s r s srtr - - PowerPoint PPT Presentation

❆ s✐❣♥ ❛♥❞ r❛♥❦ ❜❛s❡❞ s❡♠✐♣❛r❛♠❡tr✐❝❛❧❧② ❡✣❝✐❡♥t ❡st✐♠❛t♦r ❢♦r r❡❣r❡ss✐♦♥ ❛♥❛❧②s✐s

❱✳ ❱❡r❛r❞✐✶✱✷ ❛♥❞ ❈✳ ❱❡r♠❛♥❞❡❧❡✷

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❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦rs

• ❛✉ss✲▼❛r❦♦✈ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s

❖r❞✐♥❛r② ▲❡❛st ❙q✉❛r❡s ✭❖▲❙✮ ✐s ✉♥❞♦✉❜t❡❞❧② t❤❡ s✐♠♣❧❡st ❛♥❞ ♠♦st ❝♦♠♠♦♥❧② ✉s❡❞ ❡st✐♠❛t♦r ❢♦r ❧✐♥❡❛r r❡❣r❡ss✐♦♥ ❛♥❛❧②s✐s✳ ❯♥❞❡r ❛ s❡t ♦❢ ❤②♣♦t❤❡s❡s✱ ❝❛❧❧❡❞ ●❛✉ss✲▼❛r❦♦✈ ✭●▼✮ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s✱ t❤✐s ❡st✐♠❛t♦r ✐s t❤❡ ♠♦st ❡✣❝✐❡♥t ❧✐♥❡❛r ✉♥❜✐❛s❡❞ ❡st✐♠❛t♦r✳ ❖♥❡ ♦❢ t❤❡s❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s ✐s t❤❛t ❡rr♦rs ❛r❡ ♥♦r♠❛❧❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞✳ ■♥ ❝❛s❡ ♦❢ ❤❡❛✈②✲t❛✐❧❡❞ ❛♥❞✴♦r ❛s②♠♠❡tr✐❝❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡rr♦r t❡r♠✱ ❖▲❙ ✐s ♥♦t t❤❡ ♠♦st ❡✣❝✐❡♥t ❡st✐♠❛t♦r ❛♥②♠♦r❡✳ ❊rr♦rs ✇✐t❤ ❛ ❤❡❛✈✐❡r t❛✐❧❡❞ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❝❛♥ r❡s✉❧t ✐♥ ❡①tr❡♠❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝❛♥ s✐❣♥✐✜❝❛♥t❧② ❛✛❡❝t t❤❡ ❖▲❙ ❡st✐♠❛t❡s ♦❢ r❡❣r❡ss✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts❀ t❤❡ ❧♦ss ✐♥ ❡✣❝✐❡♥❝② ❝❛♥ ❜❡ ✈❡r② ❧❛r❣❡✳

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❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦rs

• ❛✉ss✲▼❛r❦♦✈ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s

■❢ t❤❡ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✐s ❦♥♦✇♥ ❛♥❞ ♥♦t ❣❛✉ss✐❛♥✱ t❤❡ ❖▲❙ ❡st✐♠❛t♦r ✐s ♦✉t♣❡r❢♦r♠❡❞ ❜② t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ❡st✐♠❛t♦r✳ ■❢ t❤❡ tr✉❡ ❡rr♦r ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✐s ✉♥❦♥♦✇♥✱ ❛ ♥✐❝❡ s♦❧✉t✐♦♥ ✐s t♦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ ✐t✱ r❡❧②✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ✐♥ t❤❡ s❛♠♣❧❡✱ ❛♥❞ t♦ ❡st✐♠❛t❡ t❤❡ r❡❣r❡ss✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❜② ♣s❡✉❞♦✲♠❛①✐♠✉♠ ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞✳ ❯♥❢♦rt✉♥❛t❡❧②✱ t❤✐s ♦❢t❡♥ ❧❡❛❞s t♦ ❛ r❛t❤❡r ❝♦♠♣❧❡① ♠❛①✐♠✉♠ ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ❛s t❤❡ ❞❡♥s✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❡✐t❤❡r ✈❡r② ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ♦r ♥♦♥✲❡①♣❧✐❝✐t✳ ❚❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ♥❡❡❞❡❞ t♦ ✜t t❤❡ ♠♦❞❡❧ ✐s ❣❡♥❡r❛❧❧② ❞✐✣❝✉❧t t♦ ❤❛♥❞❧❡✳

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✸ ✴ ✸✽

❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r

• ❛✉ss✲▼❛r❦♦✈ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s

❳✉ ❛♥❞ ●❡♥t♦♥ ✭✷✵✶✺✮ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❛t t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡rr♦r t❡r♠ ❜❡❧♦♥❣s t♦ t❤❡ ❢❛♠✐❧② ♦❢ t❤❡ ❚✉❦❡② g✲❛♥❞✲h ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ✭Tg,h✮ ❛♥❞ ♣r♦♣♦s❡ ❛ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧❧② ❡✣❝✐❡♥t ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ♣r♦❝❡❞✉r❡ t♦ ❡st✐♠❛t❡ ❥♦✐♥t❧②✱ ❜② ♠❛①✐♠✉♠ ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞✱ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ♦❢ t❤❡ ❡rr♦r ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ r❡❣r❡ss✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✳ ❚❤❡ Tg,h ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✱ ♣r♦♣♦s❡❞ ❜② ❚✉❦❡②✭✶✾✼✼✮✱ ✐s ❡①tr❡♠❡❧② ✢❡①✐❜❧❡ ❛♥❞ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡s ✇❡❧❧ ❛ ❧❛r❣❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦♠♠♦♥❧② ✉s❡❞ ❞❡♥s✐t✐❡s✳ ■♥ ❡ss❡♥❝❡✱ t❤✐s ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❛ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ♥♦r♠❛❧ ❛❧❧♦✇✐♥❣ t♦ ✐♥tr♦❞✉❝❡ s❦❡✇♥❡ss ❛♥❞ t♦ ♦❜t❛✐♥ ❧❛r❣❡r t❛✐❧ ❤❡❛✈✐♥❡ss✳ ❚❤❡ ❞✐✣❝✉❧t② ❡♥❝♦✉♥t❡r❡❞ ❜② ❳✉ ❛♥❞ ●❡♥t♦♥ ✭✷✵✶✺✮ ✐s t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ❡①♣❧✐❝✐t ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❞❡♥s✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ❛ Tg,h

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✹ ✴ ✸✽

❋❧❡①✐❜❧❡ ❡st✐♠❛t✐♦♥

❚✉❦❡② ❣✲❛♥❞✲❤

❉❡✜♥✐t✐♦♥

▲❡t Z ❜❡ ❛ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❢r♦♠ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ♥♦r♠❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ N(✵, ✶)✳ ❉❡✜♥❡ t❤❡ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡ Y t❤r♦✉❣❤ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ Y = ξ + ωτg,h(Z) ✇❤❡r❡ ξ ∈ R✱ ω > ✵✱ ❛♥❞ τg,h(z) = ✶ g (egz − ✶) ehz✷/✷ ✇✐t❤ g ∈ R ❛♥❞ h ≥ ✵✳ ❱❛r✐❛❜❧❡ Y ✐s s❛✐❞ t♦ ❤❛✈❡ ❛ ❚✉❦❡②✬s g✲❛♥❞✲h ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✇✐t❤ ❧♦❝❛t✐♦♥ ♣❛r❛♠❡t❡r ξ ❛♥❞ s❝❛❧❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ω✿ Y ∼ Tg,h (ξ, ω)✳ P❛r❛♠❡t❡r g ❝♦♥tr♦❧s t❤❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ s❦❡✇♥❡ss ❛♥❞ h ❝♦♥tr♦❧s t❤❡ t❛✐❧ t❤✐❝❦♥❡ss✳

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✺ ✴ ✸✽

❉❡♥s✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥

❚✉❦❡② ❣✲❛♥❞✲❤ ■t ✐s ❡❛s② t♦ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ❞❡♥s✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ Tg,h(ξ, ω)✲❞✐str✐❜✉t❡❞ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡ Y t❛❦❡s t❤❡ ❢♦r♠✿ fY |θ(y) = φ

• τ −✶

g,h

• y−ξ

ω

• ωτ ′

g,h

• τ −✶

g,h

• y−ξ

ω

, y ∈ R, ✇❤❡r❡ φ(·) ✐s t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ♥♦r♠❛❧ ❞❡♥s✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ❛♥❞ τ −✶

g,h(·) ❛♥❞ τ ′ g,h(·)

❛r❡ t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ❛♥❞ t❤❡ ✜rst ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥ τg,h(·)✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❇② ❞❡✜♥✐♥❣ Qg,h(u) = τg,h

• Φ−✶(u)
• ✱ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥

❛s fY |θ(y) = ✶ ωQ′

g,h

• Q−✶

g,h

• y−ξ

ω

, y ∈ R, ✇❤❡r❡ Q−✶

g,h(·) ❛♥❞ Q′ g,h(·) ❛r❡ t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ❛♥❞ t❤❡ ✜rst ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ t❤❡

q✉❛♥t✐❧❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ Qg,h(·) ♦❢ t❤❡ st❛♥❞❛r❞✐③❡❞ Tg,h (✵, ✶)✲❞✐str✐❜✉t✐♦♥✳

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✻ ✴ ✸✽

❉❡♥s✐t② ❡st✐♠❛t✐♦♥

▼❛①✐♠✉♠ ▲✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ▲❡t y✶, . . . , yn ❜❡ t❤❡ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥s ♦❢ n ✐✳✐✳❞✳ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s ♦❢ ✉♥❦♥♦✇♥ ❞❡♥s✐t② f ✱ ♣♦ss✐❜❧② s❦❡✇❡❞ ❛♥❞✴♦r ❤❡❛✈② t❛✐❧❡❞✳ ■❢ ❞❡♥s✐t② f ✐s ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❜❡ ❛ Tg,h (ξ, ω)✱ ✇❡ ♠❛② tr② t♦ ❡st✐♠❛t❡ θ = (ξ, ω, g, h)❚ ❜② ♠❛①✐♠✐③✐♥❣ ❧♦❣✲❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞✿ ℓ(n) (θ) =

n

• i=✶

ln(fY |θ(yi)) =

n

• i=✶
• ln φ
• τ −✶

g,h

yi − ξ ω

• − ln ω − ln τ ′

g,h

• τ −✶

g,h

yi − ξ ω

• =

n

• i=✶
• − ln ω − ln Q′

g,h

• Q−✶

g,h

yi − ξ ω

• .

❍♦✇❡✈❡r✱ s✐♥❝❡ τ −✶

g,h(·) ❛♥❞ Q−✶ g,h(·) ❞♦ ♥♦t ❤❛✈❡ ❛ ❝❧♦s❡❞ ❢♦r♠✱ ♥✉♠❡r✐❝❛❧

❡✈❛❧✉❛t✐♦♥ ♦❢ ℓ(n) (θ) ✐s ♥❡❡❞❡❞✳

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✼ ✴ ✸✽

❉❡♥s✐t② ❡st✐♠❛t✐♦♥

❖r❞❡r st❛t✐st✐❝s ❍❡r❡✱ ✇❡ s✉❣❣❡st t♦ ♠✐♥✐♠✐③❡ t❤❡ sq✉❛r❡❞ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ q✉❛♥t✐❧❡s ♦❢ t❤❡ ❚✉❦❡②✬s ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ❡♠♣✐r✐❝❛❧ ♦r❞❡r st❛t✐st✐❝s✿

• θ

= arg min

θ n

• i=✶
• y(i) −
• ξ + ωQg,h
• i

n + ✶ ✷ = arg min

θ n

• i=✶
• y(i) −
• ξ + ωτg,h
• zi/(n+✶)

✷ , ✇❤❡r❡ y(i) ✐s t❤❡ it❤ ♦r❞❡r st❛t✐st✐❝s ❛♠♦♥❣ y✶, . . . , yn ❛♥❞ zi/(n+✶) = Φ−✶ (i/(n + ✶)) ✐s t❤❡ q✉❛♥t✐❧❡ ♦❢ ♦r❞❡r i/(n + ✶) ♦❢ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ♥♦r♠❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✳ ❚❤❡ s❝♦r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ t♦ ♠✐♥✐♠✐③❡ ✐s ♦❢ t❤❡ ♥♦♥ ❧✐♥❡❛r ❧❡❛st sq✉❛r❡s t②♣❡ ❛♥❞ t❤❡ ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ❝❛♥ ❡❛s✐❧② ❜❡ s♦❧✈❡❞ ❜② ❛ ❝❧❛ss✐❝ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭♦❢ ●❛✉ss ◆❡✇t♦♥ t②♣❡✱ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✮✳

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✽ ✴ ✸✽

❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦rs

❙❡♠✐♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♠♦❞❡❧ ❲❡ ♣r♦♣♦s❡ ❤❡r❡ ❛ q✉✐t❡ ❞✐✛❡r❡♥t ❛♣♣r♦❛❝❤✱ t❤❛t ✜♥❞s ✐ts ❢♦✉♥❞❛t✐♦♥ ✐♥ ❱❡r♠❛♥❞❡❧❡ ✭✷✵✵✵✮✱ ❍❛❧❧✐♥ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✻✮ ❛♥❞ ❍❛❧❧✐♥ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✽✮✳ ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r ♠❡❞✐❛♥✲r❡str✐❝t❡❞ r❡❣r❡ss✐♦♥ ♠♦❞❡❧✱ t❤❛t ✐s ❛ r❡❣r❡ss✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❡rr♦r t❡r♠ ❤❛s ③❡r♦ ♠❡❞✐❛♥✱ ❜✉t ♦t❤❡r✇✐s❡ ✉♥s♣❡❝✐✜❡❞ ❞❡♥s✐t② f ✳ ❚❤✐s ♠♦❞❡❧ ✐s ❛ s❡♠✐♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♠♦❞❡❧✱ ✇✐t❤ t❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❞❡♥s✐t② ♣❧❛②✐♥❣ t❤❡ r♦❧❡ ♦❢ ❛♥ ✐♥✜♥✐t❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ♥✉✐s❛♥❝❡ ♣❛r❛♠❡t❡r✳ ■♥ t❤✐s ❝♦♥t❡①t✱ s❡♠✐♣❛r❛♠❡tr✐❝ t❤❡♦r② ❧❡❛❞s ✉s t♦ ❞❡✜♥❡ ❛ s✐❣♥ ❛♥❞ r❛♥❦ ❜❛s❡❞ ❡st✐♠❛t♦r ♦❢ t❤❡ r❡❣r❡ss✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❛s ❛ ♦♥❡✲st❡♣ ✉♣❞❛t❡ ♦❢ ❛♥ ✐♥✐t✐❛❧ r♦♦t ♥ ❝♦♥s✐st❡♥t ❡st✐♠❛t♦r✳ ❚❤❡ s❝♦r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ✐♥✐t✐❛❧❧② ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ t❤❡ ❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ ❡①❛❝t ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❞❡♥s✐t② f ✱ ✐s ❡st✐♠❛t❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t f ❝❛♥ ❜❡ ✇❡❧❧ ❛❞❥✉st❡❞ ❜② ❛ ❚✉❦❡② g✲❛♥❞✲h ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✳

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✾ ✴ ✸✽

❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r

❙❡♠✐♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♠❡❞✐❛♥✲r❡str✐❝t❡❞ r❡❣r❡ss✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❧✐♥❡❛r r❡❣r❡ss✐♦♥ ♠♦❞❡❧✿ ❢♦r i = ✶, . . . , n✱ yi = β✵ + β✶xi✶ + . . . + βpxip + εi = ①❚

i β + εi

✭✶✮ ✇✐t❤ β = (β✵, β✶, . . . , βp)❚✱ ①i = (✶, xi✶, . . . , xip)❚ ❛♥❞ ✇❤❡r❡ t❤❡ ✐✳✐✳❞ ❡rr♦r t❡r♠s εi ❤❛✈❡ ③❡r♦ ♠❡❞✐❛♥✱ ❜✉t ♦t❤❡r✇✐s❡ ✉♥s♣❡❝✐✜❡❞ ❞❡♥s✐t② f ❛♥❞ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ F✳ ▲❡t F✵ =

• f : R → [✵, ∞) s✉❝❤ t❤❛t

´ ✵

−∞ f (z)dz =

´ ∞

✵ f (z)dz = ✶/✷

• ❞❡♥♦t❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❞❡♥s✐t✐❡s ♦♥ t❤❡ r❡❛❧ ❧✐♥❡ t❤❛t ❤❛✈❡ ♠❡❞✐❛♥ ✵✳ ❙✐♥❝❡

t❤❡ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❞❡♥s✐t② ✐s ✉♥❦♥♦✇♥✱ ✐t ♣❧❛②s t❤❡ r♦❧❡ ♦❢ ❛ ♥♦♥♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♥✉✐s❛♥❝❡✳ ▼♦❞❡❧ yi = ①❚

i β + εi ❞❡✜♥❡s ❛ s❡♠✐♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♠♦❞❡❧✳ ❚❤❡ r❡s✐❞✉❛❧s

e✶ (β) = y✶ − ①❚

✶ β, . . . , en (β) = yn − ①❚ n β ❛r❡ ✐✳✐✳❞✳ ✇✐t❤ ✭♠❛r❣✐♥❛❧✮

❞❡♥s✐t② f ∈ F✵✳

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✶✵ ✴ ✸✽

▲♦❝❛❧ ❆s②♠♣t♦t✐❝ ◆♦r♠❛❧✐t②

❉❡✜♥✐t✐♦♥

■♥ st❛t✐st✐❝s✱ ❧♦❝❛❧ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ♥♦r♠❛❧✐t②✱ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❜② ▲❡ ❈❛♠ ✭✶✾✻✵✮✱ ✐s ❛ ♣r♦♣❡rt② ♦❢ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ st❛t✐st✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧s✳ ❆ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ st❛t✐st✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧s ✐s ✧❧♦❝❛❧❧② ❛s②♠♣t♦t✐❝❛❧❧② ♥♦r♠❛❧✧ ✐❢✱ ❛s②♠♣t♦t✐❝❛❧❧②✱ t❤❡✐r ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ r❛t✐♦ ♣r♦❝❡ss❡s ❛r❡ s✐♠✐❧❛r t♦ t❤♦s❡ ❢♦r ❛ ♥♦r♠❛❧ ❧♦❝❛t✐♦♥ ♣❛r❛♠❡t❡r✳ ❚❡❝❤♥✐❝❛❧❧②✱ ✐❢ t❤❡ ❧♦❣ ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ✐s ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡❧② q✉❛❞r❛t✐❝ ✇✐t❤ ❝♦♥st❛♥t ❍❡ss✐❛♥✱ t❤❡♥ t❤❡ ▼▲❊ ✐s ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡❧② ♥♦r♠❛❧✳ ■♥t✉✐t✐✈❡❧② s♣❡❛❦✐♥❣✱ st❛t✐st✐❝❛❧ ✐♥❢❡r❡♥❝❡ ✐♥ ❛ ▲❆◆ ♠♦❞❡❧ ✐s ❛s②♠♣t♦t✐❝❛❧❧② ❧♦❝❛❧❧② ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ✐♥❢❡r❡♥❝❡ ✐♥ ❛ ●❛✉ss✐❛♥ s❤✐❢t ❡①♣❡r✐♠❡♥t✳ ❲✐❦✐♣❡❞✐❛

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✶✶ ✴ ✸✽

❙❡♠✐♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♠♦❞❡❧❧✐♥❣

P❛r❛♠❡tr✐❝ ♠♦❞❡❧❧✐♥❣ P❛r❛♠❡tr✐❝ t❤❡♦r② ❤❛s r❡❝❡✐✈❡❞ ❛ ❧♦t ♦❢ ❛tt❡♥t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡✳ ■♥❞❡❡❞✱ ♠♦st ✇❡❧❧✲❦♥♦✇♥ ❡❧❡♠❡♥t❛r② st❛t✐st✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞s ❛r❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝✳ ❖♥❡ ♦❢ t❤❡ ♠♦st ✐♠♣♦rt❛♥t r❡s✉❧ts ❝♦♥❝❡r♥s t❤❡ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ♥♦r♠❛❧✐t② ❛♥❞ ❡✣❝✐❡♥❝② ♦❢ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ❡st✐♠❛t♦r ✭▼▲❊✮✱ r♦♦t❡❞ ✐♥ t❤❡ ✇♦r❦ ❜② ❋✐s❤❡r ✐♥ t❤❡ ✶✾✷✵s✳ ❆♥♦t❤❡r ❦❡② r❡s✉❧t ✐s t❤❡ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞ t❤❡♦r② r♦♦t❡❞ ✐♥ t❤❡ ✇♦r❦ ❜② ❈r❛♠❡r ❛♥❞ ❘❛♦ ✐♥ t❤❡ ✶✾✹✵s ❚❤❡ s❡♠✐♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ ♠✐ss♣❡❝✐✜❝❛t✐♦♥ ✐s t♦ ❛❧❧♦✇ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❢♦r♠ ♦❢ s♦♠❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧ t♦ ❜❡ ✉♥r❡str✐❝t❡❞✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ s♦❧✉t✐♦♥s✱ ✐❢ t❤❡② ❡①✐st ❛♥❞ ❛r❡ r❡❛s♦♥❛❜❧❡✱ ✇✐❧❧ ❤❛✈❡ ❣r❡❛t❡r ❛♣♣❧✐❝❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ r♦❜✉st♥❡ss✳

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✶✷ ✴ ✸✽

❙❡♠✐♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❡✣❝✐❡♥❝②

❙❡♠✐♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♠♦❞❡❧❧✐♥❣ ❊✣❝✐❡♥❝② ❜♦✉♥❞s q✉❛♥t✐❢② t❤❡ ❡✣❝✐❡♥❝② ❧♦ss t❤❛t ❝❛♥ r❡s✉❧t ❢r♦♠ ❛ s❡♠✐♣❛r❛♠❡tr✐❝✱ r❛t❤❡r t❤❛♥ ❛ ♣❛r❛♠❡tr✐❝✱ ❛♣♣r♦❛❝❤✳ ❚❤❡s❡ ❜♦✉♥❞s ♣r♦✈✐❞❡ ❛ ❣✉✐❞❡ t♦ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞s ♦❢ t❤❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ❆♥② √n✲❝♦♥s✐st❡♥t ❛♥❞ ❛s②♠♣t♦t✐❝❛❧❧② ♥♦r♠❛❧ ✉♥❞❡r t❤❡ s❡♠✐♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s✱ ✐s ❛❝t✉❛❧❧② ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ❝❧❛ss ❛s t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠✲❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ❡st✐♠❛t♦r ♦❢ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ✐♥ t❤❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ s✉❜♠♦❞❡❧✱ ❛♥❞ t❤❡r❡❢♦r❡ ❤❛s ❛♥ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ✈❛r✐❛♥❝❡ ♥♦ s♠❛❧❧❡r t❤❛♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞ ❢♦r t❤❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ s✉❜♠♦❞❡❧✳ ❙✐♥❝❡ t❤✐s ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ❤♦❧❞s ❢♦r ❡❛❝❤ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ s✉❜♠♦❞❡❧ t❤❛t ♦♥❡ ❝♦✉❧❞ ❝♦♥s✐❞❡r✱ ✐t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t t❤❡ ❛s②♠t♣♦t✐❝ ✈❛r✐❛♥❝❡ ♦❢ ❛♥② s❡♠✐♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❡st✐♠❛t♦r ✐s ♥♦ s♠❛❧❧❡r t❤❛♥ t❤❡ s✉♣r❡♠✉♠ ♦❢ t❤❡ ❈r❛♠❡r✲❘❛♦ ❜♦✉♥❞s ❢♦r ❛❧❧ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ s✉❜♠♦❞❡❧s✳

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✶✸ ✴ ✸✽

P❛r❛♠❡tr✐❝❛❧❧② ❡✣❝✐❡♥t ❝❡♥tr❛❧ s❡q✉❡♥❝❡ ❛♥❞ ❡st✐♠❛t♦r ❢♦r β

❊✣❝✐❡♥t ❡st✐♠❛t♦r ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ✐♥❢❡r❡♥❝❡ ❢♦r β ❝❛♥ ❜❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❘❛♦ s❝♦r❡ ✭❧♦❣✲❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s✮✱ ♦r✱ ✐♥ ▲❡ ❈❛♠✬s ✏✉♥✐❢♦r♠ ❧♦❝❛❧ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ♥♦r♠❛❧✐t②✑ t❡r♠✐♥♦❧♦❣②✱ ♦♥ t❤❡ ❝❡♥tr❛❧ s❡q✉❡♥❝❡✿ ∆(n)

f

(β) =

✶ √n

n

i=✶ φf (ei (β)) ①i ✇✐t❤ φf (e) = − f ′(e) f (e) ✳

❆s n → ∞, ✉♥❞❡r P(n)

f ;β✱ ∆(n) f

(β) L − → N (✵, ■f ) ✇❤❡r❡ ■f ✐s t❤❡ ✭♣❛r❛♠❡tr✐❝✮ ❋✐s❤❡r ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♠❛tr✐① ❢♦r β ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ✐❢ β

(n) ✐s ❛ √n✲❝♦♥s✐st❡♥t✖❜✉t ♣♦ss✐❜❧②

✐♥❡✣❝✐❡♥t✖❡st✐♠❛t♦r ♦❢ β✱ t❤❡♥

• β

(n) f

= β

(n) + ✶

√n (■f )−✶ ∆(n)

f

( β

(n))

✐s ❛♥ ❡✣❝✐❡♥t ❡st✐♠❛t♦r ♦❢ β✿ ✉♥❞❡r P(n)

f ;β✱ ❛s n → ∞✱

√n

• β

(n) f

− β L − → N

• ✵, (■f )−✶

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✶✹ ✴ ✸✽

❙❡♠✐♣❛r❛♠❡tr✐❝❛❧❧② ❡✣❝✐❡♥t ❝❡♥tr❛❧ s❡q✉❡♥❝❡

❊✣❝✐❡♥t ❡st✐♠❛t♦r ❆s ∆(n)

f

(β) ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ✐s ♥♦t ♣r♦♣❡r❧② ❝❡♥tr❡❞ ✉♥❞❡r ❞❡♥s✐t② g = f ✱ ✐♥❢❡r❡♥❝❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤✐s ❝❡♥tr❛❧ s❡q✉❡♥❝❡ ✐s ♥♦t ✈❛❧✐❞ ✇❤❡♥ ❞❡♥s✐t② f ✉s❡❞ ❢♦r t❤❡ s❝♦r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ φf (·) ❞♦❡s ♥♦t ❝♦✐♥❝✐❞❡ ✇✐t❤ t❤❡ tr✉❡ ❡rr♦r ❞❡♥s✐t②❀ t❤❡ ❡st✐♠❛t♦r β

(n) f

✐s ♥♦ ❧♦♥❣❡r √n✲❝♦♥s✐st❡♥t✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐♥ t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ❛ s✉✐t❛❜❧❡ ❣r♦✉♣ ✐♥✈❛r✐❛♥❝❡ str✉❝t✉r❡✱ s❡♠✐♣❛r❛♠❡tr✐❝❛❧❧② ❡✣❝✐❡♥t ❝❡♥tr❛❧ s❡q✉❡♥❝❡ ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ❝♦♥❞✐t✐♦♥✐♥❣ ∆(n)

f

(β) ♦♥ t❤❡ ♠❛①✐♠❛❧ ✐♥✈❛r✐❛♥t✳ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶ ❯♥❞❡r P(n)

f ;β✱ ❛s n → ∞✱

❊

• ∆(n)

f

(β)

• ◆(n) (β) , ❘(n) (β)
• =

∆(n)∗

f

(β) + oP(✶) = ∆(n)∗

f

(β) + oP(✶)

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✶✺ ✴ ✸✽

❙❡♠✐♣❛r❛♠❡tr✐❝❛❧❧② ❡✣❝✐❡♥t ❝❡♥tr❛❧ s❡q✉❡♥❝❡

❊✣❝✐❡♥t ❡st✐♠❛t♦r ❉❡✜♥❡

• ∆

(n)∗ (β)

= ✶ √n

n

• i=✶
• ϕ(n)

R(n)

i

(β) ①i − ①(n) + ✷ O(n) ✶ √n

• N(n)

+ (β) − N(n) − (β)

• ①(n)

❛♥❞

• ■(n)∗ =

I(n) ✶ n

n

• i=✶
• ①i − ①(n)

①i − ①(n)❚ +

• ✷

O(n)✷ ①(n) ①(n)❚ ✇✐t❤ ϕf (u) = φf

• F −✶(u)
• ✱ ❢♦r u ∈ (✵, ✶) ❛♥❞ ❞❡♥♦t✐♥❣ ❜② ❘(n) (β) ❛♥❞

s(n) (β) t❤❡ ✈❡❝t♦r ♦❢ r❛♥❦s ❛♥❞ t❤❡ ✈❡❝t♦r ♦❢ s✐❣♥s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ r❡s✐❞✉❛❧s e✶ (β) , . . . , en (β)✳ ❉❡✜♥❡ N(n)

+ (β) ❛♥❞ N(n) − (β) ❛s t❤❡ ♥✉♠❜❡rs

♦❢ ♣♦s✐t✐✈❡ ❛♥❞ ♥❡❣❛t✐✈❡ r❡s✐❞✉❛❧s✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✶✻ ✴ ✸✽

❙❡♠✐♣❛r❛♠❡tr✐❝❛❧❧② ❡✣❝✐❡♥t ❝❡♥tr❛❧ s❡q✉❡♥❝❡

❊✣❝✐❡♥t ❡st✐♠❛t♦r ❉❡✜♥❡ R(n)

i

(β) = I [si (β) = −✶]

• ✶

✷ · R(n)

i

(β) N(n)

− (β) + ✶

• +

I [si (β) = +✶]  ✶ ✷ + ✶ ✷ · R(n)

i

(β) −

• n − N(n)

+ (β)

• N(n)

+ (β) + ✶

  ❋♦r t❤❡ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ϕf (·)✱ If ❛♥❞ f (✵)✱ ✇❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❡rr♦r ❞❡♥s✐t② f ✉s✐♥❣ ❛ ❚✉❦❡② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✇✐t❤ ❧♦❝❛t✐♦♥ ♣❛r❛♠❡t❡r ✭♠❡❞✐❛♥✮ ❡q✉❛❧ t♦ ③❡r♦ ❛♥❞ s❦❡✇♥❡ss ♣❛r❛♠❡t❡r g✱ t❛✐❧ ❤❡❛✈✐♥❡ss ♣❛r❛♠❡t❡r h ❛♥❞ s❝❛❧❡ ♣❛r❛♠❡t❡r w ❡st✐♠❛t❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ r❡s✐❞✉❛❧s ei( β

(n))✱ i = ✶, . . . , n ❜② s♦❧✈✐♥❣

• θ arg minθ

n

i=✶

• e(i) −
• ξ + ωQg,h
• i

n+✶

✷

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✶✼ ✴ ✸✽

❙❡♠✐♣❛r❛♠❡tr✐❝❛❧❧② ❡✣❝✐❡♥t ❝❡♥tr❛❧ s❡q✉❡♥❝❡

❊✣❝✐❡♥t ❡st✐♠❛t♦r ❚❤❡♥✱ ❞❡♥♦t✐♥❣ ❜② f t❤❡ ❞❡♥s✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ T

g, h(✵,

ω)✲❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❛♥❞ ✇❡ ❤❛✈❡✿

• O(n) =

f (✵) = ✶

• ωQ′
• g,

h

• Q−✶
• g,

h(✵)

= ✶

• ωQ′
• g,

h (✶/✷) =

✶

• ω

√ ✷π ,

• ϕ(n)(u) = ϕ

f (u) =

Q′′

• g,

h(u)

• ω
• Q′
• g,

h(u)

✷ ❛♥❞

• I(n) =

ˆ ∞

−∞

φ✷

• f (y)

f (y)dy = ˆ ✶

✵

ϕ✷

• f (u)du

✇❤❡r❡ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ♥✉♠❡r✐❝❛❧❧②✳

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✶✽ ✴ ✸✽

❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s

❙❡t✉♣ ✭♥❂✶✵✵✱ ♥❂✶✵✵✵✮

• ❡♥❡r❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s x✶, x✷ ❛♥❞ x✸ ❢r♦♠ t❤r❡❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t st❛♥❞❛r❞ r❛♥❞♦♠

♥♦r♠❛❧s✳ ❚❤❡♥ ❣❡♥❡r❛t❡ y = x✶ + x✷ + x✸ + ε ✇❤❡r❡ ε ✐s ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ s♦♠❡ s♣❡❝✐✜❝ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✿

✶ ❍❡❛✈②✲t❛✐❧❡❞ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s✳ ❚❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❛r❡ ✐✮ ◆♦r♠❛❧✱

✐✐✮ ❲❡✐❜✉❧❧✭✶✱✷✮✱ ✐✐✐✮ ▲♦❣◆♦r♠❛❧✱ ✐✈✮ st❛♥❞❛r❞ ▲❛♣❧❛❝❡✱ ✈✮ ❙❦❡✇▲♦❣✐st✐❝✭✷✮✱ ✈✐✮ ❋ré❝❤❡t✭✸✮✱ ✈✐✐✮ st❛♥❞❛r❞ ❈❛✉❝❤②✱ ✈✐✐✐✮ ❙t❛❜❧❡✭✶✱✵✳✷✮ ❛♥❞ ✐①✮ ❋✐s❤❡r✭✺✱✷✮✳

✷ ❚❣❤ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ✇✐t❤ ✈❛r②✐♥❣ ❣ ❛♥❞ ❤ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✇✐t❤

g ∈ {✵, ✵.✷✺, ✵.✺, ✵.✼✺} ❛♥❞ h ∈ {✵, ✵.✷✺, ✵.✺, ✵.✼✺}✳

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✶✾ ✴ ✸✽

❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s

❙❡❧❡❝t❡❞ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✷✵ ✴ ✸✽

❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s

❆✈❡r❛❣❡ st❛♥❞❛r❞ ❡rr♦r

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✷✶ ✴ ✸✽

❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s

❆✈❡r❛❣❡ st❛♥❞❛r❞ ❡rr♦r

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✷✷ ✴ ✸✽

❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s

❚✉❦❡② ❣✲❛♥❞✲❤

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✷✸ ✴ ✸✽

❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s

❆✈❡r❛❣❡ st❛♥❞❛r❞ ❡rr♦r

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✷✹ ✴ ✸✽

❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s

❆✈❡r❛❣❡ st❛♥❞❛r❞ ❡rr♦r

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✷✺ ✴ ✸✽

❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s

❘❡❧❛t✐✈❡ ✈❛r✐❛♥❝❡ ✇✳r✳t✳ ❖▲❙

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✷✻ ✴ ✸✽

❘❡❧❛t✐✈❡ s♣❡❡❞

❘✫❙ ✈s ▼▲

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✷✼ ✴ ✸✽

❙t❛t❛ ❝♦♠♠❛♥❞s

❙❡♠✐♣❛r❛♠❡tr✐❝❛❧❧② ❡✣❝✐❡♥t s✐❣♥ ❛♥❞ r❛♥❦ r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦rs ◆♦✇ ✇❡ ♦♥❧② ❤❛✈❡ t♦ ♣❧✉❣ ❡✈❡r②t❤✐♥❣ ✐♥ ❛♥ ❛❞♦✲✜❧❡ ❚❤❡ ✐❞❡❛ ❤❡r❡ ✐s t♦ ❡st✐♠❛t❡ r❡❣r❡ss✐♦♥ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡rr♦r t❡r♠ ❥♦✐♥t❧②✳ ❲❡ ❝❛♥ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❝♦✉❧❞ ❜❡ r❡❛s♦♥❛❜❧❡ ✇❡❧❧ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡❞ ❜② ❛ ❚✉❦❡② ❣✲❛♥❞✲❤ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❛s ❡①♣❡❝t❡❞ ❤❡r❡ ♦r r❡❧② ♦♥ ❛ ❦❡r♥❡❧ ❞❡♥s✐t② ❡st✐♠❛t✐♦♥ ❢❧❡①r❛♥❦ ❞❡♣✈❛r ✐♥❞❡♣✈❛rs ❬✐❢❪ ❬✐♥❪

❚✉❦❡② ❣✲❛♥❞✲❤ ❜❛s❡❞ s❝♦r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

❢❧❡①♥♣ ❞❡♣✈❛r ✐♥❞❡♣✈❛rs ❬✐❢❪ ❬✐♥❪

❑❡r♥❡❧ ❜❛s❡❞ s❝♦r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

❇♦t❤ ♠❡t❤♦❞s s❤♦✉❧❞ ❜❡ ❛s②♠♣t♦t✐❝❛❧❧② ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❜✉t t❤❡ ❢♦r♠❡r ❤❛s ♠✉❝❤ ❜❡tt❡r s♠❛❧❧ s❛♠♣❧❡ ❜❡❤❛✈✐♦✉r✳

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✷✽ ✴ ✸✽

❋ré❝❤❡t ❡①❛♠♣❧❡

❊①❛♠♣❧❡ ❝❧❡❛r s❡t s❡❡❞ ✶✷✸✹✺✻✼ s❡t ♦❜s ✺✵ ❞r❛✇♥♦r♠ ①✶✲①✸ ❣❡♥ ❡❂✭✲❧♥✭✉♥✐❢♦r♠✭✮✮✮❫✭✲✶✴✸✮ ❣❡♥ ②❂①✶✰①✷✰①✸✰❡ ❢❧❡①r❛♥❦ ② ①✯ ❢❧❡①♥♣ ② ①✯ qr❡❣ ② ①✯ r❡❣ ② ①✯

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✷✾ ✴ ✸✽

❋ré❝❤❡t ❡①❛♠♣❧❡

❊①❛♠♣❧❡ ❘✫❙ ◆P L✶ ▲❙ ❱❆❘■❆❇▲❊❙ ①✶ ✶✳✵✺✹✯✯✯ ✶✳✵✺✽✯✯✯ ✶✳✵✸✵✯✯✯ ✶✳✶✻✻✯✯✯ ✭✵✳✵✺✵✮ ✭✵✳✵✾✶✮ ✭✵✳✶✶✶✮ ✭✵✳✶✷✹✮ ①✷ ✵✳✾✵✾✯✯✯ ✵✳✾✹✷✯✯✯ ✵✳✾✻✵✯✯✯ ✵✳✾✶✻✯✯✯ ✭✵✳✵✹✽✮ ✭✵✳✵✽✽✮ ✭✵✳✶✵✼✮ ✭✵✳✶✶✾✮ ①✸ ✶✳✵✾✾✯✯✯ ✵✳✾✼✺✯✯✯ ✶✳✷✶✵✯✯✯ ✶✳✷✶✾✯✯✯ ✭✵✳✵✺✵✮ ✭✵✳✵✾✷✮ ✭✵✳✶✶✷✮ ✭✵✳✶✷✺✮ ❈♦♥st❛♥t ✶✳✷✸✻✯✯✯ ✶✳✷✹✺✯✯✯ ✶✳✶✽✸✯✯✯ ✶✳✹✷✼✯✯✯ ✭✵✳✵✻✻✮ ✭✵✳✵✾✺✮ ✭✵✳✶✵✾✮ ✭✵✳✶✷✷✮ ❖❜s❡r✈❛t✐♦♥s ✺✵ ✺✵ ✺✵ ✺✵ ❘✲sq✉❛r❡❞ ✵✳✾✼✸ ✵✳✽✻✵ ✵✳✼✷✼ ✵✳✽✼✽ ❙t❛♥❞❛r❞ ❡rr♦rs ✐♥ ♣❛r❡♥t❤❡s❡s ✯✯✯ ♣<✵✳✵✶✱ ✯✯ ♣<✵✳✵✺✱ ✯ ♣<✵✳✶

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✸✵ ✴ ✸✽

❋ré❝❤❡t ❡①❛♠♣❧❡

❊①❛♠♣❧❡

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✸✶ ✴ ✸✽

❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ◆♦❧❛♥ ❛♥❞ ❖❥❡❞❛✲❘❡✈❛❤ ✭✷✵✶✸✮

❊①❛♠♣❧❡ ❲❡❡❦✲t♦✲✇❡❡❦ ❞✐✛❡r❡♥❝❡s ✐♥ ❆❆❆ ❜♦♥❞ r❛t❡s ❛r❡ r❡❣r❡ss❡❞ ♦♥ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ✐♥ ✶✵✲②❡❛r ❜♦♥❞ r❛t❡s ✭♣❡r✐♦❞ ✷✵✵✷✲✷✵✶✹✮✳

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✸✷ ✴ ✸✽

❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ◆♦❧❛♥ ❛♥❞ ❖❥❡❞❛✲❘❡✈❛❤ ✭✷✵✶✸✮

❊①❛♠♣❧❡

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✸✸ ✴ ✸✽

❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❙t♦❝❦ ❛♥❞ ❲❛ts♦♥ ✭✷✵✵✼✮

❊①❛♠♣❧❡ ❉❡t❡r♠✐♥❛♥ts ♦❢ ♣r✐❝❡s ♦❢ ✶✽✵ ❡❝♦♥♦♠✐❝s ❥♦✉r♥❛❧s ❛t ❯❙ ❧✐❜r❛r✐❡s✱ ❢♦r t❤❡ ②❡❛r ✷✵✵✵✳

❱✳ ❱❡r❛r❞✐ ✭❋◆❘❙✱ ❯◆❛♠✉r✱ ❯▲❇✮ ❊✣❝✐❡♥t r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r ❯❑ ❙t❛t❛ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✱ ✷✵✶✽ ✸✹ ✴ ✸✽

❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❙t♦❝❦ ❛♥❞ ❲❛ts♦♥ ✭✷✵✵✼✮

❘❡s✉❧ts

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