rs s r rr - - PowerPoint PPT Presentation

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❖❞❞ ❝②❝❧❡s

❈✷❦+✶ → ❈✷ℓ+✶ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ℓ ≤ ❦ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥

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❈♦r❡s

• ❈♦r❡ ♦❢ ●✿ ♠✐♥✐♠❛❧ s✉❜❣r❛♣❤ ❍ ✇✐t❤ ● → ❍
• ● ✐s ❛ ❝♦r❡ ✐❢ ❝♦r❡(●) = ●

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✲ ❈♦r❡ ❚❤❡ ❝♦r❡ ♦❢ ❛ ❣r❛♣❤ ✐s ✉♥✐q✉❡ ✭✉♣ t♦ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠✮ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❊①❛♠♣❧❡s✿ t❤❡ ❝♦r❡ ♦❢ ❛♥② ♥♦♥tr✐✈✐❛❧ ❜✐♣❛rt✐t❡ ❣r❛♣❤ ✐s ❑✷ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❣r❛♣❤s ❛♥❞ ♦❞❞ ❝②❝❧❡s ❛r❡ ❝♦r❡s

• ❍ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❝♦r❡ ●

❝♦r❡ ❍ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥

❋❧♦r❡♥t ❋♦✉❝❛✉❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠ ❜♦✉♥❞s ❢♦r ❑✹✲♠✐♥♦r✲❢r❡❡ ❣r❛♣❤s ✼ ✴ ✸✽

❈♦r❡s

• ❈♦r❡ ♦❢ ●✿ ♠✐♥✐♠❛❧ s✉❜❣r❛♣❤ ❍ ✇✐t❤ ● → ❍
• ● ✐s ❛ ❝♦r❡ ✐❢ ❝♦r❡(●) = ●

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✲ ❈♦r❡ ❚❤❡ ❝♦r❡ ♦❢ ❛ ❣r❛♣❤ ✐s ✉♥✐q✉❡ ✭✉♣ t♦ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠✮ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❊①❛♠♣❧❡s✿ • t❤❡ ❝♦r❡ ♦❢ ❛♥② ♥♦♥tr✐✈✐❛❧ ❜✐♣❛rt✐t❡ ❣r❛♣❤ ✐s ❑✷

• ❝♦♠♣❧❡t❡ ❣r❛♣❤s ❛♥❞ ♦❞❞ ❝②❝❧❡s ❛r❡ ❝♦r❡s
• ❍ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❝♦r❡ ●

❝♦r❡ ❍ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥

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• ❈♦r❡ ♦❢ ●✿ ♠✐♥✐♠❛❧ s✉❜❣r❛♣❤ ❍ ✇✐t❤ ● → ❍
• ● ✐s ❛ ❝♦r❡ ✐❢ ❝♦r❡(●) = ●

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✲ ❈♦r❡ ❚❤❡ ❝♦r❡ ♦❢ ❛ ❣r❛♣❤ ✐s ✉♥✐q✉❡ ✭✉♣ t♦ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠✮ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❊①❛♠♣❧❡s✿ • t❤❡ ❝♦r❡ ♦❢ ❛♥② ♥♦♥tr✐✈✐❛❧ ❜✐♣❛rt✐t❡ ❣r❛♣❤ ✐s ❑✷

• ❝♦♠♣❧❡t❡ ❣r❛♣❤s ❛♥❞ ♦❞❞ ❝②❝❧❡s ❛r❡ ❝♦r❡s
• → ❍ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❝♦r❡(●) → ❝♦r❡(❍)

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥

❋❧♦r❡♥t ❋♦✉❝❛✉❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠ ❜♦✉♥❞s ❢♦r ❑✹✲♠✐♥♦r✲❢r❡❡ ❣r❛♣❤s ✼ ✴ ✸✽

❈♦r❡s

• ❈♦r❡ ♦❢ ●✿ ♠✐♥✐♠❛❧ s✉❜❣r❛♣❤ ❍ ✇✐t❤ ● → ❍
• ● ✐s ❛ ❝♦r❡ ✐❢ ❝♦r❡(●) = ●

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✲ ❈♦r❡ ❚❤❡ ❝♦r❡ ♦❢ ❛ ❣r❛♣❤ ✐s ✉♥✐q✉❡ ✭✉♣ t♦ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠✮ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❊①❛♠♣❧❡s✿ • t❤❡ ❝♦r❡ ♦❢ ❛♥② ♥♦♥tr✐✈✐❛❧ ❜✐♣❛rt✐t❡ ❣r❛♣❤ ✐s ❑✷

• ❝♦♠♣❧❡t❡ ❣r❛♣❤s ❛♥❞ ♦❞❞ ❝②❝❧❡s ❛r❡ ❝♦r❡s
• → ❍ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❝♦r❡(●) → ❝♦r❡(❍)

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥

❋❧♦r❡♥t ❋♦✉❝❛✉❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠ ❜♦✉♥❞s ❢♦r ❑✹✲♠✐♥♦r✲❢r❡❡ ❣r❛♣❤s ✼ ✴ ✸✽

❚❤❡ ❤♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦r❞❡r

❉❡✜♥❡❞ ❜② ● ❍ ✐✛ ● → ❍ ✭✐❢ r❡str✐❝t❡❞ t♦ ❝♦r❡s✿ ♣❛rt✐❛❧ ♦r❞❡r✮✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✲ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠ q✉❛s✐✲♦r❞❡r

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• tr❛♥s✐t✐✈❡
• ❛♥t✐s②♠♠❡tr✐❝ ✭❝♦r❡s✮

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❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✲ ❇♦✉♥❞ ✐♥ t❤❡ ♦r❞❡r

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Forb(F)

B(C,F) ❋❧♦r❡♥t ❋♦✉❝❛✉❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠ ❜♦✉♥❞s ❢♦r ❑✹✲♠✐♥♦r✲❢r❡❡ ❣r❛♣❤s ✶✸ ✴ ✸✽

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F✿ ✜♥✐t❡ s❡t ♦❢ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤s✳ ❋♦r❜(F)✿ ❛❧❧ ❣r❛♣❤s ● s✳t✳ ❢♦r ❛♥② ❋ ∈ F✱ ❋ → ●✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❋♦r ❛♥② ❜♦✉♥❞❡❞ ❡①♣❛♥s✐♦♥ ❝❧❛ss C ♦❢ ❣r❛♣❤s✿ C ∩❋♦r❜(F) ✐s ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② ❛ ✜♥✐t❡ ❣r❛♣❤ ❇(C ,F) ❢r♦♠ ❋♦r❜(F)✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭◆❡➨❡t➦✐❧ ❛♥❞ ❖ss♦♥❛ ❞❡ ▼❡♥❞❡③✱ ✷✵✵✽✮ C

Forb(F)

B(C,F)

Pr♦✈❡❞ ✉s✐♥❣ ♠❛❝❤✐♥❡r② ♦❢ t❤❡ s♣❛rs✐❝✐t② ♣r♦❥❡❝t

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F✿ ✜♥✐t❡ s❡t ♦❢ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤s✳ ❋♦r❜(F)✿ ❛❧❧ ❣r❛♣❤s ● s✳t✳ ❢♦r ❛♥② ❋ ∈ F✱ ❋ → ●✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❋♦r ❛♥② ❜♦✉♥❞❡❞ ❡①♣❛♥s✐♦♥ ❝❧❛ss C ♦❢ ❣r❛♣❤s✿ C ∩❋♦r❜(F) ✐s ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② ❛ ✜♥✐t❡ ❣r❛♣❤ ❇(C ,F) ❢r♦♠ ❋♦r❜(F)✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭◆❡➨❡t➦✐❧ ❛♥❞ ❖ss♦♥❛ ❞❡ ▼❡♥❞❡③✱ ✷✵✵✽✮ C

Forb(F)

B(C,F)

❊①❛♠♣❧❡ ✶✳ C ✿ ♣❧❛♥❛r ❣r❛♣❤s F = {❈✷❦−✶} − → ❛❧❧ ♣❧❛♥❛r ❣r❛♣❤s ♦❢ ♦❞❞✲❣✐rt❤ ❛t ❧❡❛st ✷❦ +✶ ♠❛♣ t♦ s♦♠❡ ❣r❛♣❤ ❇♥,❦ ♦❢ ♦❞❞✲❣✐rt❤ ✷❦ +✶✳

❋❧♦r❡♥t ❋♦✉❝❛✉❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠ ❜♦✉♥❞s ❢♦r ❑✹✲♠✐♥♦r✲❢r❡❡ ❣r❛♣❤s ✶✸ ✴ ✸✽

◆❡➨❡t➦✐❧✲❖ss♦♥❛ ❞❡ ▼❡♥❞❡③ t❤❡♦r❡♠

F✿ ✜♥✐t❡ s❡t ♦❢ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤s✳ ❋♦r❜(F)✿ ❛❧❧ ❣r❛♣❤s ● s✳t✳ ❢♦r ❛♥② ❋ ∈ F✱ ❋ → ●✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❋♦r ❛♥② ❜♦✉♥❞❡❞ ❡①♣❛♥s✐♦♥ ❝❧❛ss C ♦❢ ❣r❛♣❤s✿ C ∩❋♦r❜(F) ✐s ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② ❛ ✜♥✐t❡ ❣r❛♣❤ ❇(C ,F) ❢r♦♠ ❋♦r❜(F)✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭◆❡➨❡t➦✐❧ ❛♥❞ ❖ss♦♥❛ ❞❡ ▼❡♥❞❡③✱ ✷✵✵✽✮ C

Forb(F)

B(C,F)

❊①❛♠♣❧❡ ✷✳ C ✿ ❑♥✲♠✐♥♦r✲❢r❡❡ ❣r❛♣❤s F = {❑♥} − → ❛❧❧ ❑♥✲♠✐♥♦r✲❢r❡❡ ❣r❛♣❤s ♠❛♣ t♦ s♦♠❡ ❣r❛♣❤ ❇♥ ♦❢ ❝❧✐q✉❡ ♥✉♠❜❡r ♥ −✶✳

❋❧♦r❡♥t ❋♦✉❝❛✉❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠ ❜♦✉♥❞s ❢♦r ❑✹✲♠✐♥♦r✲❢r❡❡ ❣r❛♣❤s ✶✸ ✴ ✸✽

◆❡➨❡t➦✐❧✲❖ss♦♥❛ ❞❡ ▼❡♥❞❡③ t❤❡♦r❡♠

F✿ ✜♥✐t❡ s❡t ♦❢ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤s✳ ❋♦r❜(F)✿ ❛❧❧ ❣r❛♣❤s ● s✳t✳ ❢♦r ❛♥② ❋ ∈ F✱ ❋ → ●✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❋♦r ❛♥② ❜♦✉♥❞❡❞ ❡①♣❛♥s✐♦♥ ❝❧❛ss C ♦❢ ❣r❛♣❤s✿ C ∩❋♦r❜(F) ✐s ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② ❛ ✜♥✐t❡ ❣r❛♣❤ ❇(C ,F) ❢r♦♠ ❋♦r❜(F)✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭◆❡➨❡t➦✐❧ ❛♥❞ ❖ss♦♥❛ ❞❡ ▼❡♥❞❡③✱ ✷✵✵✽✮ C

Forb(F)

B(C,F)

◆♦t❡✿ t❤❡r❡ ❝♦✉❧❞ ❜❡ ♥♦ ❜♦✉♥❞ ✐♥ C ∩❋♦r❜(F) ✐ts❡❧❢✦ ✭❡✳❣✳ ♣❧❛♥❛r tr✐❛♥❣❧❡✲❢r❡❡ ❣r❛♣❤s✱ ◆❛s❡r❛sr ✷✵✵✺✮

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3 5 7 9 forbidden minor K4 K5 K6 K7 K3 K4=PC(2) K5 K6? PC(4) PC(6) PC(8)? ... ... Hadwiger's conjecture Naserasr's conjecture ??? ??? ??? ...

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• röt③s❝❤ ❣r❛♣❤

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• röt③s❝❤ ❣r❛♣❤

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• röt③s❝❤ ❣r❛♣❤

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• röt③s❝❤ ❣r❛♣❤

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❦ = ✷✿ ▼✶(❈✺)

• röt③s❝❤ ❣r❛♣❤

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• röt③s❝❤ ❣r❛♣❤

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▲❡t ✶ ≤ ♣,q,r ≤ ❦✳

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• ▲❡t ● ⊆
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• ) ❛♥❞ ❞●(✉✇) = q✱

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• < ✷✷❦/✷

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• < ✷✷❦/✷

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❖❞❞✲❣✐rt❤ ✺ ✭✐✳❡✳ tr✐❛♥❣❧❡✲❢r❡❡✮✿ P❈(✹)✱ ❑(✽/✸)✱ ❑♥(✺,✷)✱ ▼✶(❈✺) ❛r❡ ❜♦✉♥❞s✳

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• röt③s❝❤ ❣r❛♣❤ ▼✶(❈✺)

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❖❞❞✲❣✐rt❤ ✼✿ P❈(✻)✱ ❑♥(✼,✸)✱ ❑(✺/✷) = ❈✺✱ P❚●(✸,✸)✱ ▼✷(❈✼) ❛r❡ ❜♦✉♥❞s✳

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❖❞❞✲❣✐rt❤ ✼✿ P❈(✻)✱ ❑♥(✼,✸)✱ ❑(✺/✷) = ❈✺✱ P❚●(✸,✸)✱ ▼✷(❈✼) ❛r❡ ❜♦✉♥❞s✳ ❚❤❡ ❣r❛♣❤ ❜❡❧♦✇ ✭♦r❞❡r ✶✻✮ ✐s ❛ ❜♦✉♥❞ ❢♦r ❑✹✲♠✐♥♦r✲❢r❡❡ ❣r❛♣❤s ♦❢ ♦❞❞✲❣✐rt❤ ❛t ❧❡❛st ✼✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❇❡❛✉❞♦✉✱ ❋✳✱ ◆❛s❡r❛sr✱ ✷✵✶✼✮

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