Review of classical electrodynamics and mechanics - - PowerPoint PPT Presentation

Review ¡of ¡classical ¡electrodynamics ¡ and ¡mechanics ¡

¡

• Maxwell’s ¡equa,on, ¡ ¡
• mo,on ¡of ¡a ¡charged ¡par,cle ¡
• rela,vis,c ¡effects ¡
• electromagne,c ¡field ¡of ¡a ¡moving ¡par,cle ¡
• phase ¡space, ¡Liouville’s ¡theorem ¡

PHYS ¡690-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ Fall ¡2014 ¡ 1 ¡

Maxwell’s ¡equa9ons ¡

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polariza9on ¡ magne9za9on ¡ electric ¡field ¡ induc9on ¡ Electric ¡displacement ¡ Magne9c ¡displacement ¡

Maxwell ¡Equa9on: ¡electric ¡ displacement ¡

• Generally ¡
• For ¡simple ¡case ¡of ¡homogeneous, ¡non-­‑

conduc,ng, ¡non-­‑dissipa,ng ¡isotropic ¡medium: ¡

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H B r t v µ =

E E E D v t r t r r ε χ ε ε ≡ + + = ...

Tensor ¡(or ¡matrix) ¡ Linear ¡suscep9bility ¡ Linear ¡op9cs ¡ NL ¡op9cs ¡

E E D v r r ε ε = " " " # $ % % % & ' = 1 1 1 µ B H r v =

Maxwell’s ¡equa9ons ¡in ¡absence ¡of ¡ current/charge ¡

• if ¡ no ¡ source ¡ terms ¡ are ¡ present ¡ (no ¡ charge/

current) ¡then: ¡

• in ¡vacuum ¡

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µ µ ε ε → →

Wave ¡equa9on ¡

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• Take ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡of ¡Faraday’s ¡law: ¡
• Take ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡of ¡Ampere-­‑Maxwell’s ¡equa,on: ¡

¡ ¡ ¡ ¡

• Summary: ¡

¡

Vector ¡A ¡and ¡Scalar ¡Φ ¡poten9als ¡

• start ¡w. ¡Maxwell’s ¡equa,ons: ¡
• use ¡poten,al ¡defini,on ¡in ¡Maxwell’s ¡

equa,ons: ¡ ¡

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How ¡to ¡find ¡the ¡field ¡of ¡a ¡moving ¡ par9cle? ¡

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• Using ¡ ¡

we ¡get: ¡ ¡

• In ¡the ¡Lorenz’ ¡Gauge: ¡ ¡
• Thus ¡
• Using ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡gives ¡

Inhomogeneous ¡ wave ¡equa,ons ¡

−0.5 0.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 x 10

−8

• E|| (V/m)

−0.5 0.5 1 2 3 4 x 10

−7

• E (V/m)

Field ¡of ¡a ¡charge ¡in ¡rec9linear ¡mo9on ¡

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b ¡ x ¡

• Lorentz ¡transformed ¡field ¡
• longitudinal ¡and ¡transverse ¡ ¡

E ¡fields: ¡ ¡

r B = µεr v × r E

Special ¡rela9vity ¡

• Squashing ¡of ¡the ¡E-­‑field ¡line ¡associated ¡to ¡a ¡moving ¡

charge ¡is ¡sugges,ve ¡of ¡Lorentz ¡contrac,on ¡

• e.m. ¡law ¡and ¡eqn ¡of ¡mo,on ¡should ¡be ¡invariant ¡with ¡

respect ¡to ¡Lorentz ¡transforma,ons ¡

• velocity ¡of ¡light ¡is ¡a ¡constant ¡in ¡all ¡iner,al ¡frames ¡
• The ¡rela,vis,c ¡factor ¡g ¡and ¡b ¡plays ¡an ¡important ¡role ¡

(length ¡contrac,on ¡and ¡,me ¡dila,on) ¡

• Most ¡of ¡the ¡electromagne,c ¡radia,on ¡process ¡involves ¡

these ¡factors ¡

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Lorentz ¡force ¡

• Newton ¡equa,on ¡for ¡a ¡charge ¡par,cle ¡

experiencing ¡an ¡electromagne,c ¡field: ¡

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dp dt = q (E + v × B)

momentum ¡ applied ¡or ¡self ¡ ¡ electric ¡ ¡field ¡ applied ¡or ¡self ¡ ¡ magne,c ¡field ¡ par,cle ¡ ¡ velocity ¡ par,cle ¡ ¡ charge ¡

space ¡charge ¡effects ¡

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• Let’s ¡consider ¡the ¡interac,on ¡of ¡two ¡par,cle ¡

moving ¡at ¡parallel ¡to ¡each ¡other ¡ ¡

• force ¡experienced ¡by ¡the ¡par,cle ¡of ¡charge ¡q0 ¡

velocity ¡versus ¡radia9on ¡fields ¡

• if ¡the ¡par,cle ¡accelerates ¡the ¡fields ¡are ¡then ¡

described ¡from ¡the ¡Lienard-­‑Wiechert ¡ poten,al: ¡ ¡

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Near ¡field ¡ ¡ Velocity ¡fields ¡ Far ¡field ¡ ¡ Radia9on ¡fields ¡

4πε0

B B B = ˆ n c × E E E

ˆ n ≡ R R R R

κ ≡ 1 − ˆ n.β β β

momentum ¡& ¡energy ¡

• total ¡energy ¡
• kine,c ¡energy ¡
• other ¡useful ¡defini,ons ¡ ¡

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E2 = p2c2 + m2c4 γ = E mc2 γ = 1 p 1 − β2 β = v c K = E − mc2 = (γ − 1)mc2

momentum ¡

• rela,vis,c ¡(kine,c) ¡momentum ¡
• nonrela,vis,c ¡limit ¡

¡

• in ¡presence ¡of ¡e.m. ¡field ¡the ¡canonical ¡

momentum ¡is ¡ ¡ ¡

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p = γβ β βmc p = β β βmc γ → 1 P = γβ β βmc + qA A A ≡ p p p + qA A A

trajectory ¡of ¡a ¡single ¡par9cle ¡

• classical ¡mechanics ¡use ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡where ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡posi,on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡canonical ¡momentum. ¡

• ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡form ¡a ¡set ¡of ¡canonical-­‑conjugate ¡

variables ¡

• alterna,ve ¡descrip,on ¡use ¡divergence ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡but ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡are ¡not ¡canonical ¡conjugates. ¡

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(x, p) x ≡ (x, y, z) p ≡ (px, py, pz) (x, p) x0 ≡ px/pz y0 ≡ py/pz (x, x0)

phase ¡space ¡ trace ¡space ¡

is ¡classical ¡mechanics ¡OK ¡for ¡typical ¡ beams? ¡

• Heisenberg ¡principle ¡
• much ¡higher ¡than ¡typical ¡phase ¡space ¡area ¡

(something ¡called ¡emibance) ¡for ¡typical ¡ beams ¡

• “cooler” ¡(smaller ¡spread ¡in ¡p ¡and ¡x) ¡beams ¡

might ¡be ¡affected ¡by ¡quantum ¡mechanics ¡

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cδ|x x x|δ|p p p| > ~ ∼ 10−10MeV.mm

Liouville’s ¡theorem ¡

• Liouville’s ¡theorem ¡states ¡that ¡volumes ¡in ¡

phase ¡space ¡are ¡invariant ¡

• The ¡mo,on ¡in ¡phase ¡space ¡is ¡analogous ¡to ¡

flow ¡of ¡an ¡incompressible ¡fluid. ¡ ¡

• in ¡prac,ce ¡many ¡effects ¡affect ¡Liouville’s ¡

theorem ¡ ¡

• one ¡of ¡the ¡challenge ¡of ¡beam ¡physics ¡is ¡to ¡

preserve ¡phase ¡space ¡density ¡and ¡prevent ¡or ¡ correct ¡for ¡phase-­‑space ¡dilu,on ¡processes. ¡

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Liouville’s ¡theorem ¡

• If ¡no ¡coupling ¡between ¡the ¡3 ¡degrees ¡

freedom, ¡Liouville ¡applies ¡in ¡each ¡sub ¡phase ¡ space ¡e.g. ¡ ¡

• In ¡beam ¡physics ¡the ¡phase ¡space ¡is ¡

characterized ¡by ¡its ¡area ¡and ¡is ¡refer ¡to ¡as ¡

• emibance. ¡

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(x, px)