strt st - - PowerPoint PPT Presentation

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❈❛r❞✐♥❛❧ s❝❛❧❡ ❛♥❞ ♥♦ ❝♦♠♣❛r❛❜✐❧✐t②✳ ■♥✈❛r✐❛♥❝❡ t♦ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ♣♦s✐t✐✈❡ ❛✣♥❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❱✐ = ❛✐ +❜✐❯✐✳ ❈❛r❞✐♥❛❧ s❝❛❧❡ ❛♥❞ ✉♥✐t ❝♦♠♣❛r❛❜✐❧✐t②✳ ■♥✈❛r✐❛♥❝❡ t♦ ❝♦♠♠♦♥ r❡s❝❛❧✐♥❣ ❛♥❞ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ ♦r✐❣✐♥ ❱✐ = ❛✐ +❜❯✐✳ ❘❛t✐♦✲s❝❛❧❡ ❛♥❞ ❢✉❧❧ ❝♦♠♣❛r❛❜✐❧✐t②✳ ■♥✈❛r✐❛♥❝❡ t♦ ❝♦♠♠♦♥ r❡s❝❛❧✐♥❣ ❱✐ = ❜❯✐✳ ❘❛t✐♦✲s❝❛❧❡ ❛♥❞ ♥♦ ❝♦♠♣❛r❛❜✐❧✐t②✳ ■♥✈❛r✐❛♥❝❡ t♦ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ r❡s❝❛❧✐♥❣ ❱✐ = ❜✐❯✐✳

P✳ ●✳ P✐❛❝q✉❛❞✐♦ ❉✐str✐❜✉t✐✈❡ ❏✉st✐❝❡ ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ■♥❡q✉❛❧✐t②

❚❤❡ ❙❲❋▲ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❲❡❧❢❛r✐s♠ ❯t✐❧✐t❛r✐❛♥✐s♠ ▲❡①✐♠✐♥

❈♦♠❜✐♥✐♥❣ ✐♥t❡r✲ ❛♥❞ ✐♥tr❛✲♣❡rs♦♥❛❧ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥s ✭■■✮

❈❛r❞✐♥❛❧ s❝❛❧❡ ❛♥❞ ♥♦ ❝♦♠♣❛r❛❜✐❧✐t②✳ ■♥✈❛r✐❛♥❝❡ t♦ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ♣♦s✐t✐✈❡ ❛✣♥❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❱✐ = ❛✐ +❜✐❯✐✳ ❈❛r❞✐♥❛❧ s❝❛❧❡ ❛♥❞ ✉♥✐t ❝♦♠♣❛r❛❜✐❧✐t②✳ ■♥✈❛r✐❛♥❝❡ t♦ ❝♦♠♠♦♥ r❡s❝❛❧✐♥❣ ❛♥❞ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ ♦r✐❣✐♥ ❱✐ = ❛✐ +❜❯✐✳ ❘❛t✐♦✲s❝❛❧❡ ❛♥❞ ❢✉❧❧ ❝♦♠♣❛r❛❜✐❧✐t②✳ ■♥✈❛r✐❛♥❝❡ t♦ ❝♦♠♠♦♥ r❡s❝❛❧✐♥❣ ❱✐ = ❜❯✐✳ ❘❛t✐♦✲s❝❛❧❡ ❛♥❞ ♥♦ ❝♦♠♣❛r❛❜✐❧✐t②✳ ■♥✈❛r✐❛♥❝❡ t♦ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ r❡s❝❛❧✐♥❣ ❱✐ = ❜✐❯✐✳

P✳ ●✳ P✐❛❝q✉❛❞✐♦ ❉✐str✐❜✉t✐✈❡ ❏✉st✐❝❡ ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ■♥❡q✉❛❧✐t②

❚❤❡ ❙❲❋▲ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❲❡❧❢❛r✐s♠ ❯t✐❧✐t❛r✐❛♥✐s♠ ▲❡①✐♠✐♥

❆ ❣r❛♣❤✐❝❛❧ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

P✳ ●✳ P✐❛❝q✉❛❞✐♦ ❉✐str✐❜✉t✐✈❡ ❏✉st✐❝❡ ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ■♥❡q✉❛❧✐t②

❚❤❡ ❙❲❋▲ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❲❡❧❢❛r✐s♠ ❯t✐❧✐t❛r✐❛♥✐s♠ ▲❡①✐♠✐♥

❋♦r♠❛❧ ✇❡❧❢❛r✐s♠

▲❡t H (❳,D) ❜❡ t❤❡ ❡✈❛❧✉❛t✐♦♥ s♣❛❝❡✿ H (❳,D) ≡

• r ∈ R|◆| |∃① ∈ ❳,∃❯ ∈ D such that ❯① = r
• ✳

❆ s♦❝✐❛❧ ✇❡❧❢❛r❡ ♦r❞❡r✐♥❣ ✭❙❲❖✮ ❘∗ ✐s ❛ r❛♥❦✐♥❣ ♦❢ ♣r♦✜❧❡s ♦❢ ✉t✐❧✐t② ❧❡✈❡❧s✳ ❆ s♦❝✐❛❧ ✇❡❧❢❛r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❋ s❛t✐s✜❡s ❢♦r♠❛❧ ✇❡❧❢❛r✐s♠ ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❙❲❖ ❘∗ s✉❝❤ t❤❛t✿ ∀✉,✈ ∈ H (❳,D),∀①,② ∈ ❳,∀❯ ∈ D, ✉ = ❯① ❛♥❞ ✈ = ❯② ⇒ ✉❘∗✈ ✐✛ ①❘❯②.

P✳ ●✳ P✐❛❝q✉❛❞✐♦ ❉✐str✐❜✉t✐✈❡ ❏✉st✐❝❡ ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ■♥❡q✉❛❧✐t②

❚❤❡ ❙❲❋▲ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❲❡❧❢❛r✐s♠ ❯t✐❧✐t❛r✐❛♥✐s♠ ▲❡①✐♠✐♥

❋♦r♠❛❧ ✇❡❧❢❛r✐s♠

▲❡t H (❳,D) ❜❡ t❤❡ ❡✈❛❧✉❛t✐♦♥ s♣❛❝❡✿ H (❳,D) ≡

• r ∈ R|◆| |∃① ∈ ❳,∃❯ ∈ D such that ❯① = r
• ✳

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P✳ ●✳ P✐❛❝q✉❛❞✐♦ ❉✐str✐❜✉t✐✈❡ ❏✉st✐❝❡ ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ■♥❡q✉❛❧✐t②

❚❤❡ ❙❲❋▲ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❲❡❧❢❛r✐s♠ ❯t✐❧✐t❛r✐❛♥✐s♠ ▲❡①✐♠✐♥

❋♦r♠❛❧ ✇❡❧❢❛r✐s♠

▲❡t H (❳,D) ❜❡ t❤❡ ❡✈❛❧✉❛t✐♦♥ s♣❛❝❡✿ H (❳,D) ≡

• r ∈ R|◆| |∃① ∈ ❳,∃❯ ∈ D such that ❯① = r
• ✳

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P✳ ●✳ P✐❛❝q✉❛❞✐♦ ❉✐str✐❜✉t✐✈❡ ❏✉st✐❝❡ ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ■♥❡q✉❛❧✐t②

❚❤❡ ❙❲❋▲ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❲❡❧❢❛r✐s♠ ❯t✐❧✐t❛r✐❛♥✐s♠ ▲❡①✐♠✐♥

❋♦r♠❛❧ ✇❡❧❢❛r✐s♠✿ ❛ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥

P❛r❡t♦ ✐♥❞✐✛❡r❡♥❝❡✿ ∀❯ ∈ D,∀①,② ∈ ❳,①■❯② ✐❢ ❯① = ❯②. ❇✐♥❛r② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✿ ∀❱ ∈ D,∀①,② ∈ ❳,①❘❱ ② ✐❢ ∃❯ ∈ D s✉❝❤ t❤❛t ❱① = ❯①,❱② = ❯② ❛♥❞ ①❘❯② ❚❤❡♦r❡♠✿ ❲❤❡♥ D = U ✱ ❢♦r♠❛❧ ✇❡❧❢❛r✐s♠ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ P❛r❡t♦ ✐♥❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❛♥❞ ❜✐♥❛r② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ H (❳,D) = R◆✳

P✳ ●✳ P✐❛❝q✉❛❞✐♦ ❉✐str✐❜✉t✐✈❡ ❏✉st✐❝❡ ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ■♥❡q✉❛❧✐t②

❚❤❡ ❙❲❋▲ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❲❡❧❢❛r✐s♠ ❯t✐❧✐t❛r✐❛♥✐s♠ ▲❡①✐♠✐♥

❋♦r♠❛❧ ✇❡❧❢❛r✐s♠✿ ❛ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥

P❛r❡t♦ ✐♥❞✐✛❡r❡♥❝❡✿ ∀❯ ∈ D,∀①,② ∈ ❳,①■❯② ✐❢ ❯① = ❯②. ❇✐♥❛r② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✿ ∀❱ ∈ D,∀①,② ∈ ❳,①❘❱ ② ✐❢ ∃❯ ∈ D s✉❝❤ t❤❛t ❱① = ❯①,❱② = ❯② ❛♥❞ ①❘❯② ❚❤❡♦r❡♠✿ ❲❤❡♥ D = U ✱ ❢♦r♠❛❧ ✇❡❧❢❛r✐s♠ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ P❛r❡t♦ ✐♥❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❛♥❞ ❜✐♥❛r② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ H (❳,D) = R◆✳

P✳ ●✳ P✐❛❝q✉❛❞✐♦ ❉✐str✐❜✉t✐✈❡ ❏✉st✐❝❡ ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ■♥❡q✉❛❧✐t②

❚❤❡ ❙❲❋▲ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❲❡❧❢❛r✐s♠ ❯t✐❧✐t❛r✐❛♥✐s♠ ▲❡①✐♠✐♥

❋♦r♠❛❧ ✇❡❧❢❛r✐s♠✿ ❛ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥

P❛r❡t♦ ✐♥❞✐✛❡r❡♥❝❡✿ ∀❯ ∈ D,∀①,② ∈ ❳,①■❯② ✐❢ ❯① = ❯②. ❇✐♥❛r② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✿ ∀❱ ∈ D,∀①,② ∈ ❳,①❘❱ ② ✐❢ ∃❯ ∈ D s✉❝❤ t❤❛t ❱① = ❯①,❱② = ❯② ❛♥❞ ①❘❯② ❚❤❡♦r❡♠✿ ❲❤❡♥ D = U ✱ ❢♦r♠❛❧ ✇❡❧❢❛r✐s♠ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ P❛r❡t♦ ✐♥❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❛♥❞ ❜✐♥❛r② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ H (❳,D) = R◆✳

P✳ ●✳ P✐❛❝q✉❛❞✐♦ ❉✐str✐❜✉t✐✈❡ ❏✉st✐❝❡ ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ■♥❡q✉❛❧✐t②

❚❤❡ ❙❲❋▲ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❲❡❧❢❛r✐s♠ ❯t✐❧✐t❛r✐❛♥✐s♠ ▲❡①✐♠✐♥

❉❡✜♥✐t✐♦♥s

❚❤❡ ✭♣✉r❡✮ ✉t✐❧✐t❛r✐❛♥ ❙❲❖ ❘∗ ❤♦❧❞s t❤❛t ❢♦r ❡❛❝❤ ♣❛✐r ✉,✈ ∈ R◆✱ ✉❘∗✈ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢

∑

✐∈◆

✉✐ ≥ ∑

✐∈◆

✈✐. ❚❤❡ ✏❛ss♦❝✐❛t❡❞✑ ✉t✐❧✐t❛r✐❛♥ ❙❲❋▲ ❋ r❡q✉✐r❡s t❤❛t ❢♦r ❡❛❝❤ ♣❛✐r ①,② ∈ ❳ ❛♥❞ ❡❛❝❤ ❯ ∈ D✱ ①❘❯② ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢

∑

✐∈◆

❯ (①,✐) ≥ ∑

✐∈◆

❯ (②,✐).

P✳ ●✳ P✐❛❝q✉❛❞✐♦ ❉✐str✐❜✉t✐✈❡ ❏✉st✐❝❡ ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ■♥❡q✉❛❧✐t②

❚❤❡ ❙❲❋▲ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❲❡❧❢❛r✐s♠ ❯t✐❧✐t❛r✐❛♥✐s♠ ▲❡①✐♠✐♥

❉❡✜♥✐t✐♦♥s

❚❤❡ ✭♣✉r❡✮ ✉t✐❧✐t❛r✐❛♥ ❙❲❖ ❘∗ ❤♦❧❞s t❤❛t ❢♦r ❡❛❝❤ ♣❛✐r ✉,✈ ∈ R◆✱ ✉❘∗✈ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢

∑

✐∈◆

✉✐ ≥ ∑

✐∈◆

✈✐. ❚❤❡ ✏❛ss♦❝✐❛t❡❞✑ ✉t✐❧✐t❛r✐❛♥ ❙❲❋▲ ❋ r❡q✉✐r❡s t❤❛t ❢♦r ❡❛❝❤ ♣❛✐r ①,② ∈ ❳ ❛♥❞ ❡❛❝❤ ❯ ∈ D✱ ①❘❯② ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢

∑

✐∈◆

❯ (①,✐) ≥ ∑

✐∈◆

❯ (②,✐).

P✳ ●✳ P✐❛❝q✉❛❞✐♦ ❉✐str✐❜✉t✐✈❡ ❏✉st✐❝❡ ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ■♥❡q✉❛❧✐t②

❚❤❡ ❙❲❋▲ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❲❡❧❢❛r✐s♠ ❯t✐❧✐t❛r✐❛♥✐s♠ ▲❡①✐♠✐♥

❆①✐♦♠s

❲❡❛❦ P❛r❡t♦✯✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ♣❛✐r ✉,✈ ∈ R◆✱ ✐❢ ✉ ≫ ✈ t❤❡♥ ✉P∗✈✳ ❋✐rst✱ ❞❡✜♥❡ ❛ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ π ❛♥❞ ❧❡t Π ❜❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥s✳ ❆♥♦♥♦②♠✐t②✯✳ ❋♦r ❡❛❝❤ π ∈ Π ❛♥❞ ❡❛❝❤ ♣❛✐r ✉,✈ ∈ R◆✱ ✉■ ∗✈ ✐❢ ✈ = π✉✳ ■♥✈✯(❛✐ +❜✉✐)✳ ❋♦r ❡❛❝❤ (❛✐) ∈ R◆✱ ❢♦r ❡❛❝❤ ❜ ∈ R+✱ ❢♦r ❡❛❝❤ ♣❛✐r ✉,✈ ∈ R◆✱ ✉❘∗✈ ⇔ (❛✶ +❜✉✶,...,❛♥ +❜✉♥)❘∗ (❛✶ +❜✈✶,...,❛♥ +❜✈♥).

P✳ ●✳ P✐❛❝q✉❛❞✐♦ ❉✐str✐❜✉t✐✈❡ ❏✉st✐❝❡ ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ■♥❡q✉❛❧✐t②

❚❤❡ ❙❲❋▲ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❲❡❧❢❛r✐s♠ ❯t✐❧✐t❛r✐❛♥✐s♠ ▲❡①✐♠✐♥

❆①✐♦♠s

❲❡❛❦ P❛r❡t♦✯✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ♣❛✐r ✉,✈ ∈ R◆✱ ✐❢ ✉ ≫ ✈ t❤❡♥ ✉P∗✈✳ ❋✐rst✱ ❞❡✜♥❡ ❛ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ π ❛♥❞ ❧❡t Π ❜❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥s✳ ❆♥♦♥♦②♠✐t②✯✳ ❋♦r ❡❛❝❤ π ∈ Π ❛♥❞ ❡❛❝❤ ♣❛✐r ✉,✈ ∈ R◆✱ ✉■ ∗✈ ✐❢ ✈ = π✉✳ ■♥✈✯(❛✐ +❜✉✐)✳ ❋♦r ❡❛❝❤ (❛✐) ∈ R◆✱ ❢♦r ❡❛❝❤ ❜ ∈ R+✱ ❢♦r ❡❛❝❤ ♣❛✐r ✉,✈ ∈ R◆✱ ✉❘∗✈ ⇔ (❛✶ +❜✉✶,...,❛♥ +❜✉♥)❘∗ (❛✶ +❜✈✶,...,❛♥ +❜✈♥).

P✳ ●✳ P✐❛❝q✉❛❞✐♦ ❉✐str✐❜✉t✐✈❡ ❏✉st✐❝❡ ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ■♥❡q✉❛❧✐t②

❚❤❡ ❙❲❋▲ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❲❡❧❢❛r✐s♠ ❯t✐❧✐t❛r✐❛♥✐s♠ ▲❡①✐♠✐♥

❆①✐♦♠s

❲❡❛❦ P❛r❡t♦✯✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ♣❛✐r ✉,✈ ∈ R◆✱ ✐❢ ✉ ≫ ✈ t❤❡♥ ✉P∗✈✳ ❋✐rst✱ ❞❡✜♥❡ ❛ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ π ❛♥❞ ❧❡t Π ❜❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥s✳ ❆♥♦♥♦②♠✐t②✯✳ ❋♦r ❡❛❝❤ π ∈ Π ❛♥❞ ❡❛❝❤ ♣❛✐r ✉,✈ ∈ R◆✱ ✉■ ∗✈ ✐❢ ✈ = π✉✳ ■♥✈✯(❛✐ +❜✉✐)✳ ❋♦r ❡❛❝❤ (❛✐) ∈ R◆✱ ❢♦r ❡❛❝❤ ❜ ∈ R+✱ ❢♦r ❡❛❝❤ ♣❛✐r ✉,✈ ∈ R◆✱ ✉❘∗✈ ⇔ (❛✶ +❜✉✶,...,❛♥ +❜✉♥)❘∗ (❛✶ +❜✈✶,...,❛♥ +❜✈♥).

P✳ ●✳ P✐❛❝q✉❛❞✐♦ ❉✐str✐❜✉t✐✈❡ ❏✉st✐❝❡ ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ■♥❡q✉❛❧✐t②

❚❤❡ ❙❲❋▲ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❲❡❧❢❛r✐s♠ ❯t✐❧✐t❛r✐❛♥✐s♠ ▲❡①✐♠✐♥

❆①✐♦♠s

❲❡❛❦ P❛r❡t♦✯✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ♣❛✐r ✉,✈ ∈ R◆✱ ✐❢ ✉ ≫ ✈ t❤❡♥ ✉P∗✈✳ ❋✐rst✱ ❞❡✜♥❡ ❛ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ π ❛♥❞ ❧❡t Π ❜❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥s✳ ❆♥♦♥♦②♠✐t②✯✳ ❋♦r ❡❛❝❤ π ∈ Π ❛♥❞ ❡❛❝❤ ♣❛✐r ✉,✈ ∈ R◆✱ ✉■ ∗✈ ✐❢ ✈ = π✉✳ ■♥✈✯(❛✐ +❜✉✐)✳ ❋♦r ❡❛❝❤ (❛✐) ∈ R◆✱ ❢♦r ❡❛❝❤ ❜ ∈ R+✱ ❢♦r ❡❛❝❤ ♣❛✐r ✉,✈ ∈ R◆✱ ✉❘∗✈ ⇔ (❛✶ +❜✉✶,...,❛♥ +❜✉♥)❘∗ (❛✶ +❜✈✶,...,❛♥ +❜✈♥).

P✳ ●✳ P✐❛❝q✉❛❞✐♦ ❉✐str✐❜✉t✐✈❡ ❏✉st✐❝❡ ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ■♥❡q✉❛❧✐t②

❚❤❡ ❙❲❋▲ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❲❡❧❢❛r✐s♠ ❯t✐❧✐t❛r✐❛♥✐s♠ ▲❡①✐♠✐♥

❚❤❡♦r❡♠✿ ✉t✐❧✐t❛r✐❛♥✐s♠

❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✹ ✭❞✬❆s♣r❡♠♦♥t ❛♥❞ ●❡✈❡rs✱ ✷✵✵✷✮✳ ❆ ❙❲❖ ❘∗✐s ♣✉r❡ ✉t✐❧✐t❛r✐❛♥ ✐✛ ✐t s❛t✐s✜❡s ✇❡❛❦ P❛r❡t♦✯✱ ❆♥♦♥♦②♠✐t②✯✱ ❛♥❞ ■♥✈✯(❛✐ +❜✉✐)✳ Pr♦♦❢✳ ❚✇♦ ♣❛rts✳

◆❡❝❡ss✐t②✳ ❆ ✉t✐❧✐t❛r✐❛♥ ❙❲❖ ❘∗ s❛t✐s✜❡s ✇❡❛❦ P❛r❡t♦✯✱ ❆♥♦♥♦②♠✐t②✯✱ ❛♥❞ ■♥✈✯(❛✐ +❜✉✐)✳ ❙✉✣❝✐❡♥❝②✳ ❆ ❙❲❖ ❘∗ t❤❛t s❛t✐s✜❡s ✇❡❛❦ P❛r❡t♦✯✱ ❆♥♦♥♦②♠✐t②✯✱ ❛♥❞ ■♥✈✯(❛✐ +❜✉✐) ✐s ✉t✐❧✐t❛r✐❛♥✳

P✳ ●✳ P✐❛❝q✉❛❞✐♦ ❉✐str✐❜✉t✐✈❡ ❏✉st✐❝❡ ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ■♥❡q✉❛❧✐t②

❚❤❡ ❙❲❋▲ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❲❡❧❢❛r✐s♠ ❯t✐❧✐t❛r✐❛♥✐s♠ ▲❡①✐♠✐♥

❚❤❡♦r❡♠✿ ✉t✐❧✐t❛r✐❛♥✐s♠

❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✹ ✭❞✬❆s♣r❡♠♦♥t ❛♥❞ ●❡✈❡rs✱ ✷✵✵✷✮✳ ❆ ❙❲❖ ❘∗✐s ♣✉r❡ ✉t✐❧✐t❛r✐❛♥ ✐✛ ✐t s❛t✐s✜❡s ✇❡❛❦ P❛r❡t♦✯✱ ❆♥♦♥♦②♠✐t②✯✱ ❛♥❞ ■♥✈✯(❛✐ +❜✉✐)✳ Pr♦♦❢✳ ❚✇♦ ♣❛rts✳

◆❡❝❡ss✐t②✳ ❆ ✉t✐❧✐t❛r✐❛♥ ❙❲❖ ❘∗ s❛t✐s✜❡s ✇❡❛❦ P❛r❡t♦✯✱ ❆♥♦♥♦②♠✐t②✯✱ ❛♥❞ ■♥✈✯(❛✐ +❜✉✐)✳ ❙✉✣❝✐❡♥❝②✳ ❆ ❙❲❖ ❘∗ t❤❛t s❛t✐s✜❡s ✇❡❛❦ P❛r❡t♦✯✱ ❆♥♦♥♦②♠✐t②✯✱ ❛♥❞ ■♥✈✯(❛✐ +❜✉✐) ✐s ✉t✐❧✐t❛r✐❛♥✳

P✳ ●✳ P✐❛❝q✉❛❞✐♦ ❉✐str✐❜✉t✐✈❡ ❏✉st✐❝❡ ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ■♥❡q✉❛❧✐t②

❚❤❡ ❙❲❋▲ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❲❡❧❢❛r✐s♠ ❯t✐❧✐t❛r✐❛♥✐s♠ ▲❡①✐♠✐♥

Pr♦♦❢✿ s✉✣❝✐❡♥❝②

▲❡t ❛ ♣❛✐r ✉,✈ ∈ R|◆| ❜❡ s✉❝❤ t❤❛t ∑✐∈◆ ✉✐ = ∑✐∈◆ ✈✐. ❇② ❆♥♦♥②♠✐t②✯✱ ♣❡r♠✉t❡ ✉ ❛♥❞ ✈ ✐♥ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ♦r❞❡r✳ ❈❧❡❛r❧②✱ π✉■ ∗✉ ❛♥❞ ¯ π✈■ ∗✈✳ ❙✉❜tr❛❝t ❢r♦♠ ❡❛❝❤ r❛✇ ♦❢ π✉ ❛♥❞ ¯ π✈ t❤❡ s♠❛❧❧❡st ♥✉♠❜❡r✳ ❇② ■♥✈✯(❛✐ +❜✉✐)✱ t❤❡ ♥❡✇ ✉t✐❧✐t② ✈❡❝t♦rs ❛r❡ r❛♥❦ ❛s t❤❡ st❛rt✐♥❣ ♦♥❡s✳ ❘❡♣❡❛t ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ❛♥❞ s✉❜tr❛❝t✐♦♥ ❛t ♠♦st |◆| t✐♠❡s✱ ②♦✉ ❣❡t t✇♦ ✈❡❝t♦rs ♦❢ ③❡r♦s✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❡q✉❛❧❧② ❣♦♦❞✳

P✳ ●✳ P✐❛❝q✉❛❞✐♦ ❉✐str✐❜✉t✐✈❡ ❏✉st✐❝❡ ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ■♥❡q✉❛❧✐t②

❚❤❡ ❙❲❋▲ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❲❡❧❢❛r✐s♠ ❯t✐❧✐t❛r✐❛♥✐s♠ ▲❡①✐♠✐♥

Pr♦♦❢✿ s✉✣❝✐❡♥❝②

▲❡t ❛ ♣❛✐r ✉,✈ ∈ R|◆| ❜❡ s✉❝❤ t❤❛t ∑✐∈◆ ✉✐ = ∑✐∈◆ ✈✐. ❇② ❆♥♦♥②♠✐t②✯✱ ♣❡r♠✉t❡ ✉ ❛♥❞ ✈ ✐♥ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ♦r❞❡r✳ ❈❧❡❛r❧②✱ π✉■ ∗✉ ❛♥❞ ¯ π✈■ ∗✈✳ ❙✉❜tr❛❝t ❢r♦♠ ❡❛❝❤ r❛✇ ♦❢ π✉ ❛♥❞ ¯ π✈ t❤❡ s♠❛❧❧❡st ♥✉♠❜❡r✳ ❇② ■♥✈✯(❛✐ +❜✉✐)✱ t❤❡ ♥❡✇ ✉t✐❧✐t② ✈❡❝t♦rs ❛r❡ r❛♥❦ ❛s t❤❡ st❛rt✐♥❣ ♦♥❡s✳ ❘❡♣❡❛t ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ❛♥❞ s✉❜tr❛❝t✐♦♥ ❛t ♠♦st |◆| t✐♠❡s✱ ②♦✉ ❣❡t t✇♦ ✈❡❝t♦rs ♦❢ ③❡r♦s✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❡q✉❛❧❧② ❣♦♦❞✳

P✳ ●✳ P✐❛❝q✉❛❞✐♦ ❉✐str✐❜✉t✐✈❡ ❏✉st✐❝❡ ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ■♥❡q✉❛❧✐t②

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Pr♦♦❢✿ s✉✣❝✐❡♥❝②

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❆①✐♦♠s

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P✳ ●✳ P✐❛❝q✉❛❞✐♦ ❉✐str✐❜✉t✐✈❡ ❏✉st✐❝❡ ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ■♥❡q✉❛❧✐t②

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❆①✐♦♠s

❙tr✐❝t P❛r❡t♦✯✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ♣❛✐r ✉,✈ ∈ R◆✱ ✐❢ ✉ > ✈ t❤❡♥ ✉P∗✈✳ ▼✐♥✐♠❛❧ ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❙②♠♠❡tr②✯✳ ❋♦r ❛♥② ♣❛✐r ✐,❥ ∈ ◆✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ✉■ ∗✈ s✉❝❤ t❤❛t ✉✐ > ✈✐✱ ✉❥ < ✈❥ ❛♥❞ ✉❦ = ✈❦ ❢♦r ❛❧❧ ❦ = ✐,❥✳ ▼✐♥✐♠❛❧ ❡q✉✐t②✯✳ ❋♦r s♦♠❡ ♣❛✐r ✐,❥ ∈ ◆✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ✉,✈ ∈ R◆✱ s✉❝❤ t❤❛t ✉❦ = ✈❦ ❢♦r ❡❛❝❤ ❦ = ✐,❥✱ ✈✐ < ✉✐ < ✉❥ < ✈❥✱ ❛♥❞ ✉❘∗✈✳ ■♥✈✯(φ (✉✐))✳ ❋♦r ❡❛❝❤ r❡❛❧✲✈❛❧✉❡❞ ❛♥❞ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ φ✱ ❢♦r ❡❛❝❤ ♣❛✐r ✉,✈ ∈ R◆✱ ✉❘∗✈ ⇔ (φ (✉✶),...,φ (✉♥))❘∗ (φ (✈✶),...,φ (✈♥)). ❙❡♣❛r❛❜✐❧✐t②✯✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ✉,✈,✉′,✈′ ∈ R◆✱ ✉❘∗✈ ⇔ ✉′❘∗✈′✱ ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ▼ ⊂ ◆ s✉❝❤ t❤❛t ✉✐ = ✈✐ ❛♥❞ ✉′

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P✳ ●✳ P✐❛❝q✉❛❞✐♦ ❉✐str✐❜✉t✐✈❡ ❏✉st✐❝❡ ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ■♥❡q✉❛❧✐t②

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❆①✐♦♠s

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✐ ❛♥❞ ✈✐ = ✈′ ✐ ❢♦r ❡❛❝❤ ✐ ∈ ◆\▼✳

P✳ ●✳ P✐❛❝q✉❛❞✐♦ ❉✐str✐❜✉t✐✈❡ ❏✉st✐❝❡ ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ■♥❡q✉❛❧✐t②

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❆①✐♦♠s

❙tr✐❝t P❛r❡t♦✯✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ♣❛✐r ✉,✈ ∈ R◆✱ ✐❢ ✉ > ✈ t❤❡♥ ✉P∗✈✳ ▼✐♥✐♠❛❧ ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❙②♠♠❡tr②✯✳ ❋♦r ❛♥② ♣❛✐r ✐,❥ ∈ ◆✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ✉■ ∗✈ s✉❝❤ t❤❛t ✉✐ > ✈✐✱ ✉❥ < ✈❥ ❛♥❞ ✉❦ = ✈❦ ❢♦r ❛❧❧ ❦ = ✐,❥✳ ▼✐♥✐♠❛❧ ❡q✉✐t②✯✳ ❋♦r s♦♠❡ ♣❛✐r ✐,❥ ∈ ◆✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ✉,✈ ∈ R◆✱ s✉❝❤ t❤❛t ✉❦ = ✈❦ ❢♦r ❡❛❝❤ ❦ = ✐,❥✱ ✈✐ < ✉✐ < ✉❥ < ✈❥✱ ❛♥❞ ✉❘∗✈✳ ■♥✈✯(φ (✉✐))✳ ❋♦r ❡❛❝❤ r❡❛❧✲✈❛❧✉❡❞ ❛♥❞ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ φ✱ ❢♦r ❡❛❝❤ ♣❛✐r ✉,✈ ∈ R◆✱ ✉❘∗✈ ⇔ (φ (✉✶),...,φ (✉♥))❘∗ (φ (✈✶),...,φ (✈♥)). ❙❡♣❛r❛❜✐❧✐t②✯✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ✉,✈,✉′,✈′ ∈ R◆✱ ✉❘∗✈ ⇔ ✉′❘∗✈′✱ ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ▼ ⊂ ◆ s✉❝❤ t❤❛t ✉✐ = ✈✐ ❛♥❞ ✉′

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P✳ ●✳ P✐❛❝q✉❛❞✐♦ ❉✐str✐❜✉t✐✈❡ ❏✉st✐❝❡ ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ■♥❡q✉❛❧✐t②

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❆①✐♦♠s

❙tr✐❝t P❛r❡t♦✯✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ♣❛✐r ✉,✈ ∈ R◆✱ ✐❢ ✉ > ✈ t❤❡♥ ✉P∗✈✳ ▼✐♥✐♠❛❧ ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❙②♠♠❡tr②✯✳ ❋♦r ❛♥② ♣❛✐r ✐,❥ ∈ ◆✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ✉■ ∗✈ s✉❝❤ t❤❛t ✉✐ > ✈✐✱ ✉❥ < ✈❥ ❛♥❞ ✉❦ = ✈❦ ❢♦r ❛❧❧ ❦ = ✐,❥✳ ▼✐♥✐♠❛❧ ❡q✉✐t②✯✳ ❋♦r s♦♠❡ ♣❛✐r ✐,❥ ∈ ◆✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ✉,✈ ∈ R◆✱ s✉❝❤ t❤❛t ✉❦ = ✈❦ ❢♦r ❡❛❝❤ ❦ = ✐,❥✱ ✈✐ < ✉✐ < ✉❥ < ✈❥✱ ❛♥❞ ✉❘∗✈✳ ■♥✈✯(φ (✉✐))✳ ❋♦r ❡❛❝❤ r❡❛❧✲✈❛❧✉❡❞ ❛♥❞ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ φ✱ ❢♦r ❡❛❝❤ ♣❛✐r ✉,✈ ∈ R◆✱ ✉❘∗✈ ⇔ (φ (✉✶),...,φ (✉♥))❘∗ (φ (✈✶),...,φ (✈♥)). ❙❡♣❛r❛❜✐❧✐t②✯✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ✉,✈,✉′,✈′ ∈ R◆✱ ✉❘∗✈ ⇔ ✉′❘∗✈′✱ ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ▼ ⊂ ◆ s✉❝❤ t❤❛t ✉✐ = ✈✐ ❛♥❞ ✉′

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