rt srr s - - PowerPoint PPT Presentation

❘❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❞✐s♦r❞❡r ✿ ❛ s✐♠♣❧❡ t♦② ♠♦❞❡❧

❇❡r♥❛r❞ ❉❊❘❘■❉❆ ❈♦❧❧è❣❡ ❞❡ ❋r❛♥❝❡ ❈❤❛✐r❡ ❞❡ P❤②s✐q✉❡ ❙t❛t✐st✐q✉❡

❆♥♥❡❝② ✶✹ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✵✶✽

❈♦❧❧❛❜♦r❛t♦rs

◮ ❍❛❦✐♠ ❛♥❞ ❱❛♥♥✐♠❡♥✉s ✶✾✾✷ ◮ ●✐❛❝♦♠✐♥✱ ▲❛❝♦✐♥✱ ❚♦♥✐♥❡❧❧✐ ✷✵✵✼ ◮ ❘❡t❛✉① ✷✵✶✹ ◮ ❈❤❡♥✱ ❍✉✱ ▲✐❢s❤✐ts✱ ❙❤✐ ✷✵✶✼ ◮ ❉❛❣❛r❞ ✷✵✶✽

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❚❤❡ ✐❞❡❛ ♦❢ r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❚❤❡ t♦② ♠♦❞❡❧ ❚❤❡ ❞❡♥❛t✉r❛t✐♦♥ ♦❢ ❉◆❆ ♣r♦❜❧❡♠ ■ts ❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ❧❛tt✐❝❡ ✈❡rs✐♦♥

❘❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥✿ ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡✱ t❤❡ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠

→

♣ ♣′

♣′ = R(♣)

P❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥

♣ ♣

❘❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥✿ ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡✱ t❤❡ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠

→

♣ ♣′

♣′ = R(♣)

P❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥

♣∗ = R(♣∗)

❚❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣

p’, ... L p b L ❘❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥

(♣′, · · · ) = R❜ (♣, · · · )

▲♦♦❦ ❢♦r t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ♣

❜ ♣

▲✐♥❡❛r✐③❡

❜ ♥❡❛r t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t

♣

❜ ♣

❈r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥ts ❛♥❞ ✉♥✐✈❡rs❛❧✐t②

❚❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣

p’, ... L p b L ❘❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥

(♣′, · · · ) = R❜ (♣, · · · )

▲♦♦❦ ❢♦r t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t (♣∗, · · · ) = R❜ (♣∗ · · · ) ▲✐♥❡❛r✐③❡ R❜ ♥❡❛r t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t (♣′, · · · ) = L❜ (♣ · · · )

⇒ ❈r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥ts ❛♥❞ ✉♥✐✈❡rs❛❧✐t②

❚❤❡ ✢♦✇ ♦❢ r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ρ(①, ✵) > ✵ ❣✐✈❡♥ ❢♦r ① > ✵ ∂ρ(①, τ) ∂τ = ∂ρ(①, τ) ∂① + ✶ ✷ ①

✵

ρ(①✶, τ) ρ(① − ①✶, τ) ❞①✶

❆ ❝❧❛ss ♦❢ ♠♦❞❡❧s ❚✇♦ ✐♥❣r❡❞✐❡♥ts✿

◮ ❙t❛rt ✇✐t❤ ❛♥ ✐♥✜♥✐t❡ s❡q✉❡♥❝❡ ✐✳✐✳❞✳ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s

❳ (✶)

✵

· · · ❳ (❥)

✵

· · · ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❛ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ P✵(❳)✳

◮ ❆ ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥ ● t♦ ✐t❡r❛t❡ t❤❡s❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s

❳ (❥)

♥

= ●

• ❳ (✷❥−✶)

♥

+ ❳ (✷❥)

♥

• X = max[X + X −1 , 0]

(1)

X X X

n

(2)

n+1 n

◗✉❡st✐♦♥s✿

❲❤❛t ✐s t❤❡ ❧✐♠✐t✐♥❣ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ P♥ ❳ ♦❢ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❳♥ ❲❤❛t ✐s t❤❡ ❧✐♠✐t ♦❢ ❳♥ ✷♥

❆ ❝❧❛ss ♦❢ ♠♦❞❡❧s ❚✇♦ ✐♥❣r❡❞✐❡♥ts✿

◮ ❙t❛rt ✇✐t❤ ❛♥ ✐♥✜♥✐t❡ s❡q✉❡♥❝❡ ✐✳✐✳❞✳ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s

❳ (✶)

✵

· · · ❳ (❥)

✵

· · · ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❛ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ P✵(❳)✳

◮ ❆ ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥ ● t♦ ✐t❡r❛t❡ t❤❡s❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s

❳ (❥)

♥

= ●

• ❳ (✷❥−✶)

♥

+ ❳ (✷❥)

♥

• X = max[X + X −1 , 0]

(1)

X X X

n

(2)

n+1 n

◗✉❡st✐♦♥s✿

◮ ❲❤❛t ✐s t❤❡ ❧✐♠✐t✐♥❣ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ P♥(❳) ♦❢ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❳♥ ◮ ❲❤❛t ✐s t❤❡ ❧✐♠✐t ♦❢

❳♥ ✷♥

❚❤❡ t♦② ♠♦❞❡❧

❈♦❧❧❡t✱ ●❧❛s❡r✱ ❊❝❦♠❛♥♥✱ ▼❛rt✐♥ ✶✾✽✹

n

(1)

X X

n

(2)

n+1 X n−1

(2)

X n−1

(1)

X n−1

(4)

X n−1

(3)

X

❳♥+✶ = ♠❛①[ ❳ (✶)

♥

+ ❳ (✷)

♥

− ✶ , ✵ ]

❚❤❡ t♦② ♠♦❞❡❧

❈♦❧❧❡t✱ ●❧❛s❡r✱ ❊❝❦♠❛♥♥✱ ▼❛rt✐♥ ✶✾✽✹

n

(1)

X X

n

(2)

n+1 X n−1

(2)

X n−1

(1)

X n−1

(4)

X n−1

(3)

X

❳♥+✶ = ♠❛①[ ❳ (✶)

♥

+ ❳ (✷)

♥

− ✶ , ✵ ]

❚❤❡ t♦② ♠♦❞❡❧

❈♦❧❧❡t✱ ●❧❛s❡r✱ ❊❝❦♠❛♥♥✱ ▼❛rt✐♥ ✶✾✽✹

n

(1)

X X

n

(2)

n+1 X n−1

(2)

X n−1

(1)

X n−1

(4)

X n−1

(3)

X

❳♥+✶ = ♠❛①[ ❳ (✶)

♥

+ ❳ (✷)

♥

− ✶ , ✵ ]

▼❛✐♥ q✉❡st✐♦♥

❳♥+✶ = ♠❛①[ ❳ (✶)

♥

+ ❳ (✷)

♥

− ✶ , ✵ ] ❲❤❛t ✐s t❤❡ ❧✐♠✐t ❨ ♦❢ ❳♥ ✷♥ P✵(①) = δ❳,µ

µ 1 Y

P✵ ① ✶

❳ ✵ ❳

▼❛✐♥ q✉❡st✐♦♥

❳♥+✶ = ♠❛①[ ❳ (✶)

♥

+ ❳ (✷)

♥

− ✶ , ✵ ] ❲❤❛t ✐s t❤❡ ❧✐♠✐t ❨ ♦❢ ❳♥ ✷♥ P✵(①) = δ❳,µ

µ 1 Y

P✵(①) = (✶−λ) δ❳,✵ + λ δ❳,µ

µ µ c Y

▼❛✐♥ q✉❡st✐♦♥

❳♥+✶ = ♠❛①[ ❳ (✶)

♥

+ ❳ (✷)

♥

− ✶ , ✵ ] ❲❤❛t ✐s t❤❡ ❧✐♠✐t ❨ ♦❢ ❳♥ ✷♥ P✵(①) = δ❳−µ

µ 1 Y

P✵(①) = (✶−λ) δ❳ + λ δ❳−µ

µ µ c Y

❘❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❳♥+✶ = ♠❛①[ ❳ (✶)

♥

+ ❳ (✷)

♥

− ✶ , ✵ ]

❊①❛❝t r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ✭s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ❳♥ ❛r❡ ✐♥t❡❣❡rs✮ P✵(①) ✐s ❣✐✈❡♥ ; P♥ → P♥+✶ ❉❡✜♥❡ t❤❡ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥

❍♥(③) =

❳ P♥(❳) ③❳

❍♥+✶(③) = ❍♥(③)✷ − ❍♥(✵)✷ ③ + ❍♥(✵)✷

❆ ❢❡✇ ❢❛❝ts

❳♥+✶ = ♠❛①[ ❳ (✶)

♥

+ ❳ (✷)

♥

− ✶ , ✵ ] ❍♥+✶(③) = ❍♥(③)✷ − ❍♥(✵)✷ ③ + ❍♥(✵)✷

◮ ❆ ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ❈♦❧❧❡t✱ ●❧❛s❡r✱ ❊❝❦♠❛♥♥✱ ▼❛rt✐♥ ✶✾✽✹

❋♦r ❡①❛♠♣❧❡

X 2 1−λ λ P (X)

❍✵(③) = ✶ − λ + λ③✷ ⇒ λ❝ = ✶ ✺

❆ ♦♥❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ❢❛♠✐❧② ♦❢ ✜①❡❞ ♣♦✐♥ts ◆♦♥❡ ♦❢ t❤❡♠ ✐s ❛❝❝❡ss✐❜❧❡ ❆ ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❇❡r❡③✐♥s❦✐ ❑♦st❡r❧✐t③ ❚❤♦✉❧❡ss t②♣❡

❆ ❢❡✇ ❢❛❝ts

❳♥+✶ = ♠❛①[ ❳ (✶)

♥

+ ❳ (✷)

♥

− ✶ , ✵ ] ❍♥+✶(③) = ❍♥(③)✷ − ❍♥(✵)✷ ③ + ❍♥(✵)✷

◮ ❆ ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ❈♦❧❧❡t✱ ●❧❛s❡r✱ ❊❝❦♠❛♥♥✱ ▼❛rt✐♥ ✶✾✽✹

❋♦r ❡①❛♠♣❧❡

X 2 1−λ λ P (X)

❍✵(③) = ✶ − λ + λ③✷ ⇒ λ❝ = ✶ ✺

◮ ❆ ♦♥❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ❢❛♠✐❧② ♦❢ ✜①❡❞ ♣♦✐♥ts

◆♦♥❡ ♦❢ t❤❡♠ ✐s ❛❝❝❡ss✐❜❧❡ ❆ ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❇❡r❡③✐♥s❦✐ ❑♦st❡r❧✐t③ ❚❤♦✉❧❡ss t②♣❡

❆ ❢❡✇ ❢❛❝ts

❳♥+✶ = ♠❛①[ ❳ (✶)

♥

+ ❳ (✷)

♥

− ✶ , ✵ ] ❍♥+✶(③) = ❍♥(③)✷ − ❍♥(✵)✷ ③ + ❍♥(✵)✷

◮ ❆ ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ❈♦❧❧❡t✱ ●❧❛s❡r✱ ❊❝❦♠❛♥♥✱ ▼❛rt✐♥ ✶✾✽✹

❋♦r ❡①❛♠♣❧❡

X 2 1−λ λ P (X)

❍✵(③) = ✶ − λ + λ③✷ ⇒ λ❝ = ✶ ✺

◮ ❆ ♦♥❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ❢❛♠✐❧② ♦❢ ✜①❡❞ ♣♦✐♥ts ◮ ◆♦♥❡ ♦❢ t❤❡♠ ✐s ❛❝❝❡ss✐❜❧❡

❆ ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❇❡r❡③✐♥s❦✐ ❑♦st❡r❧✐t③ ❚❤♦✉❧❡ss t②♣❡

❆ ❢❡✇ ❢❛❝ts

❳♥+✶ = ♠❛①[ ❳ (✶)

♥

+ ❳ (✷)

♥

− ✶ , ✵ ] ❍♥+✶(③) = ❍♥(③)✷ − ❍♥(✵)✷ ③ + ❍♥(✵)✷

◮ ❆ ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ❈♦❧❧❡t✱ ●❧❛s❡r✱ ❊❝❦♠❛♥♥✱ ▼❛rt✐♥ ✶✾✽✹

❋♦r ❡①❛♠♣❧❡

X 2 1−λ λ P (X)

❍✵(③) = ✶ − λ + λ③✷ ⇒ λ❝ = ✶ ✺

◮ ❆ ♦♥❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ❢❛♠✐❧② ♦❢ ✜①❡❞ ♣♦✐♥ts ◮ ◆♦♥❡ ♦❢ t❤❡♠ ✐s ❛❝❝❡ss✐❜❧❡ ◮ ❆ ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❇❡r❡③✐♥s❦✐ ❑♦st❡r❧✐t③ ❚❤♦✉❧❡ss t②♣❡

❚❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❜❡❤❛✈✐♦r

❳♥+✶ = ♠❛①[ ❳ (✶)

♥

+ ❳ (✷)

♥

− ✶ , ✵ ] ❍♥(③) =

• ❳

P♥(❳)③❳ ❆ ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ❣✐✈❡♥ ❜② ✷❍′(✷) − ❍(✷) = ✵

❈♦❧❧❡t✱ ●❧❛s❡r✱ ❊❝❦♠❛♥♥✱ ▼❛rt✐♥ ✶✾✽✹

X 2 1−λ λ P (X)

❍✵(③) = ✶ − λ + λ③✷

⇒ λ❝ = ✶ ✺

✷❍ ✷ ❍ ✷

❝

✷❍ ✷ ❍ ✷ ✵ ❧✐♠

♥

❳♥ ✷♥ ✵ ✷❍ ✷ ❍ ✷ ✵ ❧✐♠

♥

❳♥ ✷♥ ❡①♣ ❆

❝ ❉✳✱ ❘❡t❛✉① ✷✵✶✹

❚❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❜❡❤❛✈✐♦r

❳♥+✶ = ♠❛①[ ❳ (✶)

♥

+ ❳ (✷)

♥

− ✶ , ✵ ] ❍♥(③) =

• ❳

P♥(❳)③❳ ❆ ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ❣✐✈❡♥ ❜② ✷❍′(✷) − ❍(✷) = ✵

❈♦❧❧❡t✱ ●❧❛s❡r✱ ❊❝❦♠❛♥♥✱ ▼❛rt✐♥ ✶✾✽✹

X 2 1−λ λ P (X)

❍✵(③) = ✶ − λ + λ③✷

⇒ λ❝ = ✶ ✺

✷❍ ✷ ❍ ✷

❝

✷❍ ✷ ❍ ✷ ✵ ❧✐♠

♥

❳♥ ✷♥ ✵ ✷❍ ✷ ❍ ✷ ✵ ❧✐♠

♥

❳♥ ✷♥ ❡①♣ ❆

❝ ❉✳✱ ❘❡t❛✉① ✷✵✶✹

❚❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❜❡❤❛✈✐♦r

❳♥+✶ = ♠❛①[ ❳ (✶)

♥

+ ❳ (✷)

♥

− ✶ , ✵ ] ❍♥(③) =

• ❳

P♥(❳)③❳ ❆ ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ❣✐✈❡♥ ❜② ✷❍′(✷) − ❍(✷) = ✵

❈♦❧❧❡t✱ ●❧❛s❡r✱ ❊❝❦♠❛♥♥✱ ▼❛rt✐♥ ✶✾✽✹

X 2 1−λ λ P (X)

❍✵(③) = ✶ − λ + λ③✷

⇒ λ❝ = ✶ ✺

✷❍′(✷) − ❍(✷) ≡ λ − λ❝

✷❍ ✷ ❍ ✷ ✵ ❧✐♠

♥

❳♥ ✷♥ ✵ ✷❍ ✷ ❍ ✷ ✵ ❧✐♠

♥

❳♥ ✷♥ ❡①♣ ❆

❝ ❉✳✱ ❘❡t❛✉① ✷✵✶✹

❚❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❜❡❤❛✈✐♦r

❳♥+✶ = ♠❛①[ ❳ (✶)

♥

+ ❳ (✷)

♥

− ✶ , ✵ ] ❍♥(③) =

• ❳

P♥(❳)③❳ ❆ ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ❣✐✈❡♥ ❜② ✷❍′(✷) − ❍(✷) = ✵

❈♦❧❧❡t✱ ●❧❛s❡r✱ ❊❝❦♠❛♥♥✱ ▼❛rt✐♥ ✶✾✽✹

X 2 1−λ λ P (X)

❍✵(③) = ✶ − λ + λ③✷

⇒ λ❝ = ✶ ✺

✷❍′(✷) − ❍(✷) ≡ λ − λ❝

✷❍′(✷) − ❍(✷) ≤ ✵ ❧✐♠

♥→∞

❳♥ ✷♥ → ✵ ✷❍ ✷ ❍ ✷ ✵ ❧✐♠

♥

❳♥ ✷♥ ❡①♣ ❆

❝ ❉✳✱ ❘❡t❛✉① ✷✵✶✹

❚❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❜❡❤❛✈✐♦r

❳♥+✶ = ♠❛①[ ❳ (✶)

♥

+ ❳ (✷)

♥

− ✶ , ✵ ] ❍♥(③) =

• ❳

P♥(❳)③❳ ❆ ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ❣✐✈❡♥ ❜② ✷❍′(✷) − ❍(✷) = ✵

❈♦❧❧❡t✱ ●❧❛s❡r✱ ❊❝❦♠❛♥♥✱ ▼❛rt✐♥ ✶✾✽✹

X 2 1−λ λ P (X)

❍✵(③) = ✶ − λ + λ③✷

⇒ λ❝ = ✶ ✺

✷❍′(✷) − ❍(✷) ≡ λ − λ❝

✷❍′(✷) − ❍(✷) ≤ ✵ ❧✐♠

♥→∞

❳♥ ✷♥ → ✵ ✷❍′(✷) − ❍(✷) > ✵ ❧✐♠

♥→∞

❳♥ ✷♥ ≃ ❡①♣

• −

❆ √λ − λ❝

• ❉✳✱ ❘❡t❛✉① ✷✵✶✹

❆♥ ❡ss❡♥t✐❛❧ s✐♥❣✉❧❛r✐t② ❄

❧✐♠

♥→∞

❳♥ ✷♥ ≃ ❡①♣

• −

❆ √λ − λ❝

• ⇔
• ❧♦❣ ❳♥

✷♥ −✷ ∝ (λ − λ❝)

❝

✶ ✺

❧♦❣ ❳♥

✷♥ ✷

✈❡rs✉s

❆♥ ❡ss❡♥t✐❛❧ s✐♥❣✉❧❛r✐t② ❄

❧✐♠

♥→∞

❳♥ ✷♥ ≃ ❡①♣

• −

❆ √λ − λ❝

• ⇔
• ❧♦❣ ❳♥

✷♥ −✷ ∝ (λ − λ❝)

X 2 1−λ λ P (X)

λ❝ = ✶ ✺

a=1

0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.19 0.2 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29

• ❧♦❣ ❳♥

✷♥

−✷ ✈❡rs✉s λ

❆ ♣♦✇❡r ❧❛✇ s✐♥❣✉❧❛r✐t② ❄

❳♥ ✷♥ ∝ (λ − λ❝)γ ⇔ ❧♦❣ ❳♥ ✷♥ ∼ γ ❧♦❣(λ − λ❝)

❧♦❣ ❳♥

✷♥

✈❡rs✉s ❧♦❣

❝

❆ ♣♦✇❡r ❧❛✇ s✐♥❣✉❧❛r✐t② ❄

❳♥ ✷♥ ∝ (λ − λ❝)γ ⇔ ❧♦❣ ❳♥ ✷♥ ∼ γ ❧♦❣(λ − λ❝)

−45 −40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 −6.5 −6 −5.5 −5 −4.5 −4 −3.5 −3 −2.5

❧♦❣ ❳♥

✷♥

✈❡rs✉s ❧♦❣(λ − λ❝)

❈❤❡♥ ❉❛❣❛r❞ ❉✳ ❍✉ ▲✐❢s❤✐ts ❙❤✐ ✷✵✶✽

■♥✐t✐❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ P✵(❳) = (✶ − λ)δ❳ + λ◗(❳) P❛rt✐❝✉❧❛r ❝❛s❡✿ ◗(❳) ∼ ❈ ❳ α ✷❳

◮ ■❢ ◗(❳) ❞❡❝❛②s ❢❛st ❡♥♦✉❣❤ ✭α > ✹✮ t❤❡♥ λ❝ > ✵ ❛♥❞

❧✐♠

♥

❳♥ ✷♥ = ❡①♣

• −

✶ (λ − λ❝)

✶ ✷+♦(✶)

• ■❢ ✷

✹ t❤❡♥

❝

✵ ❧✐♠

♥

❳♥ ✷♥ ❡①♣ ✶

❝ ♦ ✶

✇✐t❤ ✶ ✷ ■❢ ✷ t❤❡♥

❝

✵ ✭❜❡❝❛✉s❡ ❍ ✷ ✮

❈❤❡♥ ❉❛❣❛r❞ ❉✳ ❍✉ ▲✐❢s❤✐ts ❙❤✐ ✷✵✶✽

■♥✐t✐❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ P✵(❳) = (✶ − λ)δ❳ + λ◗(❳) P❛rt✐❝✉❧❛r ❝❛s❡✿ ◗(❳) ∼ ❈ ❳ α ✷❳

◮ ■❢ ◗(❳) ❞❡❝❛②s ❢❛st ❡♥♦✉❣❤ ✭α > ✹✮ t❤❡♥ λ❝ > ✵ ❛♥❞

❧✐♠

♥

❳♥ ✷♥ = ❡①♣

• −

✶ (λ − λ❝)

✶ ✷+♦(✶)

• ◮ ■❢ ✷ < α < ✹ t❤❡♥ λ❝ > ✵

❧✐♠

♥

❳♥ ✷♥ = ❡①♣

• −

✶ (λ − λ❝)ν+♦(✶)

• ✇✐t❤ ν =

✶ α − ✷

◮ ■❢ α ≤ ✷ t❤❡♥ λ❝ = ✵ ✭❜❡❝❛✉s❡ ❍′(✷) = ∞✮

❈❤❡♥ ❉❛❣❛r❞ ❉✳ ❍✉ ▲✐❢s❤✐ts ❙❤✐ ✷✵✶✽

■♥✐t✐❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ P✵(❳) = (✶ − λ)δ❳ + λ◗(❳) P❛rt✐❝✉❧❛r ❝❛s❡✿ ◗(❳) ∼ ❈ ❳ α ✷❳

◮ ■❢ ◗(❳) ❞❡❝❛②s ❢❛st ❡♥♦✉❣❤ ✭α > ✹✮ t❤❡♥ λ❝ > ✵ ❛♥❞

❧✐♠

♥

❳♥ ✷♥ = ❡①♣

• −

✶ (λ − λ❝)

✶ ✷+♦(✶)

• ◮ ■❢ ✷ < α < ✹ t❤❡♥ λ❝ > ✵

❧✐♠

♥

❳♥ ✷♥ = ❡①♣

• −

✶ (λ − λ❝)ν+♦(✶)

• ✇✐t❤ ν =

✶ α − ✷

◮ ■❢ α ≤ ✷ t❤❡♥ λ❝ = ✵ ✭❜❡❝❛✉s❡ ❍′(✷) = ∞✮

❍✉ ❙❤✐ ✷✵✶✼

■♥✐t✐❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ P✵(❳) = (✶ − λ)δ❳ + λ◗(❳) P❛rt✐❝✉❧❛r ❝❛s❡✿ ◗(❳) ∼ ❈ ❳ α ✷❳ α ≤ ✷ ⇒ λ❝ = ✵

◮ ■❢ α < ✷

❧✐♠

♥

❳♥ ✷♥ = ❡①♣

• −

✶ λν+♦(✶)

• ✇✐t❤

ν = ✶ ✷ − α

◮ ■❢ α = ✷ t❤❡♥ λ❝ > ✵

❧✐♠

♥

❳♥ ✷♥ = ❡①♣

• − ❡①♣

❈ + ♦(✶) λ

❆ ❄❄ s♣❡❝✐❛❧ ❄❄ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s

❉✳✱ ❘❡t❛✉① ✷✵✶✹

P♥(❳) = ✷−❳ λ ❘( √ λ ❳, √ λ ♥) ❢♦r ❳ > ✵ ❛♥❞

P♥(✵) = ✶ −

❳≥✶ P♥(❳)

t❤❡♥ ♦♥❡ ❝❛♥ s❤♦✇ t❤❛t ❢♦r s♠❛❧❧ ❘ ① ❘ ① ① ✶ ✷

① ✵

❘ ①✶ ❘ ① ①✶ ❞①✶

❙t✐❧❧ ❛ ❞✐✣❝✉❧t ♣r♦❜❧❡♠

❈r✐t✐❝❛❧✐t②

✵

❘ ❳ ❳❞❳ ✶

❆ ❄❄ s♣❡❝✐❛❧ ❄❄ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s

❉✳✱ ❘❡t❛✉① ✷✵✶✹

P♥(❳) = ✷−❳ λ ❘( √ λ ❳, √ λ ♥) ❢♦r ❳ > ✵ ❛♥❞

P♥(✵) = ✶ −

❳≥✶ P♥(❳)

t❤❡♥ ♦♥❡ ❝❛♥ s❤♦✇ t❤❛t ❢♦r λ s♠❛❧❧ ∂❘(①, τ) ∂τ = ∂❘(①, τ) ∂① + ✶ ✷ ①

✵

❘(①✶, τ) ❘(① − ①✶, τ) ❞①✶

❙t✐❧❧ ❛ ❞✐✣❝✉❧t ♣r♦❜❧❡♠

❈r✐t✐❝❛❧✐t②

✵

❘ ❳ ❳❞❳ ✶

❆ ❄❄ s♣❡❝✐❛❧ ❄❄ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s

❉✳✱ ❘❡t❛✉① ✷✵✶✹

P♥(❳) = ✷−❳ λ ❘( √ λ ❳, √ λ ♥) ❢♦r ❳ > ✵ ❛♥❞

P♥(✵) = ✶ −

❳≥✶ P♥(❳)

t❤❡♥ ♦♥❡ ❝❛♥ s❤♦✇ t❤❛t ❢♦r λ s♠❛❧❧ ∂❘(①, τ) ∂τ = ∂❘(①, τ) ∂① + ✶ ✷ ①

✵

❘(①✶, τ) ❘(① − ①✶, τ) ❞①✶

❙t✐❧❧ ❛ ❞✐✣❝✉❧t ♣r♦❜❧❡♠

❈r✐t✐❝❛❧✐t②

✵

❘ ❳ ❳❞❳ ✶

❆ ❄❄ s♣❡❝✐❛❧ ❄❄ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s

❉✳✱ ❘❡t❛✉① ✷✵✶✹

P♥(❳) = ✷−❳ λ ❘( √ λ ❳, √ λ ♥) ❢♦r ❳ > ✵ ❛♥❞

P♥(✵) = ✶ −

❳≥✶ P♥(❳)

t❤❡♥ ♦♥❡ ❝❛♥ s❤♦✇ t❤❛t ❢♦r λ s♠❛❧❧ ∂❘(①, τ) ∂τ = ∂❘(①, τ) ∂① + ✶ ✷ ①

✵

❘(①✶, τ) ❘(① − ①✶, τ) ❞①✶

❙t✐❧❧ ❛ ❞✐✣❝✉❧t ♣r♦❜❧❡♠

❈r✐t✐❝❛❧✐t②

• ✵

❘(❳, τ) ❳❞❳ = ✶

∂❘(①, τ) ∂τ = ∂❘(①, τ) ∂① + ✶ ✷ ①

✵

❘(①✶, τ) ❘(① − ①✶, τ) ❞①✶ ❋♦r ❘ ① ❆ ❡①♣ ❇ ① ♦♥❡ ❣❡ts ❞❆ ❞ ❇ ❆ ❞❇ ❞ ❆ ✷

❑♦st❡r❧✐t③ ❚❤♦✉❧❡ss r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥

❘ ① ✹ ❦✷ s✐♥ ❦

✵ ✷ ❡①♣

✷❦ ① t❛♥ ❦

✵

✭❦ ✵ ✐s t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❝❛s❡✮

∂❘(①, τ) ∂τ = ∂❘(①, τ) ∂① + ✶ ✷ ①

✵

❘(①✶, τ) ❘(① − ①✶, τ) ❞①✶ ❋♦r ❘(①, τ) = ❆(τ) ❡①♣[−❇(τ)①] ♦♥❡ ❣❡ts ❞❆(τ) ❞τ = −❇(τ)❆(τ) ; ❞❇(τ) ❞τ = −❆(τ) ✷

❑♦st❡r❧✐t③ ❚❤♦✉❧❡ss r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥

❘ ① ✹ ❦✷ s✐♥ ❦

✵ ✷ ❡①♣

✷❦ ① t❛♥ ❦

✵

✭❦ ✵ ✐s t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❝❛s❡✮

∂❘(①, τ) ∂τ = ∂❘(①, τ) ∂① + ✶ ✷ ①

✵

❘(①✶, τ) ❘(① − ①✶, τ) ❞①✶ ❋♦r ❘(①, τ) = ❆(τ) ❡①♣[−❇(τ)①] ♦♥❡ ❣❡ts ❞❆(τ) ❞τ = −❇(τ)❆(τ) ; ❞❇(τ) ❞τ = −❆(τ) ✷

❑♦st❡r❧✐t③ ❚❤♦✉❧❡ss r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥

❘(①, τ) = ✹ ❦✷ s✐♥(❦(τ + τ✵))✷ ❡①♣

• −

✷❦ ① t❛♥(❦(τ + τ✵))

• ✭❦ → ✵ ✐s t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❝❛s❡✮

❖t❤❡r s♦❧✉t✐♦♥s

∂❘(①, τ) ∂τ = ∂❘(①, τ) ∂① + ✶ ✷ ①

✵

❘(①✶, τ) ❘(① − ①✶, τ) ❞①✶ P❤②s✐❝❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ❘ =

♥

• ✐=✶

❆✐(τ) ❡−❇✐(τ)① ✇✐t❤ ❞❇✐ ❞τ = −❆✐ ✷ ; ❞❆✐ ❞τ = −❇✐❆✐ −

• ❥=✐

❆✐❆❥ ❇✐ − ❇❥ ❯♥♣❤②s✐❝❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ❘ = ✹ τ ✷ ❡− ✸①

τ

• ✸ ❝♦s

√ ✸① τ

• +

√ ✸ s✐♥ √ ✸① τ

❖t❤❡r s♦❧✉t✐♦♥s

∂❘(①, τ) ∂τ = ∂❘(①, τ) ∂① + ✶ ✷ ①

✵

❘(①✶, τ) ❘(① − ①✶, τ) ❞①✶ ❙❝❛❧✐♥❣ s♦❧✉t✐♦♥s ❛❧♦♥❣ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ♠❛♥✐❢♦❧❞ ✭

• ❘(❳) ❳ ❞❳ = ✶✮

❘ = ✶ t✷ ● ① t

• ❚❤❡♥ ● s❤♦✉❧❞ s❛t✐s❢②

◮ ●(③) = ✹ ❡−✷③

❚❛❦✐♥❣ t❤❡ t❤❡ ▲❛♣❧❛❝❡ tr❛♥s❢♦r♠ ❍ ♣

✵

• ③ ❡

♣③❞③

❍ ♣ ♣❍ ♣ ♣❍ ♣ ✶ ✷❍ ♣ ✷

• ✵

✵

❚❤✐s ✐s ❛ ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r ❡q✉❛t✐♦♥✦

❖t❤❡r s♦❧✉t✐♦♥s

∂❘(①, τ) ∂τ = ∂❘(①, τ) ∂① + ✶ ✷ ①

✵

❘(①✶, τ) ❘(① − ①✶, τ) ❞①✶ ❙❝❛❧✐♥❣ s♦❧✉t✐♦♥s ❛❧♦♥❣ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ♠❛♥✐❢♦❧❞ ✭

• ❘(❳) ❳ ❞❳ = ✶✮

❘ = ✶ t✷ ● ① t

• ❚❤❡♥ ● s❤♦✉❧❞ s❛t✐s❢②

◮ ●(③) = ✹ ❡−✷③ ◮ ❚❛❦✐♥❣ t❤❡ t❤❡ ▲❛♣❧❛❝❡ tr❛♥s❢♦r♠ ❍(♣) =

∞

✵

• (③) ❡−♣③❞③

❍(♣) − ♣❍′(♣) + ♣❍(♣) + ✶ ✷❍(♣)✷ − ●(✵) = ✵

❚❤✐s ✐s ❛ ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r ❡q✉❛t✐♦♥✦

❖t❤❡r s♦❧✉t✐♦♥s

∂❘(①, τ) ∂τ = ∂❘(①, τ) ∂① + ✶ ✷ ①

✵

❘(①✶, τ) ❘(① − ①✶, τ) ❞①✶ ❙❝❛❧✐♥❣ s♦❧✉t✐♦♥s ❛❧♦♥❣ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ♠❛♥✐❢♦❧❞ ✭

• ❘(❳) ❳ ❞❳ = ✶✮

❘ = ✶ t✷ ● ① t

• ❚❤❡♥ ● s❤♦✉❧❞ s❛t✐s❢②

◮ ●(③) = ✹ ❡−✷③ ◮ ❚❛❦✐♥❣ t❤❡ t❤❡ ▲❛♣❧❛❝❡ tr❛♥s❢♦r♠ ❍(♣) =

∞

✵

• (③) ❡−♣③❞③

❍(♣) − ♣❍′(♣) + ♣❍(♣) + ✶ ✷❍(♣)✷ − ●(✵) = ✵

❚❤✐s ✐s ❛ ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r ❡q✉❛t✐♦♥✦

∂❘(①, τ) ∂τ = ∂❘(①, τ) ∂① + ✶ ✷ ①

✵

❘(①✶, τ) ❘(① − ①✶, τ) ❞①✶ ❘ = ✶ t✷ ● ① t

• ❍(♣) =

∞

✵

• (③) ❡−♣③❞③

■♥tr♦❞✉❝✐♥❣ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ②(♣) s✉❝❤ t❤❛t ❍(♣) = −✶ − ♣ − ✐ ♣ ② ′(✐♣/✷) ②(✐♣/✷) t❤❡♥ ② ✐s s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ♣✷② ′′ + ♣② ′ +

• ♣✷ − β✷

② = ✵ ✇✐t❤ β✷ = ✶ ✹ + ●(✵) ✷ ❙♦ ②(♣) ✐s ❛ ❇❡ss❡❧ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✦

• (①) ∼ ①−α

❢♦r ① → ∞ ✇❤❡r❡ α = ✶ + ✷β

❚❤❡ P♦❧❛♥❞ ❙❝❤❡r❛❣❛ ♠♦❞❡❧ ▼♦❞❡❧ ♦❢ ❉◆❆ ❞❡♥❛t✉r❛t✐♦♥ ▼♦❞❡❧ ♦❢ ❞❡♣✐♥♥✐♥❣

❚❤❡ P♦❧❛♥❞ ❙❝❤❡r❛❣❛ ♠♦❞❡❧ ▼♦❞❡❧ ♦❢ ❉◆❆ ❞❡♥❛t✉r❛t✐♦♥ ▼♦❞❡❧ ♦❢ ❞❡♣✐♥♥✐♥❣

❚❤❡ P♦❧❛♥❞ ❙❝❤❡r❛❣❛ ♠♦❞❡❧

i1 i2 i3 ik

◮ t❤❡ ❝♦♥t❛❝t ❡♥❡r❣② ❛t ♣♦s✐t✐♦♥ ✐ ✐s ǫ✐

t❤❡ ✇❡✐❣❤t ♦❢ ❛ ❧♦♦♣ ♦❢ ❧❡♥❣t❤ ♥ ✐s ♥ ✶ ♥❝

❩▲

❦ ✷ ✶ ✐✷ ✐❦

✶

▲

✐✷ ✐✶ ✐❦ ✐❦

✶ ❡①♣ ✐✶ ✐✷ ✐❦

❚

❚❤❡ P♦❧❛♥❞ ❙❝❤❡r❛❣❛ ♠♦❞❡❧

i1 i2 i3 ik

◮ t❤❡ ❝♦♥t❛❝t ❡♥❡r❣② ❛t ♣♦s✐t✐♦♥ ✐ ✐s ǫ✐ ◮ t❤❡ ✇❡✐❣❤t ♦❢ ❛ ❧♦♦♣ ♦❢ ❧❡♥❣t❤ ♥ ✐s

ω(♥) ∼ ✶ ♥❝

❩▲

❦ ✷ ✶ ✐✷ ✐❦

✶

▲

✐✷ ✐✶ ✐❦ ✐❦

✶ ❡①♣ ✐✶ ✐✷ ✐❦

❚

❚❤❡ P♦❧❛♥❞ ❙❝❤❡r❛❣❛ ♠♦❞❡❧

i1 i2 i3 ik

◮ t❤❡ ❝♦♥t❛❝t ❡♥❡r❣② ❛t ♣♦s✐t✐♦♥ ✐ ✐s ǫ✐ ◮ t❤❡ ✇❡✐❣❤t ♦❢ ❛ ❧♦♦♣ ♦❢ ❧❡♥❣t❤ ♥ ✐s

ω(♥) ∼ ✶ ♥❝

❩▲ =

• ❦≥✷
• ✶<✐✷···<✐❦−✶<▲

ω(✐✷−✐✶) · · · ω(✐❦ −✐❦−✶) ❡①♣

• −ǫ✐✶ + ǫ✐✷ + · · · ǫ✐❦

❚

P❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ P♦❧❛♥❞ ❙❝❤❡r❛❣❛ ♠♦❞❡❧

i1 i2 i3 ik ❩▲ =

• ❦≥✷
• ✶<✐✷···<✐❦−✶<▲

ω(✐✷ − ✐✶) · · · ω(✐❦ − ✐❦−✶) ❡①♣

• −

ǫ✐✶ + ǫ✐✷ + · · · ǫ✐❦ ❚

• ❚❤❡ ❢r❡❡ ❡♥❡r❣② ❋▲ = ❧♦❣ ❩▲

■♥ t❤❡ t❤❡r♠♦❞②♥❛♠✐❝ ❧✐♠✐t ❢∞ = ❧✐♠

▲→∞

❋▲ ▲

◮ ❚ > ❚❝

❢∞ = ✵ t❤❡ ✉♥♣✐♥♥❡❞ ♣❤❛s❡

◮ ❚ < ❚❝

❢∞ > ✵ t❤❡ ♣✐♥♥❡❞ ♣❤❛s❡

P❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ♣✉r❡ ❝❛s❡ ǫ✐ = ǫ

i1 i2 i3 ik

❚❝ ✐s ❦♥♦✇♥ ❡①♣

• − ǫ

❚❝

• =
• ♥≥✶

ω(♥)

◮ ❋♦r ❝ > ✷ t❤❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ✐s ✜rst ♦r❞❡r

❢∞ ∼ (❚❝ − ❚) ❋♦r ✶ ❝ ✷ t❤❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ✐s s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r ❢ ❚❝ ❚

✶ ❝ ✶

❋♦r ❝ ✶ ♥♦ tr❛♥s✐t✐♦♥

P❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ♣✉r❡ ❝❛s❡ ǫ✐ = ǫ

i1 i2 i3 ik

❚❝ ✐s ❦♥♦✇♥ ❡①♣

• − ǫ

❚❝

• =
• ♥≥✶

ω(♥)

◮ ❋♦r ❝ > ✷ t❤❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ✐s ✜rst ♦r❞❡r

❢∞ ∼ (❚❝ − ❚)

◮ ❋♦r ✶ < ❝ < ✷ t❤❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ✐s s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r

❢∞ ∼ (❚❝ − ❚)

✶ ❝−✶

❋♦r ❝ ✶ ♥♦ tr❛♥s✐t✐♦♥

P❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ♣✉r❡ ❝❛s❡ ǫ✐ = ǫ

i1 i2 i3 ik

❚❝ ✐s ❦♥♦✇♥ ❡①♣

• − ǫ

❚❝

• =
• ♥≥✶

ω(♥)

◮ ❋♦r ❝ > ✷ t❤❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ✐s ✜rst ♦r❞❡r

❢∞ ∼ (❚❝ − ❚)

◮ ❋♦r ✶ < ❝ < ✷ t❤❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ✐s s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r

❢∞ ∼ (❚❝ − ❚)

✶ ❝−✶

◮ ❋♦r ❝ < ✶ ♥♦ tr❛♥s✐t✐♦♥

❚❤❡ P♦❧❛♥❞ ❙❝❤❡r❛❣❛ ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ ❞✐s♦r❞❡r

i1 i2 i3 ik

t❤❡ ✇❡✐❣❤t ♦❢ ❛ ❧♦♦♣ ♦❢ ❧❡♥❣t❤ ♥ ✐s ω(♥) ∼ ✶ ♥❝

❩▲ =

• ❦≥✷
• ✶<✐✷···<✐❦−✶<▲

ω(✐✷−✐✶) · · · ω(✐❦ −✐❦−✶) ❡①♣

• −ǫ✐✶ + ǫ✐✷ + · · · ǫ✐❦

❚

• ❚❤❡ ǫ✐✬s ❛r❡ ✐✳✐✳❞✳

❙♦♠❡ ✐♠♣♦rt❛♥t r❡s✉❧ts ✐♥ t❤❡ ❞✐s♦r❞❡r❡❞ ❝❛s❡

❆❧❡①❛♥❞❡r✱ ❇❡r❣❡r✱ ●✐❛❝♦♠✐♥✱ ▲❛❝♦✐♥✱ ❚♦♥✐♥❡❧❧✐ ✱ · · ·

• ✐❛❝♦♠✐♥✱ ❚♦♥✐♥❡❧❧✐ ✷✵✵✻

❚❤❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ✐s ❛❧✇❛②s s♠♦♦t❤

❚❛♥❣✱ ❈❤❛té ✷✵✵✶

❙tr♦♥❣ ❞✐s♦r❞❡r ⇒ ✐♥✜♥✐t❡ ♦r❞❡r tr❛♥s✐t✐♦♥

❚❤❡ ❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ❧❛tt✐❝❡

◮ ▲ = ✷♥ ◮ ❛❧❧ ❧♦♦♣s ❤❛✈❡ ❧❡♥❣t❤s ✷❦ ✇✐t❤ ❦ = ✵, ✷, ✸, · · · ◮ ❩ (❥) ✵

= ❡①♣

• − ǫ❥

❚

• ❩✷▲

❩ ✶

▲ ❩ ✷ ▲

❜ ✶ ❜

❳♥ ❧♦❣ ❩✷♥ ❢ ❧✐♠

♥

❳♥ ✷♥ ❢ ✵ ✐s t❤❡ ♣✐♥♥❡❞ ♣❤❛s❡ ❀ ❢ ✵ ✐s t❤❡ ✉♥♣✐♥♥❡❞ ♣❤❛s❡

❚❤❡ ❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ❧❛tt✐❝❡

◮ ▲ = ✷♥ ◮ ❛❧❧ ❧♦♦♣s ❤❛✈❡ ❧❡♥❣t❤s ✷❦ ✇✐t❤ ❦ = ✵, ✷, ✸, · · · ◮ ❩ (❥) ✵

= ❡①♣

• − ǫ❥

❚

• ❩✷▲ = ❩ (✶)

▲ ❩ (✷) ▲

+ ❜ − ✶ ❜

❳♥ ❧♦❣ ❩✷♥ ❢ ❧✐♠

♥

❳♥ ✷♥ ❢ ✵ ✐s t❤❡ ♣✐♥♥❡❞ ♣❤❛s❡ ❀ ❢ ✵ ✐s t❤❡ ✉♥♣✐♥♥❡❞ ♣❤❛s❡

❚❤❡ ❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ❧❛tt✐❝❡

◮ ▲ = ✷♥ ◮ ❛❧❧ ❧♦♦♣s ❤❛✈❡ ❧❡♥❣t❤s ✷❦ ✇✐t❤ ❦ = ✵, ✷, ✸, · · · ◮ ❩ (❥) ✵

= ❡①♣

• − ǫ❥

❚

• ❩✷▲ = ❩ (✶)

▲ ❩ (✷) ▲

+ ❜ − ✶ ❜

❳♥ = ❧♦❣ ❩✷♥ ; ❢∞ = ❧✐♠

♥→∞

❳♥ ✷♥ ❢∞ > ✵ ✐s t❤❡ ♣✐♥♥❡❞ ♣❤❛s❡ ❀ ❢∞ = ✵ ✐s t❤❡ ✉♥♣✐♥♥❡❞ ♣❤❛s❡

❚❤❡ ❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ❧❛tt✐❝❡ ✭❳♥ = ❧♦❣ ❩✷♥✮

❳♥+✶ = ●

• ❳ (✶)

♥

+ ❳ (✷)

♥

• ⇐

❩✷▲ = ❩ (✶)

▲ ❩ (✷) ▲

+ ❜ − ✶ ❜ ✇✐t❤

• (❳) = ❳ + ❧♦❣

✶ + (❜ − ✶)❡−❳ ❜

• ❚❤❡ t♦② ♠♦❞❡❧

❳♥

✶

• ❳ ✶

♥

❳ ✷

♥

✇✐t❤

• ❳

♠❛① ❳ ❛

❚❤❡ ❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ❧❛tt✐❝❡ ✭❳♥ = ❧♦❣ ❩✷♥✮

❳♥+✶ = ●

• ❳ (✶)

♥

+ ❳ (✷)

♥

• ⇐

❩✷▲ = ❩ (✶)

▲ ❩ (✷) ▲

+ ❜ − ✶ ❜ ✇✐t❤

• (❳) = ❳ + ❧♦❣

✶ + (❜ − ✶)❡−❳ ❜

• ❚❤❡ t♦② ♠♦❞❡❧

❳♥+✶ = ●

• ❳ (✶)

♥

+ ❳ (✷)

♥

• ✇✐t❤
• (❳) = ♠❛①(❳, −❛)

G(X) X

−5 −2 −1 1 2 3 4 5 −10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 −4 −3

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

◮ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ r✐❣♦r ◮ ❆♥❛❧②s✐s ♦❢

∂r(①, τ) ∂τ = ∂r(①, τ) ∂① + ✶ ✷ ①

✵

r(①✶, τ) r(① − ①✶, τ) ❞①✶

◮ ●♦✐♥❣ ❜❛❝❦ t♦ t❤❡ ❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧ ◮ ●♦✐♥❣ ❜❛❝❦ t♦ t❤❡ P♦❧❛♥❞ ❙❝❤❡r❛❣❛ ♠♦❞❡❧