Hybrid EnKF and Par.cle Filter: Lagrangian DA and - - PowerPoint PPT Presentation

Hybrid ¡EnKF ¡and ¡Par.cle ¡Filter: ¡ ¡

Lagrangian ¡DA ¡and ¡Parameter ¡Es.ma.on ¡

Chris ¡Jones ¡and ¡ ¡ Nara.p ¡San..ssadeekorn* ¡ RENCI ¡and ¡Mathema.cs, ¡ UNC-­‑Chapel ¡HIll ¡

*University ¡of ¡Surrey ¡

Data ¡Assimila.on ¡in ¡Sequen.al ¡Mode ¡

Model ¡+ ¡observa.ons ¡ predic.on ¡

• bs ¡

update ¡

t

• bs ¡

¡ update ¡

1

t

2

t

N

t

model ¡ model ¡ assimila.on ¡ assimila.on ¡

xk

a = xk f + Kk ηk − H(xk f )

( )

Assimila.on ¡at: ¡ ¡

t = tk

2 ¡

P

posterior(xk yk)∝ P

• bs(yk xk)P

prior xk

( )

xk = mk xk−1

( )+εk

yk = h xk

( )+δk

xk

1 = mk 1 xk−1 1

( )+εk

1

xk

2 = mk 2 xk−1 1 , xk−1 2

( )+εk

2

xk = xk

1, xk 2

( )

• One ¡of ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡low-­‑dimensional ¡
• Idea: ¡ ¡EnKF ¡on ¡high-­‑dimensional ¡part ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡PF ¡ ¡ ¡on ¡low-­‑dimensional ¡part ¡

xk

i, i =1,2

Skew-­‑Product ¡Structure ¡of ¡Dynamics ¡

Gulf ¡of ¡Mexico/Carribean ¡

Dynamics ¡in ¡GoM ¡

Key ¡structures: ¡ellip.c ¡points ¡(trajectories) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡hyperbolic ¡points ¡(trajectories) ¡ From: ¡Kuznetsov ¡ et ¡al. ¡ ¡JMR ¡2002 ¡

Augmented ¡system ¡

x = xF x D ! " # # $ % & & -- augmented state vector dxF

f

dt = M F (xF

f ,t) -- flow equations

dx D

f

dt = M D(x D

f ,xF f ,t) -- tracer advection equation

Append ¡equa.ons ¡for ¡driZers ¡(floats) ¡ Apply ¡DA ¡to ¡augmented ¡system ¡ Ide, ¡Jones ¡and ¡Kuznetsov ¡2002 ¡ ¡

xF ↔ u,v,w

( )

xD ↔(x, y, z)

Recapturing ¡an ¡eddy ¡

Eddies ¡in ¡GoM ¡

Work ¡with ¡Guillaume ¡Vernières ¡(NASA) ¡and ¡Kayo ¡Ide ¡(MD) ¡-­‑Physica ¡D, ¡2011 ¡

Perturbed ¡Cellular ¡Flow ¡Field ¡

Apte, ¡J ¡and ¡Stuart ¡Tellus ¡A ¡2008 ¡ Apte ¡and ¡J. ¡2014 ¡

Assimila.ng ¡from ¡trajectory ¡staying ¡in ¡one ¡cell ¡

Expt: ¡es.mate ¡i.c. ¡from ¡observa.ons ¡of ¡trajectory ¡

Lagrangian ¡Data ¡Assimila.on ¡(LaDA) ¡

dxF dt = f

F(xF,t)

dx D dt = f D(xF,x D,t)

xF

k = mk(xF k−1)

xD

k = mD k−1 xk−1 F , xk−1 D

( )

Es.mate: ¡ high ¡ Observe: ¡ low ¡ Slivinskii, ¡Spiller, ¡Apte ¡and ¡Sandstede ¡Monthly ¡Weather ¡Review ¡2014 ¡ ¡

EnKF? ¡ PF? ¡

mk

F xk−1 F,i

( )

MODEL ¡ OBS ¡

mk

D xk−1 F,i, xk−1 D,i, j

( )

FLOW ¡ DRIFTER ¡

? ¡ ¡ ? ¡ ¡ ? ¡ ¡

yk = h(xk

D)+δk

Update ¡Step ¡ No ¡resampling: ¡ ¡

(according ¡to ¡some ¡criterion ¡on ¡“paucity” ¡of ¡par.cle ¡ensemble) ¡ ¡ ¡ DriZer ¡only ¡ Joint ¡PDF ¡

wij

kδ xD,k − xij D,k

( )

j

∑

wij

kδ xD,k − xij D,k

( )

i, j

∑

δ xF,k − xi

F,k

( )

Computed ¡from ¡obs ¡

Update ¡Step ¡ With ¡resampling: ¡ ¡EnKF ¡on ¡flow ¡variables ¡

Step ¡1: ¡Move ¡flow ¡states ¡w/ ¡EnKF: ¡

xi

F,k = xi F, f + P FD f

P

DD f + R

( )

−1 Y − xi F,D

( )

P = P

FF

P

FD

P

DF

P

DD

! " # # $ % & &

Forecast ¡error ¡covariance ¡ Average ¡over ¡set ¡of ¡ driZer ¡ensembles ¡ Step ¡2: ¡Form ¡joint ¡posterior ¡PDF ¡ ¡

xi

F,k, !

wk

i

{ } xij

D,wk ij

{ }

! wk

i =

wij

k j

∑

Step ¡3: ¡Resample, ¡reset ¡weights ¡and ¡proceed ¡

Lorenz ¡96 ¡

i =1,…,40

Iden.cal ¡twin ¡expt: ¡

“Truth” ¡

Goal: ¡ ¡Es.mate ¡both ¡state ¡and ¡parameters ¡from ¡obs ¡

+ ¡cyclic ¡BC ¡

Joint ¡State-­‑Parameter ¡Es.ma.on ¡

Filtering ¡Op.ons ¡

EnKF ¡on ¡augmented ¡system: ¡ PF ¡on ¡augmented ¡system: ¡ Rao-­‑Blackwellized ¡Par.cle ¡Filter: ¡

Update ¡based ¡on ¡linear ¡regression. ¡Fails ¡if ¡ correla.on ¡is ¡not ¡linear ¡(Yang ¡and ¡DelSole, ¡2009) ¡ ¡ Computa.onally ¡expensive…. ¡ Computa.onally ¡more ¡expensive! ¡ But ¡basis ¡for ¡an ¡approach ¡

Parameter ¡Es.ma.on ¡

dx dt = F(x,θ) dθ dt = 0

xk+1 = f (xk,θk) θk+1 = θk

Observe: ¡ high ¡ Es.mate: ¡ ¡ low ¡

MIXED ¡FILTER ¡

RBPF ¡

If ¡model ¡is ¡linear, ¡ then ¡Gaussian ¡

w = x,θ

[ ]

y = h(x)

p w1:k y1:k

( ) ∝ p x1:k θ1:k,y1:k ( ) p θ1:k y1:k ( )

Parameter ¡Models ¡

Persistence ¡model ¡ Random ¡walk ¡model ¡ Liu-­‑West ¡model ¡

θk+1 = θk θk+1 = θk +ηk, ηk  N(0,Wk) θk+1 = αθk + (1−α)θk +ηk

STATE ¡ PARAM ¡ EnKF ¡ PF ¡

fk

k+1 xk ( j),θk



( )

g(θk

( j),η)

MODEL ¡ OBS ¡

yk+1

(i) = h fk k+1 ˆ

xk,θk

(i)

( )

( )

yk

( j) = h xk ( j)

( )+ εk

( j)

θk

 = θk

ˆ xk = xk

a

Lorenz ¡96 ¡

i =1,…,40

Iden.cal ¡twin ¡expt: ¡

“Truth” ¡

Goal: ¡ ¡Es.mate ¡both ¡state ¡and ¡parameters ¡from ¡obs ¡

+ ¡cyclic ¡BC ¡

PROBLEM ¡

δt = Δt

200/50 ¡ ¡vs. ¡ ¡250 ¡

Two-­‑Stage ¡+Liu-­‑West ¡ Two-­‑Stage ¡+Persistence ¡ EnKF ¡

δt = 10Δt

g(xi,t) = θ1 +θ2xi

( )− ei(t)

2-­‑layer ¡QG: ¡

L1 ¡ L2 ¡

! xi = ∂ψi ∂yi ! yi = −∂ψi ∂xi

i =1,2

Problem: ¡ ¡ ¡ ¡observe ¡trajectory ¡in ¡layer ¡1 ¡and ¡es.mate ¡ ¡k2

Bimodality ¡trap ¡

Horizontal ¡axis: ¡ p = k2

Results ¡from ¡Iden.cal ¡Twin ¡Expt ¡

Conclusions ¡

• Skew-­‑product ¡structure ¡of ¡problem ¡can ¡be ¡

exploited ¡to ¡create ¡new ¡filtering ¡approaches ¡

• Two ¡examples: ¡LaDA ¡and ¡JSP ¡es.ma.on ¡
• Issues ¡are ¡different ¡in ¡each ¡case ¡(reverse ¡of ¡

dimensional ¡issues) ¡

• Basic ¡idea: ¡Use ¡EnKF ¡on ¡high-­‑dimensional ¡part ¡
• Issues ¡with ¡nonlinearity ¡focused ¡into ¡low-­‑

dimensional ¡part ¡

• Key ¡decision ¡in ¡implementa.on ¡is ¡in ¡crosstalk ¡ ¡ ¡