific power indices in examples but will be clear about what generalizes to all power indices − Geometry for 3 voters is enough to understand the geometry behind paradoxes of voting power

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Power Indices and Generalized Power Indices

• For a quota q, a power index is a map from the normalized simplex to Rn:

Pq : Sn−1 → Rn

+ where R+ represents nonnegative real numbers.

• Power Indices must satisfy the following conditions:
• 1. (Invariance) If σ is a permutation of the set of voters N, then voter

i’s power in [q; x1, . . ., xn] should be the same as voter σ(i) = j in the permuted game [q; y1, . . . , yn] where yj = xi. Equivalently, Pq(x1, x2, . . ., xn)i = Pq(y1, y2, . . . , yn)j where σ(i) = j and yj = xσ(i) for all i.

• 2. (Symmetry) If two voters are members of identical winning coalitions,

then they have the same power.

• 3. (Dummy voter) If a voter a is never part of a minimal winning coalition,

then voter a’s power is 0.

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Geometry of Simplex for 3 Voters

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(1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1)

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• (1, 0, 0)

(0, 1, 0) (0, 0, 1)

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x2 Figure 1: The plane x1+x2+x3 = 1 and the 2-simplex {(x1, x2, x3) | x1+x2+x3 = 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, and x3 ≥ 0.} 11

Partitioning the Simplex for 3-Player Games

• (x1, x2, x3) such that xi ≥ 0 and x1 + x2 + x3 = 1

x1 = q x2 = q x3 = q x1 + x2 = q x1 + x3 = q x2 + x3 = q

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Partitioning the Simplex for 3-Player Games

• (x1, x2, x3) such that xi ≥ 0 and x1 + x2 + x3 = 1

x1 = q x2 = q x3 = q x3 = 1 − q x2 = 1 − q x1 = 1 − q

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Partitioning the Simplex for 3-Player Games

• (x1, x2, x3) such that xi ≥ 0 and x1 + x2 + x3 = 1

x1 = q x2 = q x3 = q x3 = 1 − q x2 = 1 − q x1 = 1 − q

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x2 x1 x3

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Figure 2: Shape of regions for 1

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Hyperplanes Partition the Simplex into Regions: The Case of Three Voters

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R1 R7 R8 R6 R3 R2 R9 R5 R4

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R10 R1 R7 R8 R6 R3 R2 R9 R5 R4

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R10 R1

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R7

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R8 R6 R3 R2

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R9 R5 R4

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R10

Figure 3: Shape of regions for 1

2 < q < 2 3 (left), q = 2 3 (middle), and 2 3 < q < 1 (right).

Region Ri for i = 1 to 3 Ri+3 for i = 1 to 3 Ri+6 for i = 1 to 3 R10 MWCs {i} N/{i} {i, j}, {i, k} {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}∗ where i = j = k

• r {1, 2, 3}∗∗

Table 1: Regions and their corresponding minimal winning coalitions (MWCs). The coalition structure for R10 depends on whether q ≤ 2

3 ∗ or q > 2 3 ∗∗.

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Placing a Simple-Weighted Voting Game into a Part

• Consider the simple-weighted voting game given by [14; 12, 5, 3]; normalized

to [0.7; 0.6, 0.25, 0.15].

• For comparison, consider all games for which w = 20 and q = 14.

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(20, 0, 0) (0, 20, 0) (0, 0, 20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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• Figure 4: Lattice points of games that cover the 2-simplex.

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Calculating the Power of Games in Region R7

• [0.7; 0.6, 0.25, 0.15] is in Region R7 where

x1 + x2 ≥ 0.7 x1 + x3 ≥ 0.7 x2 + x3 < 0.7 xi < 0.7 for all i

• Every game in R7 has normalized Banzhaf power index of 3

5 : 1 5 : 1 5 where

B0.7(0.6, 0.25, 0.15)i =

• S⊆N

[v(S) − v(S/i)] .

• λS = 1 for the Banzhaf index (Banzhaf, 1965)
• Other commonly used power index: Shapley-Shubik power index (Shapley

and Shubik, 1954) where λS = (| S | −1)! (n− | S |)!

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Domain Effects: Passing Hyperplanes Paradox of Redistribution

• Fischer and Schotter (1978); Schotter (1981): a power index

exhibits this paradox if a voter’s weight increases and its power goes down or if its weight decreases but its power goes up Donation Paradox

• Felsenthal and Machover (1998): “redistribute” between two

voters Fattening Paradox

• Felsenthal and Machover (1998): An increase in a voter’s weight

with other players’ weights fixed results in a decrease in power − Example: [8; 4, 4, 1, 1, 1] → [8; 5, 4, 1, 1, 1]

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Paradox of Redistribution

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(1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)

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• Ga
• Gb

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Ga = [ 7

8; 1 3, 1 3, 1 3] with power index 1 3: 1 3: 1 3

Gb = [ 14

16; 5 16, 1 16, 10 16] with power index 1 2:0: 1 2

Figure 5: The Paradox of Redistribution as an effect of passing a hyperplane. When Ga → Gb, player 1’s weight decreases but its power increases. When Gb → Ga, player 1’s weight increases but its power decreases. 20

Partition Effects: Changing the Size, Shape, or Number

• f Parts of the Partition

Paradox of Quarreling Members

• Kilgour (1974): quarreling members refuse to be in winning

coalitions together; although options restricted, power increases Quota Effect on “Largest” Voter’s Power (Quota Paradox)

• Voter with largest weight “should” benefit from a decrease in

the quota

21

Paradox of Quarrelling Members

• 3

4; 2 3, 1 6, 1 6

• is in R7 and has winning coalitions {1, 2, 3}, {1, 2}, and {1, 3}.
• The normalized Banzhaf power index for this game is 3

5 : 1 5 : 1 5.

• Voters 2 and 3 quarrel: Winning coalition {1, 2, 3} cannot form.
• Normalized Banzhaf power index with quarreling: 1

2 : 1 4 : 1 4

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Figure 6: The paradox of quarreling members: Voters 2 and 3 quarrel resulting in the removal of a hyperplane that decreases the number of parts in the partition. 22

Quota Effects on the Largest Voter’s Power

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• Figure 7: As the quota decreases from q1 =

8 11 (left), q2 = 7 11 (middle), and q3 = 6 11 (right) the

weights

5 11, 4 11, 2 11 form a game in region R6, R7, and R10, respectively. Banzhaf P.I. from left to

right: 1

2, 3 5, and 1 3.

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Dimensional Effects: Increasing/Decreasing the Num- ber of Voters Paradox of a New Member

• Brams and Affuso (1976), Brams (1975): an introduction of a

new member can increase the power of one of the original members

• Felsenthal and Machover (1998) provide the following formula-

tion: [q; x1, x2, . . . , xn] → [q; y1, y2, . . . , yn, yn+1] where yn+1 ∈ (0, 1] and yi = (1 − yn+1)xi for i ≤ n Paradox of Large Size

• Shapley (1954); Brams (1975): one voter annexes another, yet

its power decreases

• Saari and Sieberg (2001): Possible to flip rankings

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Paradox of a New Member

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(1,0) (0,1)

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[0.75; 0.7, 0.3] 1:0 0:1

1 2: 1 2

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Figure 8: The Paradox of a New Member: Voter 1’s power increases despite the introduction of a new voter. Representative game given by [0.75; 7

13, 3 13, 3 13].

25

Paradox of Large Size

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(1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)

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Ga

• Gb

Ga = [ 3

4; 1 3, 1 3, 1 3]

Gb = [ 3

4; 2 3, 1 3]

Figure 9: The Paradox of Large Size: Player 3 coalesces with Player 1 and their cumulative power decreases. 26

Combining Geometric Properties

• Felsenthal and Machover’s Fattening Paradox

[8; 4, 4, 1, 1, 1] → [8; 5, 4, 1, 1, 1] ↓ ↓ 8 11; 4 11, 4 11, 1 11, 1 11, 1 11

• →

8 12; 5 12, 4 12, 1 12, 1 12, 1 12

• 27

Combining Geometric Properties

• Felsenthal and Machover’s Fattening Paradox

[8; 4, 4, 1, 1, 1] → [8; 5, 4, 1, 1, 1] ↓ ↓ 8 11; 4 11, 4 11, 1 11, 1 11, 1 11

• →

8 12; 5 12, 4 12, 1 12, 1 12, 1 12

• Quota Effect

− change quota from 8

11 to 8 12

28

Combining Geometric Properties

• Felsenthal and Machover’s Fattening Paradox

[8; 4, 4, 1, 1, 1] → [8; 5, 4, 1, 1, 1] ↓ ↓ 8 11; 4 11, 4 11, 1 11, 1 11, 1 11

• →

8 12; 5 12, 4 12, 1 12, 1 12, 1 12

• Quota Effect

− change quota from 8

11 to 8 12

Proportional Increase in One Voter [q; x1, x2, . . . , xn] → [q; y1, y2, . . . , yn] where y1 > x1 and yi = xi n

j=2 xj

(1 − y1). For example, when y1 = 5 12 then y2 = 4/11 7/11 7 12

• = 4

12.

29

Thank you.

30

Using Geometry to Show when a Paradox cannot Occur

• For example, the Fattening Paradox cannot occur with n = 3

players:

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(1,0,0) (1,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,1,0) (0,1,0) (0,0,1) (0,0,1) (0,0,1)

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R1 R7 R8 R6 R3 R2 R9 R5 R4

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R10 R1 R7 R8 R6 R3 R2 R9 R5 R4

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R10 R1

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R7

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R8 R6 R3 R2

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R9 R5 R4

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R10

Figure 10: Shape of regions for 1

2 < q < 2 3 (left), q = 2 3 (middle), and 2 3 < q < 1 (right).

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