s trt t rrs tts - - PowerPoint PPT Presentation

❆ ❜❛s✐❝ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ r❡✈❡rs❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝s

❍✉❣♦ ❍❡r❜❡❧✐♥ ✻ ▼❛r❝❤ ✷✵✶✷

❏♦✉r♥é❡s ❈❛❧❝✉❧❛❜✐❧✐té ✷✵✶✷ P❛r✐s

✶

❖✉t❧✐♥❡ ✲ ❘❡✈❡rs❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝s✿ ❜❛s✐❝s✱ t❤❡ ❜✐❣ ✜✈❡ ✭RCA0 ⊂ WKL0 ⊂ ACA0 ⊂ ATR0 ⊂ Π1

1✲CA0✮

✲ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐♦♥ ✈s ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥✿ t♦✇❛r❞s ❛ ✉♥✐❢♦r♠ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ RCA0✱ WKL0✱ ACA0✱ ATR0✱ Π1

1✲CA0

✲ ❚♦✇❛r❞s ❛ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♥t❡♥t t♦ RCA0✱ WKL0✱ ACA0✱ ATR0✱ Π1

1✲CA0

✷

❚❤❡ ❜❛s✐s ♦❢ r❡✈❡rs❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝s ❙t❛rt❡❞ ❜② ❍❛r✈❡② ❋r✐❡❞♠❛♥ ✐♥ t❤❡ ✼✵✬s✿ ❉❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡ ❧♦❣✐❝❛❧ str❡♥❣t❤ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ st❛♥❞❛r❞ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ t❤❡♦r❡♠s✱ ❡✳❣✳✿ ✲ RCA0 s✉✣❝❡s t♦ ♣r♦✈❡✿ ❇❛✐r❡ ❝❛t❡❣♦r② t❤❡♦r❡♠✱ ■♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ❱❛❧✉❡ ❚❤❡♦r❡♠✱ ❙♦✉♥❞♥❡ss ♦❢ ♣r❡❞✐❝❛t❡ ❧♦❣✐❝✱ ✳✳✳ ✲ WKL0 ❂ ❍❡✐♥❡✴❇♦r❡❧ ❝♦✈❡r✐♥❣ ❧❡♠♠❛ ❂ ●ö❞❡❧✬s ❈♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ❚❤❡♦r❡♠ ❂ ❇r♦✉✇❡r✬s ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❚❤❡♦r❡♠ ❂ ❙❡♣❛r❛❜❧❡ ❍❛❤♥✴❇❛♥❛❝❤ ❚❤❡♦r❡♠ ❂ ❈♦✉♥t❛❜❧❡ ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ r✐♥❣s ❤❛✈❡ ❛ ♣r✐♠❡ ✐❞❡❛❧ ❂ ✳✳✳ ✲ ACA0 ❂ ❇♦❧③❛♥♦✴❲❡✐❡rstr❛ÿ ❚❤❡♦r❡♠ ❂ ❈♦✉♥t❛❜❧❡ ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ r✐♥❣s ❤❛✈❡ ❛ ♠❛①✐♠❛❧ ✐❞❡❛❧ ❂ ❘❛♠s❡②✬s ❚❤❡♦r❡♠ ❢♦r ❝♦❧♦✉r✐♥❣✬s ♦❢ [N]n ❂ ✳✳✳ ✲ ATR0 ❂ ❝♦✉♥t❛❜❧❡ ✇❡❧❧✲♦r❞❡r✐♥❣s ❛r❡ ❝♦♠♣❛r❛❜❧❡ ❂ P❡r❢❡❝t ❙❡t ❚❤❡♦r❡♠ ❂ ▲✉s✐♥✬s s❡♣❛r❛t✐♦♥ t❤❡♦r❡♠ ❂ ✳✳✳ ✲ Π1

1✲CA0 ❂ tr❡❡s ❤❛✈❡ ❛ ❧❛r❣❡st ♣❡r❢❡❝t s✉❜tr❡❡ ❂ ❈❛♥t♦r✴❇❡♥❞✐①s♦♥ ❚❤❡♦r❡♠ ❂ ❙✐❧✈❡r✬s

❚❤❡♦r❡♠ ❂ ✳✳✳ ❆ r❡❢❡r❡♥❝❡ ❜♦♦❦ ❜② ❙t❡♣❤❡♥ ❙✐♠♣s♦♥✿ ❙✉❜s②st❡♠s ♦❢ s❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ❛r✐t❤♠❡t✐❝ ❬✶✾✾✾✱ ✷✵✵✻❪

✸

❘❡✈❡rs❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝s✿ s✉❜s②st❡♠s ♦❢ s❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ❛r✐t❤♠❡t✐❝ ✲ ❚❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ♦❢ P❡❛♥♦ ❆r✐t❤♠❡t✐❝ ✭P❆✮ ✇✐t❤ ✐ts q✉❛♥t✐✜❝❛t✐♦♥ ♦✈❡r ♥❛t✉r❛❧ ♥✉♠❜❡rs ✭n✱ m✱ ✳✳✳✮ ✲ ❊♥♦✉❣❤ t♦ t❛❧❦ ❛❜♦✉t ❧✐sts✱ ✐♥t❡❣❡rs✱ r❛t✐♦♥❛❧ ♥✉♠❜❡rs✱ ✜♥✐t❡ s❡q✉❡♥❝❡s✱ ❢♦r♠✉❧❛❡✱ ✜♥✐t❡ tr❡❡s✱ ✳✳✳ ✲ ◗✉❛♥t✐✜❝❛t✐♦♥ ♦✈❡r s❡ts ♦❢ ♥❛t✉r❛❧ ♥✉♠❜❡rs ✭X✱ Y ✱ ✳✳✳✮ ❛♥❞ ❛t♦♠✐❝ ❢♦r♠✉❧❛❡ n ∈ X ✲ ❊♥♦✉❣❤ t♦ t❛❧❦ ❛❜♦✉t ❝♦✉♥t❛❜❧❡ s❡q✉❡♥❝❡s✱ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡rs✱ ❣r♦✉♣s✱ ✜❡❧❞s✱ ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡s✱ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦✈❡r ♥❛t✉r❛❧ ♥✉♠❜❡rs✱ ✳✳✳ ✲ ■♥❞✉❝t✐♦♥ ❢♦r t❤♦s❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❞❡✜♥❛❜❧❡ ❛s ❛ s❡t ✲ ❚✉♥✐♥❣ t❤❡ str❡♥❣t❤ ✈✐❛ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐♦♥ ❛①✐♦♠s✱ ♣♦ss✐❜❧② ✐♠♣❛❝t✐♥❣ t❤❡ str❡♥❣t❤ ♦❢ ✐♥❞✉❝t✐♦♥ ✲ RCA0 ❂ ❘❡❝✉rs✐✈❡ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐♦♥ ❆①✐♦♠ ✭❈❆ ♦♥ ∆0

1✲❢♦r♠✉❧❛❡✮

✲ WKL0 ❂ RCA0 ✰ ❲❡❛❦ ❑ö♥✐❣✬s ▲❡♠♠❛ ✲ ACA0 ❂ RCA0 ✰ ❆r✐t❤♠❡t✐❝ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐♦♥ ❆①✐♦♠ ✭❈❆ ♦♥ Σ0

1✲❢♦r♠✉❧❛❡✮

✲ ATR0 ❂ ACA0 ✰ ❆r✐t❤♠❡t✐❝ ❚r❛♥s✜♥✐t❡ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ✲ Π1

1✲CA0 ❂ ACA0 ✰ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐♦♥ ❆①✐♦♠ ♦♥ Π1 1✲❢♦r♠✉❧❛❡

✹

P♦s✐t✐♦♥ ✐♥ ●ö❞❡❧ ❤✐❡r❛r❝❤②

str♦♥❣    ZF, ZFC, ... ❩❡r♠❡❧♦ s❡t t❤❡♦r② ❙②st❡♠ ❋ω.2+ HOL ✭❈❤✉r❝❤✬s ❙✐♠♣❧❡ ❚②♣❡ ❚❤❡♦r②✮

• ✐r❛r❞✬s ❙②st❡♠ ❋ω

♠❡❞✐✉♠                      Z2 ✭❢✉❧❧ ✷♥❞ ♦r❞❡r ❛r✐t❤♠❡t✐❝✮

• ✐r❛r❞✲❘❡②♥♦❧❞s✬ ❙②st❡♠ ❋

Π1

1✲CA0

Ψ0(Ωω) CZF ✭❆❝③❡❧✬s ❈♦♥str✉❝t✐✈❡ ❙❡t ❚❤❡♦r②✮ Ψ0(ǫΩ+1) ✭❇❛❝❤♠❛♥♥✲❍♦✇❛r❞✮ ATR0 Γ0 ✭❋❡❢❡r♠❛♥✲❙❝❤ütt❡✮ ACA0

• ö❞❡❧✬s ❙②st❡♠ ❚

ǫ0 HAω ✭✐♥t✉✐t✳ ❛r✐t❤♠✳ ✐♥ ✜♥✐t❡ t②♣❡s✮

• ö❞❡❧✬s ❙②st❡♠ ❚

ǫ0 PA

• ö❞❡❧✬s ❙②st❡♠ ❚

ǫ0 ✇❡❛❦              WKL0 ♣r✐♠✳ r❡❝✳ ❢✉♥❝t✳ ωω RCA0 ♣r✐♠✳ r❡❝✳ ❢✉♥❝t✳ ωω IΣ1 ♣r✐♠✳ r❡❝✳ ❢✉♥❝t✳ ωω PRA ✭♣r✐♠✳ r❡❝✳ ❛r✐t❤♠❡t✐❝✮ ♣r✐♠✳ r❡❝✳ ❢✉♥❝t✳ ωω EFA ✭❡❧❡♠❡♥t❛r② ❢✉♥❝t✳ ❛r✐t❤♠❡t✐❝✮ ♣r✐♠✳ r❡❝✳ ❢✉♥❝t✳ ✉♣ t♦ pn ω3

✺

❚❤❡ ❛r✐t❤♠❡t✐❝❛❧ ❤✐❡r❛r❝❤② A ∈ Σ0 A ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ s♦♠❡ ❢♦r♠✉❧❛ B(n, m, Y ) ✇✐t❤ B ♣r✐♠✐t✐✈❡ r❡❝✉rs✐✈❡ A ∈ Π0 A ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ s♦♠❡ ❢♦r♠✉❧❛ B(n, m, Y ) ✇✐t❤ B ♣r✐♠✐t✐✈❡ r❡❝✉rs✐✈❡ A ∈ Σ0

n+1 A ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ s♦♠❡ ❢♦r♠✉❧❛ ∃n B(n, m, Y ) ✇✐t❤ B(n, m, Y ) ∈ Π0 n

A ∈ Π0

n+1 A ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ s♦♠❡ ❢♦r♠✉❧❛ ∀n B(n, m, Y ) ✇✐t❤ B(n, m, Y ) ∈ Σ0 n

A ∈ ∆0

n

A ∈ Σ0

n ❛♥❞ A ∈ Π0 n

❋♦r♠✉❧❛❡ ✐♥ Σ0

k ✭♦r Π0 k✮ ❛r❡ s❛✐❞ ❛r✐t❤♠❡t✐❝❛❧

✻

❚❤❡ ❛♥❛❧②t✐❝❛❧ ❤✐❡r❛r❝❤② A ∈ Σ1 A ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ s♦♠❡ ❢♦r♠✉❧❛ B(m, Y ) ∈ ∆0

n ❢♦r s♦♠❡ n

A ∈ Π1 A ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ s♦♠❡ ❢♦r♠✉❧❛ B(m, Y ) ∈ ∆0

n ❢♦r s♦♠❡ n

A ∈ Σ1

n+1 A ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ s♦♠❡ ❢♦r♠✉❧❛ ∃X B(X, m, Y ) ✇✐t❤ B(X, m, Y ) ∈ Π1 n

A ∈ Π1

n+1 A ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ s♦♠❡ ❢♦r♠✉❧❛ ∀X B(X, , m, Y ) ✇✐t❤ B(X, m, Y ) ∈ Σ1 n

A ∈ ∆1

n

A ∈ Σ1

n ❛♥❞ A ∈ Π1 n

✼

■♥❞✉❝t✐♦♥ ♦♥ ❛❧❧ s❡ts ✈s Σ0

1✲✐♥❞✉❝t✐♦♥

❚❡❝❤♥✐❝❛❧❧②✱ ❛❧❧ s②st❡♠s ✐♥❝❧✉❞❡ ✐♥❞✉❝t✐♦♥ ♦✈❡r ❛❧❧ s❡ts✿ IND : 0 ∈ X ⇒ ∀n(n ∈ X ⇒ n + 1 ∈ X) ⇒ ∀n (n ∈ X) ❜✉t RCA0 ❛♥❞ WKL0 ✇❤✐❝❤ ❤❛✈❡ ✐♥❞✉❝t✐♦♥ ♦✈❡r Σ0

1✲❢♦r♠✉❧❛❡✿

Σ0

1✲IND : A(0) ⇒ ∀n(A(n) ⇒ A(n + 1)) ⇒ ∀n A(n)

❢♦r A(n) ∈ Σ0

1 ✭♣♦ss✐❜❧② ✇✐t❤ ♣❛r❛♠❡t❡rs✮

❍♦✇❡✈❡r✱ ❛❧❧ ✺ s②st❡♠s ❝♦✉❧❞ ❜❡ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ Σ0

1✲✐♥❞✉❝t✐♦♥ s❝❤❡♠❡✿ ❜❡❝❛✉s❡

A ❝❛♥ ❝♦♥t❛✐♥ ❢r❡❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s n✱ m✱ ✳✳✳ ♦❢ ♥❛t✉r❛❧ ♥✉♠❜❡rs ❛♥❞ X✱ Y ✱ ✳✳✳ ♦❢ s❡ts ♦❢ ♥❛t✉r❛❧ ♥✉♠❜❡rs✱ t❤❡ ❡✛❡❝t✐✈❡ str❡♥❣t❤ ♦❢ Σ0

1✲✐♥❞✉❝t✐♦♥ ✐s ✐♥ ❢❛❝t ❣♦✈❡r♥❡❞ ❜② ✇❤✐❝❤ s❡ts

❛r❡ ❞❡✜♥❛❜❧❡ ✭✐✳❡✳ ❜② t❤❡ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐♦♥ ❛①✐♦♠s✮✳ ❆❧t❡r♥❛t✐✈❡❧② ✭❆❋❆■❯✮✱ ❛❧❧ ✺ s②st❡♠s ❝♦✉❧❞ ❜❡ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❜❛s❡❞ ♦♥ ✐♥❞✉❝t✐♦♥ ♦✈❡r ❛❧❧ s❡ts t♦♦✱ ✐❢ ❛❧❧ ♣r✐♠✳ r❡❝✳ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ t❛❦❡♥ ♣r✐♠✐t✐✈❡ ✐♥ RCA0 ❛♥❞ WKL0✳

✽

RCA0 RCA0 ✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐s❡❞ ❜② t❤❡ ❛①✐♦♠ ♦❢ ∆0

1✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐♦♥✿

∆0

1✲AC : ∃X ∀n (n ∈ X ⇐

⇒ A(n)) ❢♦r A(n) ∈ ∆0

1 ✭♣♦ss✐❜❧② ✇✐t❤ ♣❛r❛♠❡t❡rs✮

❖t❤❡r✇✐s❡ s❛✐❞✱ t❤❡ ♦♥❧② ❞❡✜♥❛❜❧❡ s❡ts ❛r❡ t❤❡ r❡❝✉rs✐✈❡ ♦♥❡s✳ ❇❡❝❛✉s❡ s❡ts ❞❡✜♥❛❜❧❡ ✐♥ RCA0 ❛r❡ ❧❡ss t❤❛♥ Σ0

1✲❞❡✜♥❛❜❧❡✱ ∆0 1✲AC ❞♦❡s ♥♦t ❛❧❧♦✇ t♦ s❝❛❧❡

Σ0

1✲✐♥❞✉❝t✐♦♥ ❜❡②♦♥❞ ✐♥❞✉❝t✐♦♥ ♦✈❡r ✭❝❧♦s❡❞✮ Σ0 1 ❢♦r♠✉❧❛❡✳

❍❡♥❝❡ RCA0 ✐s t❤❡ s❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ✈❛r✐❛♥t ♦❢ IΣ1 ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ r❡str✐❝t✐♦♥ ♦❢ P❡❛♥♦ ❆r✐t❤♠❡t✐❝ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② r❡str✐❝t✐♥❣ ✐♥❞✉❝t✐♦♥ t♦ Σ0

1✲❢♦r♠✉❧❛❡✳

❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♣r♦✈❛❜❧② t♦t❛❧ ✐♥ RCA0 ❛r❡ t❤❡ ♣r✐♠✐t✐✈❡ r❡❝✉rs✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❤❡♥❝❡✱ ✐ts ♦r❞✐♥❛❧ str❡♥❣t❤ ✐s t❤❡ ♦♥❡ ♦❢ Pr✐♠✐t✐✈❡ ❘❡❝✉rs✐✈❡ ❆r✐t❤♠❡t✐❝ ♥❛♠❡❧② ωω✳

✾

WKL0 WKL0 ❡①t❡♥❞s RCA0 ✇✐t❤ ❲❡❛❦ ❑ö♥✐❣✬s ▲❡♠♠❛ ✏❡✈❡r② ✐♥✜♥✐t❡ ❜✐♥❛r② tr❡❡ ❤❛s ❛♥ ✐♥✜♥✐t❡ ♣❛t❤✑ WKL : ∀X [ tr❡❡ X ⇒ ∀n ∃l (|l| > n ∧ l ∈ X) ⇒ ∃Y ∀n ∀l (l ≈n Y ⇒ l ∈ X)] ✇❤❡r❡ ✏tr❡❡ X✑ ♠❡❛♥s t❤❛t l ∈ X ⇒ l′ ∈ X ❢♦r l′ ♣r❡✜① ♦❢ s❡q✉❡♥❝❡ l ❛♥❞ l ≈n Y ♠❡❛♥s t❤❛t l ✐s ❛ ❧✐st ♦❢ ❇♦♦❧❡❛♥ ✈❛❧✉❡s r❡✢❡❝t✐♥❣ t❤❡ tr✉t❤ ♦❢ Y ♦♥ ✐ts n ✜rst ✈❛❧✉❡s ✭✐✳❡✳ ǫ ≈0 Y ❛♥❞ n ∈ Y ∧l ≈n Y ⇐ ⇒ l1 ≈n+1 Y ❛♥❞ n ∈ Y ∧l ≈n Y ⇐ ⇒ l0 ≈n+1 Y ✮✳ ❈♦♠♣❛r❡ t♦ ❑ö♥✐❣✬s ❧❡♠♠❛✿ ✏❡✈❡r② ✐♥✜♥✐t❡ ✜♥✐t❡❧②✲❜r❛♥❝❤✐♥❣ tr❡❡ ❤❛s ❛♥ ✐♥✜♥✐t❡ ♣❛t❤✑ ✇❤✐❝❤ ✐s ♠✉❝❤ str♦♥❣❡r✳ ◆♦t❡✿ ❝♦♥str✉❝t✐✈❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝s ♣r❡❢❡r t❤❡ ❝♦♥tr❛♣♦s✐t✐✈❡ ❢♦r♠✱ ❝❛❧❧❡❞ ✭t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥❛❧ ❢♦r♠ ♦❢✮ ❲❡❛❦ ❋❛♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✏❛ ❜✐♥❛r② tr❡❡ ✇❤♦s❡ ❜r❛♥❝❤❡s ❛r❡ ❜♦✉♥❞❡❞ ✐s ✉♥✐❢♦r♠❧② ❜♦✉♥❞❡❞✑✿ WFT : ∀X [ ✉♣✇❛r❞ ❝❧♦s❡❞ X ⇒ ∀Y ∃n ∃l (l ≈n Y ∧l ∈ X) ⇒ ∃n ∀l (|l| > n ⇒ l ∈ X)]

✶✵

WKL0 ❙❡ts ❛ss❡rt❡❞ t♦ ❡①✐st ❜② WKL ❛r❡ ✐♥ ❜❡t✇❡❡♥ ∆0

1✲❞❡✜♥❛❜❧❡ ❛♥❞ Σ0 1✲❞❡✜♥❛❜❧❡ s❡ts✳ ■♥

♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ WKL ✐s ♥♦t str♦♥❣ ❡♥♦✉❣❤ t♦ ♠❛❦❡ ✐♥❞✉❝t✐♦♥ ❡①❝❡❡❞ t❤❡ str❡♥❣t❤ ♦❢ Σ0

1✲

✐♥❞✉❝t✐♦♥✳ ▲✐❦❡ ❢♦r RCA0✱ t❤❡ ✜rst✲♦r❞❡r ❢r❛❣♠❡♥t ♦❢ WKL0 ✐s IΣ1✳ ▲✐❦❡ ❢♦r RCA0✱ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♣r♦✈❛❜❧② t♦t❛❧ ✐♥ WKL0 ❛r❡ t❤❡ ♣r✐♠✐t✐✈❡ r❡❝✉rs✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❍❡♥❝❡✱ t❤❡ ♦r❞✐♥❛❧ str❡♥❣t❤ ♦❢ WKL0 ✐s t❤❡ ♦♥❡ ♦❢ Pr✐♠✐t✐✈❡ ❘❡❝✉rs✐✈❡ ❆r✐t❤♠❡t✐❝✱ ♥❛♠❡❧② ωω✳

✶✶

❆♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ WKL0 WKL0 ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ✇✐t❤♦✉t r❡❢❡rr✐♥❣ t♦ ✜♥✐t❡ s❡q✉❡♥❝❡s✿ WKL ✐s ✐♥❞❡❡❞ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ♦✈❡r RCA0 t♦ s❡♣❛r❛t✐♦♥ ♦❢ ♥♦♥✲♦✈❡r❧❛♣♣✐♥❣ Σ0

1✲❢♦r♠✉❧❛❡✿

Σ0

1✲SEP : ∀n¬(A1(n) ∧ A2(n)) ⇒ ∃X ∀n

A1(n) ⇒ n ∈ X A2(n) ⇒ n ∈ X ❢♦r ❛♥② A1(n), A2(n) ∈ Σ0

1

▼♦r❡♦✈❡r✱ Σ0

1✲SEP ❞✐r❡❝t❧② ✐♠♣❧✐❡s ∆0 1✲CA

✶✷

ACA0 ACA0 ✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐s❡❞ ❜② t❤❡ ❛①✐♦♠ ♦❢ Σ0

1✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐♦♥✿

Σ0

1✲AC : ∃X ∀n (n ∈ X ⇐

⇒ A(n)) ❢♦r A(n) ∈ Σ0

1 ✭♣♦ss✐❜❧② ✇✐t❤ ♣❛r❛♠❡t❡rs✮

◆♦t❡ t❤❛t✱ ❜② ❞❡ ▼♦r❣❛♥ ❧❛✇s✱ ✇❡ ❛❧s♦ ❤❛✈❡ Π0

1✲AC : ∃X ∀n (n ∈ X ⇐

⇒ A(n)) ❢♦r A(n) ∈ Π0

1 ✭♣♦ss✐❜❧② ✇✐t❤ ♣❛r❛♠❡t❡rs✮

❚❤❡♥✱ ❜② ✐♥❞✉❝t✐♦♥ ♦♥ k✱ ✇❡ ❛❧s♦ ♦❜t❛✐♥ Σ0

k✲AC ❛♥❞ Π0 k✲AC✳

❇❡❝❛✉s❡ ❛♥② Π0

k ♦r Σ0 k✲♣r❡❞✐❝❛t❡ ✐s ♥♦✇ ❞❡✜♥❛❜❧❡ ❛s ❛ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ n ∈ X ❢♦r s♦♠❡ X ❛♥❞

❤❡♥❝❡ ❛s ❛ ∆0

0✲❢♦r♠✉❧❛ ✇✐t❤ s❡t ♣❛r❛♠❡t❡rs✱ Σ1 0✲✐♥❞✉❝t✐♦♥ ♥♦✇ s❝❛❧❡s t♦ ❢✉❧❧ ❛r✐t❤♠❡t✐❝❛❧

✐♥❞✉❝t✐♦♥✳ ❍❡♥❝❡❢♦rt❤✱ t❤❡ ✜rst✲♦r❞❡r ♣❛rt ♦❢ ACA0 ✐s P❡❛♥♦ ❆r✐t❤♠❡t✐❝✳ ■t ❝❛♥ ♣r♦✈❡ t❤❡ t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ❛❧❧ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ ●ö❞❡❧✬s ❙②st❡♠ ❚✱ ❛♥❞ ✐ts ♦r❞✐♥❛❧ str❡♥❣t❤ ✐s ǫ0✳

✶✸

ATR0 ATR0 ❡①t❡♥❞s ❢✉rt❤❡r ❛r✐t❤♠❡t✐❝❛❧ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐♦♥ ✭✐✳❡✳ Σ0

k✲CA✮ ✉s✐♥❣ ❛r✐t❤♠❡t✐❝❛❧ tr❛♥s✲

✜♥✐t❡ r❡❝✉rs✐♦♥✿ ATR : ∀ <J (WO(<J) ⇒ ∃Y ((n, j) ∈ Y ⇐ ⇒ j ∈ J ∧ A(n, Y j))) ✇❤❡r❡✿ ✲ A(n, X) ✐s ❛ Σ0

1✲❢♦r♠✉❧❛ ✭♦r ❛♥② ❛r❜✐tr❛r② ❛r✐t❤♠❡t✐❝❛❧ ❢♦r♠✉❧❛✮

✲ Y j ✐s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ s❡t ❞❡✜♥❡❞ ❜② (n, i) ∈ Y j ⇐ ⇒ i <J j ∧ (n, i) ∈ Y ✲ WO(<J) ♠❡❛♥s t❤❛t <J ✐s ❛ s❡t ♦❢ ♣❛✐rs ❞❡✜♥✐♥❣ ❛ ✇❡❧❧✲♦r❞❡r❡❞ s✉❜s❡t ♦❢ N

✶✹

ATR0 ATR0 ♣r♦✈❡s t❤❡ t♦t❛❧✐t② ♦❢ ♠♦r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s t❤❛♥ ACA0 ✭❛ s✉❜s②st❡♠ ♦❢ ❙②st❡♠ ❋❄✮ ❆ r❡s✉❧t ❜② ❋r✐❡❞♠❛♥✱ ▼❝❆❧♦♦♥ ❛♥❞ ❙✐♠♣s♦♥ s❛②s ✐ts ♦r❞✐♥❛❧ str❡♥❣t❤ ✐s Γ0✳ ■t ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❛❧s♦ t❤❡ ♦r❞✐♥❛❧ str❡♥❣t❤ ♦❢ ▼❛rt✐♥✲▲ö❢✬s t②♣❡ t❤❡♦r② ✇✐t❤ ✉♥✐✈❡rs❡s ❜✉t ♥♦ ❲✲t②♣❡✳

✶✺

❆♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ATR0 ATR0 ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ✇✐t❤♦✉t r❡❢❡rr✐♥❣ t♦ ✇❡❧❧✲♦r❞❡r✐♥❣s✿ ATR ✐s ✐♥❞❡❡❞ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ s❡♣❛r❛t✐♦♥ ♦❢ ♥♦♥✲♦✈❡r❧❛♣♣✐♥❣ Σ1

1✲❢♦r♠✉❧❛❡✿

Σ1

1 − SEP : ∀n¬(A1(n) ∧ A2(n)) ⇒ ∃X ∀n

A1(n) ⇒ n ∈ X A2(n) ⇒ n ∈ X ❢♦r ❛♥② A1(n), A2(n) ∈ Σ1

1

■♥❢♦r♠❛❧❧② s♣❡❛❦✐♥❣✿ WKL0 RCA0 = ATR0 ∆1

1✲CA0

✇❤❡r❡ ∆1

1✲CA0 ❡①t❡♥❞s ACA0 ✇✐t❤ ∆1 1✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐♦♥✱ ❧✐❦❡ RCA0 ❡①t❡♥❞❡❞ ❜❛r❡ s❡❝♦♥❞✲

♦r❞❡r ❛r✐t❤♠❡t✐❝ ✇✐t❤ ∆0

1✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐♦♥

✶✻

Π1

1✲CA0

Π1

1✲CA0 ✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐s❡❞ ❜② t❤❡ ❛①✐♦♠ ♦❢ Σ1 1✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐♦♥✿

Σ1

1✲AC : ∃X ∀n (n ∈ X ⇐

⇒ A(n)) ❢♦r A(n) ∈ Σ1

1 ✭♣♦ss✐❜❧② ✇✐t❤ ♣❛r❛♠❡t❡rs✮

◆♦t❡ t❤❛t✱ ❜② ❞❡ ▼♦r❣❛♥ ❧❛✇s✱ ✇❡ ❛❧s♦ ❤❛✈❡ Π1

1✲AC : ∃X ∀n (n ∈ X ⇐

⇒ A(n)) ❢♦r A(n) ∈ Π1

1 ✭♣♦ss✐❜❧② ✇✐t❤ ♣❛r❛♠❡t❡rs✮

❍♦✇❡✈❡r✱ Σ1

1✲AC ❛♥❞ Π1 1✲AC ❞♦ ♥♦t ✐♠♣❧② Σ1 k✲AC ❛♥❞ Π1 k✲AC ✭❜❡❝❛✉s❡ t♦ ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ ♥❡st

Σ1

1✲AC ♦♥❡ ✇♦✉❧❞ ♥❡❡❞ t❤❡ ❛❜✐❧✐t② t♦ ❞❡✜♥❡ s❡ts ♦❢ s❡ts✮

✶✼

Π1

1✲CA0

Π1

1✲CA0 ♣r♦✈❡s t❤❡ t♦t❛❧✐t② ♦❢ ♠♦r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s t❤❛♥ ATR0 ✭❛♥♦t❤❡r s✉❜s②st❡♠ ♦❢ ❙②st❡♠

❋❄✮ ■ts ♦r❞✐♥❛❧ str❡♥❣t❤ ✐s t♦❧❞ t♦ ❜❡ Ψ0(Ωω)✳ ❲❡ ❝❛♥ ❛❧s♦ ❣❡♥❡r❛❧✐s❡ t❤❡ ❢♦r♠❡r ✐♥❢♦r♠❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥✿ WKL0 RCA0 = ATR0 ∆1

1✲CA0

❛♥❞ WKL0 ACA0 = ATR0 Π1

1✲CA0

✶✽

❚❤❡ ❜✐❣ ✜✈❡✿ s✉♠♠❛r② s②st❡♠ ❝❤❛r❛❝t❡r✐s❛t✐♦♥ ❢✳♦✳ ❢r❛❣♠❡♥t ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦r❞✐♥❛❧ RCA0 ∆0

1✲CA

IΣ1 ♣r✐♠✳ r❡❝✳ ωω WKL0 Σ0

1✲SEP ✭♦r WKL✮

IΣ1 ♣r✐♠✳ r❡❝✳ ωω ACA0 Σ0

1✲CA

✭♦r Π0

1✲CA✮

PA ❙②st❡♠ ❚ ǫ0 ATR0 Σ1

1✲SEP ✭♦r ATR✮

Γ0 Π1

1✲CA0

Σ1

1✲CA

✭♦r Π1

1✲CA)

Ψ0(Ωω)

✶✾

❚❤❡ ❜✐❣ ✜✈❡✿ t♦✇❛r❞s ❛ ✉♥✐❢♦r♠ ❝❤❛r❛❝t❡r✐s❛t✐♦♥

✭✇♦r❦ ✐♥ ♣r♦❣r❡ss✮

✷✵

❚❤❡ ❜✐❣ ✜✈❡✿ t♦✇❛r❞s ❛ ✉♥✐❢♦r♠ ❝❤❛r❛❝t❡r✐s❛t✐♦♥ ❋♦r S1 ❛♥❞ S2 ❜❡ ❝❧❛ss❡s ♦❢ ❢♦r♠✉❧❛❡✱ ❧❡t ✉s ❝❛❧❧ S1✲S2✲✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❝❤❡♠❡✿ S1✲S2✲INTERPOL : ∀n [A1(n) ⇒ A2(n)] ⇒ ∃X ∀n A1(n) ⇒ n ∈ X n ∈ X ⇒ A2(n) ❢♦r A1(n) ∈ S1 ❛♥❞ B2(n) ∈ S2 ✭♣♦ss✐❜❧② ✇✐t❤ ♣❛r❛♠❡t❡rs✮ ❲❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡❛s② ❢❛❝ts✿ S✲CA ⇐ ⇒ S✲S✲INTERPOL S✲SEP ⇐ ⇒ S✲S✲INTERPOL ✇❤❡r❡ S ✐s t❤❡ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t ♦❢ S

✷✶

❚❤❡ ❜✐❣ ✜✈❡✿ r❡✈✐s❡❞ ❝❤❛r❛❝t❡r✐s❛t✐♦♥ s②st❡♠ ❝❤❛r❛❝t❡r✐s❛t✐♦♥ RCA0 ∆0

1✲∆0 1✲INTERPOL

✭✐✳❡✳ ∆0

0✲CA✮

WKL0 Σ0

1✲Π0 1✲INTERPOL

✭✐✳❡✳ Σ0

1✲SEP✮

ACA0 Σ0

1✲Σ0 1✲INTERPOL ♦r Π0 1✲Π0 1✲INTERPOL ✭✐✳❡✳ Σ0 1✲CA ♦r Π0 1✲CA✮

ATR0 Σ1

1✲Π1 1✲INTERPOL

✭✐✳❡✳ Σ1

1✲SEP✮

Π1

1✲CA0

Σ1

1✲Σ1 1✲INTERPOL ♦r Π1 1✲Π1 1✲INTERPOL ✭✐✳❡✳ Σ1 1✲CA ♦r Π1 1✲CA✮

✷✷

❆♥❛❧②s✐♥❣ ∆0

1✲∆0 1✲INTERPOL

❲❡ ♥♦✇ s❤♦✇ t❤❛t ∆0

1✲∆0 1✲INTERPOL✱ ✐✳❡✳ ∆0 1✲CA ✐s t❤❡ s❛♠❡ ❛s Π0 1✲Σ0 1✲INTERPOL✳

✭⇒✮ ▲❡t A(n)✱ A1(n) ∈ Π0

1 ❛♥❞ A2(n) ∈ Σ0 1 s✉❝❤ t❤❛t A(n) ⇐

⇒ A1(n) ⇐ ⇒ A2(n)✳ ❇② t❛❦✐♥❣ A1 ❛♥❞ An ✐♥ Π0

1✲Σ0 1✲INTERPOL✱ ♦♥❡ ❣❡ts X s✉❝❤ t❤❛t A1(n) ⇒ n ∈ X ⇒

A2(n)✳ ❇✉t t❤❡♥A2(n) ⇒ A1(n) ❤❡♥❝❡ A(n) ⇐ ⇒ n ∈ X✳ ✭⇐✮ ▲❡t A1(n) ⇐ ⇒ ∀p B1(n, p) ∈ Π0

1 ❛♥❞ A2(n)

⇐ ⇒ ∃p B2(n, p) ∈ Σ0

1✳ ■❢

A1(n) ⇒ A2(n)✱ t❤❡♥ ✇❡ ❝❛♥ ✜♥❞ ❛ ∆0

1✲❢♦r♠✉❧❛ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♥❣ A1(n) ❛♥❞ A2(n)✳ ■♥❞❡❡❞✱

t❛❦✐♥❣ A′

1(n) ∀p (B1(n, p) ∨ ∃p′ ≤ p B2(n, p′)) ❛♥❞ A′ 2(n) ∃p (B2(n, p) ∧ ∀p′ <

p B1(n, p′))✱ ✇❡ ❣❡t A1(n) = ⇒ A′

1(n) ⇐

⇒ A′

2(n) =

⇒ A2(n) ❛♥❞ ✇❡ ❝❛♥ ✉s❡ ∆0

1✲CA

✇✐t❤ t❤❡ ♣❛✐r A′

1 ❛♥❞ A′ 2 t♦ ❣❡t ❛♥ ✐♥t❡r♣♦❧❛♥t✳

✷✸

❚❤❡ ❜✐❣ ✜✈❡✿ ♥❡✇ r❡✈✐s❡❞ ❝❤❛r❛❝t❡r✐s❛t✐♦♥ s②st❡♠ ❝❤❛r❛❝t❡r✐s❛t✐♦♥ RCA0 Π0

1✲Σ0 1✲INTERPOL

WKL0 Σ0

1✲Π0 1✲INTERPOL

ACA0 Σ0

1✲Σ0 1✲INTERPOL ♦r Π0 1✲Π0 1✲INTERPOL

ATR0 Σ1

1✲Π1 1✲INTERPOL

Π1

1✲CA0

Σ1

1✲Σ1 1✲INTERPOL ♦r Π1 1✲Π1 1✲INTERPOL

✷✹

❚♦✇❛r❞s ❛ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ♠❡❛♥✐♥❣ t♦ t❤❡ ❜✐❣ ✜✈❡

✭✇♦r❦ ✐♥ ♣r♦❣r❡ss✮

✷✺

❚❤❡ ✏♣r♦♦❢✲❛s✲♣r♦❣r❛♠✑ ♣♦✐♥t ♦❢ ✈✐❡✇ ❈✉rr② ❬✶✾✺✽❪✿ ❍✐❧❜❡rt✲st②❧❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❧♦❣✐❝ ❂ s✐♠♣❧②✲t②♣❡❞ ❝♦♠❜✐♥❛t♦r② ❧♦❣✐❝ ❍♦✇❛r❞ ❬✶✾✻✾❪✿ ●❡♥t③❡♥✬s ♥❛t✉r❛❧ ❞❡❞✉❝t✐♦♥ ❂ s♦♠❡ s✐♠♣❧②✲t②♣❡❞ λ✲❝❛❧❝✉❧✉s ▼❛rt✐♥✲▲ö❢✬s t②♣❡ t❤❡♦r② ✇✐t❤ ❲✲t②♣❡ ❬❛r♦✉♥❞ ✶✾✽✵❪✿ ❛♥ ✐♥t✉✐t✐♦♥✐st✐❝ ❧♦❣✐❝ t❤❡ str❡♥❣t❤ ♦❢ Π1

1✲CA0 ✇❤✐❝❤ ✐s ❛❧s♦ ❛ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣ ❧❛♥❣✉❛❣❡

• r✐✣♥ ❬✶✾✾✵❪✿ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❧♦❣✐❝ ❂ ❝♦♥tr♦❧ ♦♣❡r❛t♦r ✭❝❛❧❧❝❝✴t❤r♦✇✮

❡t❝✳ ❲❡ ❛r❡ ♥♦✇ ❣♦✐♥❣ t♦ r❡❞❡✜♥❡ t❤❡ ✏❜✐❣ ✜✈❡✑ ❛s t②♣❡❞ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣ ❧❛♥❣✉❛❣❡s

✷✻

❚♦✇❛r❞s ❛ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ♠❡❛♥✐♥❣ t♦ t❤❡ ❜✐❣ ✜✈❡ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐♦♥ S✲AC ❤❛s ❛ st❛♥❞❛r❞ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ r❡s✉❧t✐♥❣ ❢r♦♠ s❦♦❧❡♠✐s❛t✐♦♥ ❢♦r♠✉❧❛❡ A ::= t ∈ P | t = t | A ⇒ A | A ∧ A | A ∨ A | ∀n A | ∃n A | ∀XA | ∃XA s❡ts P ::= X | {n|A} ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐♦♥ r✉❧❡s Γ ⊢ A[t/n] A ∈ S Γ ⊢ t ∈ {n|A} ❈♦♠♣rI Γ ⊢ t ∈ {n|A} A ∈ S Γ ⊢ A[t/n] ❈♦♠♣rE

✷✼

❚♦✇❛r❞s ❛ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ♠❡❛♥✐♥❣ t♦ t❤❡ ❜✐❣ ✜✈❡ ❆ s✐♠✐❧❛r ❛♣♣r♦❛❝❤ ❝❛♥ ❜❡ t❛❦❡♥ ❢♦r S1✲S2✲✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥✿ ❢♦r♠✉❧❛❡ A ::= t ∈ P | t = t | A ⇒ A | A ∧ A | A ∨ A | ∀n A | ∃n A | ∀XA | ∃XA s❡ts P ::= X | {n|A ⊲ A} ■♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥ r✉❧❡s Γ ⊢ A1[t/n] A1 ∈ S1 Γ ⊢ t ∈ {n|A1 ⊲ A2} ■♥t❡r♣♦❧I Γ ⊢ t ∈ {n|A1 ⊲ A2} A2 ∈ S2 Γ, A1 ⊢ A2 Γ ⊢ A2[t/n] ■♥t❡r♣♦❧E

✷✽

❚❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ s②st❡♠ ✭s②♥t❛①✮ ❢♦r♠✉❧❛❡ A, B, C ::= t ∈ P | t = t | ⊤ | ⊥ | A ⇒ A | A ∧ A | A ∨ A | ∀n A | ∃n A | ∀XA | ∃XA s❡ts P ::= X | {n|A} t❡r♠s t, u ::= n | 0 | t + 1 | r❡❝ t ♦❢ [t | (x, y).t] ♣r♦♦❢s p, q ::= a | ιi(p) | (p1, p2) | (t, p) | (P, p) | λa.p | λx.p | λX.p | () | p q | p t | p P | ❛❜s✉r❞ p | ❝❛s❡ p ♦❢ [a1.p1 | a2.p2] | πi p | ❞❡st p ❛s (x, a) ✐♥ q | ❞❡st p ❛s (X, a) ✐♥ q | r❡❢❧ | s✉❜st p q | ✐♥❞ t ♦❢ [p | (x, a).q] | ❝❛t❝❤αp | t❤r♦✇αp | ❝♦♠♣♦s❡ p ❛s a ✐♥ q

✷✾

❚❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ s②st❡♠ ✭❝♦♥❣r✉❡♥❝❡✮ ❚❤❡ ❝♦♥❣r✉❡♥❝❡ ≡ ♦♥ ❢♦r♠✉❧❛❡ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ r❡✢❡①✐✈❡ tr❛♥s✐t✐✈❡ ❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝❧♦s✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡❞✉❝t✐♦♥ r✉❧❡s ♦♥ t❡r♠s ❛♥❞ ❢♦r♠✉❧❛❡ r❡❝ 0 ♦❢ [t0 | (x, y).tS] → t0 r❡❝ t + 1 ♦❢ [t0 | (x, y).tS] → tS[t/x][r❡❝ t ♦❢ [t0 | (x, y).tS]/y] = t + 1 → ⊥ t + 1 = 0 → ⊥ = 0 → ⊤ t + 1 = u + 1 → t = u ◆♦t❡✿ t❤❡s❡ r✉❧❡s ❡①♣r❡ss P❡❛♥♦✬s ❛①✐♦♠s✱ ❣❡♥❡r❛❧✐s✐♥❣ t❤❡ ❛①✐♦♠s ❢♦r + ❛♥❞ × ✐♥t♦ ❞❡✜♥✐♥❣ r✉❧❡s ❢♦r ❛❧❧ ♣r✐♠✳ r❡❝✳ ❢✉♥❝t✐♦♥s

✸✵

❚❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ s②st❡♠ ✭✐♥❢❡r❡♥❝❡ r✉❧❡s✱ ♣❛rt ✶✮

(a : A) ∈ Γ Γ ⊢ a : A ❛①✐♦♠ Γ ⊢ p : A A ≡ B Γ ⊢ p : B ❝♦♥✈ Γ ⊢ p1 : A1 Γ ⊢ p2 : A2 Γ ⊢ (p1, p2) : A1 ∧ A2 ∧I Γ ⊢ p : A1 ∧ A2 Γ ⊢ πi p : Ai ∧o

E

Γ ⊢ p : Ai Γ ⊢ ιi(p) : A1 ∨ A2 ∨i

I

Γ ⊢ p : A1 ∨ A2 Γ, a1 : A1 ⊢ p1 : B Γ, a2 : A2 ⊢ p2 : B Γ ⊢ ❝❛s❡ p ♦❢ [a1.p1 | a2.p2] : B ∨E Γ, a : A ⊢ p : B Γ ⊢ λa.p : A ⇒ B ⇒I Γ ⊢ p : A ⇒ B Γ ⊢ q : A Γ ⊢ p q : B ⇒E Γ ⊢ () : ⊤ ⊤I Γ ⊢ p : ⊥ Γ ⊢ ❛❜s✉r❞ p : C ⊥E

✸✶

❚❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ s②st❡♠ ✭✐♥❢❡r❡♥❝❡ r✉❧❡s✱ ♣❛rt ✷✮

Γ ⊢ p : A(x) x ❢r❡s❤ Γ ⊢ λx.p : ∀x A(x) ∀I Γ ⊢ p : ∀x A(x) Γ ⊢ p t : A(t) ∀E Γ ⊢ p : A(X) X ❢r❡s❤ Γ ⊢ λX.p : ∀X A(X) ∀2

I

Γ ⊢ P : ∀X A(X) Γ ⊢ p P : A(P) ∀2

E

Γ ⊢ p : A(t) Γ ⊢ (t, p) : ∃x A(x) ∃I Γ ⊢ p : ∃x A(x) Γ, a : A(x) ⊢ q : B x ❢r❡s❤ Γ ⊢ ❞❡st p ❛s (x, a) ✐♥ q : B ∃E Γ ⊢ p : A(P) Γ ⊢ (P, p) : ∃X A(X) ∃2

I

Γ ⊢ p : ∃X A(X) Γ, a : A(X) ⊢ q : C X ❢r❡s❤ Γ ⊢ ❞❡st p ❛s (X, a) ✐♥ q : C ∃2

E

Γ, α : T ⊥

⊥ ⊢ p : T

Γ ⊢ ❝❛t❝❤α p : T ❝❛t❝❤ Γ ⊢ p : T (α : T ⊥

⊥) ∈ Γ

Γ ⊢ t❤r♦✇α p : C t❤r♦✇

✸✷

❚❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ s②st❡♠ ✭✐♥❢❡r❡♥❝❡ r✉❧❡s✱ ♣❛rt ✸✮

Γ ⊢ r❡❢❧ : (t = t) r❡❢❧ Γ ⊢ p : (t = u) Γ ⊢ q : A[t/x] Γ ⊢ s✉❜st p in q : A[u/x] s✉❜st Γ ⊢ p : (0 ∈ P) Γ, a : (n ∈ P) ⊢ q : (n + 1 ∈ P) n ❢r❡s❤ Γ ⊢ ✐♥❞ t ♦❢ [p | (n, a).q] : (t ∈ P) ✐♥❞ Γ ⊢ p : A1[t/n] A1 ∈ S1 Γ ⊢ p : (t ∈ {n|A1 ⊲ A2}) ■♥t❡r♣♦❧I Γ ⊢ p : (t ∈ {n|A1 ⊲ A2}) A2 ∈ S2 Γ, a : A1 ⊢ q : A2 n ❢r❡s❤ Γ ⊢ ❝♦♠♣♦s❡ p ❛s a ✐♥ q : A2[t/n] ■♥t❡r♣♦❧E

✸✸

❚❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ s②st❡♠ ✭♥♦t❡s✮ ❚❤❛♥❦s t♦ rec✱ ❡①♣❧✐❝✐t ✐♥❞✉❝t✐♦♥ ♦♥ Σ0

1✲❢♦r♠✉❧❛❡ ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ RCA0 ✐s ♥♦ ❧♦♥❣❡r ♥❡❡❞❡❞✳

■♥❞✉❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❢♦r♠✉❧❛t❡❞ ♦♥ ❢♦r♠✉❧❛❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ x ∈ P✳ ❚❤❡ s②st❡♠ ✐s ❢✉❧❧② ❝♦♥str✉❝t✐✈❡✿ ✐t ✐s ❡q✉✐♣♣❡❞ ✇✐t❤ ❛ ♥♦r♠❛❧✐s❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡ t❤❛t ✇❡ ❜❡✲ ❧✐❡✈❡ t♦ ❜❡ t❡r♠✐♥❛t✐♥❣ ✭❜② ❛❞❛♣t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♥♦r♠❛❧✐s❛t✐♦♥ ♦❢ ❙②st❡♠ ❋ ✇✐t❤ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥ r❡♣❧❛❝✐♥❣ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐♦♥✮✳ ❚❤❡ ✐♥t✉✐t✐♦♥✐st✐❝ r❡str✐❝t✐♦♥ ✐s ✐♠♠❡❞✐❛t❡ t♦ ❞❡✜♥❡✳

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❈r♦ss✲❢❡rt✐❧✐s✐♥❣ ❝♦♠♣✉t❡r s❝✐❡♥❝❡ ❛♥❞ r❡✈❡rs❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝s❄ ❘❡✈❡rs❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ ❙✐♠♣s♦♥✬s ❜♦♦❦ t❛❦❡ ♣❧❛❝❡ ✐♥ s✉❜s②st❡♠s ♦❢ ❝❧❛ss✐❝❛❧ s❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ❛r✐t❤♠❡t✐❝ ❜✉t✳✳✳ ✲ ❲❤❛t ✐s t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ♦❢ t❤❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ♣r♦♦❢s❄ ✲ ❲❤❛t r❡s✉❧ts ❜❡❝♦♠❡ ❞✐✛❡r❡♥t ✐❢ ✐♥t✉✐t✐♦♥✐st✐❝ ❧♦❣✐❝ ♦r t②♣❡ t❤❡♦r② ✐s ❛❞♦♣t❡❞ ✐♥st❡❛❞❄ ✲ ❙❡❡ ❡✳❣✳ ❱❡❧❞♠❛♥✬s ✐♥t✉✐t✐♦♥✐st✐❝ r❡✈❡rs❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝s ♣r♦❣r❛♠✿ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❢♦r♠ ♦❢ ❲❡❛❦ ❋❛♥ ❚❤❡♦r❡♠ ❛♥❞ ❋❛♥ ❚❤❡♦r❡♠ ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✦ ✲ ❲❤❛t ❝♦♠♣✉t❛❜✐❧✐t② ❝❛♥ s❛② ❛❜♦✉t r❡✈❡rs❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝s❄

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