S k e w h e a p s H e a p s w i t h m e r g i - - PowerPoint PPT Presentation

SLIDE 1

S k e w h e a p s

SLIDE 2

H e a p s w i t h m e r g i n g

A n

• t

h e r u s e f u l

• p

e r a t i

• n

i s m e r g i n g t w

• h

e a p s i n t

• n

e T

• d
• t

h i s , l e t ' s g

• b

a c k t

• b

i n a r y t r e e s w i t h t h e h e a p p r

• p

e r t y ( n

• c
• m

p l e t e n e s s ) : W e c a n i m p l e m e n t t h e

• t

h e r p r i

• r

i t y q u e u e

• p

e r a t i

• n

s i n t e r m s

• f

m e r g i n g !

8 1 8 2 9 3 7 3 2 8 9 2 2 8 3 9 6 6

SLIDE 3

I n s e r t i

• n

T

• i

n s e r t a s i n g l e e l e m e n t :

• b

u i l d a h e a p c

• n

t a i n i n g j u s t t h a t

• n

e e l e m e n t

• m

e r g e i t i n t

• t

h e e x i s t i n g h e a p !

E . g . , i n s e r t i n g 1 2

8 1 8 2 9 3 7 3 2 8 9 2 2 8 3 9 6 6 + 1 2

A t r e e w i t h j u s t

• n

e n

• d

e

SLIDE 4

D e l e t e m i n i m u m

T

• d

e l e t e t h e m i n i m u m e l e m e n t :

• t

a k e t h e l e f t a n d r i g h t b r a n c h e s

• f

t h e t r e e

• t

h e s e c

• n

t a i n e v e r y e l e m e n t e x c e p t t h e s m a l l e s t

• m

e r g e t h e m !

E . g . , d e l e t i n g 8 f r

• m

t h e p r e v i

• u

s h e a p

1 8 2 9 3 7 3 2 8 9 2 2 8 3 9 6 6

+

SLIDE 5

N a i v e m e r g i n g

H

• w

t

• m

e r g e t h e s e t w

• h

e a p s ? I d e a : r

• t
• f

r e s u l t i n g h e a p m u s t b e 1 8 T a k e h e a p A . P i c k

• n

e

• f

i t s c h i l d r e n . R e c u r s i v e l y m e r g e B i n t

• t

h a t c h i l d . L e t ' s u s e A ' s r i g h t c h i l d f

• r

n

• p

a r t i c u l a r r e a s

• n

1 8 2 9 3 7 3 2 8 9 2 2 8 3 9 6 6

A = B =

SLIDE 6

N a i v e m e r g i n g

T

• m

e r g e t w

• n
• n
• e

m p t y h e a p s : P i c k t h e h e a p w i t h t h e s m a l l e s t r

• t

: L e t C b e t h e

• t

h e r h e a p R e c u r s i v e l y m e r g e B a n d C !

x A B + C → x A B + C x A B

SLIDE 7

E x a m p l e

1 8 < 2 9 s

• p

i c k 1 8 a s t h e r

• t
• f

t h e m e r g e d t r e e

1 8 2 9 3 7 3 2 7 48 9 2 2 8 3 9 6 6

+

SLIDE 8

N a i v e m e r g i n g

R e c u r s i v e l y m e r g e t h e r i g h t b r a n c h

• f

1 8 a n d t h e 2 9 t r e e

1 8 2 9 3 7 3 2 7 48 9 2 2 8 3 9 6 6

+

SLIDE 9

N a i v e m e r g i n g

2 8 < 2 9 s

• p

i c k 2 8 a s t h e r

• t
• f

t h e m e r g e d t r e e

1 8 2 9 3 7 3 2 7 48 9 2 2 8 3 9 6 6

+

SLIDE 10

N a i v e m e r g i n g

R e c u r s i v e l y m e r g e t h e r i g h t b r a n c h

• f

2 8 a n d t h e 2 9 t r e e

1 8 2 9 3 7 3 2 7 48 9 2 3 9 6 6

+

2 8

SLIDE 11

N a i v e m e r g i n g

2 9 < 3 2 s

• p

i c k 2 9 a s t h e r

• t
• f

t h e m e r g e d t r e e

1 8 2 9 3 7 3 2 7 48 9 2 3 9 6 6

+

2 8

SLIDE 12

N a i v e m e r g i n g

R e c u r s i v e l y m e r g e t h e r i g h t b r a n c h

• f

2 9 w i t h 3 2

1 8 2 9 3 7 3 2 7 48 9 2 3 9 6 6

+

2 8

SLIDE 13

N a i v e m e r g i n g

B a s e c a s e : m e r g e 6 6 w i t h t h e e m p t y t r e e N

• t

i c e t h a t t h e t r e e l

• k

s p r e t t y “ r i g h t

• h

e a v y ”

1 8 2 9 3 7 3 2 7 48 9 2 3 9 6 6 2 8

SLIDE 14

W

• r

s t c a s e f

• r

n a i v e m e r g i n g

A r i g h t

• h

e a v y t r e e : U n f

• r

t u n a t e l y , y

• u

g e t t h i s j u s t b y d

• i

n g i n s e r t i

• n

s ! S

• i

n s e r t t a k e s O ( n ) t i m e . . . H

• w

c a n w e s t

• p

t h e t r e e f r

• m

b e c

• m

i n g r i g h t

• h

e a v y ?

SLIDE 15

S k e w m e r g i n g

I n a s k e w h e a p , a f t e r m a k i n g a r e c u r s i v e c a l l t

• m

e r g e , w e s w a p t h e t w

• c

h i l d r e n : A m a z i n g l y , t h i s s m a l l c h a n g e c

• m

p l e t e l y fj x e s t h e p e r f

• r

m a n c e

• f

m e r g e ! W e n e v e r e n d u p w i t h r i g h t

• h

e a v y t r e e s . W e g e t O ( l

• g

n ) a m

• r

t i s e d c

• m

p l e x i t y .

x A B + C → → x A B + C x A B + C

SLIDE 16

N a i v e m e r g i n g i n c

• d

e

data Heap a = Nil | Node a (Heap a) (Heap a) root (Node x _ _) = x merge x Nil = x merge Nil x = x merge x y | root x > root y = merge y x merge (Node x a b) c = Node x a (merge b c)

Ma k e s u r e t h a t fj r s t a r g u m e n t h a s s m a l l e s t r

• t

SLIDE 17

S k e w m e r g i n g i n c

• d

e

data Heap a = Nil | Node a (Heap a) (Heap a) root (Node x _ _) = x merge x Nil = x merge Nil x = x merge x y | root x > root y = merge y x merge (Node x a b) c = Node x (merge b c) a

SLIDE 18

E x a m p l e

O n e w a y t

• d
• s

k e w m e r g e i s t

• fj

r s t d

• n

a i v e m e r g e , t h e n g

• u

p t h e t r e e s w a p p i n g l e f t a n d r i g h t c h i l d r e n . . .

1 8 2 9 3 7 3 2 7 48 9 2 2 8 3 9 6 6

+

1 8 2 9 3 7 3 2 7 48 9 2 3 9 6 6 2 8

→

N a i v e m e r g e

SLIDE 19

E x a m p l e

. . . l i k e t h i s :

1 8 2 9 3 7 3 2 7 48 9 2 3 9 6 6 2 8 → 1 8 2 9 3 7 3 2 7 48 9 2 3 9 6 6 2 8 → 1 8 2 9 3 7 3 2 7 48 9 2 3 9 6 6 2 8

SLIDE 20

E x a m p l e

. . . l i k e t h i s :

→ →

1 8 2 9 3 7 3 2 7 48 9 2 3 9 6 6 2 8 1 8 2 9 3 7 3 2 7 48 9 2 3 9 6 6 2 8 1 8 2 9 3 7 3 2 7 48 9 2 3 9 6 6 2 8

SLIDE 21

S k e w h e a p s

I m p l e m e n t a t i

• n
• f

p r i

• r

i t y q u e u e s :

• b

i n a r y t r e e s w i t h h e a p p r

• p

e r t y

• s

k e w m e r g i n g a v

• i

d s r i g h t

• h

e a v y t r e e s , g i v e s O ( l

• g

n ) a m

• r

t i s e d c

• m

p l e x i t y

• o

t h e r

• p

e r a t i

• n

s a r e b a s e d

• n

m e r g e

A g

• d

fj t f

• r

f u n c t i

• n

a l l a n g u a g e s :

• b

a s e d

• n

t r e e s r a t h e r t h a n a r r a y s

O t h e r d a t a s t r u c t u r e s b a s e d

• n

n a i v e m e r g i n g + a v

• i

d i n g r i g h t h e a v y t r e e s :

• l

e f t i s t h e a p s ( s w a p c h i l d r e n w h e n n e e d e d )

• m

e l d a b l e h e a p s ( s w a p c h i l d r e n a t r a n d

• m

)

S e e w e b p a g e f

• r

l i n k t

• v

i s u a l i s a t i

• n

s i t e !