Prr rt r r r - - PowerPoint PPT Presentation

❋❋❚ Pr♦❣r❛♠ ●❡♥❡r❛t✐♦♥ ❢♦r ❙❤❛r❡❞ ▼❡♠♦r②✿ ❙▼P ❛♥❞ ▼✉❧t✐❝♦r❡

❋✳ ❋r❛♥❝❤❡tt✐✱ ❨✳ ❱♦r♦♥❡♥❦♦✱ ▼✳ Püs❝❤❡❧ ❊❧❡❝tr✐❝❛❧ ❛♥❞ ❈♦♠♣✉t❡r ❊♥❣✐♥❡❡r✐♥❣ ❈❛r♥❡❣✐❡ ▼❡❧❧♦♥ ❯♥✐✈❡rs✐t②

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❖✈❡r✈✐❡✇

❋✐rst P❛rt✿ ❋r♦♠ t❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ t♦ t❤❡ ❝♦❞❡ ❙❡❝♦♥❞ P❛rt✿ ❙♣✐r❛❧ ❡①t❡♥s✐♦♥ ❢♦r ❙❤❛r❡❞ ▼❡♠♦r② ❉✐s❝✉ss✐♦♥

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• ✐✈❡♥✿

x ∈ CN ❈♦♠♣✉t❡✿ y = ❉❋❚Nx

❉❋❚N = [wkl

N ]0≤k,l<N

wn = e−2πi/N

❆❧❣♦r✐t❤♠s✿

❉✐r❡❝t ▼❛tr✐①✲❱❡❝t♦r ▼✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥✿ ❋❛st ❋♦✉r✐❡r ❚r❛♥s❢♦r♠s✿

❈♦♦❧❡②✲❚✉❦❡② ❋❋❚

❉✐✈✐❞❡ ❛♥❞ ❈♦♥q✉❡r ▼❛tr✐① ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥✿

❉❋❚ ❉❋❚ ❉❋❚

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• ✐✈❡♥✿

x ∈ CN ❈♦♠♣✉t❡✿ y = ❉❋❚Nx

❉❋❚N = [wkl

N ]0≤k,l<N

wn = e−2πi/N

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▼✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥✿ O(N 2)

◮ ❋❛st ❋♦✉r✐❡r ❚r❛♥s❢♦r♠s✿

O(N log N)

❈♦♦❧❡②✲❚✉❦❡② ❋❋❚

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❉❋❚ ❉❋❚ ❉❋❚

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❉✐s❝r❡t❡ ❋♦✉r✐❡r ❚r❛♥s❢♦r♠

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• ✐✈❡♥✿

x ∈ CN ❈♦♠♣✉t❡✿ y = ❉❋❚Nx

❉❋❚N = [wkl

N ]0≤k,l<N

wn = e−2πi/N

❆❧❣♦r✐t❤♠s✿ ◮ ❉✐r❡❝t ▼❛tr✐①✲❱❡❝t♦r

▼✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥✿ O(N 2)

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O(N log N)

❈♦♦❧❡②✲❚✉❦❡② ❋❋❚ ◮ ❉✐✈✐❞❡ ❛♥❞ ❈♦♥q✉❡r ◮ ▼❛tr✐① ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥✿

❉❋❚mnx = (❉❋❚m ⊗ In)Dm,n(Im ⊗ ❉❋❚n)Lmn

m x ◮ ❆ss✉♠❡ N = 2k ◮ ❇❛s❡ ❝❛s❡✿ ❉❋❚2

❉✐s❝r❡t❡ ❋♦✉r✐❡r ❚r❛♥s❢♦r♠

❚❤❡ ♣r♦❜❧❡♠✿

• ✐✈❡♥✿

x ∈ CN ❈♦♠♣✉t❡✿ y = ❉❋❚Nx

❉❋❚N = [wkl

N ]0≤k,l<N

wn = e−2πi/N

❆❧❣♦r✐t❤♠s✿ ◮ ❉✐r❡❝t ▼❛tr✐①✲❱❡❝t♦r

▼✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥✿ O(N 2)

◮ ❋❛st ❋♦✉r✐❡r ❚r❛♥s❢♦r♠s✿

O(N log N)

❈♦♦❧❡②✲❚✉❦❡② ❋❋❚ ◮ ❉✐✈✐❞❡ ❛♥❞ ❈♦♥q✉❡r ◮ ▼❛tr✐① ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥✿

❉❋❚mnx = (❉❋❚m ⊗ In)Dm,n(Im ⊗ ❉❋❚n)Lmn

m x ◮ ❆ss✉♠❡ N = 2k ◮ ❇❛s❡ ❝❛s❡✿ ❉❋❚2

❙♣✐r❛❧✿ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ♦♣t✐♠✐③❡❞ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥s

✶ ❙t❛rt ❢♦r♠✉❧❛✿ ❉❋❚N ❈♦♦❧❡②✲❚✉❦❡② ❘✉❧❡✿

❉❋❚mn → (❉❋❚m ⊗ In)Dm,n (Im ⊗ ❉❋❚n)Lmn

m

✶s♦✉r❝❡✿ ❋❋❚ Pr♦❣r❛♠ ●❡♥❡r❛t✐♦♥ ❢♦r ❙❤❛r❡❞ ▼❡♠♦r②✿ ❙▼P ❛♥❞ ▼✉❧t✐❝♦r❡

❙♣✐r❛❧✿ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ♦♣t✐♠✐③❡❞ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥s

✶ ❙t❛rt ❢♦r♠✉❧❛✿ ❉❋❚N ❈♦♦❧❡②✲❚✉❦❡② ❘✉❧❡✿

❉❋❚mn → (❉❋❚m ⊗ In)Dm,n (Im ⊗ ❉❋❚n)Lmn

m

❊①❛♠♣❧❡✿

❉❋❚8 = (❉❋❚2 ⊗ I4)D8,4 (I2 ⊗ (❉❋❚2 ⊗ I2)D4,2 (I2 ⊗ ❉❋❚2)L4

2)L9 2

✶s♦✉r❝❡✿ ❋❋❚ Pr♦❣r❛♠ ●❡♥❡r❛t✐♦♥ ❢♦r ❙❤❛r❡❞ ▼❡♠♦r②✿ ❙▼P ❛♥❞ ▼✉❧t✐❝♦r❡

❙♣✐r❛❧✿ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ♦♣t✐♠✐③❡❞ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥s

✶ ❙t❛rt ❢♦r♠✉❧❛✿ ❉❋❚N ❈♦♦❧❡②✲❚✉❦❡② ❘✉❧❡✿

❉❋❚mn → (❉❋❚m ⊗ In)Dm,n (Im ⊗ ❉❋❚n)Lmn

m

❙P▲ t♦ ❝♦❞❡ tr❛♥s❧❛t✐♦♥ t❛❜❧❡✿

y = (AnBn)x t❬✵✿✶✿♥✲✶❪ ❂ ❇✭①❬✵✿✶✿♥✲✶❪✮❀ ②❬✵✿✶✿♥✲✶❪ ❂ ❆✭t✭❬✵✿✶✿♥✲✶❪✮❀ y = (Im ⊗ An)x ❢♦r ✭✐❂✵❀✐❁♠❀✐✰✰✮ ②❬✐✯♥✿✶✿✐✯♥✰♥✲✶❪ ❂ ❆✭①❬✐✯♥✿✶✿✐✯♥✰♥✲✶❪✮❀ ✳✳✳ ✳✳✳

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❉❋❚mn → (❉❋❚m ⊗ In)Dm,n (Im ⊗ ❉❋❚n)Lmn

m

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y = (AnBn)x t❬✵✿✶✿♥✲✶❪ ❂ ❇✭①❬✵✿✶✿♥✲✶❪✮❀ ②❬✵✿✶✿♥✲✶❪ ❂ ❆✭t✭❬✵✿✶✿♥✲✶❪✮❀ y = (Im ⊗ An)x ❢♦r ✭✐❂✵❀✐❁♠❀✐✰✰✮ ②❬✐✯♥✿✶✿✐✯♥✰♥✲✶❪ ❂ ❆✭①❬✐✯♥✿✶✿✐✯♥✰♥✲✶❪✮❀ ✳✳✳ ✳✳✳

❙❡❛r❝❤ s♣❛❝❡✿

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✶s♦✉r❝❡✿ ❋❋❚ Pr♦❣r❛♠ ●❡♥❡r❛t✐♦♥ ❢♦r ❙❤❛r❡❞ ▼❡♠♦r②✿ ❙▼P ❛♥❞ ▼✉❧t✐❝♦r❡

❊①t❡♥❞✐♥❣ ❙♣✐r❛❧ ❢♦r ❙❤❛r❡❞ ▼❡♠♦r②

◆❡✇ t❛❣✿

❉❋❚N

s♠♣(p,µ)

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❉❋❚mn

s♠♣(p,µ)

→ · · · ❙t❡♣s✿

■❞❡♥t✐❢② ♣❛r❛❧❧❡❧ ❝♦♥str✉❝ts ✭❛♥❞ t❤❡✐r ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥✮ ❉❡✜♥❡ r❡✇r✐t✐♥❣ r✉❧❡s ❉❡r✐✈❡ ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ❈♦♦❧❡②✲❚✉❦❡②

■ss✉❡s✿

▲♦❛❞ ❇❛❧❛♥❝✐♥❣ ❙②♥❝❤r♦♥✐③❛t✐♦♥ ♦✈❡r❤❡❛❞ ❋❛❧s❡ ❙❤❛r✐♥❣

❊①t❡♥❞✐♥❣ ❙♣✐r❛❧ ❢♦r ❙❤❛r❡❞ ▼❡♠♦r②

◆❡✇ t❛❣✿

❉❋❚N

s♠♣(p,µ)

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❉❋❚mn

s♠♣(p,µ)

→ · · ·

❙t❡♣s✿ ◮ ■❞❡♥t✐❢② ♣❛r❛❧❧❡❧ ❝♦♥str✉❝ts

✭❛♥❞ t❤❡✐r ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥✮

◮ ❉❡✜♥❡ r❡✇r✐t✐♥❣ r✉❧❡s ◮ ❉❡r✐✈❡ ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ❈♦♦❧❡②✲❚✉❦❡②

■ss✉❡s✿

▲♦❛❞ ❇❛❧❛♥❝✐♥❣ ❙②♥❝❤r♦♥✐③❛t✐♦♥ ♦✈❡r❤❡❛❞ ❋❛❧s❡ ❙❤❛r✐♥❣

❊①t❡♥❞✐♥❣ ❙♣✐r❛❧ ❢♦r ❙❤❛r❡❞ ▼❡♠♦r②

◆❡✇ t❛❣✿

❉❋❚N

s♠♣(p,µ)

◮ ◆✉♠❜❡r ♦❢ ♣r♦❝❡ss♦rs✿ p ◮ ❈❛❝❤❡ ❧✐♥❡ s✐③❡✿ µ ❋✐♥❞ ♣❛r❛❧❧❡❧ ❈♦♦❧❡②✲❚✉❦❡②✿

❉❋❚mn

s♠♣(p,µ)

→ · · ·

❙t❡♣s✿ ◮ ■❞❡♥t✐❢② ♣❛r❛❧❧❡❧ ❝♦♥str✉❝ts

✭❛♥❞ t❤❡✐r ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥✮

◮ ❉❡✜♥❡ r❡✇r✐t✐♥❣ r✉❧❡s ◮ ❉❡r✐✈❡ ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ❈♦♦❧❡②✲❚✉❦❡② ■ss✉❡s✿ ◮ ▲♦❛❞ ❇❛❧❛♥❝✐♥❣ ◮ ❙②♥❝❤r♦♥✐③❛t✐♦♥ ♦✈❡r❤❡❛❞ ◮ ❋❛❧s❡ ❙❤❛r✐♥❣

❋❛❧s❡ s❤❛r✐♥❣

❈✐r❝✉♠st❛♥❝❡s✿ ◮ ❉✐✛❡r❡♥t ❞❛t❛ ◮ ❙❛♠❡ ❝❛❝❤❡ ❧✐♥❡ ◮ ❈♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ❛❝❝❡ss❡s ▲❡❛❞s t♦ ❝❛❝❤❡ ❧✐♥❡ t❤r❛s❤✐♥❣ ❙♦❧✉t✐♦♥✿ ♦♥❡ ♣r♦❝❡ss♦r ♣❡r ❝❛❝❤❡

❧✐♥❡

P❛r❛❧❧❡❧ ❈♦♥str✉❝ts✿ ❇❧♦❝❦✲❉✐❛❣♦♥❛❧ Pr♦❞✉❝ts

• ✐✈❡♥ A ∈ Cnµ×nµ✿

(I ⊗ A)x =      A A ✳✳✳ A      x ▼✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❛ ❇❧♦❝❦✲❉✐❛❣♦♥❛❧ ▼❛tr✐① ❊♠❜❛r❛ss✐♥❣❧② ♣❛r❛❧❧❡❧ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥✿ ❖▼P ❢♦r

★♣r❛❣♠❛ ♦♠♣ ♣❛r❛❧❧❡❧ ❢♦r s❝❤❡❞✉❧❡✭st❛t✐❝✮ s❤❛r❡❞✭①✱ ②✮ ❢♦r ✭✐❂✵❀ ✐❁♣❀ ✐✰✰✮ ②❬✐✯♥✿✶✿✐✯♥✲✶❪ ❂ ❆✭①❬✐✯♥✿✶✿✐✯♥✰♥✲✶❪✮❀

P❛r❛❧❧❡❧ ❈♦♥str✉❝ts✿ ❇❧♦❝❦✲❉✐❛❣♦♥❛❧ Pr♦❞✉❝ts

• ✐✈❡♥ A ∈ Cnµ×nµ✿

(I ⊗ A)x =      A A ✳✳✳ A      x

▼✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❛ ❇❧♦❝❦✲❉✐❛❣♦♥❛❧

▼❛tr✐①

❊♠❜❛r❛ss✐♥❣❧② ♣❛r❛❧❧❡❧

■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥✿ ❖▼P ❢♦r

★♣r❛❣♠❛ ♦♠♣ ♣❛r❛❧❧❡❧ ❢♦r s❝❤❡❞✉❧❡✭st❛t✐❝✮ s❤❛r❡❞✭①✱ ②✮ ❢♦r ✭✐❂✵❀ ✐❁♣❀ ✐✰✰✮ ②❬✐✯♥✿✶✿✐✯♥✲✶❪ ❂ ❆✭①❬✐✯♥✿✶✿✐✯♥✰♥✲✶❪✮❀

P❛r❛❧❧❡❧ ❈♦♥str✉❝ts✿ ❇❧♦❝❦✲❉✐❛❣♦♥❛❧ Pr♦❞✉❝ts

• ✐✈❡♥ A ∈ Cnµ×nµ✿

(I ⊗ A)x =      A A ✳✳✳ A      x

▼✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❛ ❇❧♦❝❦✲❉✐❛❣♦♥❛❧

▼❛tr✐①

❊♠❜❛r❛ss✐♥❣❧② ♣❛r❛❧❧❡❧ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥✿ ❖▼P ❢♦r

★♣r❛❣♠❛ ♦♠♣ ♣❛r❛❧❧❡❧ ❢♦r s❝❤❡❞✉❧❡✭st❛t✐❝✮ s❤❛r❡❞✭①✱ ②✮ ❢♦r ✭✐❂✵❀ ✐❁♣❀ ✐✰✰✮ ②❬✐✯♥✿✶✿✐✯♥✲✶❪ ❂ ❆✭①❬✐✯♥✿✶✿✐✯♥✰♥✲✶❪✮❀

P❛r❛❧❧❡❧ ❈♦♥str✉❝ts✿ ❇❧♦❝❦✲❉✐❛❣♦♥❛❧ Pr♦❞✉❝ts

• ✐✈❡♥ Ai ∈ Cnµ×nµ✿

p−1

• i=0

Ai

• x =

     A1 A2 ✳✳✳ An      x ▼✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❛ ❇❧♦❝❦✲❉✐❛❣♦♥❛❧ ▼❛tr✐① ❊♠❜❛r❛ss✐♥❣❧② ♣❛r❛❧❧❡❧ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥✿ ❖▼P ❢♦r

P❛r❛❧❧❡❧ ❈♦♥str✉❝ts✿ ❇❧♦❝❦✲❉✐❛❣♦♥❛❧ Pr♦❞✉❝ts

• ✐✈❡♥ Ai ∈ Cnµ×nµ✿

p−1

• i=0

Ai

• x =

     A1 A2 ✳✳✳ An      x

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▼❛tr✐①

❊♠❜❛r❛ss✐♥❣❧② ♣❛r❛❧❧❡❧ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥✿ ❖▼P ❢♦r

P❛r❛❧❧❡❧ ❈♦♥str✉❝ts✿ ✏❘❡♦r❞❡r✐♥❣✑ ❈❛❝❤❡ ▲✐♥❡s

(P ⊗ Iµ)

P ❛ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ♠❛tr✐① ❊①❛♠♣❧❡✿ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ✭♥♦ ❞❛t❛ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥✦✮✿

▼♦❞✐❢② ❛❝❝❡ss ♣❛tt❡r♥ ♦❢ ♥❡①t ❝♦♥str✉❝t

P❛r❛❧❧❡❧ ❈♦♥str✉❝ts✿ ✏❘❡♦r❞❡r✐♥❣✑ ❈❛❝❤❡ ▲✐♥❡s

(P ⊗ Iµ)

P ❛ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ♠❛tr✐①

❊①❛♠♣❧❡✿

P =     1 1 1 1     (P ⊗ Iµ) =     Iµ Iµ Iµ Iµ     ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ✭♥♦ ❞❛t❛ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥✦✮✿

▼♦❞✐❢② ❛❝❝❡ss ♣❛tt❡r♥ ♦❢ ♥❡①t ❝♦♥str✉❝t

P❛r❛❧❧❡❧ ❈♦♥str✉❝ts✿ ✏❘❡♦r❞❡r✐♥❣✑ ❈❛❝❤❡ ▲✐♥❡s

(P ⊗ Iµ)

P ❛ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ♠❛tr✐①

❊①❛♠♣❧❡✿

P =     1 1 1 1     (P ⊗ Iµ) =     Iµ Iµ Iµ Iµ    

■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ✭♥♦ ❞❛t❛ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥✦✮✿

▼♦❞✐❢② ❛❝❝❡ss ♣❛tt❡r♥ ♦❢ ♥❡①t ❝♦♥str✉❝t

P❛r❛❧❧❡❧ ❈♦♥str✉❝ts✿ ✏❘❡♦r❞❡r✐♥❣✑ ❈❛❝❤❡ ▲✐♥❡s

(P ⊗ Iµ)

P ❛ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ♠❛tr✐①

❊①❛♠♣❧❡✿

P =     1 1 1 1     (P ⊗ Iµ) =     Iµ Iµ Iµ Iµ    

■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ✭♥♦ ❞❛t❛ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥✦✮✿ ◮ ▼♦❞✐❢② ❛❝❝❡ss ♣❛tt❡r♥ ♦❢ ♥❡①t ❝♦♥str✉❝t

❘❡✇r✐t✐♥❣ ❘✉❧❡s

■❞❡♥t✐❢② ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡

❘❡✇r✐t✐♥❣ ❘✉❧❡s

◮ ❚r❛♥s❢♦r♠ ❈♦♦❧❡②✲❚✉❦❡②

❋❋❚ t♦ ❛ ▼✉❧t✐❝♦r❡ ✈❡rs✐♦♥

◮ ❉♦♥✬t ❡①✐st ❢♦r ❛❧❧

❚r❛♥s❢♦r♠s

◮ ❚❤❡② ❡①✐st ❢♦r ❋❋❚✿ ❛

♠❛❥♦r ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣❛♣❡r

s♠♣ s♠♣ s♠♣ ✭✶✮ s♠♣ s♠♣ ✭✷✮ s♠♣ s♠♣ s♠♣ s♠♣ s♠♣ ✭✸✮ s♠♣ ✭✹✮ s♠♣ ✭✺✮ s♠♣ ✭✻✮

❘❡✇r✐t✐♥❣ ❘✉❧❡s

■❞❡♥t✐❢② ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡

❘❡✇r✐t✐♥❣ ❘✉❧❡s

◮ ❚r❛♥s❢♦r♠ ❈♦♦❧❡②✲❚✉❦❡②

❋❋❚ t♦ ❛ ▼✉❧t✐❝♦r❡ ✈❡rs✐♦♥

◮ ❉♦♥✬t ❡①✐st ❢♦r ❛❧❧

❚r❛♥s❢♦r♠s

◮ ❚❤❡② ❡①✐st ❢♦r ❋❋❚✿ ❛

♠❛❥♦r ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣❛♣❡r

AB

• s♠♣(p,µ)

→ A

• s♠♣(p,µ)

B

• s♠♣(p,µ)

✭✶✮ Am ⊗ In

• s♠♣(p,µ)

→ (Lmp m ⊗ In/p)(Ip ⊗ (Am ⊗ In/p))(Lmp p ⊗ In/p)

• s♠♣(p,µ)

✭✷✮ Lmn m s♠♣(p,µ) →                      (Ip ⊗ Lmn/p m/p )

• s♠♣(p,µ)

(Lpn p ⊗ Im/p)

• s♠♣(p,µ)

(Lpm m ⊗ In/p)

• s♠♣(p,µ)

(Ip ⊗ Lmn/p m )

• s♠♣(p,µ)

✭✸✮ Im ⊗ An

• s♠♣(p,µ)

→ Ip ⊗ (Im/p ⊗ An) ✭✹✮ (P ⊗ In)

• s♠♣(p,µ)

→ (P ⊗ In/µ) ⊗ Iµ ✭✺✮ D

• s♠♣(p,µ)

→ p−1

• i=0

Di ✭✻✮

❚❤❡ ❘❡s✉❧t✿ ❆ ▼✉❧t✐❝♦r❡ ❈♦♦❧❡②✲❚✉❦❡② ❋❋❚

❘❡❝❛❧❧ t❤❡ ❈♦♦❧❡②✲❚✉❦❡② ❋❋❚ r✉❧❡✿

❉❋❚mn → (❉❋❚m ⊗ In)Dm,n(Im ⊗ ❉❋❚n)Lmn

m

❈♦♦❧❡②✲❚✉❦❡② ❋❋❚ ❛❞❛♣t❡❞ ❢♦r ❙❤❛r❡❞ ▼❡♠♦r②✿ ❉❋❚

s♠♣

❉❋❚ ❉❋❚

❚❤❡ ❘❡s✉❧t✿ ❆ ▼✉❧t✐❝♦r❡ ❈♦♦❧❡②✲❚✉❦❡② ❋❋❚

❘❡❝❛❧❧ t❤❡ ❈♦♦❧❡②✲❚✉❦❡② ❋❋❚ r✉❧❡✿

❉❋❚mn → (❉❋❚m ⊗ In)Dm,n(Im ⊗ ❉❋❚n)Lmn

m

❈♦♦❧❡②✲❚✉❦❡② ❋❋❚ ❛❞❛♣t❡❞ ❢♦r ❙❤❛r❡❞ ▼❡♠♦r②✿

❉❋❚mn

s♠♣(p,µ)

→ ((Lmp

m ⊗ In/pµ) ⊗ Iµ)(Ip ⊗ (❉❋❚m ⊗ In/p))((Lmp p

⊗ In/pµ) ⊗ Iµ) p−1

• i=0

Di

m,n

• (Ip ⊗ (Im/p ⊗ ❉❋❚n))(Ip ⊗ Lmn/p

m/p )

((Lpn

p ⊗ Im/pµ) ⊗ Iµ)

❉✐s❝✉ss✐♦♥

✷

P❡❝✉❧✐❛r✐t✐❡s ♦❢ ❋❋❚❲

❙t❛t❡✲♦❢✲t❤❡✲❛rt ♠✉❧t✐t❤r❡❛❞✐♥❣ ❉❋❚ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ❖♣t✐♠✐③❡❞ ❢♦r ❜✐❣ ♣r♦❜❧❡♠ s✐③❡s ❛♥❞ ♠❛♥② ♣r♦❝❡ss♦rs ✭♦✈❡r❤❡❛❞✮ ❉♦❡s ♥♦t ✉s❡ ✱ ❡①♣❧✐❝✐t❧②

❆❞✈❛♥t❛❣❡s ♦❢ ❙♣✐r❛❧

❊♥❛❜❧❡s ❤✐❣❤✲❧❡✈❡❧ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥s ❛♥❞ r❡❛s♦♥✐♥❣ ◆♦ ♥❡❡❞ ❢♦r ❧♦♦♣ ❛♥❛❧②s✐s ❆✉t♦♠❛t✐③❡s ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

✷s♦✉r❝❡✿ ❋❋❚ Pr♦❣r❛♠ ●❡♥❡r❛t✐♦♥ ❢♦r ❙❤❛r❡❞ ▼❡♠♦r②✿ ❙▼P ❛♥❞ ▼✉❧t✐❝♦r❡

❉✐s❝✉ss✐♦♥

✷ P❡❝✉❧✐❛r✐t✐❡s ♦❢ ❋❋❚❲ ◮ ❙t❛t❡✲♦❢✲t❤❡✲❛rt ♠✉❧t✐t❤r❡❛❞✐♥❣

❉❋❚ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

◮ ❖♣t✐♠✐③❡❞ ❢♦r ❜✐❣ ♣r♦❜❧❡♠ s✐③❡s

❛♥❞ ♠❛♥② ♣r♦❝❡ss♦rs ✭♦✈❡r❤❡❛❞✮

◮ ❉♦❡s ♥♦t ✉s❡ µ✱ p ❡①♣❧✐❝✐t❧②

❆❞✈❛♥t❛❣❡s ♦❢ ❙♣✐r❛❧

❊♥❛❜❧❡s ❤✐❣❤✲❧❡✈❡❧ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥s ❛♥❞ r❡❛s♦♥✐♥❣ ◆♦ ♥❡❡❞ ❢♦r ❧♦♦♣ ❛♥❛❧②s✐s ❆✉t♦♠❛t✐③❡s ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

✷s♦✉r❝❡✿ ❋❋❚ Pr♦❣r❛♠ ●❡♥❡r❛t✐♦♥ ❢♦r ❙❤❛r❡❞ ▼❡♠♦r②✿ ❙▼P ❛♥❞ ▼✉❧t✐❝♦r❡

❉✐s❝✉ss✐♦♥

✷ P❡❝✉❧✐❛r✐t✐❡s ♦❢ ❋❋❚❲ ◮ ❙t❛t❡✲♦❢✲t❤❡✲❛rt ♠✉❧t✐t❤r❡❛❞✐♥❣

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