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❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❛❧s♦ ❤❛✈❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs✿ g(t) = Ae−at s✐♥(ωx)

❣ ❂ ❙tr✐♥❣❋✉♥❝t✐♦♥✭✬❆✯❡①♣✭✲❛✯t✮✯s✐♥✭♦♠❡❣❛✯①✮✬✱ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t❴✈❛r✐❛❜❧❡❂✬t✬✱ ❆❂✶✱ ❛❂✵✳✶✱ ♦♠❡❣❛❂♣✐✱ ①❂✺✮ ♣r✐♥t ❣✭✶✳✷✮ ❣✳s❡t❴♣❛r❛♠❡t❡rs✭❆❂✷✱ ①❂✶✵✮ ♣r✐♥t ❣✭✶✳✷✮

❊①❛♠♣❧❡✿ ♣r♦❣r❛♠ ❢♦r ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛t✐♦♥

❯s❛❣❡✿

❚❡r♠✐♥❛❧❃ ♣②t❤♦♥ ❞✐❢❢✳♣② ✬❡①♣✭①✮✯s✐♥✭①✮✬ ✸✳✹ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡✿ ✲✸✻✳✻✷✻✷✾✻✾✶✻✹

❉✐✛❡r❡♥t✐❛t❡ ex s✐♥ x ❛t x = ✸.✹ ♥✉♠❡r✐❝❛❧❧②✳ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥✿ f ′(x) ≈ f (x + h) − f (x − h) ✷h (h s♠❛❧❧)

✐♠♣♦rt s②s ❢r♦♠ s❝✐t♦♦❧s✳st❞ ✐♠♣♦rt ❙tr✐♥❣❋✉♥❝t✐♦♥ ❢ ❂ ❙tr✐♥❣❋✉♥❝t✐♦♥✭s②s✳❛r❣✈❬✶❪✱ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t❴✈❛r✐❛❜❧❡❂✬①✬✮ ① ❂ ❢❧♦❛t✭s②s✳❛r❣✈❬✷❪✮ ❞❡❢ ♥✉♠❡r✐❝❛❧❴❞❡r✐✈❛t✐✈❡✭❢✱ ①✱ ❤❂✶❊✲✺✮✿ r❡t✉r♥ ✭❢✭①✰❤✮ ✲ ❢✭①✲❤✮✮✴✭✷✯❤✮ ♣r✐♥t ✬◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡✿✬✱ ♥✉♠❡r✐❝❛❧❴❞❡r✐✈❛t✐✈❡✭❢✱ ①✮

❊①❛♠♣❧❡✿ ♣r♦❣r❛♠ ❢♦r ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛t✐♦♥

❯s❛❣❡✿

❚❡r♠✐♥❛❧❃ ♣②t❤♦♥ ❞✐❢❢✳♣② ✬❡①♣✭①✮✯s✐♥✭①✮✬ ✸✳✹ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡✿ ✲✸✻✳✻✷✻✷✾✻✾✶✻✹

❉✐✛❡r❡♥t✐❛t❡ ex s✐♥ x ❛t x = ✸.✹ ♥✉♠❡r✐❝❛❧❧②✳ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥✿ f ′(x) ≈ f (x + h) − f (x − h) ✷h (h s♠❛❧❧)

✐♠♣♦rt s②s ❢r♦♠ s❝✐t♦♦❧s✳st❞ ✐♠♣♦rt ❙tr✐♥❣❋✉♥❝t✐♦♥ ❢ ❂ ❙tr✐♥❣❋✉♥❝t✐♦♥✭s②s✳❛r❣✈❬✶❪✱ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t❴✈❛r✐❛❜❧❡❂✬①✬✮ ① ❂ ❢❧♦❛t✭s②s✳❛r❣✈❬✷❪✮ ❞❡❢ ♥✉♠❡r✐❝❛❧❴❞❡r✐✈❛t✐✈❡✭❢✱ ①✱ ❤❂✶❊✲✺✮✿ r❡t✉r♥ ✭❢✭①✰❤✮ ✲ ❢✭①✲❤✮✮✴✭✷✯❤✮ ♣r✐♥t ✬◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡✿✬✱ ♥✉♠❡r✐❝❛❧❴❞❡r✐✈❛t✐✈❡✭❢✱ ①✮

❊①❛♠♣❧❡✿ ♣r♦❣r❛♠ ❢♦r ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛t✐♦♥

❯s❛❣❡✿

❚❡r♠✐♥❛❧❃ ♣②t❤♦♥ ❞✐❢❢✳♣② ✬❡①♣✭①✮✯s✐♥✭①✮✬ ✸✳✹ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡✿ ✲✸✻✳✻✷✻✷✾✻✾✶✻✹

❉✐✛❡r❡♥t✐❛t❡ ex s✐♥ x ❛t x = ✸.✹ ♥✉♠❡r✐❝❛❧❧②✳ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥✿ f ′(x) ≈ f (x + h) − f (x − h) ✷h (h s♠❛❧❧)

✐♠♣♦rt s②s ❢r♦♠ s❝✐t♦♦❧s✳st❞ ✐♠♣♦rt ❙tr✐♥❣❋✉♥❝t✐♦♥ ❢ ❂ ❙tr✐♥❣❋✉♥❝t✐♦♥✭s②s✳❛r❣✈❬✶❪✱ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t❴✈❛r✐❛❜❧❡❂✬①✬✮ ① ❂ ❢❧♦❛t✭s②s✳❛r❣✈❬✷❪✮ ❞❡❢ ♥✉♠❡r✐❝❛❧❴❞❡r✐✈❛t✐✈❡✭❢✱ ①✱ ❤❂✶❊✲✺✮✿ r❡t✉r♥ ✭❢✭①✰❤✮ ✲ ❢✭①✲❤✮✮✴✭✷✯❤✮ ♣r✐♥t ✬◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡✿✬✱ ♥✉♠❡r✐❝❛❧❴❞❡r✐✈❛t✐✈❡✭❢✱ ①✮

❲❡ ❝❛♥ ❡①t❡♥❞ t❤❡ ♣r♦❣r❛♠ t♦ ❛❧s♦ ✐♥❝❧✉❞❡ s②♠❜♦❧✐❝ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛t✐♦♥

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◗✉❡st✐♦♥ ❛♥❞ ❛♥s✇❡r ✐♥♣✉t✿

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✐♠♣♦rt s②s ♣❛r❛♠❡t❡r✶ ❂ ❡✈❛❧✭s②s✳❛r❣✈❬✶❪✮ ♣❛r❛♠❡t❡r✸ ❂ s②s✳❛r❣✈❬✸❪ ★ str✐♥❣ ✐s ♦❦ ♣❛r❛♠❡t❡r✷ ❂ ❡✈❛❧✭s②s✳❛r❣✈❬✷❪✮

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❃❃❃ ① ❂ ✷✵ ❃❃❃ r ❂ ❡✈❛❧✭✬① ✰ ✶✳✶✬✮ ❃❃❃ r ✷✶✳✶ ❃❃❃ t②♣❡✭r✮ ❁t②♣❡ ✬❢❧♦❛t✬❃

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✐❢ ③ ❁ ✵✿ r❛✐s❡ ❱❛❧✉❡❊rr♦r✭ ✬③❂✪s ✐s ♥❡❣❛t✐✈❡ ✲ ❝❛♥♥♦t ❞♦ ❧♦❣✭③✮✬ ✪ ③✮

❙✉♠♠❛r② ♦❢ ✜❧❡ r❡❛❞✐♥❣ ❛♥❞ ✇r✐t✐♥❣

✐♥❢✐❧❡ ❂ ♦♣❡♥✭❢✐❧❡♥❛♠❡✱ ✬r✬✮ ★ r❡❛❞ ♦✉t❢✐❧❡ ❂ ♦♣❡♥✭❢✐❧❡♥❛♠❡✱ ✬✇✬✮ ★ ✇r✐t❡ ♦✉t❢✐❧❡ ❂ ♦♣❡♥✭❢✐❧❡♥❛♠❡✱ ✬❛✬✮ ★ ❛♣♣❡♥❞ ★ ❘❡❛❞✐♥❣ ❧✐♥❡ ❂ ✐♥❢✐❧❡✳r❡❛❞❧✐♥❡✭✮ ★ r❡❛❞ t❤❡ ♥❡①t ❧✐♥❡ ❢✐❧❡str ❂ ✐♥❢✐❧❡✳r❡❛❞✭✮ ★ r❡❛❞ r❡st ♦❢ ❢✐❧❡ ✐♥t♦ str✐♥❣ ❧✐♥❡s ❂ ✐♥❢✐❧❡✳r❡❛❞❧✐♥❡s✭✮ ★ r❡❛❞ r❡st ♦❢ ❢✐❧❡ ✐♥t♦ ❧✐st ❢♦r ❧✐♥❡ ✐♥ ✐♥❢✐❧❡✿ ★ r❡❛❞ r❡st ♦❢ ❢✐❧❡ ❧✐♥❡ ❜② ❧✐♥❡ ★ ❲r✐t✐♥❣ ♦✉t❢✐❧❡✳✇r✐t❡✭s✮ ★ ❛❞❞ ❭♥ ✐❢ ②♦✉ ♥❡❡❞ ✐t ★ ❈❧♦s✐♥❣ ✐♥❢✐❧❡✳❝❧♦s❡✭✮ ♦✉t❢✐❧❡✳❝❧♦s❡✭✮

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◆♦♥❧✐♥❡❛r ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ❧✐❦❡ x = ✶ + s✐♥ x t❛♥ x + ❝♦s x = s✐♥ ✽x x✺ − ✸x✸ = ✶✵ ❛r❡ ✉s✉❛❧❧② ✐♠♣♦ss✐❜❧❡ t♦ s♦❧✈❡ ❜② ♣❡♥ ❛♥❞ ♣❛♣❡r✱ ❜✉t ❝❛♥ ❜❡ s♦❧✈❡❞ ❜② ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞s✳ ❚♦ t❤✐s ❡♥❞✱ r❡✇r✐t❡ ❛♥② ❡q✉❛t✐♦♥ ❛s f (x) = ✵ ❋♦r t❤❡ ❛❜♦✈❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ✭♣✉t ❡✈❡r②t❤✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❧❡❢t✲❤❛♥❞ s✐❞❡✮ f (x) = x − ✶ − s✐♥ x f (x) = t❛♥ x + ❝♦s x − s✐♥ ✽x f (x) = x✺ − ✸x✸ − ✶✵

❲❡ s❤❛❧❧ ❧❡❛r♥ ❛❜♦✉t ❛ ♠❡t❤♦❞ ❢♦r s♦❧✈✐♥❣ f (x) = ✵

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❚❤❡ ❇✐s❡❝t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞

❙t❛rt ✇✐t❤ ❛♥ ✐♥t❡r✈❛❧ [a, b] ✐♥ ✇❤✐❝❤ f (x) ❝❤❛♥❣❡s s✐❣♥ ❚❤❡♥ t❤❡r❡ ♠✉st ❜❡ ✭❛t ❧❡❛st✮ ♦♥❡ r♦♦t ✐♥ [a, b] ❍❛❧✈❡ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧✿

m = (a + b)/✷❀ ❞♦❡s f ❝❤❛♥❣❡ s✐❣♥ ✐♥ ❧❡❢t ❤❛❧❢ [a, m]❄ ❨❡s✿ ❝♦♥t✐♥✉❡ ✇✐t❤ ❧❡❢t ✐♥t❡r✈❛❧ [a, m] ✭s❡t b = m✮ ◆♦✿ ❝♦♥t✐♥✉❡ ✇✐t❤ r✐❣❤t ✐♥t❡r✈❛❧ [m, b] ✭s❡t a = m✮

❘❡♣❡❛t t❤❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❆❢t❡r ❤❛❧✈✐♥❣ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ✐♥t❡r✈❛❧ [p, q] n t✐♠❡s✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t f (x) ♠✉st ❤❛✈❡ ❛ r♦♦t ✐♥s✐❞❡ ❛ ✭s♠❛❧❧✮ ✐♥t❡r✈❛❧ ✷−n(q − p) ❚❤❡ ♠❡t❤♦❞ ✐s s❧♦✇✱ ❜✉t ✈❡r② s❛❢❡ ❖t❤❡r ♠❡t❤♦❞s ✭❧✐❦❡ ◆❡✇t♦♥✬s ♠❡t❤♦❞✮ ❝❛♥ ❜❡ ❢❛st❡r✱ ❜✉t ♠❛② ❛❧s♦ ❢❛✐❧ t♦ ❧♦❝❛t❡ ❛ r♦♦t ✲ ❜✐s❡❝t✐♦♥ ❞♦❡s ♥♦t ❢❛✐❧

❙♦❧✈✐♥❣ ❝♦s πx = ✵✿ ✐t❡r❛t✐♦♥ ♥♦✳ ✶

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• 0.8
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0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 The Bisection method, iteration 1: [0.41, 0.82] f(x) a b m y=0

❙♦❧✈✐♥❣ ❝♦s πx = ✵✿ ✐t❡r❛t✐♦♥ ♥♦✳ ✷

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0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 The Bisection method, iteration 2: [0.41, 0.61] f(x) a b m y=0

❙♦❧✈✐♥❣ ❝♦s πx = ✵✿ ✐t❡r❛t✐♦♥ ♥♦✳ ✸

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0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 The Bisection method, iteration 3: [0.41, 0.51] f(x) a b m y=0

❙♦❧✈✐♥❣ ❝♦s πx = ✵✿ ✐t❡r❛t✐♦♥ ♥♦✳ ✹

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0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 The Bisection method, iteration 4: [0.46, 0.51] f(x) a b m y=0

❋r♦♠ ♠❡t❤♦❞ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ t♦ ❛ ♣r❡❝✐s❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠

❲❡ ♥❡❡❞ t♦ tr❛♥s❧❛t❡ t❤❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❇✐s❡❝t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞ t♦ ❛ P②t❤♦♥ ♣r♦❣r❛♠ ❆♥ ✐♠♣♦rt❛♥t ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ st❡♣ ✐s t♦ ❢♦r♠✉❧❛t❡ ❛ ♣r❡❝✐s❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❆❧❣♦r✐t❤♠ ❂ ❞❡t❛✐❧❡❞✱ ❝♦❞❡✲❧✐❦❡ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠❡t❤♦❞

❢♦r ✐ ✐♥ r❛♥❣❡✭✵✱ ♥✰✶✮✿ ♠ ❂ ✭❛ ✰ ❜✮✴✷ ✐❢ ❢✭❛✮✯❢✭♠✮ ❁❂ ✵✿ ❜ ❂ ♠ ★ r♦♦t ✐s ✐♥ ❧❡❢t ❤❛❧❢ ❡❧s❡✿ ❛ ❂ ♠ ★ r♦♦t ✐s ✐♥ r✐❣❤t ❤❛❧❢ ★ ❢✭①✮ ❤❛s ❛ r♦♦t ✐♥ ❬❛✱❜❪

❚❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❝❛♥ ❜❡ ♠❛❞❡ ♠♦r❡ ❡✣❝✐❡♥t

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◆❡✇✱ ♠♦r❡ ❡✣❝✐❡♥t ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠

■❞❡❛✿ s❛✈❡ f (x) ❡✈❛❧✉❛t✐♦♥s ✐♥ ✈❛r✐❛❜❧❡s

❢❴❛ ❂ ❢✭❛✮ ❢♦r ✐ ✐♥ r❛♥❣❡✭✵✱ ♥✰✶✮✿ ♠ ❂ ✭❛ ✰ ❜✮✴✷ ❢❴♠ ❂ ❢✭♠✮ ✐❢ ❢❴❛✯❢❴♠ ❁❂ ✵✿ ❜ ❂ ♠ ★ r♦♦t ✐s ✐♥ ❧❡❢t ❤❛❧❢ ❡❧s❡✿ ❛ ❂ ♠ ★ r♦♦t ✐s ✐♥ r✐❣❤t ❤❛❧❢ ❢❴❛ ❂ ❢❴♠ ★ ❢✭①✮ ❤❛s ❛ r♦♦t ✐♥ ❬❛✱❜❪

❍♦✇ t♦ ❝❤♦♦s❡ n❄ ❚❤❛t ✐s✱ ✇❤❡♥ t♦ st♦♣ t❤❡ ✐t❡r❛t✐♦♥

❲❡ ✇❛♥t t❤❡ ❡rr♦r ✐♥ t❤❡ r♦♦t t♦ ❜❡ ǫ ♦r s♠❛❧❧❡r ❆❢t❡r n ✐t❡r❛t✐♦♥s✱ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ✐♥t❡r✈❛❧ [a, b] ✐s ❤❛❧✈❡❞ n t✐♠❡s ❛♥❞ t❤❡ ❝✉rr❡♥t ✐♥t❡r✈❛❧ ❤❛s ❧❡♥❣t❤ ✷−n(b − a)✳ ❚❤✐s ✐s s✉✣❝✐❡♥t❧② s♠❛❧❧ ✐❢ ✷−n(b − a) = ǫ ⇒ n = − ❧♥ ǫ−❧♥(b−a)

❧♥ ✷

❆ s✐♠♣❧❡r ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡✿ ❥✉st r❡♣❡❛t ❤❛❧✈✐♥❣ ✉♥t✐❧ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❝✉rr❡♥t ✐♥t❡r✈❛❧ ✐s ≤ ǫ ❚❤✐s ✐s ❡❛s✐❡st ❞♦♥❡ ✇✐t❤ ❛ ✇❤✐❧❡ ❧♦♦♣✿ ✇❤✐❧❡ ❜✲❛ ❁❂ ❡♣s✐❧♦♥✿ ❲❡ ❛❧s♦ ❛❞❞ ❛ t❡st t♦ ❝❤❡❝❦ ✐❢ f r❡❛❧❧② ❝❤❛♥❣❡s s✐❣♥ ✐♥ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ✐♥✈❡r✈❛❧ [a, b]

❋✐♥❛❧ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❇✐s❡❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠

❢❴❛❂❢✭❛✮ ✐❢ ❢❴❛✯❢✭❜✮ ❃ ✵✿ ★ ❡rr♦r✿ ❢ ❞♦❡s ♥♦t ❝❤❛♥❣❡ s✐❣♥ ✐♥ ❬❛✱❜❪ ✐ ❂ ✵ ✇❤✐❧❡ ❜✲❛ ❃ ❡♣s✐❧♦♥✿ ✐ ❂ ✐ ✰ ✶ ♠ ❂ ✭❛ ✰ ❜✮✴✷ ❢❴♠ ❂ ❢✭♠✮ ✐❢ ❢❴❛✯❢❴♠ ❁❂ ✵✿ ❜ ❂ ♠ ★ r♦♦t ✐s ✐♥ ❧❡❢t ❤❛❧❢ ❡❧s❡✿ ❛ ❂ ♠ ★ r♦♦t ✐s ✐♥ r✐❣❤t ❤❛❧❢ ❢❴❛ ❂ ❢❴♠ ★ ✐❢ ① ✐s t❤❡ r❡❛❧ r♦♦t✱ ⑤①✲♠⑤ ❁ ❡♣s✐❧♦♥

P②t❤♦♥ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❇✐s❡❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠

❞❡❢ ❢✭①✮✿ r❡t✉r♥ ✷✯① ✲ ✸ ★ ♦♥❡ r♦♦t ①❂✶✳✺ ❡♣s ❂ ✶❊✲✺ ❛✱ ❜ ❂ ✵✱ ✶✵ ❢❛ ❂ ❢✭❛✮ ✐❢ ❢❛✯❢✭❜✮ ❃ ✵✿ ♣r✐♥t ✬❢✭①✮ ❞♦❡s ♥♦t ❝❤❛♥❣❡ s✐❣♥ ✐♥ ❬✪❣✱✪❣❪✳✬ ✪ ✭❛✱ ❜✮ s②s✳❡①✐t✭✶✮ ✐ ❂ ✵ ★ ✐t❡r❛t✐♦♥ ❝♦✉♥t❡r ✇❤✐❧❡ ❜✲❛ ❃ ❡♣s✿ ✐ ✰❂ ✶ ♠ ❂ ✭❛ ✰ ❜✮✴✷✳✵ ❢♠ ❂ ❢✭♠✮ ✐❢ ❢❛✯❢♠ ❁❂ ✵✿ ❜ ❂ ♠ ★ r♦♦t ✐s ✐♥ ❧❡❢t ❤❛❧❢ ♦❢ ❬❛✱❜❪ ❡❧s❡✿ ❛ ❂ ♠ ★ r♦♦t ✐s ✐♥ r✐❣❤t ❤❛❧❢ ♦❢ ❬❛✱❜❪ ❢❛ ❂ ❢♠ ① ❂ ♠ ★ t❤✐s ✐s t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ r♦♦t

■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭♠♦r❡ r❡✉s❛❜❧❡✦✮

❞❡❢ ❜✐s❡❝t✐♦♥✭❢✱ ❛✱ ❜✱ ❡♣s✮✿ ❢❛ ❂ ❢✭❛✮ ✐❢ ❢❛✯❢✭❜✮ ❃ ✵✿ r❡t✉r♥ ◆♦♥❡✱ ✵ ★ ❆❧t❡r♥❛t✐✈❡✿ r❛✐s❡ ❱❛❧✉❡❊rr♦r✭ ★ ✬◆♦ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ s✐❣♥ ✐♥ ❬✪❣✱✪❣❪✬ ✪ ✭❛✱ ❜✮✮ ✐ ❂ ✵ ★ ✐t❡r❛t✐♦♥ ❝♦✉♥t❡r ✇❤✐❧❡ ❜✲❛ ❃ ❡♣s✿ ✐ ✰❂ ✶ ♠ ❂ ✭❛ ✰ ❜✮✴✷✳✵ ❢♠ ❂ ❢✭♠✮ ✐❢ ❢❛✯❢♠ ❁❂ ✵✿ ❜ ❂ ♠ ★ r♦♦t ✐s ✐♥ ❧❡❢t ❤❛❧❢ ♦❢ ❬❛✱❜❪ ❡❧s❡✿ ❛ ❂ ♠ ★ r♦♦t ✐s ✐♥ r✐❣❤t ❤❛❧❢ ♦❢ ❬❛✱❜❪ ❢❛ ❂ ❢♠ r❡t✉r♥ ♠✱ ✐ ♣r✐♥t ❜✐s❡❝t✐♦♥✭❢❂❧❛♠❜❞❛ ①✿ ✷✯①✲✸✱ ❛❂✵✱ ❜❂✶✵✱ ❡♣s❂✶❊✲✺✮

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❞❡❢ t❡st❴❜✐s❡❝t✐♦♥✭✮✿ ❞❡❢ ❢✭①✮✿ r❡t✉r♥ ✷✯① ✲ ✸ ★ ♦♥❧② ♦♥❡ r♦♦t ①❂✶✳✺ ❡♣s ❂ ✶❊✲✺ ①✱ ✐t❡r ❂ ❜✐s❡❝t✐♦♥✭❢✱ ❛❂✵✱ ❜❂✶✵✱ ❡♣s❂❡♣s✮ s✉❝❝❡ss ❂ ❛❜s✭① ✲ ✶✳✺✮ ❁ ❡♣s ★ t❡st ✇✐t❤✐♥ ❡♣s t♦❧❡r❛♥❝❡ ❛ss❡rt s✉❝❝❡ss✱ ✬❢♦✉♥❞ ①❂✪❣ ✦❂ ✶✳✺✬ ✪ ① ✐❢ ❴❴♥❛♠❡❴❴ ❂❂ ✬❴❴♠❛✐♥❴❴✬✿ t❡st❴❜✐s❡❝t✐♦♥✭✮

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❲❡ ✇❛♥t t♦ ♣r♦✈✐❞❡ ❛♥ f (x) ❢♦r♠✉❧❛ ❛t t❤❡ ❝♦♠♠❛♥❞ ❧✐♥❡ ❛❧♦♥❣ ✇✐t❤ a ❛♥❞ b ✭✸ ❝♦♠♠❛♥❞✲❧✐♥❡ ❛r❣s✮ ❯s❛❣❡✿

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❚✇♦ ❡①❛♠♣❧❡s✿ t❛♥❤ x = x ❛♥❞ t❛♥❤ x✺ = x✺✿

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