rt qrtt - - PowerPoint PPT Presentation

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rt qrtt - - PowerPoint PPT Presentation

Nov 05, 2022 805 likes •1.58k views

trt rts rtts Prsts rt qrtt rs

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SLIDE 1

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ q✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s ❢♦r ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r ✵✲✶ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥

❊❧✐s❛❜❡t❤ ❘♦❞r✐❣✉❡③✲❍❡❝❦ ❛♥❞ ❨✈❡s ❈r❛♠❛

◗✉❛♥t❖▼✱ ❍❊❈ ▼❛♥❛❣❡♠❡♥t ❙❝❤♦♦❧✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ▲✐è❣❡ P❛rt✐❛❧❧② s✉♣♣♦rt❡❞ ❜② ❇❡❧s♣♦ ✲ ■❆P Pr♦❥❡❝t ❈❖▼❊❳

❏✉♥❡ ✷✵✶✺✱ ❚❯ ❉♦rt♠✉♥❞

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SLIDE 2

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❉❡✜♥✐t✐♦♥s

❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ Ps❡✉❞♦✲❇♦♦❧❡❛♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❆ ♣s❡✉❞♦✲❇♦♦❧❡❛♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❛ ♠❛♣♣✐♥❣ f : {✵, ✶}n → R✳ ▼✉❧t✐❧✐♥❡❛r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❊✈❡r② ♣s❡✉❞♦✲❇♦♦❧❡❛♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ f ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ✉♥✐q✉❡❧② ❜② ❛ ♠✉❧t✐❧✐♥❡❛r ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✭❍❛♠♠❡r✱ ❘♦s❡♥❜❡r❣✱ ❘✉❞❡❛♥✉ ❬✹❪✮✳ ❊①❛♠♣❧❡✿ f (x✶, x✷, x✸) = ✾x✶x✷x✸ + ✽x✶x✷ − ✻x✷x✸ + x✶ − ✷x✷ + x✸

✶ ✴ ✸✷

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SLIDE 3

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s

❈♦♠♣✉t❡r ✈✐s✐♦♥✿ ✐♠❛❣❡ r❡st♦r❛t✐♦♥ ❙✉♣♣❧② ❈❤❛✐♥ ❉❡s✐❣♥ ✇✐t❤ ❙t♦❝❤❛st✐❝ ■♥✈❡♥t♦r② ▼❛♥❛❣❡♠❡♥t ✭❥♦✐♥t ♠♦❞❡❧ ♦❢ ❋✳ ❨♦✉✱ ■✳ ❊✳ ●r♦ss♠❛♥✮ ❬✻❪

✷ ✴ ✸✷

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SLIDE 4

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

Ps❡✉❞♦✲❇♦♦❧❡❛♥ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥

▼❛♥② ♣r♦❜❧❡♠s ❢♦r♠✉❧❛t❡❞ ❛s ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣s❡✉❞♦✲❇♦♦❧❡❛♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ Ps❡✉❞♦✲❇♦♦❧❡❛♥ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♠✐♥

x∈{✵,✶}n f (x)

❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✐s NP✲❤❛r❞✱ ❡✈❡♥ ✐❢ f ✐s q✉❛❞r❛t✐❝ ✭▼❆❳✲✷✲❙❆❚✱ ▼❆❳✲❈❯❚ ♠♦❞❡❧❧❡❞ ❜② q✉❛❞r❛t✐❝ f ✮✳ ❆♣♣r♦❛❝❤❡s✿

▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥✿ st❛♥❞❛r❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ s♦❧✈❡ ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✳ ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥✿ ▼✉❝❤ ♣r♦❣r❡ss ❤❛s ❜❡❡♥ ❞♦♥❡ ❢♦r t❤❡ q✉❛❞r❛t✐❝ ❝❛s❡ ✭❡①❛❝t ❛❧❣♦r✐t❤♠s✱ ❤❡✉r✐st✐❝s✱ ♣♦❧②❤❡❞r❛❧ r❡s✉❧ts✳✳✳✮✳

✸ ✴ ✸✷

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SLIDE 5

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

Ps❡✉❞♦✲❇♦♦❧❡❛♥ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥

▼❛♥② ♣r♦❜❧❡♠s ❢♦r♠✉❧❛t❡❞ ❛s ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣s❡✉❞♦✲❇♦♦❧❡❛♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ Ps❡✉❞♦✲❇♦♦❧❡❛♥ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♠✐♥

x∈{✵,✶}n f (x)

❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✐s NP✲❤❛r❞✱ ❡✈❡♥ ✐❢ f ✐s q✉❛❞r❛t✐❝ ✭▼❆❳✲✷✲❙❆❚✱ ▼❆❳✲❈❯❚ ♠♦❞❡❧❧❡❞ ❜② q✉❛❞r❛t✐❝ f ✮✳ ❆♣♣r♦❛❝❤❡s✿

▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥✿ st❛♥❞❛r❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ s♦❧✈❡ ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✳ ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥✿ ▼✉❝❤ ♣r♦❣r❡ss ❤❛s ❜❡❡♥ ❞♦♥❡ ❢♦r t❤❡ q✉❛❞r❛t✐❝ ❝❛s❡ ✭❡①❛❝t ❛❧❣♦r✐t❤♠s✱ ❤❡✉r✐st✐❝s✱ ♣♦❧②❤❡❞r❛❧ r❡s✉❧ts✳✳✳✮✳

✸ ✴ ✸✷

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SLIDE 6

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s✿ r❡❞✉❝t✐♦♥s t♦ t❤❡ ❧✐♥❡❛r ❝❛s❡

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SLIDE 7

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❙t❛♥❞❛r❞ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ✭❙▲✮

♠✐♥

{✵,✶}n

  • S∈S

aS

  • k∈S

xk, S = {S ⊆ {✶, . . . , n} | aS = ✵} ✭♥♦♥✲❝♦♥st❛♥t ♠♦♥♦♠✐❛❧s✮ ✶✳ ❙✉❜st✐t✉t❡ ♠♦♥♦♠✐❛❧s

♠✐♥

  • S∈S

aSzS s✳t✳ zS =

  • k∈S

xk, ∀S ∈ S zS ∈ {✵, ✶}, ∀S ∈ S xk ∈ {✵, ✶}, ∀k = ✶, . . . , n

✷✳ ▲✐♥❡❛r✐③❡ ❝♦♥str❛✐♥ts

♠✐♥ s✳t✳ ✶ ✵ ✶ ✵ ✶ ✶

✹ ✴ ✸✷

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SLIDE 8

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❙t❛♥❞❛r❞ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ✭❙▲✮

♠✐♥

{✵,✶}n

  • S∈S

aS

  • k∈S

xk, S = {S ⊆ {✶, . . . , n} | aS = ✵} ✭♥♦♥✲❝♦♥st❛♥t ♠♦♥♦♠✐❛❧s✮ ✶✳ ❙✉❜st✐t✉t❡ ♠♦♥♦♠✐❛❧s

♠✐♥

  • S∈S

aSzS s✳t✳ zS =

  • k∈S

xk, ∀S ∈ S zS ∈ {✵, ✶}, ∀S ∈ S xk ∈ {✵, ✶}, ∀k = ✶, . . . , n

✷✳ ▲✐♥❡❛r✐③❡ ❝♦♥str❛✐♥ts

♠✐♥

  • S∈S

aSzS s✳t✳ zS ≤ xk, ∀k ∈ S, ∀S ∈ S zS ≥

  • k∈S

xk − (|S| − ✶), ∀S ∈ S zS ∈ {✵, ✶}, ∀S ∈ S xk ∈ {✵, ✶}, ∀k = ✶, . . . , n

✹ ✴ ✸✷

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SLIDE 9

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❙t❛♥❞❛r❞ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ✭❙▲✮

♠✐♥

{✵,✶}n

  • S∈S

aS

  • k∈S

xk, S = {S ⊆ {✶, . . . , n} | aS = ✵} ✭♥♦♥✲❝♦♥st❛♥t ♠♦♥♦♠✐❛❧s✮ ✶✳ ❙✉❜st✐t✉t❡ ♠♦♥♦♠✐❛❧s

♠✐♥

  • S∈S

aSzS s✳t✳ zS =

  • k∈S

xk, ∀S ∈ S zS ∈ {✵, ✶}, ∀S ∈ S xk ∈ {✵, ✶}, ∀k = ✶, . . . , n

✷✳ ▲✐♥❡❛r✐③❡ ❝♦♥str❛✐♥ts

♠✐♥

  • S∈S

aSzS s✳t✳ zS ≤ xk, ∀k ∈ S, ∀S ∈ S zS ≥

  • k∈S

xk − (|S| − ✶), ∀S ∈ S zS ∈ {✵, ✶}, ∀S ∈ S xk ∈ {✵, ✶}, ∀k = ✶, . . . , n

✹ ✴ ✸✷

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SLIDE 10

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❙t❛♥❞❛r❞ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ✭❙▲✮

♠✐♥

{✵,✶}n

  • S∈S

aS

  • k∈S

xk, S = {S ⊆ {✶, . . . , n} | aS = ✵} ✭♥♦♥✲❝♦♥st❛♥t ♠♦♥♦♠✐❛❧s✮ ✶✳ ❙✉❜st✐t✉t❡ ♠♦♥♦♠✐❛❧s

♠✐♥

  • S∈S

aSzS s✳t✳ zS =

  • k∈S

xk, ∀S ∈ S zS ∈ {✵, ✶}, ∀S ∈ S xk ∈ {✵, ✶}, ∀k = ✶, . . . , n

✸✳ ▲✐♥❡❛r r❡❧❛①❛t✐♦♥

♠✐♥

  • S∈S

aSzS s✳t✳ zS ≤ xk, ∀k ∈ S, ∀S ∈ S zS ≥

  • k∈S

xk − (|S| − ✶), ∀S ∈ S ✵ ≤ zS ≤ ✶, ∀S ∈ S ✵ ≤ xk ≤ ✶, ∀k = ✶, . . . , n

✹ ✴ ✸✷

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SLIDE 11

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

■♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥s ✭■❙✮ ✭♦♥❡ ♠♦♥♦♠✐❛❧✮

❙▲ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ zS =

  • k∈S

xk ❙▲ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ zS ≤ xk, ∀k ∈ S zS ≥

  • k∈S

xk − (|S| − ✶) ■❙ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ zS = zA

  • k∈S\A

xk zA =

  • k∈A

xk ■❙ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ✶

✺ ✴ ✸✷

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SLIDE 12

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

■♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥s ✭■❙✮ ✭♦♥❡ ♠♦♥♦♠✐❛❧✮

❙▲ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ zS =

  • k∈S

xk ❙▲ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ zS ≤ xk, ∀k ∈ S zS ≥

  • k∈S

xk − (|S| − ✶) ■❙ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ zS = zA

  • k∈S\A

xk zA =

  • k∈A

xk ■❙ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ zS ≤ xk, ∀k ∈ S\A zS ≤ zA, zS ≥ zA +

  • k∈S\A

xk − |S\A|, zA ≤ xk, ∀k ∈ A zA ≥

  • k∈A

xk − (|A| − ✶).

✺ ✴ ✸✷

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SLIDE 13

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

■♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥s ✭■❙✮ ✭♦♥❡ ♠♦♥♦♠✐❛❧✮

❙▲ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ zS =

  • k∈S

xk ❙▲ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ zS ≤ xk, ∀k ∈ S zS ≥

  • k∈S

xk − (|S| − ✶) ■❙ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ zS = zA

  • k∈S\A

xk zA =

  • k∈A

xk ■❙ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ zS ≤ xk, ∀k ∈ S\A zS ≤ zA, zS ≥ zA +

  • k∈S\A

xk − |S\A|, zA ≤ xk, ∀k ∈ A zA ≥

  • k∈A

xk − (|A| − ✶).

✺ ✴ ✸✷

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SLIDE 14

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

■♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ❙✉❜st✐t✉t✐♦♥s ✭■❙✮ ✭♦♥❡ ♠♦♥♦♠✐❛❧✮

P♦❧②t♦♣❡ PSL,✶ ⊆ Rn+✶ zS ≤ xk, ∀k ∈ S zS ≥

  • k∈S

xk − (|S| − ✶) ✵ ≤ xk ≤ ✶, ∀k = ✶, . . . , n ✵ ≤ zS ≤ ✶, ∀S ∈ S P♦❧②t♦♣❡ PIS,✶ ⊆ Rn+✷ zS ≤ xk, ∀k ∈ S\A zS ≤ zA, zS ≥ zA +

  • k∈S\A

xk − |S\A|, zA ≤ xk, ∀k ∈ A zA ≥

  • k∈A

xk − (|A| − ✶). ✵ ≤ xk ≤ ✶, ∀k = ✶, . . . , n ✵ ≤ zS ≤ ✶, ∀S ∈ S

✻ ✴ ✸✷

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SLIDE 15

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❈❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥s✿ ❋♦✉r✐❡r✲▼♦t③❦✐♥ ❊❧✐♠✐♥❛t✐♦♥

◆♦t❛t✐♦♥ Pn,S✿ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ♦✈❡r t❤❡ s♣❛❝❡ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s zS ❛♥❞ xk, k = ✶, . . . , n✳

❲❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ Pn,S(PIS,✶) ✉s✐♥❣ t❤❡ ❋♦✉r✐❡r✲▼♦t③❦✐♥ ❊❧✐♠✐♥❛t✐♦♥✿ zS ≤ zA

  • k∈A

xk − (|A| − ✶) ≤ zA zA ≤ xk, ∀k ∈ A zA ≤ zS −

  • k∈S\A

xk + |S\A|. ❲❡ ❛❧s♦ t❛❦❡ ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t t❤❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ♦❢ PIS,✶ t❤❛t ❞♦ ♥♦t ✐♥✈♦❧✈❡ zA zS ≤ xk, ∀k ∈ S\A

✼ ✴ ✸✷

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SLIDE 16

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❙✐♥❣❧❡ ♠♦♥♦♠✐❛❧s

❚❤❡♦r❡♠ Pn,S(PIS,✶) = PSL,✶

❚❤❡♦r❡♠ ❤♦❧❞s ❢♦r ❞✐s❥♦✐♥t s❡✈❡r❛❧ ♠♦♥♦♠✐❛❧s✿ zS =

k∈S xk✱ zT = k∈T xk✱ t❛❦❡ A ⊆ S✱ B ⊆ T✳

zS = zS

A

  • k∈S\A

xk zS

A =

  • k∈A

xk zT = zT

B

  • k∈T\B

xk zT

B =

  • k∈B

xk ▲✐♥❡❛r✐③❡✱ ❛♥❞ ❛♣♣❧② ❋♦✉r✐❡r✲▼♦t③❦✐♥ ❛s ❜❡❢♦r❡ ✭❝♦♥str❛✐♥ts ♥❡✈❡r ❝♦♥t❛✐♥ ❛t t❤❡ s❛♠❡ t✐♠❡ zS

A ❛♥❞ zT B ✮✳ ✽ ✴ ✸✷

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SLIDE 17

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❙✐♥❣❧❡ ♠♦♥♦♠✐❛❧s

❚❤❡♦r❡♠ Pn,S(PIS,✶) = PSL,✶

❚❤❡♦r❡♠ ❤♦❧❞s ❢♦r ❞✐s❥♦✐♥t s❡✈❡r❛❧ ♠♦♥♦♠✐❛❧s✿ zS =

k∈S xk✱ zT = k∈T xk✱ t❛❦❡ A ⊆ S✱ B ⊆ T✳

zS = zS

A

  • k∈S\A

xk zS

A =

  • k∈A

xk zT = zT

B

  • k∈T\B

xk zT

B =

  • k∈B

xk ▲✐♥❡❛r✐③❡✱ ❛♥❞ ❛♣♣❧② ❋♦✉r✐❡r✲▼♦t③❦✐♥ ❛s ❜❡❢♦r❡ ✭❝♦♥str❛✐♥ts ♥❡✈❡r ❝♦♥t❛✐♥ ❛t t❤❡ s❛♠❡ t✐♠❡ zS

A ❛♥❞ zT B ✮✳ ✽ ✴ ✸✷

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SLIDE 18

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❙❡✈❡r❛❧ ♠♦♥♦♠✐❛❧s ✇✐t❤ ❝♦♠♠♦♥ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥

❲❤❛t ❤❛♣♣❡♥s ✇✐t❤ ♥♦♥✲❞✐s❥♦✐♥t ♠♦♥♦♠✐❛❧s❄ A ⊆ S ∩ T✱ ✭|A| ≥ ✷✮✳

zS = zA

  • k∈S\A

xk zT = zA

  • k∈T\A

xk zA =

  • k∈A

xk, ✶

✾ ✴ ✸✷

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SLIDE 19

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❙❡✈❡r❛❧ ♠♦♥♦♠✐❛❧s ✇✐t❤ ❝♦♠♠♦♥ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥

❲❤❛t ❤❛♣♣❡♥s ✇✐t❤ ♥♦♥✲❞✐s❥♦✐♥t ♠♦♥♦♠✐❛❧s❄ A ⊆ S ∩ T✱ ✭|A| ≥ ✷✮✳

zS = zA

  • k∈S\A

xk zT = zA

  • k∈T\A

xk zA =

  • k∈A

xk, zS ≤ xk, ∀k ∈ S\A zS ≤ zA zS ≥ zA +

  • k∈S\A

xk − |S\A| zT ≤ xk, ∀k ∈ T\A zT ≤ zA zT ≥ zA +

  • k∈T\A

xk − |T\A| zA ≤ xk, ∀k ∈ A zA ≥

  • k∈A

xk − (|A| − ✶).

✾ ✴ ✸✷

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SLIDE 20

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❙❡✈❡r❛❧ ♠♦♥♦♠✐❛❧s ✇✐t❤ ❝♦♠♠♦♥ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥

❲❤❛t ❤❛♣♣❡♥s ✇✐t❤ ♥♦♥✲❞✐s❥♦✐♥t ♠♦♥♦♠✐❛❧s❄ A ⊆ S ∩ T✱ ✭|A| ≥ ✷✮✳

zS = zA

  • k∈S\A

xk zT = zA

  • k∈T\A

xk zA =

  • k∈A

xk, zS ≤ xk, ∀k ∈ S\A zS ≤ zA zS ≥ zA +

  • k∈S\A

xk − |S\A| zT ≤ xk, ∀k ∈ T\A zT ≤ zA zT ≥ zA +

  • k∈T\A

xk − |T\A| zA ≤ xk, ∀k ∈ A zA ≥

  • k∈A

xk − (|A| − ✶).

✾ ✴ ✸✷

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SLIDE 21

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❙❡✈❡r❛❧ ♠♦♥♦♠✐❛❧s ✇✐t❤ ❝♦♠♠♦♥ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥

❲❤❛t ❤❛♣♣❡♥s ✇✐t❤ ♥♦♥✲❞✐s❥♦✐♥t ♠♦♥♦♠✐❛❧s❄ A ⊆ S ∩ T✱ ✭|A| ≥ ✷✮✳

zS = zA

  • k∈S\A

xk zT = zA

  • k∈T\A

xk zA =

  • k∈A

xk, zS ≤ xk, ∀k ∈ S\A zS ≤ zA zS≥ zA +

  • k∈S\A

xk − |S\A| zT ≤ xk, ∀k ∈ T\A zT≤ zA zT ≥ zA +

  • k∈T\A

xk − |T\A| zA ≤ xk, ∀k ∈ A zA ≥

  • k∈A

xk − (|A| − ✶).

✾ ✴ ✸✷

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SLIDE 22

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❙❡✈❡r❛❧ ♠♦♥♦♠✐❛❧s ✇✐t❤ ❝♦♠♠♦♥ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥

❲❤❛t ❤❛♣♣❡♥s ✇✐t❤ ♥♦♥✲❞✐s❥♦✐♥t ♠♦♥♦♠✐❛❧s❄ A ⊆ S ∩ T✱ ✭|A| ≥ ✷✮✳

zS = zA

  • k∈S\A

xk zT = zA

  • k∈T\A

xk zA =

  • k∈A

xk, zS ≤ xk, ∀k ∈ S\A zS≤ zA zS≥ zA +

  • k∈S\A

xk − |S\A| zT ≤ xk, ∀k ∈ T\A zT≤ zA zT≥ zA +

  • k∈T\A

xk − |T\A| zA ≤ xk, ∀k ∈ A zA ≥

  • k∈A

xk − (|A| − ✶).

✾ ✴ ✸✷

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SLIDE 23

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❙❡✈❡r❛❧ ♠♦♥♦♠✐❛❧s ✇✐t❤ ❝♦♠♠♦♥ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥

❚❤❡♦r❡♠ Pn,S,T(PIS) ⊂ PSL

Pr♦♦❢✿

✶

❋♦✉r✐❡r✲▼♦t③❦✐♥ ❣✐✈❡s✿ ③❙ ≤ ③❚ −

  • ❦∈❚\❆

①❦ + |❚\❆|, ✭✶✮ ③❚ ≤ ③❙ −

  • ❦∈❙\❆

①❦ + |❙\❆|, ✭✷✮

✷

Pn,S,T(PIS) = PSL ∩ {(xk, zS, zT) | (✶), (✷) ❛r❡ s❛t✐s✜❡❞}

✸

P♦✐♥t xk = ✶ ❢♦r k / ∈ A✱ xk = ✶

✷ ❢♦r k ∈ A✱ zS = ✵✱ zT = ✶ ✷✱ ✐s ✐♥ PSL ❜✉t ❞♦❡s ♥♦t

s❛t✐s❢② ✭✷✮✳

✶✵ ✴ ✸✷

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SLIDE 24

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

▲❛r❣❡r s✉❜s❡t s✉❜st✐t✉t✐♦♥s ❛r❡ ❜❡tt❡r

❈♦♥s✐❞❡r B ⊂ A ⊆ S ∩ T✱ |B| ≥ ✷✳

✶

❚❛❦❡ t❤❡ ✜rst ❝✉t ❢♦r ❜♦t❤ s✉❜s❡ts✿ zS ≤ zT −

k∈T\A xk + |T\A|✱

zS ≤ zT −

k∈T\B xk + |T\B|✱ ✷

zS ≤ zT −

  • k∈T\A

xk + |T\A| ≤ ≤ zT −

  • k∈T\A

xk + |T\A| −

  • k∈A\B

xk + |A\B| = = zT −

  • k∈T\B

xk + |T\B|.

✶✶ ✴ ✸✷

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SLIDE 25

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

▲❛r❣❡r s✉❜s❡t s✉❜st✐t✉t✐♦♥s ❛r❡ ❜❡tt❡r

❚❤❡♦r❡♠ Pn,S,T(PA

IS) ⊂ Pn,S,T(PB IS).

✭P♦✐♥t xk = ✶ ❢♦r k / ∈ A✱ xk = ✶

✷ ❢♦r k ∈ A\B, k ∈ B✱ zT = ✵✱ zS = ✶ ✷ s❛t✐s✜❡s ❝✉t ❢♦r B

❜✉t ♥♦t ❢♦r A✳✮

❈♦r♦❧❧❛r② ❈♦♥s✐❞❡r t❤r❡❡ ♠♦♥♦♠✐❛❧s R✱ S✱ T✱ ✇✐t❤ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥s R ∩ S = A✱ S ∩ T = B✱ R ∩ T = C✱ ✭|A|, |B|, |C| ≥ ✷✮✳ ❚❤❡♥ ✐t ✐s ❜❡tt❡r t♦ ❞♦ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ t✇♦✲❜②✲t✇♦ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥s✱ t❤❛♥ ❛ s✐♥❣❧❡ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ A ∩ B ∩ C✳

✶✷ ✴ ✸✷

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SLIDE 26

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

▲❛r❣❡r s✉❜s❡t s✉❜st✐t✉t✐♦♥s ❛r❡ ❜❡tt❡r

❚❤❡♦r❡♠ Pn,S,T(PA

IS) ⊂ Pn,S,T(PB IS).

✭P♦✐♥t xk = ✶ ❢♦r k / ∈ A✱ xk = ✶

✷ ❢♦r k ∈ A\B, k ∈ B✱ zT = ✵✱ zS = ✶ ✷ s❛t✐s✜❡s ❝✉t ❢♦r B

❜✉t ♥♦t ❢♦r A✳✮

❈♦r♦❧❧❛r② ❈♦♥s✐❞❡r t❤r❡❡ ♠♦♥♦♠✐❛❧s R✱ S✱ T✱ ✇✐t❤ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥s R ∩ S = A✱ S ∩ T = B✱ R ∩ T = C✱ ✭|A|, |B|, |C| ≥ ✷✮✳ ❚❤❡♥ ✐t ✐s ❜❡tt❡r t♦ ❞♦ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ t✇♦✲❜②✲t✇♦ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥s✱ t❤❛♥ ❛ s✐♥❣❧❡ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ A ∩ B ∩ C✳

✶✷ ✴ ✸✷

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SLIDE 27

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

■♠♣r♦✈✐♥❣ t❤❡ ❙▲ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥✿ ✷✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts

❙▲ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ✷✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts

♠✐♥

  • S∈S

aSzS s✳t✳ zS ≤ xk, ∀k ∈ S, ∀S ∈ S zS ≥

  • k∈S

xk − (|S| − ✶), ∀S ∈ S ③❙ ≤ ③❚ −

  • ❦∈❚\❙

①❦ + |❚\❙| ∀❙, ❚, |❙ ∩ ❚| ≥ ✷ ③❚ ≤ ③❙ −

  • ❦∈❙\❚

①❦ + |❙\❚| ∀❙, ❚, |❙ ∩ ❚| ≥ ✷ ✵ ≤ zS ≤ ✶, ∀S ∈ S ✵ ≤ xk ≤ ✶ ∀k = ✶, . . . , n

✶✸ ✴ ✸✷

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SLIDE 28

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❍♦✇ str♦♥❣ ❛r❡ t❤❡ ✷✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts❄

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ♣♦❧②t♦♣❡✿

Pconv

SL

= ❝♦♥✈{(x, yS) ∈ {✵, ✶}n+|S| | yS =

  • i∈S

xi, ∀S ∈ S} = ❝♦♥✈{(x, yS) ∈ {✵, ✶}n+|S| | yS ≤ xi, yS ≥

  • i∈S

xi − (|S| − ✶), ∀S ∈ S}, ❛♥❞ ✐ts ❧✐♥❡❛r r❡❧❛①❛t✐♦♥ PSL = {(x, yS) ∈ [✵, ✶]n+|S| | yS ≤ xi, yS ≥

  • i∈S

xi − (|S| − ✶), ∀S ∈ S} ◗✉❡st✐♦♥ ✶✿ ❆r❡ t❤❡ ✷✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts ❢❛❝❡t✲❞❡✜♥✐♥❣ ❢♦r Pconv

SL

❄ ◗✉❡st✐♦♥ ✷✿ ■s t❤❡r❡ s♦♠❡ ❝❛s❡ ❢♦r ✇❤✐❝❤ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ✇❤❡♥ ❛❞❞✐♥❣ t❤❡ ✷✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts t♦ ❄

✶✹ ✴ ✸✷

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SLIDE 29

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❍♦✇ str♦♥❣ ❛r❡ t❤❡ ✷✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts❄

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ♣♦❧②t♦♣❡✿

Pconv

SL

= ❝♦♥✈{(x, yS) ∈ {✵, ✶}n+|S| | yS =

  • i∈S

xi, ∀S ∈ S} = ❝♦♥✈{(x, yS) ∈ {✵, ✶}n+|S| | yS ≤ xi, yS ≥

  • i∈S

xi − (|S| − ✶), ∀S ∈ S}, ❛♥❞ ✐ts ❧✐♥❡❛r r❡❧❛①❛t✐♦♥ PSL = {(x, yS) ∈ [✵, ✶]n+|S| | yS ≤ xi, yS ≥

  • i∈S

xi − (|S| − ✶), ∀S ∈ S} ◗✉❡st✐♦♥ ✶✿ ❆r❡ t❤❡ ✷✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts ❢❛❝❡t✲❞❡✜♥✐♥❣ ❢♦r Pconv

SL

❄ ◗✉❡st✐♦♥ ✷✿ ■s t❤❡r❡ s♦♠❡ ❝❛s❡ ❢♦r ✇❤✐❝❤ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ Pconv

SL

✇❤❡♥ ❛❞❞✐♥❣ t❤❡ ✷✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts t♦ PSL❄

✶✹ ✴ ✸✷

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SLIDE 30

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❍♦✇ str♦♥❣ ❛r❡ t❤❡ ✷✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts❄

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ♣♦❧②t♦♣❡✿

Pconv

SL

= ❝♦♥✈{(x, yS) ∈ {✵, ✶}n+|S| | yS =

  • i∈S

xi, ∀S ∈ S} = ❝♦♥✈{(x, yS) ∈ {✵, ✶}n+|S| | yS ≤ xi, yS ≥

  • i∈S

xi − (|S| − ✶), ∀S ∈ S}, ❛♥❞ ✐ts ❧✐♥❡❛r r❡❧❛①❛t✐♦♥ PSL = {(x, yS) ∈ [✵, ✶]n+|S| | yS ≤ xi, yS ≥

  • i∈S

xi − (|S| − ✶), ∀S ∈ S} ◗✉❡st✐♦♥ ✶✿ ❆r❡ t❤❡ ✷✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts ❢❛❝❡t✲❞❡✜♥✐♥❣ ❢♦r Pconv

SL

❄ ◗✉❡st✐♦♥ ✷✿ ■s t❤❡r❡ s♦♠❡ ❝❛s❡ ❢♦r ✇❤✐❝❤ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ Pconv

SL

✇❤❡♥ ❛❞❞✐♥❣ t❤❡ ✷✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts t♦ PSL❄

✶✹ ✴ ✸✷

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SLIDE 31

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❋❛❝❡t✲❞❡✜♥✐♥❣ ❝✉ts ✭✷ ♠♦♥♦♠✐❛❧s✮

❚❤❡♦r❡♠✿ ✷✲t❡r♠ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❚❤❡ ✷✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts ❛r❡ ❢❛❝❡t✲❞❡✜♥✐♥❣ ❢♦r Pconv

SL,✷ ✿

zS ≤ zT −

  • k∈T\S

xk + |T\S| zT ≤ zS −

  • k∈S\T

xk + |S\T|

✶✺ ✴ ✸✷

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SLIDE 32

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❋❛❝❡t✲❞❡✜♥✐♥❣ ❝✉ts ✭✷ ♠♦♥♦♠✐❛❧s✮

❙♣❡❝✐❛❧ ❢♦r♠s ♦❢ t❤❡ ❝✉ts ✐♥ s♦♠❡ ❝❛s❡s✿

✶ ■❢ S ⊆ T✱

zS ≤ zT −

  • k∈T\S

xk + |T\S| zT ≤ zS

✷ ■❢ T = ∅ ✭❛♥❞ s❡tt✐♥❣ ❜② ❞❡✜♥✐t✐♦♥ z∅ = ✶✮✱

zS ≤ ✶ ✶ ≤ zS −

  • i∈S

xi + |S|

✶✻ ✴ ✸✷

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SLIDE 33

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❈♦♥❥❡❝t✉r❡ ♦♥ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ✭✷ ♠♦♥♦♠✐❛❧s✮

❈♦♥❥❡❝t✉r❡ ❈♦♥s✐❞❡r ❛ ♣s❡✉❞♦✲❇♦♦❧❡❛♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝♦♥s✐st✐♥❣ ♦❢ t✇♦ t❡r♠s✱ ✐ts st❛♥❞❛r❞ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ♣♦❧②t♦♣❡ Pconv

SL,✷ ❛♥❞ ✐ts ❧✐♥❡❛r r❡❧❛①❛t✐♦♥ PSL,✷✳ ❚❤❡♥✱

Pconv

SL,✷ = PSL,✷ ∩ {(x, yS, yT) ∈ [✵, ✶]n+✷ | ✷✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts ❛r❡ s❛t✐s✜❡❞}.

✶✼ ✴ ✸✷

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SLIDE 34

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❋❛❝❡t✲❞❡✜♥✐♥❣ ❝✉ts ✭♥❡st❡❞ ♠♦♥♦♠✐❛❧s✮

❚❤❡♦r❡♠✿ ◆❡st❡❞ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ t❡r♠s ❈♦♥s✐❞❡r ❛ ♣s❡✉❞♦✲❇♦♦❧❡❛♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ f (x) =

l∈L aS(l)

  • i∈S(l) xi✱ s✉❝❤ t❤❛t

S(✶) ⊆ S(✷) ⊆ · · · ⊆ S(|L|)✱ ❛♥❞ ✐ts st❛♥❞❛r❞ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ♣♦❧②t♦♣❡ Pconv

SL,nest✳

❚❤❡ ✷✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts zS(l) ≤ zS(l+✶) −

  • k∈S(l+✶)\S(l)

xk + |S(l+✶)\S(l)| zS(l+✶) ≤ zS(l), ❛r❡ ❢❛❝❡t✲❞❡✜♥✐♥❣ ❢♦r Pconv

SL,nest ❢♦r t✇♦ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠♦♥♦♠✐❛❧s ✐♥ t❤❡ ♥❡st

✭❛♥❞ ❝✉ts ❛r❡ r❡❞✉♥❞❛♥t ❢♦r ♥♦♥✲❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠♦♥♦♠✐❛❧s✮✳

✶✽ ✴ ✸✷

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SLIDE 35

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❈♦♥❥❡❝t✉r❡s ❢♦r m ♠♦♥♦♠✐❛❧s

❈♦♥❥❡❝t✉r❡✿ ❢❛❝❡t✲❞❡✜♥✐♥❣ ❚❤❡ ✷✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts ❛r❡ ❢❛❝❡t✲❞❡✜♥✐♥❣ ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ m ♠♦♥♦♠✐❛❧s✳ ❈♦♥✈❡①✲❤✉❧❧ ❢♦r t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❝❛s❡ ❚❤❡ ✷✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts ❛♥❞ st❛♥❞❛r❞ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❛r❡ ♥♦t ❡♥♦✉❣❤ t♦ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ Pconv

SL

✭♦t❤❡r✇✐s❡ ✇❡ ❝♦✉❧❞ s♦❧✈❡ ❛♥ NP✲❤❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❡✣❝✐❡♥t❧②✳✳✳✮✳ ✸✱ s❡t ♦❢ ✸ ♠♦♥♦♠✐❛❧s ❢♦r ✇❤✐❝❤ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ❤❛s ❛ ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ♦♣t✐♠❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ♦♥ ✷✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts ✿

✶ ✷ ✹ ✶ ✸ ✹ ✶ ✷ ✸

✶✾ ✴ ✸✷

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SLIDE 36

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❈♦♥❥❡❝t✉r❡s ❢♦r m ♠♦♥♦♠✐❛❧s

❈♦♥❥❡❝t✉r❡✿ ❢❛❝❡t✲❞❡✜♥✐♥❣ ❚❤❡ ✷✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts ❛r❡ ❢❛❝❡t✲❞❡✜♥✐♥❣ ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ m ♠♦♥♦♠✐❛❧s✳ ❈♦♥✈❡①✲❤✉❧❧ ❢♦r t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❝❛s❡ ❚❤❡ ✷✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts ❛♥❞ st❛♥❞❛r❞ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❛r❡ ♥♦t ❡♥♦✉❣❤ t♦ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ Pconv

SL

✭♦t❤❡r✇✐s❡ ✇❡ ❝♦✉❧❞ s♦❧✈❡ ❛♥ NP✲❤❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❡✣❝✐❡♥t❧②✳✳✳✮✳ m = ✸✱ s❡t ♦❢ ✸ ♠♦♥♦♠✐❛❧s ❢♦r ✇❤✐❝❤ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ❤❛s ❛ ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ♦♣t✐♠❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ♦♥ PSL ∩ {✷✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts}✿ {x✶x✷x✹, x✶x✸x✹, x✶x✷x✸}

✶✾ ✴ ✸✷

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SLIDE 37

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❈♦♥❥❡❝t✉r❡s ❢♦r m ♠♦♥♦♠✐❛❧s

❈♦♥❥❡❝t✉r❡✿ ❢❛❝❡t✲❞❡✜♥✐♥❣ ❚❤❡ ✷✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts ❛r❡ ❢❛❝❡t✲❞❡✜♥✐♥❣ ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ m ♠♦♥♦♠✐❛❧s✳ ❈♦♥✈❡①✲❤✉❧❧ ❢♦r t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❝❛s❡ ❚❤❡ ✷✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts ❛♥❞ st❛♥❞❛r❞ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❛r❡ ♥♦t ❡♥♦✉❣❤ t♦ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ Pconv

SL

✭♦t❤❡r✇✐s❡ ✇❡ ❝♦✉❧❞ s♦❧✈❡ ❛♥ NP✲❤❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❡✣❝✐❡♥t❧②✳✳✳✮✳ m = ✸✱ s❡t ♦❢ ✸ ♠♦♥♦♠✐❛❧s ❢♦r ✇❤✐❝❤ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ❤❛s ❛ ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ♦♣t✐♠❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ♦♥ PSL ∩ {✷✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts}✿ {x✶x✷x✹, x✶x✸x✹, x✶x✷x✸}

✶✾ ✴ ✸✷

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SLIDE 38

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❆ ✭✈❛❣✉❡✮ ✐❞❡❛ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ❢♦r t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❝❛s❡

■❞❡❛ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧

♠✐♥

  • S∈S

aSzS s✳t✳ ❙▲✲❝♦♥str❛✐♥ts✿ ❧✐♥❦✐♥❣ ❛ t❡r♠ ✇✐t❤ ✐ts ✈❛r✐❛❜❧❡s ✷✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✿ ❧✐♥❦✐♥❣ t❡r♠s ✷ ❜② ✷ ✸✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✿ ❧✐♥❦✐♥❣ t❡r♠s ✸ ❜② ✸ . . . ✵ ≤ zS ≤ ✶, ∀S ∈ S ✵ ≤ xk ≤ ✶ ∀k = ✶, . . . , n

✷✵ ✴ ✸✷

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SLIDE 39

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❖♥❡ ✇❛② ♦❢ ✈✐❡✇✐♥❣ t❤❡ ❞✐✣❝✉❧t② ♦❢ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧

❋♦r ✸ ♠♦♥♦♠✐❛❧s ✇❡ ❛❧r❡❛❞② ❤❛✈❡ ♠❛♥② ❞✐✛❡r❡♥t ♣♦ss✐❜❧❡ ✇❛②s ❢♦r t❤❡♠ t♦ ✐♥t❡rs❡❝t✿

✷✶ ✴ ✸✷

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SLIDE 40

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❆ s❤♦rt s✉♠♠❛r② ♦❢ t❤❡ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ♣❛rt ❛♥❞ s♦♠❡ ✐❞❡❛s

❲❡ ❤❛✈❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ❝✉ts ❢♦r PSL ❜② ❛♣♣❧②✐♥❣ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥s ❢♦r s✉❜s❡ts ♦❢ s✐③❡ ≥ ✷✳ ❲❡ ❝♦✉❧❞ ❛♣♣❧② ✐t❡r❛t✐✈❡❧② t❤❡s❡ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥s✱ t❤❡ ❧❛st s✉❜st✐t✉t✐♦♥ st❡♣ ❤❛s ♦♥❧② q✉❛❞r❛t✐❝ ❝♦♥str❛✐♥ts

zij = xixj, ziJ = xizJ, zIJ = zIzJ, x✿ ♦r✐❣✐♥❛❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s✱ z✿ ✈❛r✐❛❜❧❡s t❤❛t ❛r❡ ❛❧r❡❛❞② s✉❜st✐t✉t✐♦♥s ♦❢ ♦t❤❡r s✉❜s❡ts✳

❖♣❡♥ q✉❡st✐♦♥s✿

❍♦✇ ♠❛♥② ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥s ♣r♦✈✐❞❡ ♣r❛❝t✐❝❛❧ ✐♠♣r♦✈❡♠❡♥ts❄ ❘❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ♦❢ t❤✐s q✉❛❞r❛t✐❝❛❧❧② ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❣r❛♠ ✇✐t❤ q✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s✳

✷✷ ✴ ✸✷

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SLIDE 41

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❆ s❤♦rt s✉♠♠❛r② ♦❢ t❤❡ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ♣❛rt ❛♥❞ s♦♠❡ ✐❞❡❛s

❲❡ ❤❛✈❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ❝✉ts ❢♦r PSL ❜② ❛♣♣❧②✐♥❣ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥s ❢♦r s✉❜s❡ts ♦❢ s✐③❡ ≥ ✷✳ ❲❡ ❝♦✉❧❞ ❛♣♣❧② ✐t❡r❛t✐✈❡❧② t❤❡s❡ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥s✱ t❤❡ ❧❛st s✉❜st✐t✉t✐♦♥ st❡♣ ❤❛s ♦♥❧② q✉❛❞r❛t✐❝ ❝♦♥str❛✐♥ts

zij = xixj, ziJ = xizJ, zIJ = zIzJ, x✿ ♦r✐❣✐♥❛❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s✱ z✿ ✈❛r✐❛❜❧❡s t❤❛t ❛r❡ ❛❧r❡❛❞② s✉❜st✐t✉t✐♦♥s ♦❢ ♦t❤❡r s✉❜s❡ts✳

❖♣❡♥ q✉❡st✐♦♥s✿

❍♦✇ ♠❛♥② ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥s ♣r♦✈✐❞❡ ♣r❛❝t✐❝❛❧ ✐♠♣r♦✈❡♠❡♥ts❄ ❘❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ♦❢ t❤✐s q✉❛❞r❛t✐❝❛❧❧② ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❣r❛♠ ✇✐t❤ q✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s✳

✷✷ ✴ ✸✷

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SLIDE 42

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❆ s❤♦rt s✉♠♠❛r② ♦❢ t❤❡ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ♣❛rt ❛♥❞ s♦♠❡ ✐❞❡❛s

❲❡ ❤❛✈❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ❝✉ts ❢♦r PSL ❜② ❛♣♣❧②✐♥❣ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥s ❢♦r s✉❜s❡ts ♦❢ s✐③❡ ≥ ✷✳ ❲❡ ❝♦✉❧❞ ❛♣♣❧② ✐t❡r❛t✐✈❡❧② t❤❡s❡ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥s✱ t❤❡ ❧❛st s✉❜st✐t✉t✐♦♥ st❡♣ ❤❛s ♦♥❧② q✉❛❞r❛t✐❝ ❝♦♥str❛✐♥ts

zij = xixj, ziJ = xizJ, zIJ = zIzJ, x✿ ♦r✐❣✐♥❛❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s✱ z✿ ✈❛r✐❛❜❧❡s t❤❛t ❛r❡ ❛❧r❡❛❞② s✉❜st✐t✉t✐♦♥s ♦❢ ♦t❤❡r s✉❜s❡ts✳

❖♣❡♥ q✉❡st✐♦♥s✿

❍♦✇ ♠❛♥② ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥s ♣r♦✈✐❞❡ ♣r❛❝t✐❝❛❧ ✐♠♣r♦✈❡♠❡♥ts❄ ❘❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ♦❢ t❤✐s q✉❛❞r❛t✐❝❛❧❧② ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❣r❛♠ ✇✐t❤ q✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s✳

✷✷ ✴ ✸✷

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

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x∈{✵,✶}✹ ✸x✶x✷x✸x✹ + ✷x✶x✷x✺ − ✺x✶x✷ + ✻x✸x✹ − x✶ + x✷ − x✸ + x✹

❘♦s❡♥❜❡r❣ ✭♣❡♥❛❧t✐❡s✮✿ ■t❡r❛t✐♦♥ ✶ ♠✐♥

x∈{✵,✶}✹,y✶✷∈{✵,✶}✸y✶✷x✸x✹ + ✷y✶✷x✺ − ✺y✶✷ + ✻x✸x✹ − x✶ + x✷ − x✸ + x✹

+▼✶(①✶①✷ − ✷①✶②✶✷ − ✷①✷②✶✷ + ✸②✶✷) ❚❤❡ ♣❡♥❛❧t② ✈❛♥✐s❤❡s ✐❢

✶✷ ✶ ✷✿ ✶✷

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✵ ❛♥❞ ❜♦t❤

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞s✿ ❘♦s❡♥❜❡r❣ ✭❊①❛♠♣❧❡✮

♠✐♥

x∈{✵,✶}✹ ✸x✶x✷x✸x✹ + ✷x✶x✷x✺ − ✺x✶x✷ + ✻x✸x✹ − x✶ + x✷ − x✸ + x✹

❘♦s❡♥❜❡r❣ ✭♣❡♥❛❧t✐❡s✮✿ ■t❡r❛t✐♦♥ ✶ ♠✐♥

x∈{✵,✶}✹,y✶✷∈{✵,✶}✸y✶✷x✸x✹ + ✷y✶✷x✺ − ✺y✶✷ + ✻x✸x✹ − x✶ + x✷ − x✸ + x✹

+▼✶(①✶①✷ − ✷①✶②✶✷ − ✷①✷②✶✷ + ✸②✶✷) ❚❤❡ ♣❡♥❛❧t② ✈❛♥✐s❤❡s ✐❢ y✶✷ = x✶x✷✿ y✶✷ = ✵ ❛♥❞ x✶ = ✵ ✭♦r x✷ = ✵✮✿ ❛❧❧ t❡r♠s ✈❛♥✐s❤✱ y✶✷ = ✶ ❛♥❞ ❜♦t❤ x✶ = ✶✱ x✷ = ✶✿ M✶ − ✷M✶ − ✷M✶ + ✸M✶ = ✵✳ ❆ ♣❡♥❛❧t②

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✵✿ ✷

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✵ ❛♥❞ ❜♦t❤

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✶✿ ❛❧❧ t❡r♠s ✈❛♥✐s❤ ❜✉t t❤❡ ✜rst ♦♥❡✱

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞s✿ ❘♦s❡♥❜❡r❣ ✭❊①❛♠♣❧❡✮

♠✐♥

x∈{✵,✶}✹ ✸x✶x✷x✸x✹ + ✷x✶x✷x✺ − ✺x✶x✷ + ✻x✸x✹ − x✶ + x✷ − x✸ + x✹

❘♦s❡♥❜❡r❣ ✭♣❡♥❛❧t✐❡s✮✿ ■t❡r❛t✐♦♥ ✶ ♠✐♥

x∈{✵,✶}✹,y✶✷∈{✵,✶}✸y✶✷x✸x✹ + ✷y✶✷x✺ − ✺y✶✷ + ✻x✸x✹ − x✶ + x✷ − x✸ + x✹

+▼✶(①✶①✷ − ✷①✶②✶✷ − ✷①✷②✶✷ + ✸②✶✷) ❚❤❡ ♣❡♥❛❧t② ✈❛♥✐s❤❡s ✐❢ y✶✷ = x✶x✷✿ y✶✷ = ✵ ❛♥❞ x✶ = ✵ ✭♦r x✷ = ✵✮✿ ❛❧❧ t❡r♠s ✈❛♥✐s❤✱ y✶✷ = ✶ ❛♥❞ ❜♦t❤ x✶ = ✶✱ x✷ = ✶✿ M✶ − ✷M✶ − ✷M✶ + ✸M✶ = ✵✳ ❆ ♣❡♥❛❧t② M✶ ✐s ✐♥❝✉rr❡❞ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ t✐♠❡ ✐❢ y✶✷ = x✶x✷✿ y✶✷ = ✶ ❛♥❞ x✶ = ✵✿ −✷M✶ + ✸M✶ = M✶ ✭✐❞❡♠ ✐❢ x✷ = ✵✮✱ y✶✷ = ✵ ❛♥❞ ❜♦t❤ x✶ = ✶✱ x✷ = ✶✿ ❛❧❧ t❡r♠s ✈❛♥✐s❤ ❜✉t t❤❡ ✜rst ♦♥❡✱ M✶ ✐s ✐♥❝✉rr❡❞✳

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

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x∈{✵,✶}✹ ✸x✶x✷x✸x✹ + ✷x✶x✷x✺ − ✺x✶x✷ + ✻x✸x✹ − x✶ + x✷ − x✸ + x✹

❘♦s❡♥❜❡r❣ ✭♣❡♥❛❧t✐❡s✮✿ ■t❡r❛t✐♦♥ ✶ ♠✐♥

x∈{✵,✶}✹,y✶✷∈{✵,✶}✸y✶✷x✸x✹ + ✷y✶✷x✺ − ✺y✶✷ + ✻x✸x✹ − x✶ + x✷ − x✸ + x✹

+▼✶(①✶①✷ − ✷①✶②✶✷ − ✷①✷②✶✷ + ✸②✶✷) ❚❤❡ ♣❡♥❛❧t② ✈❛♥✐s❤❡s ✐❢ y✶✷ = x✶x✷✿ y✶✷ = ✵ ❛♥❞ x✶ = ✵ ✭♦r x✷ = ✵✮✿ ❛❧❧ t❡r♠s ✈❛♥✐s❤✱ y✶✷ = ✶ ❛♥❞ ❜♦t❤ x✶ = ✶✱ x✷ = ✶✿ M✶ − ✷M✶ − ✷M✶ + ✸M✶ = ✵✳ ❆ ♣❡♥❛❧t② M✶ ✐s ✐♥❝✉rr❡❞ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ t✐♠❡ ✐❢ y✶✷ = x✶x✷✿ y✶✷ = ✶ ❛♥❞ x✶ = ✵✿ −✷M✶ + ✸M✶ = M✶ ✭✐❞❡♠ ✐❢ x✷ = ✵✮✱ y✶✷ = ✵ ❛♥❞ ❜♦t❤ x✶ = ✶✱ x✷ = ✶✿ ❛❧❧ t❡r♠s ✈❛♥✐s❤ ❜✉t t❤❡ ✜rst ♦♥❡✱ M✶ ✐s ✐♥❝✉rr❡❞✳

✷✹ ✴ ✸✷

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞s✿ ❘♦s❡♥❜❡r❣ ✭❊①❛♠♣❧❡✮

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x∈{✵,✶}✹ ✸x✶x✷x✸x✹ + ✷x✶x✷x✺ − ✺x✶x✷ + ✻x✸x✹ − x✶ + x✷ − x✸ + x✹

❘♦s❡♥❜❡r❣ ✭♣❡♥❛❧t✐❡s✮✿ ■t❡r❛t✐♦♥ ✶ ♠✐♥

x∈{✵,✶}✹,y✶✷∈{✵,✶}✸y✶✷x✸x✹ + ✷y✶✷x✺ − ✺y✶✷ + ✻x✸x✹ − x✶ + x✷ − x✸ + x✹

+▼✶(①✶①✷ − ✷①✶②✶✷ − ✷①✷②✶✷ + ✸②✶✷) ❘♦s❡♥❜❡r❣ ✭♣❡♥❛❧t✐❡s✮✿ ■t❡r❛t✐♦♥ ✷ ♠✐♥

x∈{✵,✶}✹,y✶✷,y✸✹∈{✵,✶}✸y✶✷y✸✹ + ✷y✶✷x✺ − ✺y✶✷ + ✻y✸✹ − x✶ + x✷ − x✸ + x✹

+ M✶(x✶x✷ − ✷x✶y✶✷ − ✷x✷y✶✷ + ✸y✶✷) +▼✷(①✸①✹ − ✷①✸②✸✹ − ✷①✹②✸✹ + ✸②✸✹)

✷✺ ✴ ✸✷

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞s✿ ❘♦s❡♥❜❡r❣ ✭❊①❛♠♣❧❡✮

♠✐♥

x∈{✵,✶}✹ ✸x✶x✷x✸x✹ + ✷x✶x✷x✺ − ✺x✶x✷ + ✻x✸x✹ − x✶ + x✷ − x✸ + x✹

❘♦s❡♥❜❡r❣ ✭❝♦♥str❛✐♥ts✮✿ ■t❡r❛t✐♦♥ ✶ ♠✐♥

x∈{✵,✶}✹,y✶✷∈{✵,✶}✸y✶✷x✸x✹ + ✷y✶✷x✺ − ✺y✶✷ + ✻x✸x✹ − x✶ + x✷ − x✸ + x✹

s✳t✳ ②✶✷ = ①✶①✷ ❘♦s❡♥❜❡r❣ ✭♣❡♥❛❧t✐❡s✮✿ ■t❡r❛t✐♦♥ ✷ ♠✐♥

x∈{✵,✶}✹,y✶✷,y✸✹∈{✵,✶}✸y✶✷y✸✹ + ✷y✶✷x✺ − ✺y✶✷ + ✻y✸✹ − x✶ + x✷ − x✸ + x✹

+ M✶(x✶x✷ − ✷x✶y✶✷ − ✷x✷y✶✷ + ✸y✶✷) +▼✷(①✸①✹ − ✷①✸②✸✹ − ✷①✹②✸✹ + ✸②✸✹)

✷✻ ✴ ✸✷

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞s✿ ❘♦s❡♥❜❡r❣ ✭❊①❛♠♣❧❡✮

♠✐♥

x∈{✵,✶}✹ ✸x✶x✷x✸x✹ + ✷x✶x✷x✺ − ✺x✶x✷ + ✻x✸x✹ − x✶ + x✷ − x✸ + x✹

❘♦s❡♥❜❡r❣ ✭❝♦♥str❛✐♥ts✮✿ ■t❡r❛t✐♦♥ ✶ ♠✐♥

x∈{✵,✶}✹,y✶✷∈{✵,✶}✸y✶✷x✸x✹ + ✷y✶✷x✺ − ✺y✶✷ + ✻x✸x✹ − x✶ + x✷ − x✸ + x✹

s✳t✳ ②✶✷ = ①✶①✷ ❘♦s❡♥❜❡r❣ ✭❝♦♥str❛✐♥ts✮✿ ■t❡r❛t✐♦♥ ✷ ♠✐♥

x∈{✵,✶}✹,y✶✷,y✸✹∈{✵,✶}✸y✶✷y✸✹ + ✷y✶✷x✺ − ✺y✶✷ + ✻y✸✹ − x✶ + x✷ − x✸ + x✹

s✳t✳ y✶✷ = x✶x✷ ②✸✹ = ①✸①✹

✷✻ ✴ ✸✷

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SLIDE 56

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞s✿ ❘♦s❡♥❜❡r❣

❘♦s❡♥❜❡r❣ ✭✶✾✼✺✮ ❬✺❪✿ ✜rst q✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞✳

✶ ❚❛❦❡ ❛ ♣r♦❞✉❝t xixj ❢r♦♠ ❛ ❤✐❣❤❡st✲❞❡❣r❡❡ ♠♦♥♦♠✐❛❧ ♦❢ f ❛♥❞

s✉❜st✐t✉t❡ ✐t ❜② ❛ ♥❡✇ ✈❛r✐❛❜❧❡ yij✳

✷ ❆❞❞ ❛ ♣❡♥❛❧t② t❡r♠

✷ ✷ ✸ ✭ ❧❛r❣❡ ❡♥♦✉❣❤✮ t♦ t❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ t♦ ❢♦r❝❡ ❛t ❛❧❧ ♦♣t✐♠❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s✳

✸ ■t❡r❛t❡ ✉♥t✐❧ ♦❜t❛✐♥✐♥❣ ❛ q✉❛❞r❛t✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥✳

❆❞✈❛♥t❛❣❡s✿

❈❛♥ ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ ❛♥② ♣s❡✉❞♦✲❇♦♦❧❡❛♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✳ ❚❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐s ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✐♥ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥♣✉t✳

❉r❛✇❜❛❝❦s✿

❚❤❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ q✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥ ✐s ❤✐❣❤❧② ♥♦♥✲s✉❜♠♦❞✉❧❛r✳ ❇✐❣ ▼✳

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SLIDE 57

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞s✿ ❘♦s❡♥❜❡r❣

❘♦s❡♥❜❡r❣ ✭✶✾✼✺✮ ❬✺❪✿ ✜rst q✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞✳

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

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✶ ❚❛❦❡ ❛ ♣r♦❞✉❝t xixj ❢r♦♠ ❛ ❤✐❣❤❡st✲❞❡❣r❡❡ ♠♦♥♦♠✐❛❧ ♦❢ f ❛♥❞

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✷ ❆❞❞ ❛ ♣❡♥❛❧t② t❡r♠ M(xixj − ✷xiyij − ✷xjyij + ✸yij) ✭M ❧❛r❣❡ ❡♥♦✉❣❤✮

t♦ t❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ t♦ ❢♦r❝❡ yij = xixj ❛t ❛❧❧ ♦♣t✐♠❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s✳

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✷✼ ✴ ✸✷

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SLIDE 60

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

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SLIDE 61

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

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✷✼ ✴ ✸✷

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SLIDE 62

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

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t♦ t❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳✳✳ ❆❞❞ ❛ ❝♦♥str❛✐♥t yij = xixj✳

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✷✽ ✴ ✸✷

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SLIDE 63

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❘♦s❡♥❜❡r❣ ❛♥❞ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥s

❘♦s❡♥❜❡r❣ ✭❝♦♥str❛✐♥ts✮✿ ■t❡r❛t✐♦♥ ✷ ♠✐♥

x∈{✵,✶}✹,y✶✷,y✸✹∈{✵,✶}✸y✶✷y✸✹ + ✷y✶✷x✺ − ✺y✶✷ + ✻y✸✹ − x✶ + x✷ − x✸ + x✹

s✳t✳ y✶✷ = x✶x✷ y✸✹ = x✸x✹ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❘♦s❡♥❜❡r❣ ♠✐♥

x∈{✵,✶}✹,y✶✷,y✸✹,y✶✷✸✹,y✶✷✺∈{✵,✶}✸y✶✷✸✹ + ✷y✶✷✺ − ✺y✶✷ + ✻y✸✹ − x✶ + x✷ − x✸ + x✹

s✳t✳ y✶✷ = x✶x✷ y✸✹ = x✸x✹ y✶✷✸✹ = y✶✷y✸✹ y✶✷✺ = y✶✷x✺

✷✾ ✴ ✸✷

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SLIDE 64

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❘♦s❡♥❜❡r❣ ❛♥❞ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥s

❘♦s❡♥❜❡r❣ ✭❝♦♥str❛✐♥ts✮✿ ■t❡r❛t✐♦♥ ✷ ♠✐♥

x∈{✵,✶}✹,y✶✷,y✸✹∈{✵,✶}✸y✶✷y✸✹ + ✷y✶✷x✺ − ✺y✶✷ + ✻y✸✹ − x✶ + x✷ − x✸ + x✹

s✳t✳ y✶✷ = x✶x✷ y✸✹ = x✸x✹ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❘♦s❡♥❜❡r❣ ♠✐♥

x∈{✵,✶}✹,y✶✷,y✸✹,y✶✷✸✹,y✶✷✺∈{✵,✶}✸y✶✷✸✹ + ✷y✶✷✺ − ✺y✶✷ + ✻y✸✹ − x✶ + x✷ − x✸ + x✹

s✳t✳ y✶✷ = x✶x✷ y✸✹ = x✸x✹ y✶✷✸✹ = y✶✷y✸✹ y✶✷✺ = y✶✷x✺

✷✾ ✴ ✸✷

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SLIDE 65

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❘♦s❡♥❜❡r❣ ❛♥❞ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥s

■t❡r❛t❡❞ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥s zij = xixj, ziJ = xizJ, zIJ = zIzJ, ❍♦✇ ♠❛♥② ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥s ♣r♦✈✐❞❡ ♣r❛❝t✐❝❛❧ ✐♠♣r♦✈❡♠❡♥ts❄ ❘❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ♦❢ t❤✐s q✉❛❞r❛t✐❝❛❧❧② ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❣r❛♠ ✇✐t❤ q✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s✳ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❘♦s❡♥❜❡r❣ ♠✐♥

x∈{✵,✶}✹,y✶✷,y✸✹,y✶✷✸✹,y✶✷✺∈{✵,✶}✸y✶✷✸✹ + ✷y✶✷✺ − ✺y✶✷ + ✻y✸✹ − x✶ + x✷ − x✸ + x✹

s✳t✳ y✶✷ = x✶x✷ y✸✹ = x✸x✹ y✶✷✸✹ = y✶✷y✸✹ y✶✷✺ = y✶✷x✺

✸✵ ✴ ✸✷

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SLIDE 66

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ q✉❛❞r❛t✐❝ ✈s✳ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥s

❇✉❝❤❤❡✐♠ ❛♥❞ ❘✐♥❛❧❞✐✬s r❡s✉❧t ❬✷❪✿ ❈♦♥s✐❞❡r ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥✿ Pconv

SL

= ❝♦♥✈{(x, yS) ∈ {✵, ✶}n+|S| | yS =

  • i∈S

xi, ∀S ∈ S} ❉❡✜♥❡ ❛♥ ❡①t❡♥❞❡❞ q✉❛❞r❛t✐❝ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❧✐♥❡❛r✐③❡ ✐t✿ P∗ = ❝♦♥✈{y{S,T} ∈ {✵, ✶} | y{S,T} = ySyT, ∀{S, T} ✇❤❡r❡ S, T, S ∪ T ∈ S} ■❢ ✇❡ ❦♥♦✇ P∗ t❤❡♥ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥str✉❝t Pconv

SL ✳

◗✉❡st✐♦♥s✿ ■❢ ✐♥st❡❛❞ ♦❢ ❤❛✈✐♥❣ P∗✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥✱ ✇❤❛t ❞♦ ✇❡ ❦♥♦✇ ❛❜♦✉t Pconv

SL ❄

❢♦r t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥✱ ✷✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✱ ✸✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ✭✉♣ t♦ m✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✮ ❝✉ts ❤❡❧♣ t♦ ♦❜t❛✐♥ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t Pconv

SL ✱ ✇❤❛t ❛❜♦✉t ♦t❤❡r r❡❧❛①❛t✐♦♥s❄ ✸✶ ✴ ✸✷

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SLIDE 67

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

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SLIDE 68

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❙❡✈❡r❛❧ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡s ❝♦♥❝❡r♥✐♥❣ t❤❡ str❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts t❤❛t ✇❡ ❣❡♥❡r❛t❡ ✇✐t❤ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥s

❈❛s❡ ♦❢ ✷ ♠♦♥♦♠✐❛❧s✿ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ♦❢ st❛♥❞❛r❞ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ♣♦❧②t♦♣❡ ✉s✐♥❣ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts ❛♥❞ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✳ ❈❛s❡ ♦❢ ♠♦♥♦♠✐❛❧s✿ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts ❛r❡ ❢❛❝❡t✲❞❡✜♥✐♥❣✳ ■❞❡❛ ♦♥ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❢♦r♠ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ❢♦r t❡r♠s✳

❘✉♥ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts t♦ ♠❡❛s✉r❡ ✐♠♣r♦✈❡♠❡♥ts ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts✳ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ q✉❛❞r❛t✐❝ ❝❛s❡ t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ✐♠♣r♦✈❡ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ♦♥ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ♦❢ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✳

✸✷ ✴ ✸✷

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SLIDE 69

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

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❈❛s❡ ♦❢ ✷ ♠♦♥♦♠✐❛❧s✿ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ♦❢ st❛♥❞❛r❞ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ♣♦❧②t♦♣❡ ✉s✐♥❣ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts ❛♥❞ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✳ ❈❛s❡ ♦❢ m ♠♦♥♦♠✐❛❧s✿ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts ❛r❡ ❢❛❝❡t✲❞❡✜♥✐♥❣✳ ■❞❡❛ ♦♥ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❢♦r♠ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ❢♦r t❡r♠s✳

❘✉♥ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts t♦ ♠❡❛s✉r❡ ✐♠♣r♦✈❡♠❡♥ts ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts✳ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ q✉❛❞r❛t✐❝ ❝❛s❡ t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ✐♠♣r♦✈❡ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ♦♥ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ♦❢ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✳

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SLIDE 70

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

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SLIDE 71

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

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SLIDE 72

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

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❘✉♥ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts t♦ ♠❡❛s✉r❡ ✐♠♣r♦✈❡♠❡♥ts ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts✳ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ q✉❛❞r❛t✐❝ ❝❛s❡ t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ✐♠♣r♦✈❡ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ♦♥ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ♦❢ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✳

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ◗✉❛❞r❛t✐③❛t✐♦♥s P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

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❙❡✈❡r❛❧ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡s ❝♦♥❝❡r♥✐♥❣ t❤❡ str❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✲❝✉ts t❤❛t ✇❡ ❣❡♥❡r❛t❡ ✇✐t❤ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥s

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SLIDE 74

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SLIDE 75

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