2103213 Eng Mech I Chapter 2 Force Systems 2.1 - PowerPoint PPT Presentation

ุ ุ 2.7 RECTANGULAR COMPONENTS แรง F กระทําวัตถุที่จุด o แรง อาจแทนดวยแรงบนแกน x,y,z Rectangular components g p Fx,Fy,Fz โดยที่ i,j,k เปน unit vector ตามแกน x,y,z 2

แรง F อาจเขียนไดเปน โดยที่ l m และ n เปน direction cosine ของแกน x y และ z l, m และ n เปน direction cosine ของแกน x, y, และ z 3

แรง F อาจเขียนไดเปน โดยที่ เปน unit vector ทมทศตาม F ปน nit ecto ที่มีทิศตาม F 4

a) การกําหนด vector ดวยขนาดและจุด 2 จุด 5

b) การกําหนด vector ดวยขนาดและมุม 2 มุม 6

ี Dot Product Dot product ของ P กับ Q หมายถึง กรณีของ retangular component l 7

Dot Product ในกรณีของ n เปน unit vector ทีมีทิศใดๆ ี่ ี ิ ใ F n = F.n เปนปริมาณ scalar F n F.n เปนปรมาณ scalar F n = ( F.n)n = F.nn เปนปริมาณ vector 8

Angle between Two Vectors Θ เปนมุมระหวาง F กับ n F.n = F n cos Θ [ [n=1] 1] F.n = F cos Θ F.n F cos Θ Θ = cos -1 ( F.n )/F 9

Non-intersection Vectors สามารถหามุม ระหวาง 2 vectors ที่ ระหวาง 2 vectors ท ไมตัดกันได โดย กําหนดให vector กาหนดให vector หนึ่งเปน Free Vector Vector 10

Examples � Vector Operation � Vector Operation � Example 2b.1 11

2.8 Moment and Couple 3-D 12

ิ ึ่ ี่ Moment of force แรง F กระทําบน rigid body จะทําให เกิด moment ของแรงรอบจุด o ซึงเปน t ป จุดที่กําหนดขึ้น มีทิศตามกฎมือขวา โ โดยที r เปน position vector ป จาก o ไปยังแนวแรง 13

การคํานวณดวย 14

Moment about x, y and z-axis 15

Varginon’s Theorem ผลรวมของ moment จากการ กระทําของแรงหลายแรง กระทาของแรงหลายแรง M o แทนผลรวมของ moment รอบจุด o 16

Couples in 3-D แรงสองแรงที่มีขนาดเทากันทิศ ตรงกันขามกระทําบนวัตถเกร็ง ตรงกนขามกระทาบนวตถุเกรง กําหนดจุด o เปนจุดใดๆ แรงทั้ง สองมี position vector r และ r สองม position vector r A และ r B จากจุด o โมเม็นตรอบจุด o ที่ เกิดขึ้น เกดขน 17

Monent about arbitrary axis M o เปน moment ของแรง F รอบจุด 0 λ เปนทิศใดๆ λ เปนทศใดๆ M λ เปน moment ของแรง F รอบแกน λ M λ = (r x F).nn | M λ | = (r x F) n | M λ | = (r x F).n 18

Examples � Example 2b.2 � Example 2b.3 � Example 2b.3 � Example 2b.4 19

2.9 Resultants ผลของแรงที่กระทําตอ rigid body 20

ิ  ้ ู Resultants • พิจารณาแรง F1 , F2 และ F3 กระตอ rigid body รูป (a) F1 F2 F3 i id b d ป ( ) • จุด O เปนจุดใด ยายแรงทั้งสามไปที่ o จะเกิด couple M1 , M2 และ M3 ขึ้นเปนผลจากการยายแรง รูป (b) • รวมแรงทั้งสาม รวม couple ทั้งสาม รูป (c) p ( ) 21

22

Type of Forces � Concurrent forces � Parallel forces � Parallel forces � Coplanar forces � General forces in 3D 23

 ี ั ื ี Wrench Resultants เมื่อ Resultant force กับ Resultant couple อยูบน เสนตรงเดียวกัน หรือ unit vector ของ M และ R มี ขนาดเทากัน ลักษณะนี้เรียกวา Wrench 24

่ การสราง Wrench • สรางระนาบที่ประกอบดวย M และ R • สรางอีกระนาบที่ตั้งฉากกับ • สรางอกระนาบทตงฉากกบ ระนาบเดิม โดยให R วางอยู ตามแนวตัดของระนาบ ตามแนวตดของระนาบ • แบง M ออกเปน M1 และ M2 ที่ตั้งฉากกัน โดยที่ M1 ่ ้ วางตามแนว R 25

ุ การสราง Wrench ( ตอ ) • ยุบรวม M2 กับ R เปน R ที่ มีตําแหนงเปลี่ยนไป • แลวนํา couple M1 วางตาม • แลวนา couple M1 วางตาม แนว R • จะได Wrench resultant 26

Examples � Example 2b_5 � Example 2b 6 � Example 2b_6 27

Example 2.1(Prob 2/2) When the load L is 7m from the pivot at B, the tension T in the cable has a magnitude of 9 kN. Express T as a vector using the unit vector i and j . กําหนดให tension T = 6m 9kN ตองการ Express T as a vector using r r i, j tan 1 6 − Sol θ = 31 o = 10 r r r T = Tn ,n เปน unit vector ตามแนว A ไป C r r v = + o o n cos31 i sin31 j [T = 9 kN ] r r v = + o o T 9 cos31 i 9 sin31 j r r v . kN = + T 7 7 . i 4 6 j Ans. 2--9

Example 2.3 Calculate the moment of the 250-N force on the handle of the monkey wrench about the center of the bolt. กําหนดให แรง 250 N กระทําบน monkey wrench ตองการ โมเมนตของแรง 250 N บนจุดศูนยกลางของ bolt

v วิธีทํา r เปน position vector จากจุดศูนยกลาง bolt ไปยัง v v v แนวแรง = + 0 200 . 0 030 . m r i j v v v = − − o o 250 sin 15 250 cos 15 N F i j v v v v v v v = × = + × − ⋅ M r F (.200i .030j) (64.7i 242j) N m 0 v v v = − + − ⋅ M (0.200)( 242)k (.030)(64.7)( k) N m 0 v v = − ⋅ M 46.4k N m 0 โมเมนตรอบศูนยกลาง bolt เปน 46.4 N.m CW Ans.

Example 2.4 (prob2/60) The bracket is fastened to the girder by means of the two rivets A and B and supports the 2-kN force. Replace this force by a force acting along the centerline between the rivets and a couple. Then redistribute this force and couple by replacing it by two forces, one at A and the other at B , and ascertain the forces supported by the rivets กําหนดให แรง 2kN กระทํา บน bracket ตองการ ใหแทนแรง 2 kN ที่จุดกึ่งกลางระหวาง A กับ B และ couple แลวกระจาย couple ออกเปนสองแรงกระทําที่ A และ B แลวหาแรงที่ กระทําที่ A และ B

วิธีทํา 1) เมื่อยาย F = 2 kN ไป C กึ่งกลาง A กับ B จะมี couple M เกิดขึ้น M=2000 x 0.225N.m =450 N.m CCW 2) Couple M แทนดวยสองแรง F 1 ที่ A และ -F 1 ที่ B 450 1 = = = F 1800 N 18 . kN 0.250 3) แรง F ขนาด 2 kN แยกออกเปนสองแรง F/2 = 1kN ที่ A และ F/2 = 1kN ที่ B 4) ที่ A มีแรงกระทํา FA = 1-1.8 = -0.8 kN F A =0.8 kN มีทิศไปทางซาย Ans. ที่ B มีแรงกระทํา F B= 1.8 + 1.0 = 2.8 kN F B= 2.8 kN มีทิศไปทางขวา Ans.

Example 2.5 Calculate the y-coordinate of the point on the y-axis through which the resultant of the three forces and couple must pass. กําหนดให ระบบของแรง ประกอบดวย 3 แรงกับ 1 couple ดังในภาพ ตองการ หาตําแหนงของ Resultant ของระบบแรงที่ผาน y -axis ยายแรงทั้ง 3 และ couple มาไวที่ o วิธีทํา จะมี couple M = -(100 x 0.5) +(600 cos 30o x 0.3) - 60 = 45.9 N.m ccw รวมแรงที่ o r v = ∑ [ R F ] v v = − o R ( 100 600 cos 30 ) i v o + (-100 + 600sin30 ) j N v v v = − − R 4196 . i 400 j N 2--1

แทนแรง Rx กับ couple 45.9 N.m ดวยแรง Rx ที่ ระยะ y=d=45.9/419.6 =0.109 m ผลรวมของแรง Rx,Ry คือ R ดังนั้นระยะที่แรงลัพธตัดแกน y ที่ d=109 mm Ans. Varignon’s theorem กําหนดใหแรงลัพธ R ตัดแกน y ที่ (0,y) จาก Varignon’s theorem ผลรวม ของ moment about o Rx(y)+Ry(0)=-60 +600cos30 ˚ (.3)+600sin30 ˚ (0) +100(0) y=0.109 m 2--2

Example 2b.1 The force F has a magnitude of 2 kN and is directed from A to B . Calculate the projection F CD of F onto line CD and determine the angle θ between F and CD กําหนดให แรง F มีขนาด 2 kN จาก A ไป B ตองการ หา projection F CD ของ F บนเสน CD และ หามุมระหวาง F กับ CD วิธีทํา ตําแหนง A(0.4,0.2,0)m B(0,0,0.2)m C(0.4,0.4,0.2)m D(0,0.4,0)m v เปนเวคเตอรจาก A ไป B uuu AB uuu v v v v m = − − + 0.4 0.2 0.2 AB i j k AB = + + = 2 2 2 .4 .2 .2 0.49 m v ให v uuu n AB เปน unit vector ของ AB uuu v v AB = n AB AB v v v − − + 0.4 0.2 0.2 v i j k = n AB 0.49

v v v − − + v v 0.4 0.2 0.2 i j k = = 2( ) kN F Fn AB v เปน direction vector ทางจาก C ไป D 0.49 uuu CD uuu v v v = − − 0.4 0.2 CD i k m = + = 2 2 0.4 0.2 0.45 CD m v ให เปน unit vector จาก C ไป D n CD v v v 0.4 0.2 = − − n i k CD 0.45 0.45 v v ให F cd เปน projection ของ F บน หรือ CD n CD v v = ⋅ [ ] F F n CD CD v v v v v 2 1 = − + ⋅ − − = (.4 .2 .2 ) ( .4 .2 ) 1.1 N F i j k i k cd .49 .45 v v ⋅ F n [ θ = − ] 1 cos F 1 1.1 − θ = = o Ans. cos 57 2

Example 2b.2 The figure is shown. If the magnitude of the moment of F about line CD is 50 N.m, determine magnitude of F . v กําหนดให โมเมนตของแรง F รอบเสน CD เปน 50 N.m v ตองการ หาขนาดของ F วิธีทํา ตําแหนง A(0.4,0.2,0)m B(0,0,0.2)m C(0.4,0.4,0.2)m D(0,0.4,0) v v v v = − − + + + = 2 2 2 AB 04 . i 02 . j 02 . k , AB = 0.4 02 . 02 . 049 . m v v v v = − + + + 2 2 CD ( . 04 i oj 02 . k ), CD = 0.4 02 . = 045 . m v v v v + = 2 2 DA = 0.4i -0.2j + 0k, DA = 0.4 02 . 0.45 m v v v กําหนดให unit vector n , n , n AB CD DA

v v v มีทิศตาม AB CD DA ตามลําดับ , , v v โมเมนตของแรง F รอบจุด D คือ M D uuu v v v v v v ⎡ ⎤ = × = × M r F M DA F ⎣ ⎦ D v v v v w v ( ) ( ) F = − × − − + 0.4 0.2 0.4 0.2 0.2 M i j i j k D 0.49 v v w v ( ) F = − − + 0.4 0.8 0.16 M i j k D 0.49 uuu v ⎡ ⎤ v v v CD = ⋅ ⎢ , = ⎥ M M n n CD D CD CD ⎣ ⎦ CD v v v v v ( ) ( ) 1 F = − + − ⋅ − − ⋅ 0.4 0.8 0.16 0.4 0.2 N m M i j k i k CD 0.49 .45 ⋅ . for = 50 N m subs M CD F ( ) 50= 0.048 × 0.49 0.45 = 345 N F v ขนาดของแรง F มีคา 345 N Ans.

Example 2b.3 The turnbuckle is tightened until the tension in the cable AB equal to 1.2 kN. Write vector expression for the tension T as a force acting on the lever. Calculate the magnitude of the moment of this force about point O . กําหนดให tension in cable AB=1.2 kN v ตองการ หา vector T และโมเมนตของแรงนี้รอบจุด o

วิธีทํา ตําแหนง A(1.6,0,2) m B(2.4,1.5,0) m O(0,0,0)m ให v n AB เปน unit vector มีทิศจาก A ไป B r ⎡ ⎤ AB v = n ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ AB AB v v v + − 08 . i 15 . j 2 k v = n AB + + 2 2 2 08 . 15 . 2 v v v + − 08 . i 15 . j 2 k v = n AB 329 . v [ v ] = = T T n ,T 12 . kN AB AB AB AB v v v + − v 08 . i 15 . j 2 k T = 1.2 kN AB 329 . v v v v = + − T 0 366 . i 0 686 . j 0 915 . k kN ANS. AB

ให v r A เปน position vector มีทิศ จาก O ไป A v v v A = + m r 16 . i 2 k v v M o เปนโมเมนตของแรง T AB รอบจุด o v v [ v ] = × M r T o A AB v v v v = + − T 0366 . i 0 686 . j 0915 . k kN AB v v v v v v ( ) ( ) = × + − M 1.6i + 2k 0366 . i 0 686 . j 0915 . k o v v v v = − + + ⋅ M 1372 . i 2196 . j 1098 . k N m o = + + ⋅ M 1372 . 2 2196 . 2 1098 . 2 N m o = ⋅ M 281 . N m o โมเมนตของแรงดึงรอบจุด o เปน 2.81 N.m Ans.

Example 2b.4 The access door is shown in the figure. If the tension in the chain AB is 100 N, determine the magnitude M of its moment about the hinge axis. กําหนดให ความตึงของโซ AB=100N ตองการ ขนาดของโมเมนต M รอบแกนของบานพับ วิธีทํา ตําแหนง ( ) o o A 1 2 0 9 . , . co s 3 0 , . 0 9 sin 3 0 m = ( ) A 1 2 0 7 8 0 4 5 . , . , . m , ( ) B 0 ,0 ,0 .9 m , C (1 .2 ,0 ,0 ) m v ⎡ ⎤ v A B = n ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A B A B v v v = − − + 1 2 . i 0 7 8 . j 0 4 5 . k v n A B + + 2 2 2 1 2 . 0 7 8 . 0 4 5 . v v v v = − − + n 0 8 . i 0 5 2 . j 0 3 . k A B โดยที่ v n AB เปน unit vector มีทิศจาก A ไป B ให v r B เปน position vector ของ o ไป B v เปน vector ของแรงตึงที่กระทําที่ A ให ¸T AB

v v = 0.9 m r k B v v ⎡ = ⎤ T T n ⎣ ⎦ AB AB AB v v v v ( ) = − − + 100 0.8 0.52 0.3 N T i j k AB v v v ⎡ = × ⎤ M r T ⎣ ⎦ o B AB v v v v v ( ) = × − − + ⋅ M 0.9 100 0.8 0.52 0.3 N m k i j k o v v v = − + ⋅ M 7.2 46.8 N m j i o v v = ⋅ = + M M 46.8 . i N m o x โมเมนตของแรงตึงรอบแกน x หรือแกนของบานพับมีคา 46.8 N.m มี ทิศ +x Ans.

Example 2b.5 The motor mounted on the bracket is aced upon by its 160-N weight, about its shaft resists the 120-N thrust and 25-N.m couple applied to it. Determine the resultant of the system shown in terms of a force R at A and a couple M. กําหนดให มอเตอรหนัก 160 N ยึดกับโครงยึด 120N เปนแรงตาม แนวแกน 25N.m เปน couple ที่กระทําตอมอเตอร v v ตองการ R ที่ A และ couple M วิธีทํา

v v = − F 120 i N 1 v v = − F 160 k N 2 v v = ⋅ M 25 i N m 1 v v v = + r 02 . j . 025 k m 1 v v v = + r 0075 . i 02 . j m 2 v v v v v [ ] = − − ∑ R = F R 120 i 160 j N Ans. A v v [ ( v ) ] = × ∑ M r F A v v v v v v v v ( ) ( ( ) ( ) ) = + + × − + + × − ⋅ M 25 i 02 . j . 025 k 120 i 0075 . i 02 . j 160 k N m A v v v v = − + + ⋅ M 7 i 9 j 24 k N m Ans. A

Example 2b.6 The resultant of a general force system may be expressed as a wrench along a unique line of action. For the force system of example 2b5 determine the coordinates of the point P , which is the intersection of the line of action of the wrench with the x-y plane. กําหนดให prob 2/124 ตองการ หาจุด P(x,y) ที่ wrench ผาน x-y plane v วิธีทํา กําหนดให P เปนจุดตัดของ wrench บน x-y plane R A เปน ผลรวมของแรงที่ A v v ยายแรง R A ไปที่ P มีขนาดเทาเดิมและมีโมเมนตรวมที่ P เปน M P v v v [ ] = × M r F v v v v v v v v ( ) ( ) ( ) = − + × − − + − + + N m ⋅ M xi yj 120 i 160 j 7 i 9 j 24 k P v v v v ( ) ( ) ( ) = − + − + + − M 9 160 x i 7 160 y j 24 120 y k P r M v ให v 1 = P v n n 1 เปน unit vector ของ M P , M P v v v [ ] 1 ( ) ( ) v ( ) = − + − + + − n 9 160 x i 7 160 y j 24 120 y k 1 M P

v ให v R R A , v v 2 = n 2 เปน unit vector ของ A n R A v v = − − v v 120 i 160 j v . = − − n 06 . i 08 j 2 + 2 2 120 160 เนื่องจากจุด P เปนจุดที่ wrench ผานดังนั้น v v = n n 1 2 − 9 160 x ( ) = − 0 6 . ........... 1 M P − + 7 160 y ( ) = − 08 . ..................... 2 M P − 24 120 y ( ) = 0 ........... 3 M P จาก (1),(2),(3) ได x=56.2 mm , y=100 mm, M p = -15 N.m M p, เปนลบแสดงวาเปน negative wrench Ans.

Vector Operation

2.9 Dot Product D P d � Dot product of vectors A and B is written as D t d t f t d B i itt A A·B (Read A dot B ) � Define the magnitudes of A and B and the angle between their tails angle between their tails A·B = AB cos θ where 0 ° ≤ θ ≤ 180 ° � Referred to as scalar R f d t l product of vectors as p result is a scalar

2.9 Dot Product D P d Laws of Operation � 1 Commutative law 1. Commutative law A·B = B·A 2. Multiplication by a scalar a( A·B) = (a A ) ·B = A· (a B ) = ( A·B )a a( A B) = (a A ) B = A (a B ) = ( A B )a 3. Distribution law A· ( B + D ) = ( A·B ) + ( A·D )

2.9 Dot Product D P d � Cartesian Vector Formulation - Dot product of Cartesian unit vectors Dot product of Cartesian unit vectors Eg: i·i = (1)(1)cos0 ° = 1 and i·j = (1)(1)cos90 ° = 0 - Similarly - Similarly i·i = 1 j·j = 1 k·k = 1 i·j = 0 i·k = 1 j·k = 1

2.9 Dot Product D P d � Cartesian Vector Formulation - Dot product of 2 vectors A and B Dot product of 2 vectors A and B A·B = (A x i + A y j + A z k ) · (B x i + B y j + B z k ) = A B ( i·i ) + A B ( i·j ) + A B ( i·k ) = A x B x ( i i ) + A x B y ( i j ) + A x B z ( i k ) + A y B x ( j·i ) + A y B y ( j·j ) + A y B z ( j·k ) + A B ( k·i ) + A B ( k·j ) + A B ( k·k ) + A z B x ( k i ) + A z B y ( k j ) + A z B z ( k k ) = A x B x + A y B y + A z B z Note: since result is a scalar be careful of including Note: since result is a scalar, be careful of including any unit vectors in the result

2.9 Dot Product D P d � Applications - The angle formed between two vectors or Th l f d b t t t intersecting lines θ = cos -1 [( A·B )/( AB )] 0 ° ≤ θ ≤ 180 ° Note: if A·B = 0 cos -1 0= 90 ° A is Note: if A B 0, cos 0 90 , A is perpendicular to B

2.9 Dot Product D P d � Applications A li ti - The components of a vector parallel and perpendicular to a line - Component of A parallel or collinear with line aa’ is defined by A ║ (projection of A onto the line) A ║ = A cos θ ║ - If direction of line is specified by unit vector u ( u = 1), A ║ = A cos θ = A·u A ║ A cos θ A u

2.9 Dot Product D P d � Applications - If A ║ is positive, A ║ has a directional sense If A is positi e A has a directional sense same as u - If A ║ is negative, A ║ has a directional sense If A i ti A h di ti l opposite to u - A ║ expressed as a vector A ║ = A cos θ u ║ = ( A·u ) u

2.9 Dot Product D P d � Applications For component of A perpendicular to line aa’ p p p 1. Since A = A ║ + A ┴ , then A ┴ = A - A ║ then A ┴ A A ║ 2. θ = cos -1 [( A·u )/( A )] then A = A sin θ then A ┴ = A sin θ 3. If A ║ is known, by Pythagorean Theorem = + 2 2 A A A ⊥ ||

2.9 Dot Product D P d � For angle θ between the rope and the beam A, - Unit vectors along the beams, u A = r A / r A - Unit vectors along the ropes, u r = r r / r r - Angle θ = cos -1 ( r A . r r / r A r r ) = cos -1 ( u A · u r ) ( r ) A

2.9 Dot Product D P d � For projection of the force along the beam A - Define direction of the beam u A = r A / r A r A / r A u A - Force as a Cartesian vector F = F ( r / r ) = F u F = F ( r r / r r ) = F u r - Dot product F ║ = F ║ ·u A

4.2 Cross Product Laws of Operations 1 Commutative law is not valid 1. Commutative law is not valid A X B ≠ B X A R th Rather, A X B = - B X A Shown by the right hand rule � Cross product A X B yields a vector opposite in Cross product A X B yields a vector opposite in � � direction to C B X A = -C B X A = -C

4.2 Cross Product Laws of Operations 2 Multiplication by a Scalar 2. Multiplication by a Scalar a ( A X B ) = ( a A ) X B = A X ( a B ) = ( A X B ) a 3. Distributive Law A X ( B + D ) = ( A X B ) + ( A X D ) Proper order of the cross product must be � maintained since they are not commutative

4.2 Cross Product Cartesian Vector Formulation � Use C = AB sin θ on pair of Cartesian unit � Use C = AB sin θ on pair of Cartesian unit vectors Example For i X j , ( i )( j )(sin90 ° ) For i X j , ( i )( j )(sin90 ) = (1)(1)(1) = 1

4.2 Cross Product Laws of Operations � In a similar manner, I i il i X j = k i X k = - j i X i = 0 j X k = i j X i = - k j X j = 0 k X i = j k X i = j k X j = i k X j = - i k X k = 0 k X k = 0 � Use the circle for the results. Crossing CCW yield positive and CW yields negative results and CW yields negative results