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✷ ❚❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ●✉❛r❛♥t❡❡s ✸ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❘❡s✉❧ts

✼ ✴ ✸✶

▼❚▲✿ ❯♥✐t ▲❡✈❡❧

▲▼▼ ❢♦r t❤❡ i✲t❤ ❞❛t❛ ✉♥✐t ✐♥ t❤❡ ✲t❤ s✉❜♣♦♣✉❧❛t✐♦♥ yi = xi β + zi ( θi + ui ) + εi ni × 1 ni × p ni × q β ∈ Rp ✐s t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❢♦r t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ ❢❡❛t✉r❡ ✈❡❝t♦r xi θi ∈ Rq ✐s t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❢♦r ❤❡t❡r♦❣❡♥❡♦✉s ❢❡❛t✉r❡ ✈❡❝t♦r zi ❆ss✉♠❡ ✐❢ ✉♥✐t ❜❡❧♦♥❣s t♦ s✉❜♣♦♣✉❧❛t✐♦♥ ◆❡❡❞ t♦ r❡✈❡❛❧ ❧❡❛r♥❛❜✐❧✐t② str✉❝t✉r❡ ui ✐s t❤❡ ✉♥✐t✲s♣❡❝✐✜❝ r❛♥❞♦♠ ❡✛❡❝t ✇✐t❤ E[ui] = 0 ❛♥❞ Cov(ui) = σ2

uI

❲✐t❤✐♥✲s✉❜♣♦♣✉❧❛t✐♦♥ ❤❡t❡r♦❣❡♥❡✐t② εi ✐s t❤❡ ❡rr♦r ✈❡❝t♦r ✇✐t❤ E[εi] = 0 ❛♥❞ Cov(εi) = σ2

εI

✽ ✴ ✸✶

▼❚▲✿ ❙✉❜♣♦♣✉❧❛t✐♦♥ ▲❡✈❡❧

▲▼▼ ❢♦r t❤❡ i✲t❤ ❞❛t❛ ✉♥✐t ✐♥ t❤❡ s✲t❤ s✉❜♣♦♣✉❧❛t✐♦♥ yi = xi β + zi ( αs + ui ) + εi ni × 1 ni × p ni × q β ∈ Rp ✐s t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❢♦r t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ ❢❡❛t✉r❡ ✈❡❝t♦r xi θi ∈ Rq ✐s t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❢♦r ❤❡t❡r♦❣❡♥❡♦✉s ❢❡❛t✉r❡ ✈❡❝t♦r zi ❆ss✉♠❡ θi ≡ αs ✐❢ ✉♥✐t i ❜❡❧♦♥❣s t♦ s✉❜♣♦♣✉❧❛t✐♦♥ s ⇒ ◆❡❡❞ t♦ r❡✈❡❛❧ ❧❡❛r♥❛❜✐❧✐t② str✉❝t✉r❡ ui ✐s t❤❡ ✉♥✐t✲s♣❡❝✐✜❝ r❛♥❞♦♠ ❡✛❡❝t ✇✐t❤ E[ui] = 0 ❛♥❞ Cov(ui) = σ2

uI

❲✐t❤✐♥✲s✉❜♣♦♣✉❧❛t✐♦♥ ❤❡t❡r♦❣❡♥❡✐t② εi ✐s t❤❡ ❡rr♦r ✈❡❝t♦r ✇✐t❤ E[εi] = 0 ❛♥❞ Cov(εi) = σ2

εI

✽ ✴ ✸✶

❚❍❊▼✿ ▼❛tr✐① ❋♦r♠

▼❛tr✐① ❢♦r♠ ✇✐t❤ M ❞❛t❛ ✉♥✐ts ❝♦♠✐♥❣ ❢r♦♠ s✉❜♣♦♣✉❧❛t✐♦♥s ✭♦r❛❝❧❡✮ ✭N := M

i=1 ni✮

Y = X β + Z ( Θ + U ) + E    y1 ✳ ✳ ✳ yM    =    x1 ✳ ✳ ✳ xM    β +    z1 ✳✳✳ zM    (    θ1 ✳ ✳ ✳ θM    +    u1 ✳ ✳ ✳ uM    ) +    ε1 ✳ ✳ ✳ εM    N × 1 N × p N × Mq Mq × 1

❊①✐sts ❛♥ ✭✉♥❦♥♦✇♥✮ ❧❛❜❡❧ ♠❛tr✐① s✉❝❤ t❤❛t ✇✐t❤ ✳ ✳ ✳ ✐❢ ✉♥✐t ❜❡❧♦♥❣s t♦ s✉❜♣♦♣✉❧❛t✐♦♥ ❖♥❧② ❞✐✛❡r❡♥t ✈❛❧✉❡s ♦❢ ✬s

✾ ✴ ✸✶

❚❍❊▼✿ ▼❛tr✐① ❋♦r♠

▼❛tr✐① ❢♦r♠ ✇✐t❤ M ❞❛t❛ ✉♥✐ts ❝♦♠✐♥❣ ❢r♦♠ S s✉❜♣♦♣✉❧❛t✐♦♥s ✭♦r❛❝❧❡✮ ✭N := M

i=1 ni✮

Y = X β + Z ( Θ + U ) + E    y1 ✳ ✳ ✳ yM    =    x1 ✳ ✳ ✳ xM    β +    z1 ✳✳✳ zM    ( Aα +    u1 ✳ ✳ ✳ uM    ) +    ε1 ✳ ✳ ✳ εM    N × 1 N × p N × Mq Mq × 1

❊①✐sts ❛♥ ✭✉♥❦♥♦✇♥✮ ❧❛❜❡❧ ♠❛tr✐① AMq×Sq s✉❝❤ t❤❛t Θ = Aα ✇✐t❤ α =    α1 ✳ ✳ ✳ αS   

Sq×1

θi ≡ αs ✐❢ ✉♥✐t i ❜❡❧♦♥❣s t♦ s✉❜♣♦♣✉❧❛t✐♦♥ s ❖♥❧② S ❞✐✛❡r❡♥t ✈❛❧✉❡s ♦❢ θi✬s

✾ ✴ ✸✶

❆ ◆❛✐✈❡ ❋✉❧❧✲❉❛t❛ ❊st✐♠❛t♦r

• β(λ)
• Θ(λ)
• =

arg min

β∈Rp,Θ∈RMq QN(β, Θ) ✇❤❡r❡

QN(β, Θ) =

• 1

2

M

• i=1

(yi − xiβ − ziθi)⊤Wi(yi − xiβ − ziθi)

• ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❧❡❛st sq✉❛r❡s ✭●▲❙✮ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❢✉❧❧ ❞❛t❛

+

• 1≤i<j≤M

pγ (θi − θj ; λ)

• ♣❛✐r✇✐s❡ ❝♦♥❝❛✈❡ ❢✉s✐♦♥ ♣❡♥❛❧t②
• Wi = Cov(yi|xi, zi)−1 =
• σ2

εIni + σ2 uziz⊤ i

−1 λ > 0 ✐s ❛ t✉♥✐♥❣ ♣❛r❛♠❡t❡r γ > 0 ❞❡t❡r♠✐♥❡s t❤❡ ❝♦♥❝❛✈✐t② ♦❢ t❤❡ ♣❡♥❛❧t②

✶✵ ✴ ✸✶

❈♦♥❝❛✈❡ P❡♥❛❧t② ❋✉♥❝t✐♦♥ pγ(t; λ)

1 2 3 4 5 6

t

1 2 3 4 5 6

pγ(t; λ) MCP SCAD TLP L1

❚r✉♥❝❛t❡❞ ▲❛ss♦ ♣❡♥❛❧t②

■♥ t❤✐s ❣r❛♣❤✱

λ = 1 γ = 3.7 ❢♦r ▼❈P ❛♥❞ ❙❈❆❉ ❛♥❞ γ = 1.85 ❢♦r ❚▲P

✶✶ ✴ ✸✶

❈♦♥❝❛✈❡ P❡♥❛❧t② ❋✉♥❝t✐♦♥ pγ(t; λ)

1 2 3 4 5 6

t

1 2 3 4 5 6

pγ(t; λ) MCP SCAD TLP L1

❚r✉♥❝❛t❡❞ ▲❛ss♦ ♣❡♥❛❧t②

■♥ ♦✉r ❛♥❛❧②s✐s✱

λ > 0 ✐s ❝❤♦s❡♥ ❜② ♠♦❞✐✜❡❞ ❇■❈ ✭❲❛♥❣ ❡t ❛❧✳✱ ✷✵✵✾✮ γ = 3.7 ❢♦r ▼❈P ❛♥❞ ❙❈❆❉ ❛♥❞ γ = 1.85 ❢♦r ❚▲P

✶✶ ✴ ✸✶

❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❇❛rr✐❡r

QN(β, Θ) =

• 1

2

M

• i=1

(yi − xiβ − ziθi)⊤Wi(yi − xiβ − ziθi) +

• 1≤i<j≤M

pγ (θi − θj ; λ)

• ❘❡♣❧❛❝❡ ✐t ✉s✐♥❣ t❤❡ ❈❉ ❛♣♣r♦❛❝❤ ♦❢ ▲✐✉ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✺✮

t♦ ❝♦♠❜✐♥❡ ✉♥✐t ●▲❙ ❡st✐♠❛t❡s ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ❝♦st✿ ❡❛❝❤ ❧♦❝❛❧ ♠❛❝❤✐♥❡ ♣❛ss❡s ❛♥ ni × (p + q + 1) ❞❛t❛ ♠❛tr✐① (yi, xi, zi) ❛♥❞ ❛♥ ni × ni ✇❡✐❣❤t ♠❛tr✐① Wi t♦ ❛ ❝❡♥tr❛❧✐③❡❞ ❝♦♠♣✉t❡r ♥♦❞❡

❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ❝♦st ❢♦r ❈❉ ❢✉s✐♦♥ ✶✷ ✴ ✸✶

❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❇❛rr✐❡r

QN(β, Θ) =

• 1

2

M

• i=1

(yi − xiβ − ziθi)⊤Wi(yi − xiβ − ziθi) +

• 1≤i<j≤M

pγ (θi − θj ; λ)

• ❘❡♣❧❛❝❡ ✐t ✉s✐♥❣ t❤❡ ❈❉ ❛♣♣r♦❛❝❤ ♦❢ ▲✐✉ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✺✮

t♦ ❝♦♠❜✐♥❡ ✉♥✐t ●▲❙ ❡st✐♠❛t❡s ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ❝♦st✿ ❡❛❝❤ ❧♦❝❛❧ ♠❛❝❤✐♥❡ ♣❛ss❡s ❛♥ ni × (p + q + 1) ❞❛t❛ ♠❛tr✐① (yi, xi, zi) ❛♥❞ ❛♥ ni × ni ✇❡✐❣❤t ♠❛tr✐① Wi t♦ ❛ ❝❡♥tr❛❧✐③❡❞ ❝♦♠♣✉t❡r ♥♦❞❡

❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ❝♦st ❢♦r ❈❉ ❢✉s✐♦♥ ✶✷ ✴ ✸✶

❯♥✐t ●▲❙ ❊st✐♠❛t❡s

❯♥✐t ●▲❙ ❡st✐♠❛t❡s ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s

• βi
• θi
• =
• (xi, zi)⊤Wi(xi, zi)

−1 (xi, zi)⊤Wiyi

D

= ⇒ N     β0 θi,0

• ,
• (xi, zi)⊤Wi(xi, zi)

−1

• Σi

    ✇❤❡r❡ Wi = Cov(yi|xi, zi)−1 =

• σ2

εIni + σ2 uziz⊤ i

−1

σ2

u ❛♥❞ σ2 ε ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥s✐st❡♥t❧② ❡st✐♠❛t❡❞ t❤r♦✉❣❤ r❡str✐❝t❡❞ ♠❛①✐♠✉♠ ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ✭❘❊▼▲✮ ♠❡t❤♦❞✳

❋♦r s✐♠♣❧✐❝✐t②✱ ✇❡ ❛ss✉♠❡ σ2

u ❛♥❞ σ2 ε ✭❛♥❞ t❤✉s Wi✬s✮ ❛r❡ ❦♥♦✇♥

❈❉ ❞❡♥s✐t② ❝❛♥ ❜❡ ❛ss✐❣♥❡❞ ❜② s✇✐t❝❤✐♥❣ t❤❡ r♦❧❡s ♦❢ ❡st✐♠❛t♦r ❛♥❞ ♣❛r❛♠❡t❡r ♦❢ ✐♥t❡r❡st✱ ✐✳❡✳✱ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ✉♥✐t ❈❉ ❞❡♥s✐t② ❜② ❞❡♥s✐t② ♦❢

✶✸ ✴ ✸✶

❈❉ ❋✉s✐♦♥ ❆♣♣r♦❛❝❤✿ ❯♥✐t ❈❉ ❉❡♥s✐t②

❯♥✐t ●▲❙ ❡st✐♠❛t❡s ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s

• βi
• θi
• =
• (xi, zi)⊤Wi(xi, zi)

−1 (xi, zi)⊤Wiyi

D

= ⇒ N     β0 θi,0

• ,
• (xi, zi)⊤Wi(xi, zi)

−1

• Σi

    ✇❤❡r❡ Wi = Cov(yi|xi, zi)−1 =

• σ2

εIni + σ2 uziz⊤ i

−1

σ2

u ❛♥❞ σ2 ε ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥s✐st❡♥t❧② ❡st✐♠❛t❡❞ t❤r♦✉❣❤ r❡str✐❝t❡❞ ♠❛①✐♠✉♠ ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ✭❘❊▼▲✮ ♠❡t❤♦❞✳

❋♦r s✐♠♣❧✐❝✐t②✱ ✇❡ ❛ss✉♠❡ σ2

u ❛♥❞ σ2 ε ✭❛♥❞ t❤✉s Wi✬s✮ ❛r❡ ❦♥♦✇♥

❈❉ ❞❡♥s✐t② ❝❛♥ ❜❡ ❛ss✐❣♥❡❞ ❜② s✇✐t❝❤✐♥❣ t❤❡ r♦❧❡s ♦❢ ❡st✐♠❛t♦r ❛♥❞ ♣❛r❛♠❡t❡r ♦❢ ✐♥t❡r❡st✱ ✐✳❡✳✱ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ✉♥✐t ❈❉ ❞❡♥s✐t② ❜② hi(β, θi) := ❞❡♥s✐t② ♦❢ N

• βi
• θi
• , Σi
• ✶✸ ✴ ✸✶

❈❉ ❋✉s✐♦♥ ❆♣♣r♦❛❝❤✿ ❈♦♠❜✐♥❡❞ ❈❉ ❉❡♥s✐t②

❋♦❧❧♦✇✐♥❣ ▲✐✉ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✺✮✱ t❤❡ ❝♦♠❜✐♥❡❞ ❈❉ ❞❡♥s✐t② ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② h(β, Θ) :=

M

• i=1

hi(β, θi) ❇② ♦♠✐tt✐♥❣ ❛❞❞✐t✐✈❡ ❝♦♥st❛♥t t❡r♠s✱ ✇❡ ❤❛✈❡

✶✹ ✴ ✸✶

❈❉ ❋✉s✐♦♥ ❆♣♣r♦❛❝❤✿ ❈♦♠❜✐♥❡❞ ❈❉ ❉❡♥s✐t②

❋♦❧❧♦✇✐♥❣ ▲✐✉ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✺✮✱ t❤❡ ❝♦♠❜✐♥❡❞ ❈❉ ❞❡♥s✐t② ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② h(β, Θ) :=

M

• i=1

hi(β, θi) ❇② ♦♠✐tt✐♥❣ ❛❞❞✐t✐✈❡ ❝♦♥st❛♥t t❡r♠s✱ ✇❡ ❤❛✈❡ − log h(β, Θ) ∝

M

• i=1
• βi − β
• θi − θi

⊤ Σ−1

i

• βi − β
• θi − θi
• ✶✹ ✴ ✸✶

❈❉ ❋✉s✐♦♥ ❊st✐♠❛t♦r

• βCD(λ)
• ΘCD(λ)
• =

arg min

β∈Rp,Θ∈RMq QCD N (β, Θ) ✇❤❡r❡

QCD

N (β, Θ) = − log h(β, Θ) ❈♦♠❜✐♥❡❞ ❈❉ ❞❡♥s✐t②

+

• 1≤i<j≤M

pγ (θi − θj ; λ)

• ♣❛✐r✇✐s❡ ❝♦♥❝❛✈❡ ❢✉s✐♦♥ ♣❡♥❛❧t②

❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ❝♦st✿ ❡❛❝❤ ❧♦❝❛❧ ♠❛❝❤✐♥❡ ♣❛ss❡s ❛ ✲✈❡❝t♦r ❛♥❞ ❛ ♠❛tr✐① t♦ ❛ ❝❡♥tr❛❧✐③❡❞ ❝♦♠♣✉t❡r ♥♦❞❡

❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ❝♦st ❢♦r t❤❡ ❢✉❧❧✲❞❛t❛ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✶✺ ✴ ✸✶

❈❉ ❋✉s✐♦♥ ❊st✐♠❛t♦r

• βCD(λ)
• ΘCD(λ)
• =

arg min

β∈Rp,Θ∈RMq QCD N (β, Θ) ✇❤❡r❡

QCD

N (β, Θ) = − log h(β, Θ) ❈♦♠❜✐♥❡❞ ❈❉ ❞❡♥s✐t②

+

• 1≤i<j≤M

pγ (θi − θj ; λ)

• ♣❛✐r✇✐s❡ ❝♦♥❝❛✈❡ ❢✉s✐♦♥ ♣❡♥❛❧t②

❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ❝♦st✿ ❡❛❝❤ ❧♦❝❛❧ ♠❛❝❤✐♥❡ ♣❛ss❡s ❛ (p + q)✲✈❡❝t♦r β⊤

i ,

θ⊤

i

⊤ ❛♥❞ ❛ (p + q) × (p + q) ♠❛tr✐① Σi t♦ ❛ ❝❡♥tr❛❧✐③❡❞ ❝♦♠♣✉t❡r ♥♦❞❡

❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ❝♦st ❢♦r t❤❡ ❢✉❧❧✲❞❛t❛ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✶✺ ✴ ✸✶

❖r❛❝❧❡ ❊st✐♠❛t♦r

❚❤❡ ♦r❛❝❧❡ ❡st✐♠❛t♦r ♦❢ (β, α) ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② t❤❡ ❢✉❧❧✲❞❛t❛ ●▲❙ ❡st✐♠❛t♦r ❣✐✈❡♥ t❤❡ tr✉❡ s✉❜♣♦♣✉❧❛t✐♦♥s βOR

• αOR
• =

arg min

β∈Rp,α∈RSq

1 2(Y − Xβ − ZAα)⊤W (Y − Xβ − ZAα) =

• (X, ZA)⊤W (X, ZA)

−1 (X, ZA)⊤W Y ✇❤❡r❡ W = diag (W1, . . . , WM) A ✐s ✉♥❦♥♦✇♥ ✐♥ r❡❛❧✐t② ◆♦t ❝♦♠♣✉t❛❜❧❡ ✇✐t❤ ♠❛ss✐✈❡ s❛♠♣❧❡ s✐③❡

✶✻ ✴ ✸✶

❚❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ●✉❛r❛♥t❡❡s

❘❡❣✉❧❛r✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♦♥ ❘❛♥❞♦♠ ❞❡s✐❣♥ ♠❛tr✐❝❡s ✭s✉❜✲●❛✉ss✐❛♥ t❛✐❧s ❛♥❞ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ r❡str✐❝t✐♦♥s✮ ❙✉❜✲●❛✉ss✐❛♥ t❛✐❧s ❢♦r r❛♥❞♦♠ ❡✛❡❝ts U ❛♥❞ ♥♦✐s❡s E ❈♦♥❝❛✈❡ ❢✉s✐♦♥ ♣❡♥❛❧t② ✭s❛t✐s✜❡❞ ❜② ▼❈P✱ ❙❈❆❉ ❛♥❞ ❚▲P✮

❈❉ ❋✉s✐♦♥ ❊st✐♠❛t♦r ❋✉❧❧✲❉❛t❛ ❊st✐♠❛t♦r ❖r❛❝❧❡ ❊st✐♠❛t♦r

◆✐❝❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s

❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✶

✭●✐✈❡♥ ❞♦❡s ♥♦t ❣r♦✇ t♦♦ ❢❛st✮

✶✼ ✴ ✸✶

❚❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ●✉❛r❛♥t❡❡s

❘❡❣✉❧❛r✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♦♥ ❘❛♥❞♦♠ ❞❡s✐❣♥ ♠❛tr✐❝❡s ✭s✉❜✲●❛✉ss✐❛♥ t❛✐❧s ❛♥❞ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ r❡str✐❝t✐♦♥s✮ ❙✉❜✲●❛✉ss✐❛♥ t❛✐❧s ❢♦r r❛♥❞♦♠ ❡✛❡❝ts U ❛♥❞ ♥♦✐s❡s E ❈♦♥❝❛✈❡ ❢✉s✐♦♥ ♣❡♥❛❧t② ✭s❛t✐s✜❡❞ ❜② ▼❈P✱ ❙❈❆❉ ❛♥❞ ❚▲P✮

❈❉ ❋✉s✐♦♥ ❊st✐♠❛t♦r

≈

❖r❛❝❧❡ ❊st✐♠❛t♦r

◆✐❝❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s

❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✶

✭●✐✈❡♥ S ❞♦❡s ♥♦t ❣r♦✇ t♦♦ ❢❛st✮ ❆s②♠♣t♦t✐❝ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡

✶✼ ✴ ✸✶

❚❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ●✉❛r❛♥t❡❡s

❘❡❣✉❧❛r✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♦♥ ❘❛♥❞♦♠ ❞❡s✐❣♥ ♠❛tr✐❝❡s ✭s✉❜✲●❛✉ss✐❛♥ t❛✐❧s ❛♥❞ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ r❡str✐❝t✐♦♥s✮ ❙✉❜✲●❛✉ss✐❛♥ t❛✐❧s ❢♦r r❛♥❞♦♠ ❡✛❡❝ts U ❛♥❞ ♥♦✐s❡s E ❈♦♥❝❛✈❡ ❢✉s✐♦♥ ♣❡♥❛❧t② ✭s❛t✐s✜❡❞ ❜② ▼❈P✱ ❙❈❆❉ ❛♥❞ ❚▲P✮

❈❉ ❋✉s✐♦♥ ❊st✐♠❛t♦r

=

❋✉❧❧✲❉❛t❛ ❊st✐♠❛t♦r

≈

❖r❛❝❧❡ ❊st✐♠❛t♦r

◆✐❝❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s

❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✶

✭●✐✈❡♥ S ❞♦❡s ♥♦t ❣r♦✇ t♦♦ ❢❛st✮ ❊①❛❝t

❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✶

❆s②♠♣t♦t✐❝ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡

❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✷

✭●✐✈❡♥ ❛ ♠✐♥✐♠❛❧ s✐❣♥❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥✮

✶✼ ✴ ✸✶

❘❡✈✐s✐t✐♥❣ ❖✉r ●♦❛❧s

▼✉t✉❛❧ ❧❡❛r♥❛❜✐❧✐t② str✉❝t✉r❡ r❡❝♦✈❡r② ❙♦❧✿ P❛✐r✇✐s❡ ❢✉s✐♦♥ ♣❡♥❛❧t② t♦ ❢✉s❡ ✉♥✐t ❧❡✈❡❧ βi✬s ❚❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ❣✉❛r❛♥t❡❡s✱ ♣r♦✈✐❞❡❞ t❤❛t S ❞♦❡s ♥♦t ❣r♦✇ t♦♦ ❢❛st ❛♥❞ ❛ ♠✐♥✐♠❛❧ s✐❣♥❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❆❝❝✉r❛t❡ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✐♥❢❡r❡♥❝❡ ❙♦❧✿ ❆❝❤✐❡✈❡s t❤❡ ♦r❛❝❧❡ ❧❡✈❡❧ ❈♦♠♣✉t❛❜❧❡ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❢♦r ♠❛ss✐✈❡ ❞❛t❛ ❙♦❧✿ ❈❉ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ ❝♦♠❜✐♥❡ ✉♥✐t ❡st✐♠❛t❡s ❆❉▼▼ ✇✐t❤ ♣❛r❛❧❧❡❧ ❝♦♠♣✉t✐♥❣

✶✽ ✴ ✸✶

❘❡✈✐s✐t✐♥❣ ❖✉r ●♦❛❧s

▼✉t✉❛❧ ❧❡❛r♥❛❜✐❧✐t② str✉❝t✉r❡ r❡❝♦✈❡r② ❙♦❧✿ P❛✐r✇✐s❡ ❢✉s✐♦♥ ♣❡♥❛❧t② t♦ ❢✉s❡ ✉♥✐t ❧❡✈❡❧ βi✬s ❚❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ❣✉❛r❛♥t❡❡s✱ ♣r♦✈✐❞❡❞ t❤❛t S ❞♦❡s ♥♦t ❣r♦✇ t♦♦ ❢❛st ❛♥❞ ❛ ♠✐♥✐♠❛❧ s✐❣♥❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❆❝❝✉r❛t❡ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✐♥❢❡r❡♥❝❡ ❙♦❧✿ ❆❝❤✐❡✈❡s t❤❡ ♦r❛❝❧❡ ❧❡✈❡❧ ❈♦♠♣✉t❛❜❧❡ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❢♦r ♠❛ss✐✈❡ ❞❛t❛ ❙♦❧✿ ❈❉ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ ❝♦♠❜✐♥❡ ✉♥✐t ❡st✐♠❛t❡s ❆❉▼▼ ✇✐t❤ ♣❛r❛❧❧❡❧ ❝♦♠♣✉t✐♥❣

✶✽ ✴ ✸✶

❘❡✈✐s✐t✐♥❣ ❖✉r ●♦❛❧s

▼✉t✉❛❧ ❧❡❛r♥❛❜✐❧✐t② str✉❝t✉r❡ r❡❝♦✈❡r② ❙♦❧✿ P❛✐r✇✐s❡ ❢✉s✐♦♥ ♣❡♥❛❧t② t♦ ❢✉s❡ ✉♥✐t ❧❡✈❡❧ βi✬s ❚❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ❣✉❛r❛♥t❡❡s✱ ♣r♦✈✐❞❡❞ t❤❛t S ❞♦❡s ♥♦t ❣r♦✇ t♦♦ ❢❛st ❛♥❞ ❛ ♠✐♥✐♠❛❧ s✐❣♥❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❆❝❝✉r❛t❡ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✐♥❢❡r❡♥❝❡ ❙♦❧✿ ❆❝❤✐❡✈❡s t❤❡ ♦r❛❝❧❡ ❧❡✈❡❧ ❈♦♠♣✉t❛❜❧❡ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❢♦r ♠❛ss✐✈❡ ❞❛t❛ ❙♦❧✿ ❈❉ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ ❝♦♠❜✐♥❡ ✉♥✐t ❡st✐♠❛t❡s ❆❉▼▼ ✇✐t❤ ♣❛r❛❧❧❡❧ ❝♦♠♣✉t✐♥❣

✶✽ ✴ ✸✶

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❘❡s✉❧ts

❙✉♠♠❛r② ♦❢ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ st✉❞✐❡s✿ ❚❤❡ ❈❉ ❢✉s✐♦♥ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❜❡❤❛✈❡s ❞❡s✐r❛❜❧② ✇✐t❤ ▼❈P✱ ❙❈❆❉ ❛♥❞ ❚▲P ▼❈P ✐s r❡❝♦♠♠❡♥❞❡❞ ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ❉❡❝❡♥t ❛♥❞ st❛❜❧❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❋❛st ✭♦♥❧② s❧✐❣❤t❧② s❧♦✇❡r t❤❛♥ ❙❈❆❉✮ ❙❈❆❉ ❛♥❞ ❚▲P ❛r❡ ✉♥st❛❜❧❡ ✐♥ s♦♠❡ ❝❛s❡s ✏❢❛✐❧s✑ ✐♥ ❛❧❧ ❝❛s❡s

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◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❘❡s✉❧ts

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◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❘❡s✉❧ts

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❘❡❛❧ ❉❛t❛ ❊①❛♠♣❧❡✿ ◆❖❆❆✶✬s ♥❈❧✐♠❉✐✈

❚✐♠❡ ♣❡r✐♦❞ ❝❤♦s❡♥✿ ❏❛♥✉❛r② ✶✽✾✺ t♦ ❉❡❝❡♠❜❡r ✷✵✶✻ N = 503,616 ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s ❢r♦♠ M = 344 ❝❧✐♠❛t❡ ❞✐✈✐s✐♦♥s ✭❞❛t❛ ✉♥✐ts✮ ❘❡s♣♦♥s❡✿ ♠♦♥t❤❧② ❛✈❡r❛❣❡ t❡♠♣❡r❛t✉r❡ ❝❛♥❞✐❞❛t❡ ❝♦✈❛r✐❛t❡s

❍♦✇ t♦ ❝❤♦♦s❡ ❣❧♦❜❛❧ ❢❡❛t✉r❡s

❝♦✈❛r✐❛t❡s ❛s ❣❧♦❜❛❧ ❡✛❡❝ts ❞✉♠♠② ✈❛r✐❛❜❧❡s ❢♦r s❡❛s♦♥❛❧ ❡✛❡❝ts✿ ❙✉♠♠❡r✱ ❋❛❧❧ ❛♥❞ ❲✐♥t❡r P❛❧♠❡r ❉r♦✉❣❤t ❙❡✈❡r✐t② ■♥❞❡① ✭P❙❉■✮ P❛❧♠❡r ❍②❞r♦❧♦❣✐❝❛❧ ❉r♦✉❣❤t ■♥❞❡① ✭P❍❉■✮ ❝♦✈❛r✐❛t❡s ❛s ❤❡t❡r♦❣❡♥❡♦✉s ❡✛❡❝ts ✬s ■♥t❡r❝❡♣t Pr❡❝✐♣✐t❛t✐♦♥ ✭P❈P◆✮ P❛❧♠❡r ❩ ■♥❞❡① ✭❩◆❉❳✮ ❖♥❧② ▼❈P ✐s ✉s❡❞ ✐♥ ❛♥❛❧②s✐s

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❍♦✇ t♦ ❝❤♦♦s❡ ❣❧♦❜❛❧ ❢❡❛t✉r❡s

❝♦✈❛r✐❛t❡s ❛s ❣❧♦❜❛❧ ❡✛❡❝ts ❞✉♠♠② ✈❛r✐❛❜❧❡s ❢♦r s❡❛s♦♥❛❧ ❡✛❡❝ts✿ ❙✉♠♠❡r✱ ❋❛❧❧ ❛♥❞ ❲✐♥t❡r P❛❧♠❡r ❉r♦✉❣❤t ❙❡✈❡r✐t② ■♥❞❡① ✭P❙❉■✮ P❛❧♠❡r ❍②❞r♦❧♦❣✐❝❛❧ ❉r♦✉❣❤t ■♥❞❡① ✭P❍❉■✮ ❝♦✈❛r✐❛t❡s ❛s ❤❡t❡r♦❣❡♥❡♦✉s ❡✛❡❝ts ✬s ■♥t❡r❝❡♣t Pr❡❝✐♣✐t❛t✐♦♥ ✭P❈P◆✮ P❛❧♠❡r ❩ ■♥❞❡① ✭❩◆❉❳✮ ❖♥❧② ▼❈P ✐s ✉s❡❞ ✐♥ ❛♥❛❧②s✐s

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❍♦✇ t♦ ❝❤♦♦s❡ ❣❧♦❜❛❧ ❢❡❛t✉r❡s

p = 5 ❝♦✈❛r✐❛t❡s ❛s ❣❧♦❜❛❧ ❡✛❡❝ts β 3 ❞✉♠♠② ✈❛r✐❛❜❧❡s ❢♦r s❡❛s♦♥❛❧ ❡✛❡❝ts✿ ❙✉♠♠❡r✱ ❋❛❧❧ ❛♥❞ ❲✐♥t❡r P❛❧♠❡r ❉r♦✉❣❤t ❙❡✈❡r✐t② ■♥❞❡① ✭P❙❉■✮ P❛❧♠❡r ❍②❞r♦❧♦❣✐❝❛❧ ❉r♦✉❣❤t ■♥❞❡① ✭P❍❉■✮ q = 3 ❝♦✈❛r✐❛t❡s ❛s ❤❡t❡r♦❣❡♥❡♦✉s ❡✛❡❝ts θi✬s ■♥t❡r❝❡♣t Pr❡❝✐♣✐t❛t✐♦♥ ✭P❈P◆✮ P❛❧♠❡r ❩ ■♥❞❡① ✭❩◆❉❳✮ ❖♥❧② ▼❈P ✐s ✉s❡❞ ✐♥ ❛♥❛❧②s✐s

✶◆❛t✐♦♥❛❧ ❖❝❡❛♥✐❝ ❛♥❞ ❆t♠♦s♣❤❡r✐❝ ❆❞♠✐♥✐str❛t✐♦♥ ✷✵ ✴ ✸✶

❘❡❛❧ ❉❛t❛ ❊①❛♠♣❧❡✿ ◆❖❆❆✶✬s ♥❈❧✐♠❉✐✈

❚✐♠❡ ♣❡r✐♦❞ ❝❤♦s❡♥✿ ❏❛♥✉❛r② ✶✽✾✺ t♦ ❉❡❝❡♠❜❡r ✷✵✶✻ N = 503,616 ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s ❢r♦♠ M = 344 ❝❧✐♠❛t❡ ❞✐✈✐s✐♦♥s ✭❞❛t❛ ✉♥✐ts✮ ❘❡s♣♦♥s❡✿ ♠♦♥t❤❧② ❛✈❡r❛❣❡ t❡♠♣❡r❛t✉r❡ 8 ❝❛♥❞✐❞❛t❡ ❝♦✈❛r✐❛t❡s

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✶◆❛t✐♦♥❛❧ ❖❝❡❛♥✐❝ ❛♥❞ ❆t♠♦s♣❤❡r✐❝ ❆❞♠✐♥✐str❛t✐♦♥ ✷✵ ✴ ✸✶

❘❡❛❧ ❉❛t❛ ❊①❛♠♣❧❡✿ ❊st✐♠❛t❡❞ ❙✉❜♣♦♣✉❧❛t✐♦♥s ✭ S = 5✮

• ❡♥❡r❛❧❧② ❢♦❧❧♦✇s ❛ ❣❡♦❣r❛♣❤✐❝❛❧ ♣❛tt❡r♥ ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ t❤❛t ❛❞❥❛❝❡♥t ❞✐✈✐s✐♦♥s ❛r❡ ♠♦st❧②

❣r♦✉♣❡❞ t♦❣❡t❤❡r ❙✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ❊❧ ◆✐ñ♦✲❙♦✉t❤❡r♥ ❖s❝✐❧❧❛t✐♦♥ ✭❊◆❙❖✮ ✇✐♥t❡r ♣❛tt❡r♥s

✷✶ ✴ ✸✶

❘❡❛❧ ❉❛t❛ ❊①❛♠♣❧❡✿ ❊st✐♠❛t❡❞ ❙✉❜♣♦♣✉❧❛t✐♦♥s ✭ S = 5✮

• ❡♥❡r❛❧❧② ❢♦❧❧♦✇s ❛ ❣❡♦❣r❛♣❤✐❝❛❧ ♣❛tt❡r♥ ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ t❤❛t ❛❞❥❛❝❡♥t ❞✐✈✐s✐♦♥s ❛r❡ ♠♦st❧②

❣r♦✉♣❡❞ t♦❣❡t❤❡r ❙✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ❊❧ ◆✐ñ♦✲❙♦✉t❤❡r♥ ❖s❝✐❧❧❛t✐♦♥ ✭❊◆❙❖✮ ✇✐♥t❡r ♣❛tt❡r♥s

✷✶ ✴ ✸✶

❲✐♥t❡rt✐♠❡ ❊◆❙❖ P❛tt❡r♥s

▲❛ ◆✐ñ❛ ❲✐♥t❡r P❛tt❡r♥ ❊❧ ◆✐ñ♦ ❲✐♥t❡r P❛tt❡r♥

✷✷ ✴ ✸✶

❘❡❛❧ ❉❛t❛ ❊①❛♠♣❧❡✿ ❊st✐♠❛t❡❞ ❙✉❜♣♦♣✉❧❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❊◆❙❖

❙✉❜♣♦♣✉❧❛t✐♦♥ [#(✉♥✐ts)] ❈♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❊◆❙❖ P❛tt❡r♥ ❘❡❞ [41] ❛♥❞ ❇❧✉❡ [132] ❉r✐❡r ❛r❡❛ ✐♥ ▲❛ ◆✐ñ❛

• r❡❡♥ [79]

❚r❛♥s✐t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ✇❡tt❡r ❛♥❞ ❞r✐❡r ✐♥ ❊❧ ◆✐ñ♦ P✉r♣❧❡ [81] ❉r✐❡r ❛r❡❛ ✐♥ ❊❧ ◆✐ñ♦

❖r❛♥❣❡ [11] s✉❜♣♦♣✉❧❛t✐♦♥ ✐s ♣❛rt✐❝✉❧❛r❧② ❝✉r✐♦✉s ❝❛s❡s✳✳✳ ❊①tr❡♠❡ ✇❡❛t❤❡r❄

✷✸ ✴ ✸✶

❘❡❛❧ ❉❛t❛ ❊①❛♠♣❧❡✿ ❚❍❊▼ ❊st✐♠❛t❡s

❙✉❜♣♦♣✉❧❛t✐♦♥ ❙✉❜♣♦♣✉❧❛t✐♦♥ ❊✛❡❝ts ❈♦❧♦r [#(✉♥✐ts)]

• α■♥t❡r❝❡♣t
• αP❈P◆
• α❩◆❉❳

❘❡❞ [41] 64.97 (0.1320) −0.37 (0.0952) −0.07 (0.0954) ❇❧✉❡ [132] 49.53 (0.0714) 0.85 (0.0539) −1.51 (0.0531)

• r❡❡♥ [79]

35.32 (0.0891) 5.44 (0.0698) −4.05 (0.0682) P✉r♣❧❡ [81] 24.74 (0.0926) 7.28 (0.0686) −5.16 (0.0675) ❖r❛♥❣❡ [11] 9.90 (0.3232) 9.14 (0.1932) −6.54 (0.1864) ❈♦♠♠♦♥ ❊✛❡❝ts

• β❙✉♠♠❡r
• β❋❛❧❧
• β❲✐♥t❡r
• βP❉❙■
• βP❍❉■

18.26 (0.0261) 4.06 (0.0258) −15.12 (0.0271) 0.18 (0.0098) 0.20 (0.0084)

✷✹ ✴ ✸✶

❙❡❧❡❝t❡❞ ❘❡❢❡r❡♥❝❡s

▲✐✉✱ ❉✳✱ ▲✐✉✱ ❘✳ ❨✳✱ ❛♥❞ ❳✐❡✱ ▼✳ ✭✷✵✶✺✮✱ ✏▼✉❧t✐✈❛r✐❛t❡ ▼❡t❛✲❆♥❛❧②s✐s ♦❢ ❍❡t❡r♦❣❡♥❡♦✉s ❙t✉❞✐❡s ❯s✐♥❣ ❖♥❧② ❙✉♠♠❛r② ❙t❛t✐st✐❝s✿ ❊✣❝✐❡♥❝② ❛♥❞ ❘♦❜✉st♥❡ss✱✑ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ t❤❡ ❆♠❡r✐❝❛♥ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❆ss♦❝✐❛t✐♦♥✱ ✶✶✵✱ ✸✷✻✕✸✹✵✳ ❲❛♥❣✱ ❍✳✱ ▲✐✱ ❇✳✱ ❛♥❞ ▲❡♥❣✱ ❈✳ ✭✷✵✵✾✮✱ ✏❙❤r✐♥❦❛❣❡ ❚✉♥✐♥❣ P❛r❛♠❡t❡r ❙❡❧❡❝t✐♦♥ ❲✐t❤ ❆ ❉✐✈❡r❣✐♥❣ ◆✉♠❜❡r ♦❢ P❛r❛♠❡t❡rs✱✑ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ t❤❡ ❘♦②❛❧ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙♦❝✐❡t②✿ ❙❡r✐❡s ❇ ✭❙t❛t✐st✐❝❛❧ ▼❡t❤♦❞♦❧♦❣②✮✱ ✼✶✱ ✻✼✶✕✻✽✸✳

✷✺ ✴ ✸✶

❚❤❛♥❦ ②♦✉ ❢♦r ②♦✉r ❛tt❡♥t✐♦♥✦

✷✻ ✴ ✸✶

❇❛❝❦✉♣ ❙❧✐❞❡s

✹ ❚❤❡♦r❡♠s ✺ ❙✉♣♣❧❡♠❡♥t❛❧ ❢♦r ❘❡❛❧ ❉❛t❛ ❊①❛♠♣❧❡

✷✼ ✴ ✸✶

❊q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ t♦ t❤❡ ❋✉❧❧✲❉❛t❛ ❊st✐♠❛t♦r ✲ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✶ ✐♥ ♠❛✐♥ ♣❛♣❡r

❚❤❡♦r❡♠ ✭❊q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ t♦ t❤❡ ❋✉❧❧✲❉❛t❛ ❊st✐♠❛t♦r✮

QCD

N (β, Θ) − QN(β, Θ) = constant✳

• βCD(λ)
• ΘCD(λ)
• =
• β(λ)
• Θ(λ)
• ✐s ❛ str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡

❘❡t✉r♥ t♦ ❚❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ●✉❛r❛♥t❡❡s ✷✽ ✴ ✸✶

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❖r❛❝❧❡ ❊st✐♠❛t♦r ✲ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✶ ✐♥ ♠❛✐♥ ♣❛♣❡r

gmin = min

1≤s≤S

• i∈s✉❜♣♦♣ s

ni ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ s✉❜✲s❛♠♣❧❡ s✐③❡

❚❤❡♦r❡♠ ✭Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ❖r❛❝❧❡ ❊st✐♠❛t♦r✮

❙✉♣♣♦s❡ r❡❣✉❧❛r✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❤♦❧❞✳ ■❢ gmin ≫ N3/4(p + Sq)1/2✱ t❤❡ ♦r❛❝❧❡ ❡st✐♠❛t♦r ✐s ❝♦♥s✐st❡♥t ❛♥❞ ♣♦ss❡ss❡s ❛s②♠♣t♦t✐❝ ♥♦r♠❛❧✐t②✳ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t p ❛♥❞ q ❛r❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ❞✐♠❡♥s✐♦♥s ♦❢ β ❛♥❞ θi✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❚❤❡ ❛❜♦✈❡ ♥✐❝❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❤♦❧❞ ✐❢ gmin ❞✐✈❡r❣❡s ❢❛st ❡♥♦✉❣❤ ⇒ S ❝❛♥♥♦t ❣r♦✇ t♦♦ ❢❛st ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ (S, p, q) ♠✉st s❛t✐s❢② S√p + Sq = o(N1/4) ▼♦r❡♦✈❡r✱ S = o(N1/6) ✐❢ p ❛♥❞ q ❛r❡ ✜①❡❞

❘❡t✉r♥ t♦ ❚❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ●✉❛r❛♥t❡❡s ✷✾ ✴ ✸✶

❖r❛❝❧❡ Pr♦♣❡rt② ♦❢ t❤❡ ❈❉ ❋✉s✐♦♥ ❊st✐♠❛t♦r ✲ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✷ ✐♥ ♠❛✐♥ ♣❛♣❡r

❚❤❡♦r❡♠ ✭❖r❛❝❧❡ Pr♦♣❡rt②✮

❙✉♣♣♦s❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✐♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✷ ❛♥❞ ❛♥ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ♠✐♥✐♠❛❧ s✐❣♥❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ♦♥ mins=s′ αs − αs′ ❤♦❧❞✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❧♦❝❛❧ ♠✐♥✐♠✐③❡r

• β(λ)
• Θ(λ)
• ♦❢ t❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

QCD

N (β, Θ) s❛t✐s❢②✐♥❣

P

• β(λ)
• Θ(λ)
• =
• βOR
• ΘOR
• → 1.

β(λ)

• α(λ)
• ♣♦ss❡ss❡s t❤❡ s❛♠❡ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❛s
• βOR
• ΘOR
• ❘❡t✉r♥ t♦ ❚❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ●✉❛r❛♥t❡❡s

✸✵ ✴ ✸✶

❚♦ ✉s❡ ●▲❙✱ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ ❤❡t❡r♦❣❡♥❡♦✉s ❡✛❡❝ts t❤r♦✉❣❤ ♦❜s❡r✈✐♥❣ t❤❡ ❦❡r♥❡❧ ❞❡♥s✐t✐❡s ♦❢ t❤❡ ❖▲❙ ❡st✐♠❛t❡s ■♥t✉✐t✐✈❡❧②✱ t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ♦❢ ❤❡t❡r♦❣❡♥❡♦✉s ❡✛❡❝ts ❛r❡ ❧✐❦❡❧② t♦ ❢♦r♠ ❛ ♠✉❧t✐♠♦❞❛❧ ♦r ✇✐❞❡✲s♣r❡❛❞ s❤❛♣❡s ❑❡r♥❡❧ ❞❡♥s✐t✐❡s ♦❢ t❤❡ 344 ❖▲❙ ❡st✐♠❛t❡s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ❝❧✐♠❛t❡ ❞✐✈✐s✐♦♥s

50 0.00 0.01 0.02 Intercept 20 0.00 0.05 Summer −10 10 0.00 0.05 0.10 Fall −20 0.00 0.05 0.10 Winter 20 0.00 0.05 PCPN −1 1 0.0 0.5 1.0 PDSI 1 0.0 0.5 1.0 PHDI −10 0.00 0.05 0.10 ZNDX

• ♦ ❜❛❝❦ t♦ ❘❡❛❧ ❉❛t❛ ❊①❛♠♣❧❡

✸✶ ✴ ✸✶