2103213 Eng Mech I Chapter 2 Force Systems 2.1 - - PowerPoint PPT Presentation

2103213 Eng Mech I

Chapter 2 Force Systems

2.1 บทนํา

การศึกษาเรื่องของแรงสามารถนําไปใช ประโยชนไดทั้งสวนของ Statics และ Dynamics ประโยชนไดทงสวนของ Statics และ Dynamics ตลอดจน Mechanics of Materials , Fluid Mechanics และวิชาอื่นๆ ทางดานวิศวกรรรม Mechanics และวชาอนๆ ทางดานวศวกรรรม

2.2 Forces

แรง เปนปริมาณเวคเตอร การรวมแรงกันไดตามกฎสี่เหลี่ยมดานขนาน การรวมแรงกนไดตามกฎสเหลยมดานขนาน (parallelogram law) แรงถูกกําหนดดวย ขนาด ทิศทาง และจุด กระทํา แรงที่กระทําตอวัตถุมี 2 ลักษณะ การสัมผัสโดยตรง

• การสมผสโดยตรง
• การสงแรงในระยะหาง

แรง(ตอ)

การกระทําของแรงอาจแบงอีกไดเปน แรงที่กระทําลงเปนจด (concentrated force)

• แรงทกระทาลงเปนจุด (concentrated force)
• แรงกระจาย (distributed force)

แรง(ตอ)

การกระทํ าของแรงแบ งตามผล ผลภายนอก ผลภายใน (External ) (Internal) (External ) (Internal)

• applied forces
• stress,strain
• reactive forces

E M h i M h i f

• Eng. Mechanics

Mechanics of Materials

Principle of Transm issibility

ตัวอยาง ในรูปแรง P อาจจะทําบนจุด A หรือ B โดยที่ผลภายนอกที่จุดรองรับ O และ C ยังคง ุ เหมือนเดิม ( แรงปฏิกิริยาที่พื้นมีตอชิ้นงาน ที่ O และ C เทาเดิม ) สรุปไดวาแรงที่กระทําบน rigid body สามารถ เลื่อนไดตามแนวเสนตรงโดยไมทําใหผล ง ภายนอกเปลี่ยนแปลง เรียกวา Principle of Transmissibility ลักษณะเชนนี้ทําใหแรงที่ y กระทําตอ rigid body สามารถแทนดวย sliding vector g

Scalar & Vector Notation

Vector:

F v

F F

F

|F|

F v

|F| F

Scalar: |F|

F

|F| F

การรวมแรง

การบวก

การรวมแรง(ตอ)

การลบ

การรวมแรง(ตอ)

การแยกแรงหรือเวคเตอร

การรวมแรง(ตอ)

การรวมแรงที่มากกวา 2 แรง

Tw o - Dim ensional Force System s y 2 .3 Rectangular Com ponents

แรง F สามารถแทนดวยสองแรงบนแกน x และ y บนแกนตั้งฉากซึ่งกันและกัน  Fx และ Fy เปน vector components ของ F อาจเขียนไดเปน F = Fx+ Fy หรือ F F i F j F = Fxi+ Fyj โดยที่ i และ j เปน Unit Vector ตามแกน x และ y ตามลําดับ y ตามลาดบ Fx = F cos θ Fy = F sin θ

F

2 y 2 x 2

F F F + =

x y 1

F F tan− = θ

แรงอาจจะแทนดวย F = Fn

โดยที่ F เปนขนาดของแรง ่ n เปน unit vector ที่มีทิศเดียวกับ F

Example

Example 2.1

Example 2.2 The link is subjected to two forces F The link is subjected to two forces F1 and F2. Determine the magnitude and

• ientation of the es ltant fo ce
• rientation of the resultant force.

Solution Scalar Notation Scalar Notation

Σ = F F

x Rx

: Σ → = − = F F N N N FRx 8 . 236 45 sin 400 30 cos 600

• +

= Σ = N N F F F

Ry y Ry

45 cos 400 30 sin 600 :

• ↑

= N 8 . 582

Solution Resultant Force

( ) ( )

N N N FR 629 8 . 582 8 . 236

2 2 +

=

From vector addition, Direction angle θ is

N 629 =

Direction angle θ is

8 582 ⎞ ⎛ N

• 9

67 8 . 236 8 . 582 tan 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

−

N N θ

• 9

. 67 =

Solution

Cartesian Vector Notation Cartesian Vector Notation

F1 = { 600cos30°i + 600sin30°j } N F2 = { -400sin45°i + 400cos45°j } N

2

{ j } Thus, FR = F1 + F2 = (600cos30°N - 400sin45°N)i + (600sin30°N + 400cos45°N)j = {236.8i + 582.8j}N

2. .4 4 Moment Moment

แรงนอกจากจะทําใหวัตถุมี แนวโนมที่จะเคลื่อนที่ตามแนวแรง แนวโนมทจะเคลอนทตามแนวแรง แลว แรงยังทําใหเกิดแนวโนมที่จะ หมนวัตถนั้นรอบแกน แกนนี้ตองไม หมุนวตถุนนรอบแกน แกนนตองไม ตัดกับแนวแรงหรือขนานกับแนว แรง แนวโนมที่ทําใหวัตถหมน แรง แนวโนมททาใหวตถุหมุน เรียกวา Moment of force

Moment of force เปนปริมาณ 

×F r M

เวคเตอร

i θ × = F M F r M sinθ = F r M Fd M =

Varignon’s theorem Varignon’s theorem Varignons theorem Varignons theorem

โมเมนตของแรงรวมรอบจุดใด ๆ มีคาเทากับผลรวมของโมเมนต มคาเทากบผลรวมของโมเมนต ของแรงยอยรอบจุดนั้น

Example Example Example Example

Example 2 3 Example 2.3

2. .5 5 Couple Couple

Moment of a couple of two forces

่ Couple คือ โมเมนตของแรงสองแรงที่มี ขนาดเทากัน และมีทิศตรงกันขามกัน และไมเปนเสนตรงเดียวกัน couple เปน free vector

Moment of a couple

Couple is a free vector Couple is a free vector Couple is a free vector Couple is a free vector

จะเห็นไดวา Couple เปน p moment ที่ไมขึ้นกับ moment center o ดังนั้นจึงเปน free vector มีทิศตั้งฉากกับ plane of couple การหาทิศทางของ moment of couple โดยใชกฏมือขวา

Force Force-couple system couple system Force Force-couple system couple system

การแทนแรงดวยแรงและ couple p เมื่อตองการยายแรงจาก A ไป B 1) ที่ B ใสแรง F และ -F มีผลเหมือนเดิม ) 2) ที่ A แรง F และ -F ที่ B รวมเปน couple มีขนาด Fd 3) ผลลัพธคือแรงที่ B ปริมาณ F และ couple ขนาด Fd ) p

Example Example

Example 2 4 Example 2.4

2 6 Resultants Resultants 2.6 6 Resultants Resultants

ระบบแรงที่กระทําตอ rigid body สามารถจะรวมใหอยในรปแบบงาย ๆ สามารถจะรวมใหอยูในรูปแบบงาย ๆ ผลลัพธของแรงหรือ Resultantเปน รปแบบที่งายที่สด รูปแบบทงายทสุด พิจารณา co-planar forces ที่กระทําตอ p rigid body

การกําหนด การกําหนด Line of Resultant Line of Resultant การกาหนด การกาหนด Line of Resultant Line of Resultant

1) กําหนดจุดใด o ซึ่งหางจากแนว F F F เปน d d d F1, F2, F3 เปน d1,d2,d3 2) ยายแรง F1, F2, F3 ไปที่จุด o 3) รวมแรง รวม couple 3) รวมแรง รวม couple 4) แทนแรง R และ Mo ไดแรงที่แนว หางจาก o เปน ระยะ d = Mo/R

Example Example Example Example

Example 2 5 Example 2.5 Example 2/8

3-D Force System

1

2.7 RECTANGULAR COMPONENTS

แรง F กระทําวัตถุที่จุด o แรง ุ ุ อาจแทนดวยแรงบนแกน x,y,z Rectangular components g p Fx,Fy,Fz โดยที่ i,j,k เปน unit vector ตามแกน x,y,z

2

แรง F อาจเขียนไดเปน โดยที่ l m และ n เปน direction cosine ของแกน x y และ z l, m และ n เปน direction cosine ของแกน x, y, และ z

3

แรง F อาจเขียนไดเปน โดยที่ ปน nit ecto ที่มีทิศตาม F เปน unit vector ทมทศตาม F

4

a) การกําหนด vector ดวยขนาดและจุด 2 จุด

5

b) การกําหนด vector ดวยขนาดและมุม 2 มุม

6

Dot Product

Dot product ของ P กับ Q หมายถึง ี l กรณีของ retangular component

7

Dot Product

ในกรณีของ n เปน unit vector ี่ ี ิ ใ ทีมีทิศใดๆ Fn = F.n เปนปริมาณ scalar Fn F.n เปนปรมาณ scalar Fn = (F.n)n = F.nn เปนปริมาณ vector

8

Angle between Two Vectors

Θ เปนมุมระหวาง F กับ n F.n = F n cos Θ [ 1] [n=1] F.n = F cos Θ F.n F cos Θ Θ = cos-1(F.n)/F

9

Non-intersection Vectors

สามารถหามุม ระหวาง 2 vectors ที่ ระหวาง 2 vectors ท ไมตัดกันได โดย กําหนดให vector กาหนดให vector หนึ่งเปน Free Vector Vector

10

Examples

Vector Operation Vector Operation Example 2b.1

11

2.8 Moment and Couple 3-D

12

Moment of force

แรง F กระทําบน rigid body จะทําให ิ t ึ่ ป เกิด moment ของแรงรอบจุด o ซึงเปน จุดที่กําหนดขึ้น มีทิศตามกฎมือขวา โ ี่ ป โดยที r เปน position vector จาก o ไปยังแนวแรง

13

การคํานวณดวย

14

Moment about x, y and z-axis

15

Varginon’s Theorem

ผลรวมของ moment จากการ กระทําของแรงหลายแรง กระทาของแรงหลายแรง Mo แทนผลรวมของ moment รอบจุด o

16

Couples in 3-D

แรงสองแรงที่มีขนาดเทากันทิศ ตรงกันขามกระทําบนวัตถเกร็ง ตรงกนขามกระทาบนวตถุเกรง กําหนดจุด o เปนจุดใดๆ แรงทั้ง สองมี position vector r และ r สองม position vector rA และ rB จากจุด o โมเม็นตรอบจุด o ที่ เกิดขึ้น เกดขน

17

Monent about arbitrary axis

Mo เปน moment ของแรง F รอบจุด 0

λเปนทิศใดๆ λ เปนทศใดๆ

Mλ เปน moment ของแรง F รอบแกน λ Mλ = (r x F).nn |Mλ| = (r x F) n |Mλ| = (r x F).n

18

Examples

Example 2b.2 Example 2b.3 Example 2b.3 Example 2b.4

19

2.9 Resultants

ผลของแรงที่กระทําตอ rigid body

20

Resultants

ิ F1 F2 F3  i id b d ป ( )

• พิจารณาแรง F1,F2 และ F3 กระตอ rigid body รูป (a)
• จุด O เปนจุดใด ยายแรงทั้งสามไปที่ o จะเกิด couple M1, M2

้ และ M3 ขึ้นเปนผลจากการยายแรง รูป (b)

• รวมแรงทั้งสาม รวม couple ทั้งสาม รูป (c)

21

p ู ( )

22

Type of Forces

Concurrent forces Parallel forces Parallel forces Coplanar forces General forces in 3D

23

Wrench Resultants

เมื่อ Resultant force กับ Resultant couple อยูบน  ี ั ื ี เสนตรงเดียวกัน หรือ unit vector ของ M และ R มี ขนาดเทากัน ลักษณะนี้เรียกวา Wrench

24

การสราง Wrench

• สรางระนาบที่ประกอบดวย M

และ R

• สรางอีกระนาบที่ตั้งฉากกับ
• สรางอกระนาบทตงฉากกบ

ระนาบเดิม โดยให R วางอยู ตามแนวตัดของระนาบ ตามแนวตดของระนาบ

• แบง M ออกเปน M1 และ

่ ้ ่ M2 ที่ตั้งฉากกัน โดยที่ M1 วางตามแนว R

25

การสราง Wrench (ตอ)

• ยุบรวม M2 กับ R เปน R ที่

ุ มีตําแหนงเปลี่ยนไป

• แลวนํา couple M1 วางตาม
• แลวนา couple M1 วางตาม

แนว R

• จะได Wrench resultant

26

Examples

Example 2b_5 Example 2b 6 Example 2b_6

27

2--9

Example 2.1(Prob 2/2)When the load L is 7m from the pivot at B, the tension T in the cable has a magnitude of 9 kN. Express T as a vector using the unit vector i and j.

กําหนดให tension T = 9kN ตองการ Express T as a vector using

r r i, j

Sol θ =

=

−

tan 1 6 10 31o

r r r T = Tn ,n เปน unit

vector ตามแนว A ไป C

v r r

• n

cos31 i sin31 j = +

[T = 9 kN ]

v r r

• T

cos31 i sin31 j = + 9 9 v r r T i j = + 7 7 4 6 . . kN

Ans.

6m

Example 2.3 Calculate the moment of the 250-N force on the handle of the monkey wrench about the center of the bolt. กําหนดให แรง 250 N กระทําบน monkey wrench ตองการ โมเมนตของแรง 250 N บนจุดศูนยกลางของ bolt

วิธีทํา

v r เปน position vector จากจุดศูนยกลาง bolt ไปยัง

แนวแรง

m v v v r i j = + 0 200 0 030 . . N v v v

• F

i j = − − 250 15 250 15 sin cos

v v v v v v v v v v v v M r F (.200i .030j) (64.7i 242j) N m M (0.200)( 242)k (.030)(64.7)( k) N m M 46.4k N m = × = + × − ⋅ = − + − ⋅ = − ⋅

โมเมนตรอบศูนยกลาง bolt เปน 46.4 N.m CW Ans.

Example 2.4 (prob2/60) The bracket is fastened to the girder by means of the two rivets A and B and supports the 2-kN force. Replace this force by a force acting along the centerline between the rivets and a couple. Then redistribute this force and couple by replacing it by two forces, one at A and the other at B, and ascertain the forces supported by the rivets กําหนดให แรง 2kN กระทํา บน bracket ตองการ ใหแทนแรง 2 kN ที่จุดกึ่งกลางระหวาง A กับ B และ couple แลวกระจาย couple ออกเปนสองแรงกระทําที่ A และ B แลวหาแรงที่ กระทําที่ A และ B

วิธีทํา 1) เมื่อยาย F = 2 kN ไป C กึ่งกลาง A กับ B จะมี couple M เกิดขึ้น M=2000 x 0.225N.m =450 N.m CCW 2) Couple M แทนดวยสองแรง F1ที่ A และ -F1 ที่ B

F 450 0.250

1 =

= = 1800 18 N kN .

3) แรง F ขนาด 2 kN แยกออกเปนสองแรง F/2 = 1kN ที่ A และ F/2 = 1kN ที่ B 4) ที่ A มีแรงกระทํา FA = 1-1.8 = -0.8 kN FA =0.8 kN มีทิศไปทางซาย Ans. ที่ B มีแรงกระทํา FB=1.8 + 1.0 = 2.8 kN FB=2.8 kN มีทิศไปทางขวา Ans.

2--1

Example 2.5 Calculate the y-coordinate of the point on the y-axis through which the resultant of the three forces and couple must pass. กําหนดให ระบบของแรง ประกอบดวย 3แรงกับ 1 couple ดังในภาพ ตองการ หาตําแหนงของ Resultant ของระบบแรงที่ผาน y -axis วิธีทํา ยายแรงทั้ง 3 และ couple มาไวที่ o จะมี couple M = -(100 x 0.5) +(600 cos 30o x 0.3) - 60 = 45.9 N.m ccw รวมแรงที่ o

+ (-100 + 600sin30 N N [ ] ( cos ) ) . r v v v v v v v

• R

F R i j R i j = = − = − −

∑

100 600 30 4196 400

2--2

แทนแรง Rx กับ couple 45.9 N.m ดวยแรงRx ที่ ระยะ y=d=45.9/419.6 =0.109 m ผลรวมของแรง Rx,Ry คือ R ดังนั้นระยะที่แรงลัพธตัดแกน y ที่ d=109 mm Ans. Varignon’s theorem กําหนดใหแรงลัพธ R ตัดแกน y ที่ (0,y) จาก Varignon’s theorem ผลรวม ของ moment about o Rx(y)+Ry(0)=-60 +600cos30˚(.3)+600sin30˚(0) +100(0) y=0.109 m

Example 2b.1 The force F has a magnitude of 2 kN and is directed from A to B. Calculate the projection FCD of F onto line CD and determine the angle θ between F and CD กําหนดให แรงF มีขนาด 2 kN จากA ไป B ตองการ หา projection FCD ของ F บนเสน CD และ หามุมระหวาง F กับ CD วิธีทํา ตําแหนง A(0.4,0.2,0)m B(0,0,0.2)m C(0.4,0.4,0.2)m D(0,0.4,0)m

AB uuu v เปนเวคเตอรจาก A ไป B 0.4 0.2 0.2 AB i j k = − − + uuu v v v v

m

2 2 2

.4 .2 .2 0.49 m AB = + + =

ให v nAB เปน unit vector ของ AB

uuu v

AB

AB n AB = uuu v v

0.4 0.2 0.2 0.49

AB

i j k n − − + = v v v v

0.4 0.2 0.2 2( ) kN 0.49

AB

i j k F Fn − − + = = v v v v v

CD uuu v เปน direction vector ทางจาก C ไป D

2 2

0.4 0.2 0.4 0.2 0.45 CD i k m CD m = − − = + = uuu v v v

ให

CD

n v เปน unit vector จาก C ไป D

0.4 0.2 0.45 0.45

CD

n i k = − − v v v

ให Fcd เปน projection ของ F

v

บน

CD

n v หรือ CD [

CD CD

F F n = ⋅ v v ]

2 1 (.4 .2 .2 ) ( .4 .2 ) 1.1 N .49 .45

cd

F i j k i k = − + ⋅ − − = v v v v v

[

1

cos F n F θ

−

⋅ = v v

]

11.1

cos 57 2 θ

−

= =

• Ans.

Example 2b.2 The figure is shown. If the magnitude of the moment of F about line CD is 50 N.m, determine magnitude of F. กําหนดให โมเมนตของแรง

v F รอบเสน CD เปน 50 N.m

ตองการ หาขนาดของ

v F

วิธีทํา ตําแหนง A(0.4,0.2,0)m B(0,0,0.2)m C(0.4,0.4,0.2)m D(0,0.4,0)

AB i j k CD i

• j

k v v v v v v v v v v v v = − − + + + = = − + + + + = 04 02 02 02 02 049 04 02 02 045 02

2 2 2 2

. . . . . . ( . . ), . . . , AB = 0.4 m CD = 0.4 = m DA = 0.4i -0.2j + 0k, DA = 0.4 0.45 m

2 2 2

กําหนดให unit vector

v v v n n n

AB CD DA

, ,

มีทิศตาม AB CD DA

v v v , ,

ตามลําดับ โมเมนตของแรง

v F รอบจุด D คือ

v M D

( )

( ) ( )

0.4 0.2 0.4 0.2 0.2 0.49 0.4 0.8 0.16 0.49

D D D

M r F M DA F F M i j i j k F M i j k ⎡ ⎤ = × = × ⎣ ⎦ = − × − − + = − − + uuu v v v v v v v v v v w v v v w v ( ) ( )

( )

CD , = CD 1 0.4 0.8 0.16 0.4 0.2 N m 0.49 .45 . for = 50 N m 50= 0.048 0.49 0.45 345 N

CD D CD CD CD CD

M M n n F M i j k i k subs M F F ⎡ ⎤ = ⋅ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = − + − ⋅ − − ⋅ ⋅ × = uuu v v v v v v v v v

ขนาดของแรง

v F มีคา 345 N Ans.

Example 2b.3 The turnbuckle is tightened until the tension in the cable AB equal to 1.2 kN. Write vector expression for the tension T as a force acting on the lever. Calculate the magnitude of the moment of this force about point O. กําหนดให tension in cable AB=1.2 kN ตองการ หา vector

v T

และโมเมนตของแรงนี้รอบจุด o

วิธีทํา ตําแหนง A(1.6,0,2) m B(2.4,1.5,0) m O(0,0,0)m ให v

nAB เปน unit vector มีทิศจาก A ไป B

[ ]

,T = 1.2 kN kN ANS.

AB

v r v v v v v v v v v v v v v v v v v v n AB AB n i j k n i j k T T n kN T i j k T i j k

AB AB AB AB AB AB AB AB

= ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = + − + + = + − = = + − = + − 08 15 2 08 15 2 08 15 2 329 12 08 15 2 329 0 366 0 686 0 915

2 2 2

. . . . . . . . . . . . . .

ให v

rA เปน position vector มีทิศ

จาก O ไป A

v v v r i k

A =

+ 16 2 . m

v Mo เปนโมเมนตของแรง

v TAB รอบจุด o

[ ] ( ) ( )

kN 1.6i + 2k N m N m N m v v v v v v v v v v v v v v v v v M r T T i j k M i j k M i j k M M

• A

AB AB

• =

× = + − = × + − = − + + ⋅ = + + ⋅ = ⋅ 0366 0 686 0915 0366 0 686 0915 1372 2196 1098 1372 2196 1098 281

2 2 2

. . . . . . . . . . . . .

โมเมนตของแรงดึงรอบจุด o เปน 2.81 N.m Ans.

Example 2b.4 The access door is shown in the figure. If the tension in the chain AB is 100 N, determine the magnitude M of its moment about the hinge axis. กําหนดให ความตึงของโซ AB=100N ตองการ ขนาดของโมเมนต M รอบแกนของบานพับ วิธีทํา ตําแหนง

( ) ( ) ( )

A A A B A B i j k i j k 1 2 0 9 3 0 0 9 3 0 1 2 0 7 8 0 4 5 1 2 0 7 8 0 4 5 1 2 0 7 8 0 4 5 0 8 0 5 2 0 3

2 2 2

. , . co s , . sin . , . , . . . . . . . . . .

• v

v v v v v v v v v m = m , B 0 ,0 ,0 .9 m , C (1 .2 ,0 ,0 ) m n n n

A B A B A B

= ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = − − + + + = − − +

โดยที่ v

n AB เปน unit vector มีทิศจาก A ไป B

ให v

rB เปน position vector ของ o ไป B

ให ¸TAB

v เปน vector ของแรงตึงที่กระทําที่ A

( ) ( )

AB

• 0.9 m

T 100 0.8 0.52 0.3 N M M 0.9 100 0.8 0.52 0.3 N m M 7.2 46.8 N m M M 46.8 .

B AB AB AB B AB x

r k T n T i j k r T k i j k j i i N m = ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ = − − + ⎡ ⎤ = × ⎣ ⎦ = × − − + ⋅ = − + ⋅ = ⋅ = + v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v

โมเมนตของแรงตึงรอบแกน x หรือแกนของบานพับมีคา 46.8 N.m มี ทิศ +x Ans.

Example 2b.5 The motor mounted on the bracket is aced upon by its 160-N weight, about its shaft resists the 120-N thrust and 25-N.m couple applied to it. Determine the resultant of the system shown in terms of a force R at A and a couple M. กําหนดให มอเตอรหนัก 160 N ยึดกับโครงยึด 120N เปนแรงตาม แนวแกน 25N.m เปน couple ที่กระทําตอมอเตอร ตองการ

v R ที่ A และ couple

v M

วิธีทํา

[ ] ( )

[ ] ( ) (

)

( ) (

)

v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v F i F k i r j k i j i j r F i j k i i j k i j k

1 2 1

120 160 25 02 025 0075 02 120 160 25 02 025 120 0075 02 160 7 9 24 = − = − = ⋅ = + = + ∑ = − − = × ∑ = + + × − + + × − ⋅ = − + + ⋅ N N M N m m r m R = F R N Ans. M M N m M N m Ans.

1 2 A A A A

. . . . . . . .

Example 2b.6 The resultant of a general force system may be expressed as a wrench along a unique line of action. For the force system of example 2b5 determine the coordinates of the point P, which is the intersection of the line of action of the wrench with the x-y plane. กําหนดให prob 2/124 ตองการ หาจุด P(x,y) ที่ wrench ผาน x-y plane วิธีทํา กําหนดให P เปนจุดตัดของ wrench บน x-y plane

v RA เปน

ผลรวมของแรงที่ A ยายแรง

v RA ไปที่ P มีขนาดเทาเดิมและมีโมเมนตรวมที่ P เปน

v M P

[ ]

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

v v v v v v v v v v v v v v v M r F M xi yj i j i j k M x i y j y k

P P

= × = − + × − − + − + + ⋅ = − + − + + − 120 160 7 9 24 9 160 7 160 24 120 N m

ให v

n1 เปน unit vector ของ

v M P,

v r n M M

P P 1 =

( )

( ) ( )

[ ]

v v v v n M x i y j y k

P 1

1 9 160 7 160 24 120 = − + − + + −

ให v n2 เปน unit vector ของ

v RA, v

v n R R

A A 2 =

v v v v v n i j i j

2 2 2

120 160 120 160 06 08 = − − + = − − . .

เนื่องจากจุด P เปนจุดที่ wrench ผานดังนั้น v v n n

1 2

=

( ) ( ) ( )

9 160 0 6 7 160 08 24 120 − = − − + = − − = x M y M y M

P P P

. . ........... 1 ..................... 2 ........... 3

จาก (1),(2),(3) ได x=56.2 mm , y=100 mm, Mp = -15 N.m Mp, เปนลบแสดงวาเปน negative wrench Ans.

Vector Operation

D P d

2.9 Dot Product

D t d t f t A d B i itt

Dot product of vectors A and B is written as

A·B (Read A dot B)

Define the magnitudes of A and B and the

angle between their tails angle between their tails A·B = AB cosθ where 0°≤ θ ≤180° R f d t l

Referred to as scalar

product of vectors as p result is a scalar

D P d

2.9 Dot Product

• Laws of Operation

1 Commutative law

• 1. Commutative law

A·B = B·A

• 2. Multiplication by a scalar

a(A·B) = (aA)·B = A·(aB) = (A·B)a a(A B) = (aA) B = A (aB) = (A B)a

• 3. Distribution law

A·(B + D) = (A·B) + (A·D)

D P d

2.9 Dot Product

Cartesian Vector Formulation

Dot product of Cartesian unit vectors

• Dot product of Cartesian unit vectors

Eg: i·i = (1)(1)cos0° = 1 and i·j = (1)(1)cos90° = 0

• Similarly
• Similarly

i·i = 1 j·j = 1 k·k = 1 i·j = 0 i·k = 1 j·k = 1

D P d

2.9 Dot Product

Cartesian Vector Formulation

• Dot product of 2 vectors A and B

Dot product of 2 vectors A and B A·B = (Axi + Ayj + Azk)· (Bxi + Byj + Bzk) = A B (i·i) + A B (i·j) + A B (i·k) = AxBx(i i) + AxBy(i j) + AxBz(i k) + AyBx(j·i) + AyBy(j·j) + AyBz(j·k) + A B (k·i) + A B (k·j) + A B (k·k) + AzBx(k i) + AzBy(k j) + AzBz(k k) = AxBx + AyBy + AzBz Note: since result is a scalar be careful of including Note: since result is a scalar, be careful of including any unit vectors in the result

D P d

2.9 Dot Product

Applications

Th l f d b t t t

• The angle formed between two vectors or

intersecting lines θ = cos-1 [(A·B)/(AB)] 0°≤ θ ≤180° Note: if A·B = 0 cos-10= 90° A is Note: if A B 0, cos 0 90 , A is perpendicular to B

D P d

2.9 Dot Product

A li ti

Applications

• The components of a vector parallel and perpendicular to

a line

• Component of A parallel or collinear with line aa’ is

defined by A║ (projection of A onto the line) A║ = A cos θ

║

• If direction of line is specified by unit vector u (u = 1),

A║ = A cos θ = A·u A║ A cos θ A u

D P d

2.9 Dot Product

Applications

If A is positi e A has a directional sense

• If A║ is positive, A║ has a directional sense

same as u If A i ti A h di ti l

• If A║ is negative, A║ has a directional sense
• pposite to u
• A║ expressed as a vector

A║ = A cos θ u

║

= (A·u)u

D P d

2.9 Dot Product

Applications

For component of A perpendicular to line aa’ p p p

• 1. Since A = A║ + A┴,

then A┴ = A - A║ then A┴ A A║

• 2. θ = cos-1 [(A·u)/(A)]

then A = Asinθ then A┴ = Asinθ

• 3. If A║ is known, by Pythagorean Theorem

2 || 2

A A A + =

⊥

D P d

2.9 Dot Product

For angle θ between the

rope and the beam A,

• Unit vectors along the

beams, uA = rA/rA

• Unit vectors along the

ropes, ur=rr/rr

• Angle θ = cos-1 (rA.rr/rArr)

= cos-1 (uA· ur) (

A r)

D P d

2.9 Dot Product

For projection of the force along

the beam A

• Define direction of the beam

uA = rA/rA uA rA/rA

• Force as a Cartesian vector

F = F(r /r ) = Fu F = F(rr/rr) = Fur

• Dot product

F║ = F║·uA

4.2 Cross Product

Laws of Operations

1 Commutative law is not valid

• 1. Commutative law is not valid

A X B ≠ B X A R th Rather, A X B = - B X A

• Shown by the right hand rule
• Cross product A X B yields a vector opposite in
• Cross product A X B yields a vector opposite in

direction to C B X A = -C B X A = -C

4.2 Cross Product

Laws of Operations

2 Multiplication by a Scalar

• 2. Multiplication by a Scalar

a( A X B ) = (aA) X B = A X (aB) = ( A X B )a

• 3. Distributive Law

A X ( B + D ) = ( A X B ) + ( A X D )

• Proper order of the cross product must be

maintained since they are not commutative

4.2 Cross Product

Cartesian Vector Formulation

Use C = AB sinθ on pair of Cartesian unit Use C = AB sinθ on pair of Cartesian unit

vectors Example For i X j, (i)(j)(sin90°) For i X j, (i)(j)(sin90 ) = (1)(1)(1) = 1

4.2 Cross Product

Laws of Operations

I i il

In a similar manner,

i X j = k i X k = -j i X i = 0 j X k = i j X i = -k j X j = 0 k X i = j k X j = i k X k = 0 k X i = j k X j = -i k X k = 0

Use the circle for the results.

Crossing CCW yield positive and CW yields negative results and CW yields negative results

4.2 Cross Product

Laws of Operations

Consider cross product of vector A and B Consider cross product of vector A and B

A X B = (Axi + Ayj + Azk) X (Bxi + Byj + Bzk) = AxBx (i X i) + AxBy (i X j) + AxBz (i X k) + AyBx (j X i) + AyBy (j X j) + AyBz (j X k) + AzBx (k X i) +AzBy (k X j) +AzBz (k X k) = (AyBz – AzBy)i – (AxBz - AzBx)j + (AxBy – AyBx)k

4.2 Cross Product

Laws of Operations

In determinant form In determinant form,

k j i r r r

z y x

B B B A A A B X A r r =

z y x

B B B

C di t

2.7 Position Vectors

x,y,z Coordinates

• Right-handed coordinate system
• Positive z axis points upwards, measuring

the height of an object or the altitude of a the height of an object or the altitude of a point P i t d l ti t th i i

• Points are measured relative to the origin,

O.

C di t

2.7 Position Vectors

x,y,z Coordinates

Eg: For Point A, xA = +4m along the x axis,

A

yA = -6m along the y axis and zA = -6m along the z axis Thus A (4 2 -6) along the z axis. Thus, A (4, 2, 6) Similarly, B (0, 2, 0) and C (6, -1, 4)

2.7 Position Vectors

Position Vector

• Position vector r is defined as a fixed vector

which locates a point in space relative to another point. Eg: If r extends from the

• rigin O to point P (x y z)
• rigin, O to point P (x, y, z)

then, in Cartesian vector form form r = xi + yj + zk

Position Vector

2.7 Position Vectors

Position Vector

Note the head to tail vector addition of the three components three components Start at origin O, one travels x in the +i direction, y in the +j direction and z in the +k direction y in the +j direction and z in the +k direction, arriving at point P (x, y, z)

2.7 Position Vectors

Position Vector Position Vector

• Position vector maybe directed from point A

to point B to point B

• Designated by r or rAB

Vector addition gives rA + r = rB Solving r = rB – rA = (xB – xA)i + (yB – yA)j + (zB – zA)k )

• r r = (xB – xA)i + (yB – yA)j + (zB –zA)k

Position Vector

2.7 Position Vectors

Position Vector

• The i, j, k components of the positive vector

r may be formed by taking the coordinates of r may be formed by taking the coordinates of the tail, A (xA, yA, zA) and subtract them from the head B (x y z ) the head B (xB, yB, zB) Note the head to tail vector addition of the Note the head to tail vector addition of the three components

2.7 Position Vectors

Length and direction of

cable AB can be found by cable AB can be found by measuring A and B using the x y z axes the x, y, z axes

Position vector r can be

t bli h d established

Magnitude r represent the

g p length of cable

2.7 Position Vectors

Angles, α, β and γ Angles, α, β and γ

represent the direction of the cable the cable

Unit vector, u = r/r

2.7 Position Vectors

Example 2.12 An elastic rubber band is An elastic rubber band is attached to points A and B. Determine its length and its direction measured from A direction measured from A towards B.

2.7 Position Vectors

Solution Position vector r = [-2m – 1m]i + [2m – 0]j + [3m – (-3m)]k = {-3i + 2j + 6k}m { j } Magnitude = length of the rubber band

( ) ( ) ( )

m r 7 6 2 3

2 2 2

+ +

Unit vector in the director of r /

( ) ( ) ( )

m r 7 6 2 3 = + + − =

u = r /r = -3/7i + 2/7j + 6/7k

2.7 Position Vectors

Solution α = cos-1(-3/7) = 115° β = cos-1(2/7) = 73.4° γ = cos-1(6/7) = 31.0° γ ( )