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s tr r rr sts r sr rst r Pt


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SLIDE 16

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SLIDE 17

❑❛♣r❛♥♦✈ ❛♥❞ ❱♦❡✈♦❞s❦② str❛t❡❣②✿ ❈♦♥str✉❝t t❤❡ ∞✲❣r♦✉♣♦✐❞ π∞(❳) ✉s✐♥❣ ✏●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ▼♦♦r❡ ♣❛t❤s✑ ✐♥ ❳ t♦ ♠❛❦❡ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ str✐❝t✳ ▼♦♦r❡ ♣❛t❤s ❂ ❖♥❡ ♠❛❦❡ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ ♣❛t❤ str✐❝t❧② ❛ss♦❝✐❛t✐✈❡ ❜② ❛❧❧♦✇✐♥❣ ♣❛t❤ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❧❡♥❣t❤✳ ❖♥❡ ❝❛♥ ❛❧s♦ s❡❡ t❤✐s ❛s t❛❦✐♥❣ ❛ ✏❢♦r♠❛❧✑ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✿ ❖♥❡ ✇❛♥ts t♦ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡ t❤✐s t♦ ❤✐❣❤❡r ❞✐♠❡♥s✐♦♥✳

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SLIDE 20

❆ ✷✲❛rr♦✇ ✐♥ π∞(❳) s❤♦✉❧❞ ❧♦♦❦ ❧✐❦❡✿ ① ② ③ ♦r ① ② ③ ❆ ✸✲❛rr♦✇ ✐♥ ❳ ❝♦✉❧❞ ❧♦♦❦ ❧✐❦❡✿ ① ② ③ ① ② ③ ▼♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧❧②✿ ❳ ❑ ❛ ✏♣❛st✐♥❣ ❞✐❛❣r❛♠✑ ❑ ❳ ❑❛♣r❛♥♦✈ ❛♥❞ ❱♦❡✈♦❞s❦② ✉s❡ ▼✳❏♦❤♥s♦♥✬s ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ♣❛st✐♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s✳

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SLIDE 21

❆ ✷✲❛rr♦✇ ✐♥ π∞(❳) s❤♦✉❧❞ ❧♦♦❦ ❧✐❦❡✿ ① ② ③ ♦r ① ② ③ ❆ ✸✲❛rr♦✇ ✐♥ π∞(❳) ❝♦✉❧❞ ❧♦♦❦ ❧✐❦❡✿ ① ② ③ ⇛ ① ② ③ ▼♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧❧②✿ ❳ ❑ ❛ ✏♣❛st✐♥❣ ❞✐❛❣r❛♠✑ ❑ ❳ ❑❛♣r❛♥♦✈ ❛♥❞ ❱♦❡✈♦❞s❦② ✉s❡ ▼✳❏♦❤♥s♦♥✬s ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ♣❛st✐♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s✳

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SLIDE 22

❆ ✷✲❛rr♦✇ ✐♥ π∞(❳) s❤♦✉❧❞ ❧♦♦❦ ❧✐❦❡✿ ① ② ③ ♦r ① ② ③ ❆ ✸✲❛rr♦✇ ✐♥ π∞(❳) ❝♦✉❧❞ ❧♦♦❦ ❧✐❦❡✿ ① ② ③ ⇛ ① ② ③ ▼♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧❧②✿ π∞(❳) := {❑ ❛ ✏♣❛st✐♥❣ ❞✐❛❣r❛♠✑, γ : |❑| → ❳} ❑❛♣r❛♥♦✈ ❛♥❞ ❱♦❡✈♦❞s❦② ✉s❡ ▼✳❏♦❤♥s♦♥✬s ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ♣❛st✐♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s✳

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SLIDE 23

❆ ✷✲❛rr♦✇ ✐♥ π∞(❳) s❤♦✉❧❞ ❧♦♦❦ ❧✐❦❡✿ ① ② ③ ♦r ① ② ③ ❆ ✸✲❛rr♦✇ ✐♥ π∞(❳) ❝♦✉❧❞ ❧♦♦❦ ❧✐❦❡✿ ① ② ③ ⇛ ① ② ③ ▼♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧❧②✿ π∞(❳) := {❑ ❛ ✏♣❛st✐♥❣ ❞✐❛❣r❛♠✑, γ : |❑| → ❳} ❑❛♣r❛♥♦✈ ❛♥❞ ❱♦❡✈♦❞s❦② ✉s❡ ▼✳❏♦❤♥s♦♥✬s ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ♣❛st✐♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s✳

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SLIDE 24

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SLIDE 25

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SLIDE 26

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SLIDE 27

❆t ❧❡❛st✱ t❤❛t✬s ✇❤❛t t❤❡② ❡①♣❧❛✐♥ ✐♥ t❤❡ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥✱ ❜✉t ♥♦t q✉✐t❡ ✇❤❛t t❤❡② ❞♦ ✐♥ t❤❡ ♣❛♣❡r✱ r♦✉❣❤❧②✿ ❚❤❡② ❝❧❛✐♠ t♦ ❝♦♥str✉❝t s♦♠❡t❤✐♥❣ ❧✐❦❡ ❛ ♠♦❞❡❧ ❝❛t❡❣♦r② str✉❝t✉r❡ ♦♥ t❤❡ ❝❛t❡❣♦r② ♦❢ str✐❝t ∞✲❝❛t❡❣♦r✐❡s ❛♥❞ ♦♥ t❤❡ ❝❛t❡❣♦r② ♦❢ ♣r❡s❤❡❛✈❡s ♦✈❡r t❤❡✐r ❝❛t❡❣♦r② ♦❢ ❞✐❛❣r❛♠s✳ ❋✐❜r❛♥t ♦❜❥❡❝ts ❛♠♦♥❣ ∞✲❝❛t❡❣♦r✐❡s ❛r❡ t❤♦s❡ ✇❤❡r❡ ❛❧❧ ❛rr♦✇s ❛r❡ ✐♥✈❡rt✐❜❧❡✳ ❚❤❡② ♣r♦✈❡ t❤❛t ❛ ♥❛t✉r❛❧ ❛❞❥♦♥❝t✐♦♥ Ps❤ ❉✐❛❣ ✲❝❛t ✐s ❛ ◗✉✐❧❧❡♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡✳

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SLIDE 28

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SLIDE 29

❚❤❡② ✉s❡ t❤❡ ✉s✉❛❧ ❣❡♦♠❡tr✐❝ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ♣r❡s❤❡❛✈❡s t♦ ❝♦♥str✉❝t ❛ ◗✉✐❧❧❡♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ Ps❤(❉✐❛❣) ≃ ❙♣❛❝❡s✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ♣r❡s❤❡❛❢ ❳ ∈ Ps❤(❉✐❛❣) ♦♥ ❞❡✜♥❡s ✐ts ❣❡♦♠❡tr✐❝ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥ ❛s✿ |❳| = |◆(❊❧t(❳))| = |◆(❉✐❛❣/❳)| ❆♥❞ t❤❡② ♣r♦✈❡ t❤❛t t❤✐s ❣✐✈❡s ❛ ◗✉✐❧❧❡♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡✿ ❴ Ps❤ ❉✐❛❣ ❙♣❛❝❡s ◆❉✐❛❣ t♦ ♣✉t ✐t ❛♥♦t❤❡r ✇❛② ✏❉✐❛❣✑ ✐s ❛ t❡st ❝❛t❡❣♦r②✳ ❙♣❛❝❡s Ps❤ ❉✐❛❣ ❈❛t

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SLIDE 30

❚❤❡② ✉s❡ t❤❡ ✉s✉❛❧ ❣❡♦♠❡tr✐❝ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ♣r❡s❤❡❛✈❡s t♦ ❝♦♥str✉❝t ❛ ◗✉✐❧❧❡♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ Ps❤(❉✐❛❣) ≃ ❙♣❛❝❡s✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ♣r❡s❤❡❛❢ ❳ ∈ Ps❤(❉✐❛❣) ♦♥ ❞❡✜♥❡s ✐ts ❣❡♦♠❡tr✐❝ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥ ❛s✿ |❳| = |◆(❊❧t(❳))| = |◆(❉✐❛❣/❳)| ❆♥❞ t❤❡② ♣r♦✈❡ t❤❛t t❤✐s ❣✐✈❡s ❛ ◗✉✐❧❧❡♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡✿ ❴ Ps❤ ❉✐❛❣ ❙♣❛❝❡s ◆❉✐❛❣ t♦ ♣✉t ✐t ❛♥♦t❤❡r ✇❛② ✏❉✐❛❣✑ ✐s ❛ t❡st ❝❛t❡❣♦r②✳ ❙♣❛❝❡s Ps❤ ❉✐❛❣ ❈❛t

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❚❤❡② ✉s❡ t❤❡ ✉s✉❛❧ ❣❡♦♠❡tr✐❝ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ♣r❡s❤❡❛✈❡s t♦ ❝♦♥str✉❝t ❛ ◗✉✐❧❧❡♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ Ps❤(❉✐❛❣) ≃ ❙♣❛❝❡s✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ♣r❡s❤❡❛❢ ❳ ∈ Ps❤(❉✐❛❣) ♦♥ ❞❡✜♥❡s ✐ts ❣❡♦♠❡tr✐❝ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥ ❛s✿ |❳| = |◆(❊❧t(❳))| = |◆(❉✐❛❣/❳)| ❆♥❞ t❤❡② ♣r♦✈❡ t❤❛t t❤✐s ❣✐✈❡s ❛ ◗✉✐❧❧❡♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡✿ |❴| : Ps❤(❉✐❛❣)

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❚❤❡② ✉s❡ t❤❡ ✉s✉❛❧ ❣❡♦♠❡tr✐❝ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ♣r❡s❤❡❛✈❡s t♦ ❝♦♥str✉❝t ❛ ◗✉✐❧❧❡♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ Ps❤(❉✐❛❣) ≃ ❙♣❛❝❡s✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ♣r❡s❤❡❛❢ ❳ ∈ Ps❤(❉✐❛❣) ♦♥ ❞❡✜♥❡s ✐ts ❣❡♦♠❡tr✐❝ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥ ❛s✿ |❳| = |◆(❊❧t(❳))| = |◆(❉✐❛❣/❳)| ❆♥❞ t❤❡② ♣r♦✈❡ t❤❛t t❤✐s ❣✐✈❡s ❛ ◗✉✐❧❧❡♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡✿ |❴| : Ps❤(❉✐❛❣)

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❚❤❡② ✉s❡ t❤❡ ✉s✉❛❧ ❣❡♦♠❡tr✐❝ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ♣r❡s❤❡❛✈❡s t♦ ❝♦♥str✉❝t ❛ ◗✉✐❧❧❡♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ Ps❤(❉✐❛❣) ≃ ❙♣❛❝❡s✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ♣r❡s❤❡❛❢ ❳ ∈ Ps❤(❉✐❛❣) ♦♥ ❞❡✜♥❡s ✐ts ❣❡♦♠❡tr✐❝ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥ ❛s✿ |❳| = |◆(❊❧t(❳))| = |◆(❉✐❛❣/❳)| ❆♥❞ t❤❡② ♣r♦✈❡ t❤❛t t❤✐s ❣✐✈❡s ❛ ◗✉✐❧❧❡♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡✿ |❴| : Ps❤(❉✐❛❣)

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❙✳❍❡♥r② ▼❛s❛r②❦ ❚❤❡ ❙✐♠♣s♦♥ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ✭❢♦r r❡❣✉❧❛r ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥s✮ ✶✶✴✵✼ ✼ ✴ ✶✸

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▼❛✐♥ ♣r♦❜❧❡♠✿ ❋♦r t❤❡ ✐♥t✉✐t✐✈❡ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❛r❣✉♠❡♥t t♦ ✇♦r❦✱ ♦♥❡ ✇❛♥ts ✏♣❛st✐♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s✑ t♦ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t✇♦ ♣r♦♣❡rt✐❡s✿ ✭❆✮ ❖♥❡ s❤♦✉❧❞ ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ ✏❦✲❝♦♠♣♦s❡✑ ♣❛st✐♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ✇❤♦s❡ ❦✲s♦✉r❝❡✴❦✲t❛r❣❡t ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡ ❞✐❛❣r❛♠s ✭s♦ t❤❛t ♦♥❡ ❝❛♥ ❝♦♠♣♦s❡ ❝❡❧❧s ♦❢ π∞(❳) = {❑, γ : |❑| → ❳}✮✳ ✭❇✮ ■❢ ❑ ❛♥❞ ❑ ′ ❛r❡ t✇♦ ♥✲♣❛st✐♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ✇❤♦s❡ ♥ − ✶✲s♦✉r❝❡ ❛♥❞ t❛r❣❡t ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡ ❞✐❛❣r❛♠✱ t❤❡✐r s❤♦✉❧❞ ❡①✐sts ❛ ♥ + ✶✲❞✐❛❣r❛♠ Ω ✇❤♦s❡ s♦✉r❝❡ ❛♥❞ t❛r❣❡t ❛r❡ ❑ ❛♥❞ ❑ ′✳ ■❞❡❛❧❧② ✇✐t❤ Ω ❤❛✈✐♥❣ ❥✉st ♦♥❡ t♦♣ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❝❡❧❧ ❢r♦♠ ❑ t♦ ❑ ′✳ ▼✳❏♦❤♥s♦♥✬s ❞✐❛❣r❛♠s ❛r❡ ♥♦t st❛❜❧❡ ❜② ❛♥② ♦❢ t❤❡s❡ t✇♦ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥s ✦ ❖♥❡ ❝❛♥ tr② t♦ s❡❡ t❤✐s t✇♦ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥s ❛s ❛♥ ✐♥❞✉❝t✐✈❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦rr❡❝t ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ❞✐❛❣r❛♠✳ ❇✉t ✐t ❞♦❡s ♥♦t ✇♦r❦✿ ✐t ✐s ♥♦t ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ♣r♦❞✉❝❡ ❛ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ❞✐❛❣r❛♠ ❝♦♥str✉❝t❡❞ t❤✐s ✇❛② ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ✭❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ❊❝❦♠❛♥♥✲❍✐❧t♦♥ ❛r❣✉♠❡♥t✮✳

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SLIDE 42

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⇆ Ps❤(P❧❡①) ⇄ (◆♦♥✲✉♥✐t❛❧ ∞✲❈❛t) ❚❤❡ ❝♦♠♣♦s✐t❡ ♦❢ t❤❡ r✐❣❤t ❛❞❥♦✐♥t ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❜② t❤❡ ❧❡❢t ❛❞❥♦✐♥t✿ ❙♣❛❝❡ ✭♥♦♥✲✉♥✐t❛❧ ✲❝❛t✮ ✐s t❤✐s t✐♠❡s ❡①❛❝t❧② t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛❧ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❣✐✈❡♥ ❡❛r❧✐❡r✳ ■♥ ✏❲❡❛❦ ♠♦❞❡❧ ❝❛t❡❣♦r✐❡s✳✳✳✑ ♦♥❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡s ❛ ✇❡❛❦❡♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ◗✉✐❧❧❡♥ ▼♦❞❡❧ str✉❝t✉r❡ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ ❜♦t❤ ❧❡❢t ❛♥❞ r✐❣❤t s❡♠✐✲♠♦❞❡❧ str✉❝t✉r❡s✱ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❝❛❧❧ ✏✇❡❛❦ ♠♦❞❡❧ ❝❛t❡❣♦r✐❡s✑✱ ❛♥❞ s♦♠❡ t♦♦❧s t♦ ❝♦♥str✉❝t t❤❡♠✳ ❖♥❡ ❝♦♥str✉❝t s✉❝❤ ✇❡❛❦ ♠♦❞❡❧ str✉❝t✉r❡s ♦♥ Ps❤ P❧❡① ❛♥❞ ♦♥ ◆♦♥✲✉♥✐t❛❧ ✲❈❛t ✇❤✐❝❤ ♠❛❦❡s t❤❡♠ ◗✉✐❧❧❡♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✳ ◗✉❡st✐♦♥✿ Ps❤ P❧❡① ❙♣❛❝❡

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SLIDE 44

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■♥ t❤❡ ♠❡❛♥t✐♠❡✱ ♦♥❡ ❝❛♥ r❡str✐❝ts t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ ♣❛st✐♥❣ ❞✐❛❣r❛♠ t❤❛t ♦♥❡ ❝♦♥s✐❞❡rs t♦ ✏r❡❣✉❧❛r ♦♥❡s✑✳ ① ② ③ ① ② ③ ❆r❡ ♥♦t r❡❣✉❧❛r✳ ① ② ③ ♦r ① ② ③ ❆r❡ r❡❣✉❧❛r✳

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■♥ t❤❡ ♠❡❛♥t✐♠❡✱ ♦♥❡ ❝❛♥ r❡str✐❝ts t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ ♣❛st✐♥❣ ❞✐❛❣r❛♠ t❤❛t ♦♥❡ ❝♦♥s✐❞❡rs t♦ ✏r❡❣✉❧❛r ♦♥❡s✑✳ ① ② ③ ① ② ③ ❆r❡ ♥♦t r❡❣✉❧❛r✳ ① ② ③ ♦r ① ② ③ ❆r❡ r❡❣✉❧❛r✳

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■♥ t❤❡ ♠❡❛♥t✐♠❡✱ ♦♥❡ ❝❛♥ r❡str✐❝ts t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ ♣❛st✐♥❣ ❞✐❛❣r❛♠ t❤❛t ♦♥❡ ❝♦♥s✐❞❡rs t♦ ✏r❡❣✉❧❛r ♦♥❡s✑✳ ① ② ③ ① ② ③ ❆r❡ ♥♦t r❡❣✉❧❛r✳ ① ② ③ ♦r ① ② ③ ❆r❡ r❡❣✉❧❛r✳

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SLIDE 59

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SLIDE 60

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⇆ Ps❤(❘❡❣✉❧❛r − P❧❡①)

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