Thermodynamics with continuous information 3low Jordan M. - - PowerPoint PPT Presentation

Thermodynamics ¡with ¡ continuous ¡information ¡3low ¡ ¡

Jordan ¡M. ¡Horowitz ¡

July ¡27, ¡2015 ¡ New ¡Fron;ers ¡in ¡Nonequilibrium ¡Physics, ¡ Kyoto, ¡Japan ¡

Szilard ¡engine ¡

T, V

Wext = kT ln 2

L R

2 ¡

Szilard ¡engine ¡

L R L R

Wext = kT ln 2 Wmeas = kT ln 2 I = ln 2

Wext = kTI = Wmeas

3 ¡

Autonomous ¡demons ¡

A B C

time time

WaG ¡Governor ¡ Quantum ¡dot ¡Maxwell ¡Demon ¡ Sensory ¡Adapta;on ¡

4 ¡

Information ¡3low ¡

5 ¡

Stochastic ¡thermodynamics ¡

Master ¡equa;on ¡ Current ¡ ¡ ¡ Local ¡detailed ¡balance ¡

j i Jij

dtpi = X

j

Jij Jij = Wijpj − Wjipi ln Wij Wji = βqij

6 ¡

Second ¡law ¡

Shannon ¡entropy ¡rate: ¡ ¡ Environment ¡entropy ¡rate: ¡ Entropy ¡produc;on: ¡

˙ Sr = X

i≥j

Jij ln Wij Wji ˙ Si = X

i≥j

Jij ln Wijpj Wjipi dtS = X

i≥j

Jij ln pj pi

˙ Si = dtS + ˙ Sr ≥ 0

7 ¡

Bipartite ¡systems ¡

Flows ¡

X Y

y1 y2 x2 x1 x2 x1 y1 y2

A(J) = X

x≥x0,y≥y0

Jyy0

xx0 Ayy0 xx0 = AX + AY

8 ¡

Information ¡3low ¡

Mutual ¡informa;on ¡ Informa;on ¡flow ¡

I(X, Y ) = X

x,y

p(x, y) ln p(x, y) p(x)p(y)

X

xx0,y

Jy

x,x0 ln p(y|x)

p(y|x0)

dtI = ˙ IX + ˙ IY

X

x,yy0

Jy,y0

x

ln p(x|y) p(x|y0)

9 ¡

Second ¡law ¡

˙ SX

i

= dtSX + ˙ SX

r − ˙

IX ≥ 0 ˙ SY

i = dtSY + ˙

SY

r − ˙

IY ≥ 0

10 ¡

Horowitz/Esposito ¡PRX ¡2014; ¡Har;ch/Barato/Seifert ¡JSTAT ¡2014; ¡ ¡ Allahverdyan/Janzig/Mahler ¡JSTAT ¡2009 ¡

Second ¡law ¡for ¡X ¡

Informa;on ¡resource ¡ Measurement ¡cost ¡

σX = dtSX + ˙ SX

r ≥ ˙

IX σX = dtSX + ˙ SX

r

˙ IX > 0 → σX > ˙ IX ˙ IX < 0 → σX < 0

11 ¡

Applications ¡

12 ¡

Nonautonomous ¡demons ¡

¡ ¡ ¡ ¡Measurement ¡ Feedback ¡ Cycle ¡

Y ¡Engine ¡ X ¡Memory ¡

Measurement ¡ Feedback ¡

∆iSX

meas = ∆SX + ∆rSX meas − I ≥ 0

∆iSY

meas = 0

∆iSX

fb = 0

∆iSY

fb = ∆SY + ∆rSY fb + I ≥ 0

∆iS =∆SX + ∆SY + ∆rSX

meas + ∆rSY fb ≥ 0

X X0 Y 0 Y

13 ¡

I I

Autonomous ¡demons ¡

˙ SX

i

= dtSX + ˙ SX

r − ˙

IX ≥ 0 ˙ SY

i = dtSY + ˙

SY

r − ˙

IY ≥ 0

14 ¡

Autonomous ¡demons ¡

˙ SX

i

= dtSX + ˙ SX

r − ˙

IX ≥ 0 ˙ SY

i = dtSY + ˙

SY

r − ˙

IY ≥ 0

˙ I = ˙ IX = − ˙ IY

15 ¡

Autonomous ¡demons ¡

˙ SX

i

= ˙ SX

r − ˙

I ≥ 0 ˙ SY

i = ˙

SY

r + ˙

I ≥ 0

16 ¡

Autonomous ¡demons ¡

Informa;on ¡efficiency ¡

εX = ˙ I ˙ SX

r

εY = | ˙ SY

r |

˙ I

( ˙ I > 0)

˙ SX

r ≥ ˙

I − ˙ SY

r ≤ ˙

I

17 ¡

Quantum ¡dot ¡

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

Je

18 ¡

µL > µR

Horowitz/Esposito ¡PRX ¡2014; ¡ ¡Strasberg ¡et ¡al. ¡PRL ¡2013 ¡

Diffusion ¡processes ¡

Bipar;te ¡diffusions ¡have ¡uncorrelated ¡noise ¡

19 ¡

Allahverdyan/Janzig/Mahler ¡JSTAT ¡2009; ¡ Horowitz ¡JSTAT ¡P03006 ¡(2015) ¡

Jk = µkFk(x, y) − µkT∂kp

dtp = −∂xJx − ∂yJy

Multipartite ¡Information ¡Flow ¡

20 ¡

In3luence ¡network ¡

x2 x1 y1 y2

X Y

21 ¡

Multipartite ¡systems ¡

Xk Xi Xj Xl Xn Xm

22 ¡

Multipartite ¡systems ¡

Xk Xi Xj Xl Xn Xm

23 ¡

Second ¡law ¡

Xk Xi Xj Xl Xn Xm

24 ¡

Horowitz ¡JSTAT ¡2014 ¡

˙ Sk

i = dtS(Xk) + ˙

Sk

r − ˙

Ik(Xk; X−k) ≥ 0

Neighbors ¡

Xk Xi Xj Xl Xn Xm XΩk X−Ωk

25 ¡

Re3ined ¡second ¡law ¡

Neighbors ¡are ¡useful ¡ Non-­‑neighbor ¡informa;on ¡decreases ¡

˙ Ik(Xk; X−Ωk|XΩk) ≤ 0

Xk Xi Xj Xl Xn Xm XΩk X−Ωk

26 ¡

dtS(Xk) + ˙ Sk

r − ˙

Ik(Xk; XΩk) ≥ 0

Competing ¡Demons ¡

27 ¡ (force ¡due ¡to ¡M1) ¡

Total ¡work ¡ ¡ to ¡measure ¡

Information ¡measures ¡

¡ ¡

28 ¡

Second-­‑law-­‑like ¡inequalities ¡

Informa;on ¡flow: ¡

rate ¡of ¡change ¡of ¡mutual ¡informa;on ¡

Transfer ¡entropy ¡rate: ¡

informa;on ¡rate ¡between ¡measurement ¡trajectory ¡and ¡system ¡ state ¡

Trajectory ¡mutual ¡informa;on: ¡

informa;on ¡rate ¡between ¡system ¡and ¡measurement ¡ trajectories ¡

Entropy ¡pumping: ¡

phase ¡space ¡compression ¡due ¡to ¡feedback ¡

29 ¡

˙ Iflow ˙ Itrans ˙ Itraj ˙ Ipump

σX ≥ ˙ I

Information ¡hierarchy ¡

30 ¡

˙ Ipump ≤ ˙ Iflow ≤ ˙ Itrans ≤ ˙ Itraj

10 20 30 40 1 2 3 4

a

m˙ vt = −γvt − ayt + ξt τ ˙ yt = −(yt − vt − ηt)

Velocity ¡damping: ¡

Horowitz/Sandberg ¡NJP ¡2014; ¡Har;ch/Barato/Seifert ¡JSTAT ¡2014; ¡ ¡ Allahverdyan/Janzig/Mahler ¡JSTAT ¡2009; ¡Munakata/Rosinberg ¡JSTAT ¡2012 ¡

Measurement ¡cost ¡

Rewri;ng ¡one ¡memory ¡ Tape ¡of ¡memories ¡

31 ¡

system ¡ m ¡ system ¡ m2 ¡ m3 ¡ m1 ¡

Horowitz/Sandberg ¡NJP ¡2014 ¡

σm

meas ≥ ˙

Iflow

σm1m2···

meas

≥ ˙ Itrans

Second-­‑law-­‑like ¡inequalities ¡

Environmental ¡entropy ¡flow ¡includes ¡ informa;on ¡

32 ¡

˙ Si = dtS + ˙ Senv = dtS + ˙ Sr − ˙ I ≥ 0

v ¡

˙ Senv

˙ Sr − ˙ I

Horowitz/Esposito ¡PRX ¡2014; ¡Har;ch/Barato/Seifert ¡JSTAT ¡2014; ¡ ¡ Deffner/Jarzynski ¡PRX ¡2014 ¡

Summary ¡

Informa;on ¡flow ¡ ¡

quan;fies ¡the ¡thermodynamically ¡exploitable ¡ correla;ons ¡for ¡interac;ng ¡mul;par;te ¡systems ¡

Informa;on ¡cost ¡to ¡measure ¡

informa;on ¡bounds ¡the ¡entropy ¡flow ¡to ¡the ¡ memory ¡device ¡

33 ¡