tr rtrt - - PowerPoint PPT Presentation

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❆ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤ Γ ✐s ❛♥ ♦r❞❡r❡❞ ♣❛✐r (G, σ)✱ ✇❤❡r❡ G = (V (G), E(G)) ✐s ❛ ❣r❛♣❤ ❛♥❞ σ : E(G) → {+, −} ✐s t❤❡ s✐❣♥❛t✉r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ❡❞❣❡s ♦❢ G✳ ❚❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ❣r❛♣❤ ♠❛② ❤❛✈❡ ❧♦♦♣s✱ ♠✉❧t✐♣❧❡ ❡❞❣❡s✱ ❤❛❧❢✲❡❞❣❡s ✭✇✐t❤ ♦♥❧② ♦♥❡ ❡♥❞♣♦✐♥t✮✱ ❛♥❞ ❧♦♦s❡ ❡❞❣❡s ✭✇✐t❤ ♥♦ ❡♥❞♣♦✐♥ts✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❤❛❧❢ ❛♥❞ ❧♦♦s❡ ❡❞❣❡s ❞♦ ♥♦t r❡❝❡✐✈❡ s✐❣♥s✳ ■❢ ✐s ❛ ❝②❝❧❡ ✐♥ ✱ t❤❡ s✐❣♥ ♦❢ t❤❡ ✐s t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ♦❢ ✐ts ❡❞❣❡s s✐❣♥s✳ P♦s✐t✐✈❡ ❡❞❣❡s ❛r❡ ❜♦❧❞ ❧✐♥❡s✱ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❡❞❣❡s ❛r❡ ❞♦tt❡❞ ❧✐♥❡s✳

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❆ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤ Γ ✐s ❛♥ ♦r❞❡r❡❞ ♣❛✐r (G, σ)✱ ✇❤❡r❡ G = (V (G), E(G)) ✐s ❛ ❣r❛♣❤ ❛♥❞ σ : E(G) → {+, −} ✐s t❤❡ s✐❣♥❛t✉r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ❡❞❣❡s ♦❢ G✳ ❚❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ❣r❛♣❤ G ♠❛② ❤❛✈❡ ❧♦♦♣s✱ ♠✉❧t✐♣❧❡ ❡❞❣❡s✱ ❤❛❧❢✲❡❞❣❡s ✭✇✐t❤ ♦♥❧② ♦♥❡ ❡♥❞♣♦✐♥t✮✱ ❛♥❞ ❧♦♦s❡ ❡❞❣❡s ✭✇✐t❤ ♥♦ ❡♥❞♣♦✐♥ts✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❤❛❧❢ ❛♥❞ ❧♦♦s❡ ❡❞❣❡s ❞♦ ♥♦t r❡❝❡✐✈❡ s✐❣♥s✳ ■❢ C ✐s ❛ ❝②❝❧❡ ✐♥ Γ✱ t❤❡ s✐❣♥ ♦❢ t❤❡ C ✐s t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ♦❢ ✐ts ❡❞❣❡s s✐❣♥s✳

✈ ✈ ✈ ✈ q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅

P♦s✐t✐✈❡ ❡❞❣❡s ❛r❡ ❜♦❧❞ ❧✐♥❡s✱ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❡❞❣❡s ❛r❡ ❞♦tt❡❞ ❧✐♥❡s✳

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❙✐❣♥❛t✉r❡ ❙✇✐t❝❤✐♥❣

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ▲❡t Γ = (G, σ) ❜❡ ❛ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤ ❛♥❞ U ⊆ V (G)✳ ❚❤❡ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤ ΓU ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ♥❡❣❛t✐♥❣ t❤❡ ❡❞❣❡s ✐♥ t❤❡ ❝✉t [U; Uc❪ ✐s ❛ ✭s✐❣♥✮ s✇✐t❝❤✐♥❣ ♦❢ Γ✳ ❲❡ ❛❧s♦ s❛② t❤❛t t❤❡ s✐❣♥❛t✉r❡s ♦❢ ΓU ❛♥❞ Γ ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✳ ❚❤❡ s✐❣♥❛t✉r❡ s✇✐t❝❤✐♥❣ ♣r❡s❡r✈❡s t❤❡ s❡t ♦❢ t❤❡ ♣♦s✐t✐✈❡ ❝②❝❧❡s✳ ❲❡ s❛② t❤❛t t✇♦ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❛r❡ s✇✐t❝❤✐♥❣ ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ ✐❢ t❤❡✐r ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ❣r❛♣❤s ❛r❡ ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ ❛♥❞ t❤❡ s✐❣♥❛t✉r❡s ❛r❡ s✇✐t❝❤✐♥❣ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✳ ❚❤❡ s❡t ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s s✇✐t❝❤✐♥❣ ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ t♦ Γ ✐s t❤❡ s✇✐t❝❤✐♥❣ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❝❧❛ss ♦❢ Γ✱ ✇r✐tt❡♥ [Γ]✳

P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

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❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ s✇✐t❝❤✐♥❣ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❣r❛♣❤s

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• v✶

v✷ v✺ v✸ v✹

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✶ ✹ ✺ ✳ ✶ ✷ ✺ ✸ ✹

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❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ s✇✐t❝❤✐♥❣ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❣r❛♣❤s

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• v✶

v✷ v✺ v✸ v✹

Γ

✉ ✉ ✉

▲❡t U = {v✶, v✹, v✺}✳

✶ ✷ ✺ ✸ ✹

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❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ s✇✐t❝❤✐♥❣ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❣r❛♣❤s

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• v✶

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Γ

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▲❡t U = {v✶, v✹, v✺}✳

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v✶ v✷ v✺ v✸ v✹

ΓU

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▼❛tr✐❝❡s ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s

▲❡t M = M(G) ❜❡ ❛ ❣r❛♣❤ ♠❛tr✐① ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ❛ ♣r❡s❝r✐❜❡❞ ✇❛②✳ ❚❤❡ M✲♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ♦❢ G ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❞❡t(λI − M)✱ ✇❤❡r❡ I ✐s t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ♠❛tr✐①✳ ❚❤❡ M✲s♣❡❝tr✉♠ ♦❢ G ✐s ❛ ♠✉❧t✐s❡t ❝♦♥s✐st✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ♦❢ M(G)✳ ❚❤❡ ❧❛r❣❡st ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ♦❢ M(G) ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ M✲s♣❡❝tr❛❧ r❛❞✐✉s ♦❢ G✳ ❚❤❡ ❣r❛♣❤ ♠❛tr✐❝❡s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❢♦r ❛♥ ✉♥s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤ G ❛r❡✿ t❤❡ ❛❞❥❛❝❡♥❝② ♠❛tr✐① A(G)✱ t❤❡ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥ ♠❛tr✐① L(G) = D(G) − A(G)✱ t❤❡ s✐❣♥❧❡ss ▲❛♣❧❛❝✐❛♥ ♠❛tr✐① Q(G) = D(G) + A(G)✱ ✇❤❡r❡ D(G) = ❞✐❛❣(d✶, d✷, . . . , dn)✱ ❛♥❞ t❤❡✐r ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ✈❛r✐❛♥ts✳ ❚❤❡ ❛❞❥❛❝❡♥❝② ♠❛tr✐① ❛♥❞ t❤❡ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥ ♠❛tr✐① ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛❧s♦ ❢♦r s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s✳

P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❇❛s✐❝ ♥♦t✐♦♥s ♦♥ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s ▼❛tr✐❝❡s ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

❆❞❥❛❝❡♥❝② ♠❛tr✐① ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

❚❤❡ ❛❞❥❛❝❡♥❝② ♠❛tr✐① ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s A(Γ) = (aij)✱ ✇❤❡r❡ aij = σ(vivj), ✐f vi ∼ vj; ✵, ✐f vi ∼ vj.

✈ ✈ ✈ ✈ ✈ q q q q q q q q q qqqqqqqqq

• v✶

v✷ v✺ v✸ v✹

A(Γ) =

      ✵ −✶ ✶ ✵ ✵ −✶ ✵ ✶ ✵ ✶ ✶ ✶ ✵ ✶ ✵ ✵ ✵ ✶ ✵ −✶ ✵ ✶ ✵ −✶ ✵      

P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❇❛s✐❝ ♥♦t✐♦♥s ♦♥ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s ▼❛tr✐❝❡s ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

▲❛♣❧❛❝✐❛♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

❚❤❡ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥ ♠❛tr✐① ♦❢ Γ = (G, σ) ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s L(Γ) = D(G) − A(Γ) = (lij) lij = ❞❡❣(vi), ✐f i = j; −σ(vivj), ✐f i = j.

✈ ✈ ✈ ✈ ✈ q q q q q q q q q qqqqqqqqq

• v✶

v✷ v✺ v✸ v✹

L(Γ) =

      ✷ ✶ −✶ ✵ ✵ ✶ ✸ −✶ ✵ −✶ −✶ −✶ ✸ −✶ ✵ ✵ ✵ −✶ ✷ ✶ ✵ −✶ ✵ ✶ ✷      

P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❇❛s✐❝ ♥♦t✐♦♥s ♦♥ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s ▼❛tr✐❝❡s ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

❙✇✐t❝❤✐♥❣ ❛♥❞ s✐❣♥❛t✉r❡ s✐♠✐❧❛r✐t②

❙✇✐t❝❤✐♥❣ ❤❛s ❛ ♠❛tr✐① ❝♦✉♥t❡r♣❛rt✳ ■♥ ❢❛❝t✱ ▲❡t Γ ❛♥❞ Γ′ = ΓU ❜❡ t✇♦ s✇✐t❝❤✐♥❣ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❣r❛♣❤s✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ♠❛tr✐① SU = ❞✐❛❣(s✶, s✷, . . . , sn) s✉❝❤ t❤❛t si = +✶, i ∈ U −✶, i ∈ Γ \ U SU ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛ s✐❣♥❛t✉r❡ ♠❛tr✐① ✭♦r st❛t❡ ♠❛tr✐①✮✳ ■t ✐s ❡❛s② t♦ ❝❤❡❝❦ t❤❛t ❛♥❞ ❍❡♥❝❡✱ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❢r♦♠ t❤❡ s❛♠❡ s✇✐t❝❤✐♥❣ ❝❧❛ss s❤❛r❡ s✐♠✐❧❛r ❣r❛♣❤ ♠❛tr✐❝❡s✱ ♦r s✇✐t❝❤✐♥❣ ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ ❣r❛♣❤s ❛r❡ ❝♦s♣❡❝tr❛❧✳

P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❇❛s✐❝ ♥♦t✐♦♥s ♦♥ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s ▼❛tr✐❝❡s ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

❙✇✐t❝❤✐♥❣ ❛♥❞ s✐❣♥❛t✉r❡ s✐♠✐❧❛r✐t②

❙✇✐t❝❤✐♥❣ ❤❛s ❛ ♠❛tr✐① ❝♦✉♥t❡r♣❛rt✳ ■♥ ❢❛❝t✱ ▲❡t Γ ❛♥❞ Γ′ = ΓU ❜❡ t✇♦ s✇✐t❝❤✐♥❣ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❣r❛♣❤s✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ♠❛tr✐① SU = ❞✐❛❣(s✶, s✷, . . . , sn) s✉❝❤ t❤❛t si = +✶, i ∈ U −✶, i ∈ Γ \ U SU ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛ s✐❣♥❛t✉r❡ ♠❛tr✐① ✭♦r st❛t❡ ♠❛tr✐①✮✳ ■t ✐s ❡❛s② t♦ ❝❤❡❝❦ t❤❛t A(ΓU) = SU A(Γ) SU ❛♥❞ L(ΓU) = SU L(Γ) SU. ❍❡♥❝❡✱ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❢r♦♠ t❤❡ s❛♠❡ s✇✐t❝❤✐♥❣ ❝❧❛ss s❤❛r❡ s✐♠✐❧❛r ❣r❛♣❤ ♠❛tr✐❝❡s✱ ♦r s✇✐t❝❤✐♥❣ ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ ❣r❛♣❤s ❛r❡ ❝♦s♣❡❝tr❛❧✳

P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❇❛s✐❝ ♥♦t✐♦♥s ♦♥ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s ▼❛tr✐❝❡s ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

❈♦❡✣❝✐❡♥t ❚❤❡♦r❡♠ ❢♦r t❤❡ ❛❞❥❛❝❡♥❝② ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧

■♥ t❤❡ ✶✾✼✵✬s ♠❛♥② r❡s❡❛r❝❤❡r ❣❛✈❡ ❛ ❝♦♠❜✐♥❛t♦r✐❛❧ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ t❤❡ ❛❞❥❛❝❡♥❝② ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ♦❢ ❛ ♠✉❧t✐✲❞✐✲❣r❛♣❤✳ ❍❡r❡ ✐s t❤❡ ✈❛r✐❛♥t ❢♦r s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s✳ ❚❤❡ ❡❧❡♠❡♥t❛r② ✜❣✉r❡s ❛r❡ t❤❡ ❣r❛♣❤s K✷ ❛♥❞ Cn❀ ❛ ❜❛s✐❝ ✜❣✉r❡ ✐s t❤❡ ❞✐s❥♦✐♥t ✉♥✐♦♥ ♦❢ ❡❧❡♠❡♥t❛r② ✜❣✉r❡s✳ ▲❡t Bi ❜❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ❜❛s✐❝ ✜❣✉r❡s ♦♥ i ✈❡rt✐❝❡s✱ p(B) # ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ B✱ |c(B)| # ♦❢ ❝②❝❧❡s ✐♥ B✱ ❛♥❞ σ(B) =

C∈c(B) σ(C)✳

❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t Γ ❜❡ ❛ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤ ❛♥❞ ❧❡t φ(Γ, x) = n

i=✵ aixn−✶ ❜❡ ✐ts

❛❞❥❛❝❡♥❝② ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧✳ ❚❤❡♥ ai =

• B∈Bi

(−✶)p(B)✷|c(B)|σ(B),

P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❇❛s✐❝ ♥♦t✐♦♥s ♦♥ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s ▼❛tr✐❝❡s ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

❈♦❡✣❝✐❡♥t ❚❤❡♦r❡♠ ❢♦r t❤❡ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧

❆ s✐❣♥❡❞ TU✲❣r❛♣❤ ✐s ❛ ❣r❛♣❤ ✇❤♦s❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❛r❡ tr❡❡s ♦r ✉♥❜❛❧❛♥❝❡❞ ✉♥✐❝②❝❧✐❝ ❣r❛♣❤s ✭t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ❝②❝❧❡ ❤❛s ❛ ♥❡❣❛t✐✈❡ s✐❣♥✮✳ ■❢ H = T✶ ∪ · · · ∪ Tr ∪ U✶ ∪ · · · ∪ Us✱ t❤❡♥ γ(H) = ✹s r

i=✶ |Ti|✳

❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t Γ ❜❡ ❛ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤ ❛♥❞ ψ(L(Γ), x) = n

i=✵ bixn−i ❜❡ ✐ts

▲❛♣❧❛❝✐❛♥ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧✳ ❚❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡✿ bi = (−✶)i

H∈Hi

γ(H), ✇❤❡r❡ Hi ✐s t❤❡ s❡t ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✐❣♥❡❞ TU✲❣r❛♣❤s ♦♥ i ❡❞❣❡s✳ ◆♦t❡✿ t❤❡ s✐❣♥❛t✉r❡s ♦❢ ❜r✐❞❣❡s ❤❛✈❡ ♥♦ ✐♥✢✉❡♥❝❡ ♦♥ t❤❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧✳

P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❇❛s✐❝ ♥♦t✐♦♥s ♦♥ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s ▼❛tr✐❝❡s ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr♦♦❢

❖❜s❡r✈❡ t❤❛t BB⊤ = L(Γ), B⊤B = ✷I + AL(Γ), ✇❤❡r❡ AL(Γ) = A(L(Γ)) ✐s t❤❡ ❛❞❥❛❝❡♥❝② ♠❛tr✐① ♦❢ L(Γ)✱ t❤❡ s✐❣♥❡❞ ▲✐♥❡ ●r❛♣❤ ♦❢ Γ✳ ❋r♦♠ t❤❡ ▼❛❝▲❛✉r✐♥ ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥t ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t ✷

✵

✷ ✶ ✷

P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❇❛s✐❝ ♥♦t✐♦♥s ♦♥ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s ▼❛tr✐❝❡s ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr♦♦❢

❖❜s❡r✈❡ t❤❛t BB⊤ = L(Γ), B⊤B = ✷I + AL(Γ), ✇❤❡r❡ AL(Γ) = A(L(Γ)) ✐s t❤❡ ❛❞❥❛❝❡♥❝② ♠❛tr✐① ♦❢ L(Γ)✱ t❤❡ s✐❣♥❡❞ ▲✐♥❡ ●r❛♣❤ ♦❢ Γ✳ ❋r♦♠ t❤❡ ▼❛❝▲❛✉r✐♥ ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥t ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t ψ(Γ, x) = xn−mφ(AL(Γ), x − ✷) = xn−m

m

• k=✵

φ(k)(AL(Γ), −✷)xk k! = xn−m

m

• k=m−n

xk ✶ k!φ(k)(AL(Γ), −✷),

P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❇❛s✐❝ ♥♦t✐♦♥s ♦♥ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s ▼❛tr✐❝❡s ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr♦♦❢ ✭❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥✮

ψ(Γ, x) = xm−n

m

• k=m−n

xk

|S|=k

φ(AL(Γ)−S, −✷). ❙✐❣♥❡❞ ❧✐♥❡ ❣r❛♣❤s ❤❛✈❡ −✷ ❛s ❛♥ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ✉♥❧❡ss ❛❧❧ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❛r❡ ❧✐♥❡ ❣r❛♣❤s ♦❢ tr❡❡s ♦r ✉♥❜❛❧❛♥❝❡❞ ✉♥✐❝②❝❧✐❝ ❣r❛♣❤s✳

• |S|=k

φ(AL(Γ)−S, −✷) = (−✶)m−k

• H∈Hm−k

w(H). ψ(Γ, x) = xm−n

m

• k=m−n

xk(−✶)m−k

• H∈Hm−k

w(H), ❛♥❞ ❜② ♣✉tt✐♥❣ i = m − k ✇❡ ❤❛✈❡ ψ(Γ, x) =

n

• i=✵

xn−i(−✶)i

H∈Hi

w(H).

P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❈♦s♣❡❝tr❛❧✐t② ❛♥❞ ❙✇✐t❝❤✐♥❣ ■s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤s

❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s

❖♥❡ ♦❢ t❤❡ ♦❧❞❡st ♣r♦❜❧❡♠s ✐♥ ❙♣❡❝tr❛❧ ●r❛♣❤ ❚❤❡♦r② ✐s t♦ ❡st❛❜❧✐s❤ ✇❤❡t❤❡r ❛ ❣✐✈❡♥ ❣r❛♣❤ G ❛❞♠✐ts ❝♦s♣❡❝tr❛❧ ♥♦♥✲✐s♦♠♦r♣❤✐❝ ❣r❛♣❤s✱ ✇✳r✳t✳ s♦♠❡ ♣r❡s❝r✐❜❡❞ ❣r❛♣❤ ♠❛tr✐① M✳ ■♥ ❢❛❝t✱ ✇❡ s❛② t❤❛t ❛ ❣r❛♣❤ G ✐s M✲❉❙ ✐✛ ❛♥② ❝♦s♣❡❝tr❛❧ ❣r❛♣❤ ✐s ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ ❛s ✇❡❧❧✳ ❆♥ ❛♥❛❧♦❣♦✉s ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ✐♥ t❤❡ s❡tt✐♥❣ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s✿ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② t❤❡ s♣❡❝tr✉♠ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① ✭✐♥ s❤♦rt✱ ✲❉❙✮ ✐✛ ❛♥② ❝♦s♣❡❝tr❛❧ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ✐s s✇✐t❝❤✐♥❣ ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ ❛s ✇❡❧❧✳ ■♥ t❤❡ s❡q✉❡❧ t❤❡ ✲❝♦s♣❡❝tr❛❧ r❡❧❛t✐♦♥ ✇✐❧❧ ❜❡ ❞❡♥♦t❡❞ ❜② ✳

P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❈♦s♣❡❝tr❛❧✐t② ❛♥❞ ❙✇✐t❝❤✐♥❣ ■s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤s

❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s

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P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❈♦s♣❡❝tr❛❧✐t② ❛♥❞ ❙✇✐t❝❤✐♥❣ ■s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤s

▲❛♣❧❛❝✐❛♥ ❙♣❡❝tr❛❧ ▼♦♠❡♥ts

▲❡t Tk = k

i=✶ µk i ✭k = ✵, ✶, ✷, . . .✮ ❜❡ t❤❡ k✲t❤ s♣❡❝tr❛❧ ♠♦♠❡♥t

❢♦r t❤❡ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥ s♣❡❝tr✉♠ ♦❢ ❛ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤ Γ✳ ❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t Γ = (G, σ) ❜❡ ❛ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤ ✇✐t❤ n ✈❡rt✐❝❡s✱ m ❡❞❣❡s✱ t+ ❜❛❧❛♥❝❡❞ tr✐❛♥❣❧❡s✱ t− ✉♥❜❛❧❛♥❝❡❞ tr✐❛♥❣❧❡s✱ ❛♥❞ ✈❡rt❡① ❞❡❣r❡❡s d✶, d✷, . . . , dn✳ ❲❡ ❤❛✈❡ T✶ =

n

• i=✶

di, T✷ = ✷m+

n

• i=✶

d✷

i , T✸ = ✻(t−−t+)+✸ n

• i=✶

d✷

i + n

• i=✶

d✸

i .

Pr♦♦❢ ✭❋♦r♠✉❧❛ ❢♦r

✸✮✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ✸

tr

✸

tr

✸

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✷

✸tr

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❋r♦♠ tr

✷

✵✱ tr

✷ ✶ ✷✱ ❛♥❞ tr ✸

✻ ✱ ✇❡ ❣❡t t❤❡ ❛ss❡rt✐♦♥✳

P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❈♦s♣❡❝tr❛❧✐t② ❛♥❞ ❙✇✐t❝❤✐♥❣ ■s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤s

▲❛♣❧❛❝✐❛♥ ❙♣❡❝tr❛❧ ▼♦♠❡♥ts

▲❡t Tk = k

i=✶ µk i ✭k = ✵, ✶, ✷, . . .✮ ❜❡ t❤❡ k✲t❤ s♣❡❝tr❛❧ ♠♦♠❡♥t

❢♦r t❤❡ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥ s♣❡❝tr✉♠ ♦❢ ❛ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤ Γ✳ ❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t Γ = (G, σ) ❜❡ ❛ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤ ✇✐t❤ n ✈❡rt✐❝❡s✱ m ❡❞❣❡s✱ t+ ❜❛❧❛♥❝❡❞ tr✐❛♥❣❧❡s✱ t− ✉♥❜❛❧❛♥❝❡❞ tr✐❛♥❣❧❡s✱ ❛♥❞ ✈❡rt❡① ❞❡❣r❡❡s d✶, d✷, . . . , dn✳ ❲❡ ❤❛✈❡ T✶ =

n

• i=✶

di, T✷ = ✷m+

n

• i=✶

d✷

i , T✸ = ✻(t−−t+)+✸ n

• i=✶

d✷

i + n

• i=✶

d✸

i .

Pr♦♦❢ ✭❋♦r♠✉❧❛ ❢♦r T✸✮✳ ❲❡ ❤❛✈❡ T✸ = tr (D − A)✸ = tr D✸ + ✸tr A✷D − ✸tr AD✷ − tr A✸. ❋r♦♠ tr AD✷ = ✵✱ tr A✷D = n

i=✶ d✷ i ✱ ❛♥❞ tr (A✸) = ✻(t+ − t−)✱

✇❡ ❣❡t t❤❡ ❛ss❡rt✐♦♥✳

P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❈♦s♣❡❝tr❛❧✐t② ❛♥❞ ❙✇✐t❝❤✐♥❣ ■s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤s

❆ ❣❡♥❡r❛❧ r❡s✉❧t

❋r♦♠ t❤❡ ✜rst t❤r❡❡ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥ s♣❡❝tr❛❧ ♠♦♠❡♥ts ✇❡ ❞❡❞✉❝❡✿ ❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t Γ = (G, σ) ∼ Σ = (H, σ′)✳ ❚❤❡♥✱ ✭✐✮ Γ ❛♥❞ Σ ❤❛✈❡ t❤❡ s❛♠❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❡rt✐❝❡s ❛♥❞ ❡❞❣❡s❀ ✭✐✐✮ Γ ❛♥❞ Σ ❤❛✈❡ t❤❡ s❛♠❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❜❛❧❛♥❝❡❞ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts❀ ✭✐✐✐✮ Γ ❛♥❞ Σ ❤❛✈❡ t❤❡ s❛♠❡ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥ s♣❡❝tr❛❧ ♠♦♠❡♥ts❀ ✭✐✈✮ Γ ❛♥❞ Σ ❤❛✈❡ t❤❡ s❛♠❡ s✉♠ ♦❢ sq✉❛r❡s ♦❢ ❞❡❣r❡❡s❀ ✭✈✮ ✻(t−

Γ − t+ Γ ) + n i=✶ dG(vi)✸ = ✻(t− Σ − t+ Σ ) + n i=✶ dH(vi)✸✳

P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❈♦s♣❡❝tr❛❧✐t② ❛♥❞ ❙✇✐t❝❤✐♥❣ ■s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤s

■♥t❡r❧❛❝✐♥❣ ❚❤❡♦r❡♠

❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t ✐s t❤❡ ✐♥t❡r❧❛❝✐♥❣ t❤❡♦r❡♠ ✐♥ t❤❡ ❡❞❣❡ ✈❛r✐❛♥t✳ ■t ❝❛♥ ❜❡ ❞❡❞✉❝❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ♦r❞✐♥❛r② ✈❡rt❡① ✈❛r✐❛♥t ✐♥t❡r❧❛❝✐♥❣ t❤❡♦r❡♠ ❢♦r t❤❡ ❛❞❥❛❝❡♥❝② ♠❛tr✐①✳ ❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t Γ = (G, σ) ❜❡ ❛ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤ ❛♥❞ Γ − e ❜❡ t❤❡ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ Γ ❜② ❞❡❧❡t✐♥❣ t❤❡ ❡❞❣❡ ❡✳ ❚❤❡♥ µ✶(Γ) ≥ µ✶(Γ−e) ≥ µ✷(Γ) ≥ µ✷(Γ−e) ≥ . . . ≥ µn(Γ) ≥ µn(Γ−e)

P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❈♦s♣❡❝tr❛❧✐t② ❛♥❞ ❙✇✐t❝❤✐♥❣ ■s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤s

❙♦♠❡ ✇♦r❦ ❞♦♥❡ ❛♥❞ s♦♠❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ✐♥✈❡st✐❣❛t✐♦♥s

❙♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥✴❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s ❛❧r❡❛❞② ✐♥✈❡st✐❣❛t❡❞✿ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥ ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ❢r✐❡♥❞s❤✐♣ ❣r❛♣❤s ✭❋r❛♥❝❡s❝♦ ❇❡❧❛r❞♦✱ ❏✳❋✳ ❲❛♥❣✮❀ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥ ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤s ✭✇✐t❤ ❋r❛♥❝❡s❝♦ ❇❡❧❛r❞♦✮❀ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ♠❛♥② ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ❝❧❛ss❡s t❤❛t st✐❧❧ ❤❛✈❡ ♥♦t ❜❡❡♥ ✐♥✈❡st✐❣❛t❡❞✿ ❙✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ✇✐t❤ s♠❛❧❧ ❧❛r❣❡st ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡✱ s✐❣♥❡❞ ❜✐❝②❝❧✐❝ ❣r❛♣❤s✱ ♣❛t❤s ❛♥❞ ❝②❝❧❡s✳✳✳

P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❈♦s♣❡❝tr❛❧✐t② ❛♥❞ ❙✇✐t❝❤✐♥❣ ■s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤s

❙✐❣♥❡❞ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤s

❚❤❡ t❤❡♦r② ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❚r❡❡s ❞❡❣❡♥❡r❛t❡s t♦ t❤❡ t❤❛t ♦❢ ✉♥s✐❣♥❡❞ tr❡❡s s✐♥❝❡ ❛❧❧ tr❡❡s ♦♥ t❤❡ s❛♠❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ❣r❛♣❤ ❛r❡ s✇✐t❝❤✐♥❣ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✳ ❙♦ t❤❡ ✜rst ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧ ❝❛s❡ ✐s t♦ ❝♦♥s✐❞❡r ✉♥✐❝②❝❧✐❝ ❣r❛♣❤s✳ ❙♦✱ ✇❡ ♥♦✇ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ s✐❣♥❡❞ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤s✳ ❇② ✇❡ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤ ✇❤♦s❡ ❣✐rt❤ ✐s ❛♥❞ t❤❡ ♦r❞❡r ✐s ✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ✐s ❛ ✉♥✐❝②❝❧✐❝ ❣r❛♣❤✱ t❤❡♥ ✐t ❛❞♠✐ts ♦♥❧② t✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t ♥♦♥✲❡q✉✐✈❛❧❡♥t s✐❣♥❛t✉r❡s✿ t❤❡ ❛❧❧ ♣♦s✐t✐✈❡ ❡❞❣❡s ✱ ❛♥❞ t❤❡ ♦♥❡ ✇❤✐❝❤ ♠❛❦❡s t❤❡ ❝②❝❧❡ ✉♥❜❛❧❛♥❝❡❞ t❤❛t ✇✐❧❧ ❜❡ ❞❡♥♦t❡❞ ❜② ✳ ❚❤❡ s✐❣♥❡❞ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤

✻ ✾

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• ❅

❅ ❅ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣

❚❤❡ s✐❣♥❡❞ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤ (L✻,✾, ¯ σ)✳

P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❈♦s♣❡❝tr❛❧✐t② ❛♥❞ ❙✇✐t❝❤✐♥❣ ■s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤s

❆❧❣❡❜r❛✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ s✐❣♥❡❞ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤

❋♦r ❛ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤ Γ✱ µ✶ ≥ µ✷ ≥ · · · ≥ µn ≥ ✵ ❛r❡ t❤❡ L✲❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s✳ ▲❡♠♠❛ ▲❡t (Lg,n, σ) ❜❡ ❛ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤✳ ❚❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡ ✺ > µ✶(Lg,n, σ) > ✹ > µ✷(Lg,n, σ). Pr♦♦❢ ❙✐♥❝❡ µ✶(Γ) < ∆✶ + ∆✷✱ ❛♥❞ t❤❡ ❧❛r❣❡st ✈❡rt❡① ❞❡❣r❡❡s ♦❢ (Lg,n, σ) ❛r❡ ✸ ❛♥❞ ✷✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ µ✶(Lg,n, σ) < ✺✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ♣❛t❤ Pn ✐s ❛♥ ❡❞❣❡✲❞❡❧❡t❡❞ s✉❜❣r❛♣❤✱ ❜② ■❚ µ✶(Lg,n, σ) ≥ ✹ > µ✶(Pn, σ) ≥ µ✷(Lg,n, σ). ❋✐♥❛❧❧②✱ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ♣r♦✈❡ t❤❛t ✹ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❛♥ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ s✐♥❝❡ ψ((Lg,n, σ), ✹) = ✵✳

P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❈♦s♣❡❝tr❛❧✐t② ❛♥❞ ❙✇✐t❝❤✐♥❣ ■s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤s

❚❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦s♣❡❝tr❛❧ ♠❛t❡s

▲❡♠♠❛ ▲❡t Γ ∼ (Lg,n, σ)✱ t❤❡♥ Γ ❤❛s t❤❡ ❞❡❣r❡❡ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ (Lg,n, σ)✳ ❋r♦♠ µ✶(Lg,n, σ) < ✺✱ ✐t ✐s ∆(Γ) < ✹✱ ♦t❤❡r✇✐s❡ K✶,✹ ⊆ Γ ❛♥❞✱ ❜② ■❚✱ ✇❡ ❣❡t µ✶(Γ) ≥ ✺✳ ▲❡t ni ❜❡ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❡rt✐❝❡s ✇❤♦s❡ ❞❡❣r❡❡ ✐s i✱ ✇❤❡r❡ ✵ ≤ i ≤ ✸✳ ❋r♦♠ t❤❡ s♣❡❝tr❛❧ ♠♦♠❡♥ts ✇❡ ❞❡❞✉❝❡✿    n✵ + n✶ + n✷ + n✸ = n n✶ + ✷n✷ + ✸n✸ = ✷n n✶ + ✹n✷ + ✾n✸ = ✹n + ✷. ❚❤❡ ✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥ ✐s n✵ = ✵✱ n✶ = ✶✱ n✷ = n − ✷ ❛♥❞ n✸ = ✶✳ ❙♦ Γ ❝♦♥s✐sts ♦❢ ❛ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤ ✇✐t❤ ♣♦ss✐❜❧② ♦♥❡ ♦r ♠♦r❡ ❝②❝❧❡s✳

P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❈♦s♣❡❝tr❛❧✐t② ❛♥❞ ❙✇✐t❝❤✐♥❣ ■s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤s

▲✲s♣❡❝tr❛ ♦❢ ♣❛t❤s ❛♥❞ ❝②❝❧❡s

▲❡♠♠❛ ▲❡t Pn ❛♥❞ Cn ❜❡ t❤❡ ♣❛t❤ ❛♥❞ t❤❡ ❝②❝❧❡ ♦♥ n ✈❡rt✐❝❡s✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ▲❡t ❙♣❡❝L(Γ) ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ♠✉❧t✐s❡t ♦❢ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ♦❢ L(Γ)✳ ❙♣❡❝L (C✷n, +) = {✷ + ✷ ❝♦s ✷k ✷nπ, k = ✵, ✶, . . . , ✷n − ✶}; ❙♣❡❝L (C✷n+✶, +) = {✷ + ✷ ❝♦s ✷k + ✶ ✷n + ✶π, k = ✵, ✶, . . . , ✷n}; ❙♣❡❝L (C✷n, ¯ σ) = {✷ + ✷ ❝♦s ✷k + ✶ ✷n π, k = ✵, ✶, . . . , ✷n − ✶}; ❙♣❡❝L (C✷n+✶, ¯ σ) = {✷ + ✷ ❝♦s ✷k ✷n + ✶π, k = ✵, ✶, . . . , ✷n}; ❙♣❡❝L (Pn) = {✷ + ✷ ❝♦s k nπ, k = ✶, ✷, . . . , n}.

P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❈♦s♣❡❝tr❛❧✐t② ❛♥❞ ❙✇✐t❝❤✐♥❣ ■s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤s

▲✲s♣❡❝tr❛ ♦❢ ❝②❝❧❡s

❋r♦♠ t❤❡ ♣r❡✈✐♦s ❧❡♠♠❛ ✇❡ ❣❡t t❤❛t (C✷n, +) ∼ (Cn, +) ∪ (Cn, ¯ σ)❀ ❙♣❡❝L (C✷n+✶, +) ⊇ ❙♣❡❝L (Cd, +) ❢♦r ❛♥② d ❞✐✈✐s♦r ♦❢ ✷n + ✶❀ ❙♣❡❝L (C✷n+✶, ¯ σ) ⊇ ❙♣❡❝L (Cd, ¯ σ) ❢♦r ❛♥② d ❞✐✈✐s♦r ♦❢ ✷n + ✶❀ ❙♣❡❝L (C✷n+✶, ¯ σ) ⊇ ❙♣❡❝L (Cd, ¯ σ) ♣r♦✈✐❞❡❞ t❤❛t ✷n

d ✐s ♦❞❞❀

❙♣❡❝L (C✷n, +) ⊇ ❙♣❡❝L (Cd, +) ♣r♦✈✐❞❡❞ t❤❛t ✷n

d ✐s ❡✈❡♥✳

❚❤❡ ❧❡♠♠❛ ❜❡❧♦✇ ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s✳ ▲❡♠♠❛ ▲❡t (C✷n, +) ❜❡ ❛ ❡✈❡♥ ❜❛❧❛♥❝❡❞ ❝②❝❧❡ ❛♥❞ ❧❡t ✷n = ✷t+✶r✱ ✇❤❡r❡ t ❛♥❞ r ❛r❡ ♣♦s✐t✐✈❡ ✐♥t❡❣❡r ❛♥❞ r ✐s ♦❞❞✳ ❋♦r ✵ ≤ s ≤ t✱ ■❢ r ≥ ✸✱ t❤❡♥ (C✷t+✶r, +) ∼ (C✷sr, +) t

i=s(C✷ir, ¯

σ)❀ ■❢ r = ✶ t❤❡♥ (C✷t+✶, +) ∼ (C✷s, +) t

i=s(C✷i, ¯

σ)✳

P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❈♦s♣❡❝tr❛❧✐t② ❛♥❞ ❙✇✐t❝❤✐♥❣ ■s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤s

❚❤❡ ❝②❝❧❡s ❤❛✈❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ♦❢ ♠✉❧t✐♣❧✐❝✐t② t✇♦✳ ❍❛s t❤❡ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ♠✉❧t✐♣❧❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s❄ ❚❤❡♦r❡♠ ❚❤❡ s✐❣♥❡❞ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤ (Lg,n, σ) = Λ ❤❛s s✐♠♣❧❡ L✲❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ✐❢

• ❈❉(g, n) = ✶✳

■❢ ●❈❉(g, n) = d ≥ ✷✱ t❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡✿ ✐❢ g ✐s ♦❞❞✱ t❤❡♥ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ♦❢ Λ ♦❢ ♠✉❧t✐♣❧✐❝✐t② t✇♦ ❛r❡ t❤♦s❡ ♦❢ (Cd, σ)❀ ✐❢ g ✐s ❡✈❡♥✱ d

g ♦❞❞ ✭r❡s♣✳✱ ❡✈❡♥✮✱ ❛♥❞ σ = +✱ t❤❡♥ t❤❡

❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ♦❢ Λ ♦❢ ♠✉❧t✐♣❧✐❝✐t② t✇♦ ❛r❡ t❤♦s❡ ♦❢ (Cd, +) ✭r❡s♣✳✱ (C✷d, +)✮❀ ✐❢ g ✐s ❡✈❡♥ ❛♥❞ σ = ¯ σ✱ t❤❡♥ ❢♦r g

d ♦❞❞ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ♦❢ Λ ♦❢

♠✉❧t✐♣❧✐❝✐t② t✇♦ ❛r❡ t❤♦s❡ ♦❢ (Cd, ¯ σ)✱ ✇❤✐❧❡ ❢♦r g

d ❡✈❡♥✱ Λ ❤❛s

❥✉st s✐♠♣❧❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s✳

P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❈♦s♣❡❝tr❛❧✐t② ❛♥❞ ❙✇✐t❝❤✐♥❣ ■s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤s

Pr♦♦❢ ✭s❦❡t❝❤✮

▲❡t µ ❜❡✱ ✐❢ ❛♥②✱ ❛♥ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ♦❢ ♠✉❧t✐♣❧✐❝✐t② t✇♦✱ t❤❡♥ µ ✐s ❛♥ L✲❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ♦❢ (Cg, σ) ∪ Pn−g ✭❜② ■❚✮✳ ■❢ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ s✉❜❞✐✈✐s✐♦♥ √µ = λ ✐s ❛♥ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ♦❢ S(Lg,n, σ) = (L✷g,✷n, σ′)✳ ❇② ❞❡❝♦♠♣♦s✐♥❣ t❤❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❛t t❤❡ ♣❡♥❞❛♥t ♣❛t❤ ❡❞❣❡ ✐♥❝✐❞❡♥t t❤❡ ✈❡rt❡① ♦❢ ❞❡❣r❡❡ ✸ ✇❡ ❤❛✈❡✿ φ(L✷g,✷n, σ′) = φ(C✷g, σ′)φ(P✷n−✷g) − φ(P✷g−✶)φ(P✷n−✷g−✶). ❙✐♥❝❡ λ ✐s ❛ r♦♦t ♦❢ φ(C✷g, σ′) ♦r ❛ r♦♦t ♦❢ φ(P✷n−✷g−✶)✱ t❤❡♥ λ ✐s ♦❢ ♠✉❧t✐♣❧✐❝✐t② t✇♦ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ λ ✐s ❛ r♦♦t ♦❢ ❜♦t❤ φ(C✷g, σ′) ❛♥❞ φ(P✷n−✷g−✶)✱ t❤❛t ✐s✱ µ ✐s ❛♥ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ♦❢ ❜♦t❤ (Cg, σ) ❛♥❞ Pn−g✳ ❚❤❡ ❝❧❛✐♠ ❢♦❧❧♦✇s ❜② ❛♥❛❧②③✐♥❣ ✇❤❡♥ (Cg, σ) ❛♥❞ Pn−g s❤❛r❡ s♦♠❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡✳

P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❈♦s♣❡❝tr❛❧✐t② ❛♥❞ ❙✇✐t❝❤✐♥❣ ■s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤s

❋✐♥❛❧ r❡s✉❧ts

❆❢t❡r ❝♦♠❡ tr✐❝❦② ❧❡♠♠❛s ✭✇❤✐❝❤ ■ ✇✐❧❧ ♥♦t ♣r♦♣♦s❡ ②♦✉✮✱ ✇❡ ✜♥❛❧❧② ❛r❡ ❛❜❧❡ t♦ ♣r♦✈❡ t❤❛t t❤❡ ❝♦s♣❡❝tr❛❧ ♠❛t❡ ✐s ❝♦♥♥❡❝t❡❞✳✳✳ ▲❡♠♠❛ ■❢ Γ ∼ (Lg,n, σ) t❤❡♥ Γ ✐s ❛ s✐❣♥❡❞ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤✳ ❙♦ ✐t r❡♠❛✐♥s t♦ ❝❤❡❝❦ ✇❤❡t❤❡r t✇♦ ♥♦♥ s✇✐t❝❤✐♥❣ ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤s ❝❛♥ ❜❡ ❝♦s♣❡❝tr❛❧✳ ❇✉t t❤❡ ❛♥s✇❡r ✐s ♥❡❣❛t✐✈❡✿ ❚❤❡♦r❡♠ ◆♦ t✇♦ ♥♦♥ s✇✐t❝❤✐♥❣ ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤s ❝❛♥ ❜❡ L✲❝♦s♣❡❝tr❛❧✳

P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❈♦s♣❡❝tr❛❧✐t② ❛♥❞ ❙✇✐t❝❤✐♥❣ ■s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤s

Pr♦♦❢ ✭❙❦❡t❝❤✮

❇② ❙❤✇❡♥❦s✬s ❢♦r♠✉❧❛s ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❞❡❝♦♠♣♦s❡ t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ♦❢ t❤❡ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ♣❛t❤s✳ ▲❡t ς = (−✶)gσ(Λ)✳ ψ(Λ, x) = ✶ x (ψ(Pn−g+✶) + ψ(Pn−g)) x − ✸ x ψ(Pg) − ✷ x ψ(Pg−✶) +✷ς

• − ✶

x✷ ψ(Pg)(ψ(Pn−g) + ψ(Pn−g−✶)). ❚❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ψ(Pn) = (x − ✷)ψ(Pn−✶) − ψ(Pn−✷) ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❛s ❛ ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r r❡❝✉rr❡♥❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥ pn = (x − ✷)pn−✶ − pn−✷, ✇✐t❤ p✵ = ✵ ❛♥❞ p✶ = x ❛s ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✳

P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❈♦s♣❡❝tr❛❧✐t② ❛♥❞ ❙✇✐t❝❤✐♥❣ ■s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❣r❛♣❤s

Pr♦♦❢ ✭❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥✮

■t ✐s ❛ ♠❛tt❡r ♦❢ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ t♦ ❝❤❡❝❦ t❤❛t t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ✐s pn = (y✷n − ✶)(y + ✶) yn(y − ✶) , ✇❤❡r❡ y s❛t✐s✜❡s t❤❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ y✷ − (x − ✷)y + ✶ = ✵✳ ▲❡t Φ(Γ) = yn (y − ✶)✷ ψ(Γ, y) − (y✷n+✷ − ✷y✷n+✶ − ✷y + ✶), t❤❡♥✱ ❜② ❛♣♣❧②✐♥❣ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥✱ ✇❡ ❣❡t Φ(Lg,n, σ) = ✷ςy✷n−g+✷−✷ςy✷n−g+✶+y✷n−✷g+✷+y✷g−✷ςyg+✶+✷ςyg ❋r♦♠ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧✱ t✇♦ s✐❣♥❡❞ ❧♦❧❧✐♣♦♣ ❛r❡ L✲❝♦s♣❡❝tr❛❧ ✐✛ ❜♦t❤ g ❛♥❞ σ(Λ) ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡② ❛r❡ s✇✐t❝❤✐♥❣ ✐s♦♠♦r♣❤✐❝✳

P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞

❚❤❛♥❦ ②♦✉✦

P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s