rr ss t str - - PowerPoint PPT Presentation

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❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❇❛s❡s ♦❢ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❧✉st❡r ❆❧❣❡❜r❛s ❛♥❞ ▼♦♥♦✐❞❛❧ ❈❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥

❋❛♥ ◗✐♥ ❲♦♦❞s ❍♦❧❡✱ ▼❛ss❛❝❤✉s❡tts✱ ✷✵✶✻

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❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❜❛s❡s ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ▼❛✐♥ t❤❡♦r❡♠ ❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s

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❈❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s

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❈❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛✿ Z✲s✉❜❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ❛ ▲❛✉r❡♥t ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ r✐♥❣ ❈❧✉st❡r ✈❛r✐❛❜❧❡s ❂ ❣❡♥❡r❛t♦rs ❞❡✜♥❡❞ r❡❝✉rs✐✈❡❧② ❜② ♠✉t❛t✐♦♥s ❙❡❡❞s ✭❧♦❝❛❧ ❝❤❛rts✮ ❂ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥s ♦❢ ❣❡♥❡r❛t♦rs ✰ ♠❛tr✐❝❡s ❈❧✉st❡r ♠♦♥♦♠✐❛❧s ❂ ♠♦♥♦♠✐❛❧s ♦❢ ❝❧✉st❡r ✈❛r✐❛❜❧❡s ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ s❡❡❞s ■♥✈❡♥t❡❞ ❜② ❬❋♦♠✐♥✲❩❡❧❡✈✐♥s❦②✱ ✷✵✵✵❪ ❛s ❛♥ ❝♦♠❜✐♥❛t♦r✐❛❧ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ t❤❡ ❞✉❛❧ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ❜❛s✐s ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❣r♦✉♣s ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ ♦❢ ▲✉s③t✐❣ ❛♥❞ ❑❛s❤✐✇❛r❛✳ s❧♦✇ ♣r♦❣r❡ss ❢♦r ♠❛♥② ②❡❛rs

❋❛♥ ◗✐♥ ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❇❛s❡s ❛♥❞ ▼♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥

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❈❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s

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❋r✉✐t❢✉❧ ✐♥ ♠❛♥② ♦t❤❡r ❛r❡❛s✿ ❈♦♠❜✐♥❛t♦r✐❝s ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ t❤❡♦r② ♦❢ ✜♥✐t❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❛❧❣❡❜r❛s✱ ✷✲❈❛❧❛❜✐✲❨❛✉ ❝❛t❡❣♦r✐❡s ❍✐❣❤❡r ❚❡✐❝❤♠ü❧❧❡r t❤❡♦r② ❬❋♦❝❦✲●♦♥❝❤❛r♦✈❪ P♦✐ss♦♥ ❣❡♦♠❡tr② ❬●❡❦❤t♠❛♥✲❙❤❛♣✐r♦✲❱❛✐♥st❡✐♥❪

❋❛♥ ◗✐♥ ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❇❛s❡s ❛♥❞ ▼♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥

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❉✐s❝r❡t❡ ❞②♥❛♠✐❝❛❧ s②st❡♠s✿

❬❋r❛♥❝❡s❝♦✲❑❡❞❡♠❪ ❬❋❩❪ ❬■♥♦✉❡✲■②❛♠❛✲❑✉♥✐❜❛✲◆❛❦❛♥✐s❤✐✲❙✉③✉❦✐❪ ♣r♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ♣❡r✐♦❞✐❝✐t② ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ♦❢ ❨✲s②st❡♠ ❬❑❡❧❧❡r❪

❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡✴♥♦♥✲❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❣❡♦♠❡tr②✿

❇r✐❞❣❡❧❛♥❞✬s st❛❜✐❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♦❢ ✸✲❈❛❧❛❜✐✲❨❛✉ ❝❛t❡❣♦r✐❡s✱ ❉♦♥❛❧❞s♦♥✲❚❤♦♠❛s ✐♥✈❛r✐❛♥ts ❬❑♦♥ts❡✈✐❝❤✲❙♦✐❜❡❧♠❛♥❪✱ ❚r♦♣✐❝❛❧ ❣❡♦♠❡tr② ❬●r♦ss✲❍❛❝❦✐♥❣✲❑❡❡❧✲❑♦♥ts❡✈✐❝❤❪

❋❛♥ ◗✐♥ ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❇❛s❡s ❛♥❞ ▼♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥

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❘❡❛❞ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s ❢r♦♠ ♠♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r✐❡s

❬❍❡r♥❛♥❞❡③✲▲❡❝❧❡r❝✱ ✵✾❪ ♣r♦♣♦s❡❞ t❤❡ ♠♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ ❛ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛ A ✿ A C Monoidal cateogry + ⊕ · ⊗ A ≃ K✵(C ) Grohendieck ring cluster monomials ⊂ simple objects good basis = {simples} ❋✐♥❞ t❤❡ ♠♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r② s✉❝❤ t❤❛t A ≃ K✵✭C ✮❄ ❚❤❡ ❝❧✉st❡r ♠♦♥♦♠✐❛❧s ❛r❡ s✐♠♣❧❡s❄

❋❛♥ ◗✐♥ ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❇❛s❡s ❛♥❞ ▼♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◗✉❛♥t✉♠ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❜❛s❡s ❈❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s ▼♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡s

▼♦♥♦✐❞❛❧ ❈❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡s

❲♦r❧❞ ♦❢ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s

Type I Type II All cluster algebras ❆❢t❡r q✉❛♥t✐③❛t✐♦♥✱ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s Aq ❛r❡ r❡❧❛t❡❞ t♦✱ ✐♥ ❚②♣❡ ■✱ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❣r♦✉♣s ♦❢ s②♠♠❡tr✐❝ ❈❛rt❛♥ t②♣❡✿ Aq ≃ K✵(KLR−alg f .d. mod) (∼ Uq(n)∗,gr) ❬●❡✐ss✲▲❡❝❧❡r❝✲❙❝❤rö❡r❪❀❬❑❤♦✈❛♥♦✈✲▲❛✉❞❛❪ ❬❘♦✉q✉✐❡r❪ ✐♥ ❚②♣❡ ■■✱ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❛✣♥❡ ❛❧❣❡❜r❛s ♦❢ t②♣❡ ADE✿ Aq ≃ Kt(Uq(ˆ g) f .d. mod) t✲❞❡❢♦r♠❡❞ ●r♦t❤❡♥❞✐❡❝❦ r✐♥❣ ❬❍❡r♥❛♥❞❡③✲▲❡❝❧❡r❝❪❀❬❱❛r❛❣♥♦❧♦✲❱❛ss❡r♦t❪ ❬◆❛❦❛❥✐♠❛❪❬❍✳❪

❋❛♥ ◗✐♥ ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❇❛s❡s ❛♥❞ ▼♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◗✉❛♥t✉♠ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❜❛s❡s ❈❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s ▼♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡s

▼♦♥♦✐❞❛❧ ❈❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡s

❈♦♥❥❡❝t✉r❡s ❛♥❞ r❡s✉❧ts

▼♦♥♦✐❞❛❧ ❈❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡ ❚❤❡ ❝❧✉st❡r ♠♦♥♦♠✐❛❧s ❛r❡ s✐♠♣❧❡s❄ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❬▲❛♠♣❡❪ ❬❍❡r♥❛♥❞❡③✲▲❡❝❧❡r❝❪ ❬◆❛❦❛❥✐♠❛❪ ❬❑✐♠✉r❛✲◗✳❪✮ P❛rt✐❛❧ r❡s✉❧ts ❢♦r t②♣❡ ■ ❛♥❞ t②♣❡ ■■✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭◗✳✱ ✶✺✮ ❋♦r ❛❧❧ t②♣❡ ■■ ❛♥❞ s♦♠❡ t②♣❡ ■ ✭❛❞❛♣t❛❜❧❡ ✇♦r❞✮✿ ❚❤❡ ♠♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ✐s tr✉❡✳ ❚❤❡ ❋♦❝❦✲●♦♥❝❤❛r♦✈ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ✐s ❛❧s♦ tr✉❡✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❛♥❣✲❑❛s❤✐✇❛r❛✲❑✐♠✲❖❤✱ ✶✺✮ ❋♦r ❛❧❧ t②♣❡ ■✿ ❚❤❡ ♠♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ✐s tr✉❡✳

❋❛♥ ◗✐♥ ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❇❛s❡s ❛♥❞ ▼♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◗✉❛♥t✉♠ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❜❛s❡s ❊①❛♠♣❧❡ ❛♥❞ ♣r♦♣❡rt✐❡s ▲❛✉r❡♥t ❡①♣❛♥s✐♦♥s

❆ r❛♥❦ ✷ ❡①❛♠♣❧❡

❊①❛♠♣❧❡ ✭◗✉❛♥t✉♠ ❝❧✉st❡r ✈❛r✐❛❜❧❡s✮ ❚❛❦❡ ♠❛tr✐❝❡s B = ✵ −✶ ✶ ✵

• , Λ =

✵ −✶ ✶ ✵

• ✳

■♥✐t✐❛❧ ❝❧✉st❡r ✈❛r✐❛❜❧❡✿ X✶,X✷✳ ◗✉❛♥t✉♠ t♦r✉s T ✿ ▲❛✉r❡♥t ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ r✐♥❣ (Z[q± ✶

✷ ][X ±

✶ ,X ± ✷ ],+,·)

q✲t✇✐st❡❞ ♣r♦❞✉❝t X g ∗X h = q

✶ ✷gΛhT X g+h✱

❜❛r ✐♥✈♦❧✉t✐♦♥ qsX g = q−sX g. ❚❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❝❧✉st❡r ✈❛r✐❛❜❧❡s {Xk} ❜② ♠✉t❛t✐♦♥s✿ Xk ∗Xk+✷ = q− ✶

✷ Xk+✶ +✶, ∀k ∈ Z✳

❊①❛♠♣❧❡ ✭◗✉❛♥t✉♠ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ r❛♥❦ ✷✮ ❙❡❡❞s ✭❧♦❝❛❧ ❝❤❛rts✮✿ ({Xk, Xk+✶},(−✶)k+✶B,(−✶)k+✶Λ)✳ ◗✉❛♥t✉♠ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛ Aq = Z[q± ✶

✷ ][Xk]k∈Z✳ ❋❛♥ ◗✐♥ ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❇❛s❡s ❛♥❞ ▼♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◗✉❛♥t✉♠ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❜❛s❡s ❊①❛♠♣❧❡ ❛♥❞ ♣r♦♣❡rt✐❡s ▲❛✉r❡♥t ❡①♣❛♥s✐♦♥s

❆ r❛♥❦ ✷ ❡①❛♠♣❧❡

❊①❛♠♣❧❡ ✭Pr❡✈✐♦✉s ❡①❛♠♣❧❡✮ X✸ = X (−✶,✶) +X (−✶,✵)(= X −✶

✶

·X✷ +X −✶

✶ )

X✹ = X (✵,−✶) +X (−✶,−✶) +X (−✶,✵).

❋❛♥ ◗✐♥ ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❇❛s❡s ❛♥❞ ▼♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◗✉❛♥t✉♠ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❜❛s❡s ❊①❛♠♣❧❡ ❛♥❞ ♣r♦♣❡rt✐❡s ▲❛✉r❡♥t ❡①♣❛♥s✐♦♥s

• ❡♥❡r❛❧ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❇❡r❡♥st❡✐♥✲❩❡❧❡✈✐♥s❦②✱ ✵✺✮ ■♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ ❢♦r ❛♥② ❣✐✈❡♥ s❦❡✇✲s②♠♠❡tr✐③❛❜❧❡ m ×n ♠❛tr✐① B✱ m ≥ n✱ ❛♥❞ ❛ ❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ s❦❡✇✲s②♠♠❡tr✐❝ m ×m ♠❛tr✐① Λ✱ ✇❡ ❝❛♥ ❞❡✜♥❡ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛ Aq = Aq((X✶,...,Xm),B,Λ). ❚❤❡♦r❡♠ ✭▲❛✉r❡♥t ♣❤❡♥♦♠❡♥♦♥ ❬❋♦♠✐♥✲❩❡❧❡✈✐♥s❦②❪❬❇❡r❡♥st❡✐♥✲❩❡❧❡✈✐♥s❦②❪✮ ❆♥② ❝❧✉st❡r ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐s ❛ ▲❛✉r❡♥t ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✐♥ Z[X ±

✶ ,...,X ± m].

❆♥② q✉❛♥t✉♠ ❝❧✉st❡r ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐s ❛ ▲❛✉r❡♥t ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✐♥ Z[q± ✶

✷ ][X ±

✶ ,...,X ± m].

❋❛♥ ◗✐♥ ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❇❛s❡s ❛♥❞ ▼♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◗✉❛♥t✉♠ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❜❛s❡s ❊①❛♠♣❧❡ ❛♥❞ ♣r♦♣❡rt✐❡s ▲❛✉r❡♥t ❡①♣❛♥s✐♦♥s

❈❧✉st❡r ❡①♣❛♥s✐♦♥s

❚❤❡♦r❡♠ ✭❬❉❡r❦s❡♥✲❲❡②♠❛♥✲ ❩❡❧❡✈✐♥s❦②❪❬P❧❛♠♦♥❞♦♥❪❬◆❛❣❛♦❪❬●r♦ss✲❍❛❝❦✐♥❣✲❑❡❡❧✲❑♦♥ts❡✈✐❝❤❪✱ ✰❬❚r❛♥❪✮ ❉❡✜♥❡ Yk = X (Bek)T ✱ t❤❡♥ ❛♥② q✉❛♥t✉♠ ❝❧✉st❡r ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐s ❛❧✇❛②s ❛ ▲❛✉r❡♥t ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠✿ X g(✶+ ∑

✵=v∈Nn

cvY v), cv ∈ Z[q± ✶

✷ ].

❊①❛♠♣❧❡ ✭Pr❡✈✐♦✉s ❡①❛♠♣❧❡✮ ❘❡❝❛❧❧ B = ✵ −✶ ✶ ✵

• ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ Y✶ = X✷✱ Y✷ = X −✶

✶ ✱

X✸ = X (−✶,✶)(✶+Y✶)✱ X✹ = X (✵,−✶)(✶+Y✷ +Y✶Y✷)

❋❛♥ ◗✐♥ ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❇❛s❡s ❛♥❞ ▼♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◗✉❛♥t✉♠ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❜❛s❡s ❊①❛♠♣❧❡ ❛♥❞ ♣r♦♣❡rt✐❡s ▲❛✉r❡♥t ❡①♣❛♥s✐♦♥s

❉❡❣r❡❡s ❛♥❞ ♣❛rt✐❛❧ ♦r❞❡r

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆ ▲❛✉r❡♥t ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ Z ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ X g(✶+∑✵=v∈Nn cvY v) ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ♣♦✐♥t❡❞ ❛t t❤❡ ❞❡❣r❡❡ g✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ✇❡ ❞❡♥♦t❡ ❞❡❣Z = g✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❲❡ s❛② ❞❡❣r❡❡s g ≥ g′ ✐❢ ❞❡❣X gY v = ❞❡❣X g′ ❢♦r s♦♠❡ v ∈ Nn✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❛❜♦✈❡ Z ❤❛s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ♠❛①✐♠❛❧ ❞❡❣r❡❡ g✳ ❊①❛♠♣❧❡ ✭Pr❡✈✐♦✉s ❡①❛♠♣❧❡✮ ❘❡❝❛❧❧ Y✶ = X✷✱ Y✷ = X −✶

✶ ✱

X✸ = X (−✶,✶)(✶+Y✶)✱ X✹ = X (✵,−✶)(✶+Y✷ +Y✶Y✷) ❞❡❣X✹ > ❞❡❣X✸= ❞❡❣X✹Y✷Y ✷

✶ .

❋❛♥ ◗✐♥ ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❇❛s❡s ❛♥❞ ▼♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◗✉❛♥t✉♠ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❜❛s❡s ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ▼❛✐♥ t❤❡♦r❡♠ ❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s

❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❜❛s✐s ❢♦r ❛♥ ✐♥✐t✐❛❧ s❡❡❞

❈❤♦♦s❡ ❛♥❞ ✇♦r❦ ✐♥ ❛♥ ✐♥✐t✐❛❧ s❡❡❞ ({X✶,...,Xn,...,Xm},B,Λ)✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts q✉❛♥t✉♠ ❝❧✉s❡r ✈❛r❛✐❜❧❡s Ik✱ ✶ ≤ k ≤ n✱ s✉❝❤ t❤❛t prn ❞❡❣Ik = −ek ✭prn ❂ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ t♦ t❤❡ ✜rst n✲❝♦♦r❞✐♥❛t❡s✮✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❚❤❡ tr✐❛♥❣✉❧❛r ❜❛s✐s L ✐s t❤❡ ❜❛s✐s ♦❢ Aq s✉❝❤ t❤❛t

✶ Xi, Ik ∈ L ✷ ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ L ❛r❡ ❜❛r✲✐♥✈❛r✐❛♥t ✸ ✭P❛r❛♠❡tr✐③❛t✐♦♥✮ ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ L ❤❛✈❡ ✉♥✐q✉❡ ♠❛①✐♠❛❧ ❞❡❣r❡❡s

✇✐t❤ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ✶✱ s✉❝❤ t❤❛t ❞❡❣ : L ≃ Zm✳

✹ ✭❚r✐❛♥❣✉❧❛r✐t②✮ ∀Xi,b✶ ∈ L ✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts s♦♠❡ s ∈ Z

✷ s✉❝❤ t❤❛t

qsXi ∗b✶ = b✷ +∑b ab ·b, ✇❤❡r❡ b✷,b ∈ L ✱ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ab ∈ q− ✶

✷ Z[q− ✶ ✷ ]✱

❞❡❣Xi +❞❡❣b✶ = ❞❡❣b✷ > ❞❡❣b.

❋❛♥ ◗✐♥ ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❇❛s❡s ❛♥❞ ▼♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◗✉❛♥t✉♠ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❜❛s❡s ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ▼❛✐♥ t❤❡♦r❡♠ ❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s

❈♦♠♠♦♥ tr✐❛♥❣✉❧❛r ❜❛s✐s ❛♥❞ ❋♦❝❦✲●♦♥❝❤❛r♦✈ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

❆ tr✐❛♥❣✉❧❛r ❜❛s✐s✱ ✐❢ ✐t ❡①✐sts✱ ✐s ✉♥✐q✉❡✳ ❚❤❡ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ tr✐❛♥❣✉❧❛r ❜❛s✐s ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ❝❤♦s❡♥ ✐♥✐t✐❛❧ s❡❡❞ ✭❧♦❝❛❧ ❝❤❛rt✮✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ t❤❡ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❛ ❜❛s✐s ❡❧❡♠❡♥t ✇✐❧❧ ❞✐✛❡r ✇❤❡♥ ✇❡ ❝❤❛♥❣❡ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ s❡❡❞✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆ ❜❛s✐s L ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ tr✐❛♥❣✉❧❛r ❜❛s✐s✱ ✐❢ ✐t ✐s t❤❡ tr✐❛♥❣✉❧❛r ❜❛s✐s ❢♦r ❛♥② s❡❡❞ ❛♥❞✱ ♠♦r❡♦✈❡r✱ ✐ts ♣❛r❛♠❡tr✐③❛t✐♦♥ ✐♥ ❞✐✛❡r❡♥t s❡❡❞s ✈❡r✐✜❡s t❤❡ ❋♦❝❦✲●♦♥❝❤❛r♦✈ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡✿ L ≃ Zm ||

• mutation of tropical Z✲points

L ≃ Zm ✳

❋❛♥ ◗✐♥ ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❇❛s❡s ❛♥❞ ▼♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◗✉❛♥t✉♠ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❜❛s❡s ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ▼❛✐♥ t❤❡♦r❡♠ ❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s

▼❛✐♥ ❚❤❡♦r❡♠

Type I Type II All cluster algebras ❚❤❡♦r❡♠ ✭❬◗✳ ✶✺❪✮ ❋♦r s♦♠❡ ♦❢ t②♣❡ ■ ✭❛❞❛♣t❛❜❧❡ ❈♦①❡t❡r ❡❧❡♠❡♥t ❝❛s❡✮ ❛♥❞ ❛❧❧ t②♣❡ ■■✱ t❤❡ ❜❛s✐s ♦❢ s✐♠♣❧❡s ♣r♦❞✉❝❡s t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ tr✐❛♥❣✉❧❛r ❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛✱ ✇❤✐❝❤ ❛❧s♦ ✈❡r✐✜❡s t❤❡ ❋♦❝❦✲●♦♥❝❤❛r♦✈ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡✳ ❈♦r♦❧❧❛r② ✭❬◗✳ ✶✺❪✮ ▼♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ✐s tr✉❡ ✐♥ t❤❡s❡ ❝❛s❡s✳✳

❋❛♥ ◗✐♥ ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❇❛s❡s ❛♥❞ ▼♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥

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■❞❡❛ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢

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❊①❛♠♣❧❡ ❈❤♦♦s❡ m = ✹, n = ✷✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ q✉✐✈❡r ❣✐✈❡s ✉s t❤❡ ✹×✷ ♠❛tr✐① B =     ✵ −✶ ✶ ✵ −✶ ✶ ✵ −✶    ✳ ✹ ✸ ✷ ✶

❋❛♥ ◗✐♥ ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❇❛s❡s ❛♥❞ ▼♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◗✉❛♥t✉♠ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❜❛s❡s ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ▼❛✐♥ t❤❡♦r❡♠ ❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s

❈❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛✿ ❚②♣❡ ■■

❊①❛♠♣❧❡ ✭❚②♣❡ ■■✿ Uq(ˆ sl✸)✲♠♦❞✮ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ q✉✐✈❡r ❛r✐s✐♥❣ ❢r♦♠ ❛ ❧❡✈❡❧ ✸ s✉❜❝❛t❡❣♦r② ♦❢ Uq(ˆ sl✸)✲♠♦❞✳ ✶ ✷ ✸ ✹ ✺ ✻ ✼ ✽

❋❛♥ ◗✐♥ ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❇❛s❡s ❛♥❞ ▼♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◗✉❛♥t✉♠ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❜❛s❡s ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ▼❛✐♥ t❤❡♦r❡♠ ❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s

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❊①❛♠♣❧❡ ✭❚②♣❡ ■✿ ❛❞❛♣t❛❜❧❡ ✇♦r❞✮ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ q✉✐✈❡r ✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❛❞❛♣t❛❜❧❡ ✇♦r❞ i = (✷,✶,✷,✶,✷,✶,✷,✶) ❛♥❞ t❤❡ ❈❛rt❛♥ ♠❛tr✐① C =

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✶ ✷ ✸ ✹ ✺ ✻ ✼ ✽ ✷ ✷ ✷ ✷ ✷ ✷ ✷

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◗✉❛♥t✉♠ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❜❛s❡s ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ▼❛✐♥ t❤❡♦r❡♠ ❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s

❈❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛✿ ❚②♣❡ ■ ❛♥❞ ❚②♣❡ ■■

❊①❛♠♣❧❡ ✭❚②♣❡ ■ ❛♥❞ t②♣❡ ■■✮ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ q✉✐✈❡r ✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❛❞❛♣t❛❜❧❡ ✇♦r❞ i = (✶,✷,✶,✸,✷,✶,✹,✸,✷,✶) ❛♥❞ t❤❡ ❈❛rt❛♥ ♠❛tr✐① C =     ✷ −✶ ✵ ✵ −✶ ✷ −✶ ✵ ✵ −✶ ✷ −✶ ✵ ✵ −✶ ✷    . ■t ❛❧s♦ ❛r✐s❡s ❢r♦♠ ❛ s✉❜❝❛t❡❣♦r② ♦❢ Uε(ˆ sl✺)✲♠♦❞✳ ✶ ✷ ✸ ✹ ✺ ✻ ✼ ✽ ✾ ✶✵

❋❛♥ ◗✐♥ ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❇❛s❡s ❛♥❞ ▼♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◗✉❛♥t✉♠ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s ❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❜❛s❡s ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ▼❛✐♥ t❤❡♦r❡♠ ❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ❝❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛s

❈❧✉st❡r ❛❧❣❡❜r❛✿ ❚②♣❡ ■ ♥♦♥✲❛❞❛♣t❛❜❧❡ ✇♦r❞

❊①❛♠♣❧❡ ✭❚②♣❡ ■✿ ♥♦♥✲❛❞❛♣t❛❜❧❡ ✇♦r❞✮ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ q✉✐✈❡r ✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ♥♦♥✲❛❞❛♣t❛❜❧❡ ✇♦r❞ i = (✷,✸,✷,✶,✷,✶,✸,✶,✷,✶) ❛♥❞ t❤❡ ❈❛rt❛♥ ♠❛tr✐① C =   ✷ −✸ −✷ −✸ ✷ −✷ −✷ −✷ ✷  ✳ ■t ✐s ♥♦t ✐♥❝❧✉❞❡❞ ✐♥ ♦✉r ❚❤❡♦r❡♠✳ ✶ ✷ ✸ ✹ ✺ ✻ ✼ ✽ ✾ ✶✵ ✸ ✷ ✷ ✸ ✸ ✸ ✷ ✷ ✷ ✷ ✸ ✷

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