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Jun 03, 2023 333 likes •1.19k views

Pttr s rt ttrss t t r rt s

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SLIDE 1

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❉▲❚ ✷✵✶✷

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 2

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

P❛tt❡r♥ ❧❛♥❣✉❛❣❡s ✶✴✷

Σ✿ ❋✐♥✐t❡ ❛❧♣❤❛❜❡t ♦❢ t❡r♠✐♥❛❧ s②♠❜♦❧s ✭❡✳ ❣✳ Σ = {❛, ❜, ❝, ❞}✮✳ ❳ = {①✶, ①✷, ①✸, . . .}✿ ■♥✜♥✐t❡ ❛❧♣❤❛❜❡t ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s✳ ❆ ✇♦r❞ α ∈ (Σ ∪ ❳)+ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛ ♣❛tt❡r♥✳

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 3

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❇❛s✐❝ ❉❡✜♥✐t✐♦♥s

▼♦r♣❤✐s♠✿ ▼❛♣♣✐♥❣ ❤ : Γ∗

✶ → Γ∗ ✷ ✇✐t❤ ❤(① · ②) = ❤(①) · ❤(②)❀

❤ ✐s ♥♦♥❡r❛s✐♥❣ ✐✛✱ ❢♦r ❡✈❡r② ❛ ∈ Γ✶✱ ❤(❛) = ε✳ ❙✉❜st✐t✉t✐♦♥✿ ▼♦r♣❤✐s♠ ❤ : (Σ ∪ ❳)∗ → Σ∗ ✇✐t❤ ❤(❛) = ❛ ❢♦r ❛❧❧ ❛ ∈ Σ✳ ▲❊,Σ(α) := {❤(α) | ❤ ✐s ❛ s✉❜st✐t✉t✐♦♥}✳ ▲◆❊,Σ(α) := {❤(α) | ❤ ✐s ♥♦♥❡r❛s✐♥❣ s✉❜st✐t✉t✐♦♥}✳

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 4

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

P❛tt❡r♥ ❧❛♥❣✉❛❣❡s ✷✴✷

α = ①✶ ❛❛ ①✷ ①✶ ①✷ ❝❜ ①✶ ❛❝❛❛❛❜❝❜❛❛❝❛❜❝❜❛❝❜❛❝ ▲◆❊

❛ ❜ ❝

✇ ✇ ✉ ❛❛ ✈ ✉ ✈ ❝❜ ✉ ✉ ✈ ❛ ❜ ❝ ✳ ❝❝❜❛❛❝❝❜❝❜❝❝❜ ▲◆❊

❛ ❜ ❝

❝❝❜❛❛❝❝❜❝❜❝❝❜ ▲❊

❛ ❜ ❝

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 5

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

P❛tt❡r♥ ❧❛♥❣✉❛❣❡s ✷✴✷

α = ①✶ ❛❛ ①✷ ①✶ ①✷ ❝❜ ①✶ ❛❝❛❛❛❜❝❜❛❛❝❛❜❝❜❛❝❜❛❝ ▲◆❊

❛ ❜ ❝

✇ ✇ ✉ ❛❛ ✈ ✉ ✈ ❝❜ ✉ ✉ ✈ ❛ ❜ ❝ ✳ ❝❝❜❛❛❝❝❜❝❜❝❝❜ ▲◆❊

❛ ❜ ❝

❝❝❜❛❛❝❝❜❝❜❝❝❜ ▲❊

❛ ❜ ❝

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 6

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

P❛tt❡r♥ ❧❛♥❣✉❛❣❡s ✷✴✷

α = ①✶ ❛❛ ①✷ ①✶ ①✷ ❝❜ ①✶ ❛❝❛❛❛❜❝❜❛❛❝❛❜❝❜❛❝❜❛❝ ▲◆❊

❛ ❜ ❝

✇ ✇ ✉ ❛❛ ✈ ✉ ✈ ❝❜ ✉ ✉ ✈ ❛ ❜ ❝ ✳ ❝❝❜❛❛❝❝❜❝❜❝❝❜ ▲◆❊

❛ ❜ ❝

❝❝❜❛❛❝❝❜❝❜❝❝❜ ▲❊

❛ ❜ ❝

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 7

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

P❛tt❡r♥ ❧❛♥❣✉❛❣❡s ✷✴✷

α = ①✶ ❛❛ ①✷ ①✶ ①✷ ❝❜ ①✶ ❛❝❛❛❛❜❝❜❛❛❝❛❜❝❜❛❝❜❛❝ ▲◆❊

❛ ❜ ❝

✇ ✇ ✉ ❛❛ ✈ ✉ ✈ ❝❜ ✉ ✉ ✈ ❛ ❜ ❝ ✳ ❝❝❜❛❛❝❝❜❝❜❝❝❜ ▲◆❊

❛ ❜ ❝

❝❝❜❛❛❝❝❜❝❜❝❝❜ ▲❊

❛ ❜ ❝

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 8

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

P❛tt❡r♥ ❧❛♥❣✉❛❣❡s ✷✴✷

α = ①✶ ❛❛ ①✷ ①✶ ①✷ ❝❜ ①✶ ❛❝❛❛❛❜❝❜❛❛❝❛❜❝❜❛❝❜❛❝ ▲◆❊

❛ ❜ ❝

✇ ✇ ✉ ❛❛ ✈ ✉ ✈ ❝❜ ✉ ✉ ✈ ❛ ❜ ❝ ✳ ❝❝❜❛❛❝❝❜❝❜❝❝❜ ▲◆❊

❛ ❜ ❝

❝❝❜❛❛❝❝❜❝❜❝❝❜ ▲❊

❛ ❜ ❝

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 9

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

P❛tt❡r♥ ❧❛♥❣✉❛❣❡s ✷✴✷

α = ①✶ ❛❛ ①✷ ①✶ ①✷ ❝❜ ①✶ ❛❝❛❛❛❜❝❜❛❛❝❛❜❝❜❛❝❜❛❝ ▲◆❊,{❛,❜,❝}(α) = {✇ | ✇ = ✉ ❛❛ ✈ ✉ ✈ ❝❜ ✉, ✉, ✈ ∈ {❛, ❜, ❝}+}✳ ❝❝❜❛❛❝❝❜❝❜❝❝❜ ▲◆❊

❛ ❜ ❝

❝❝❜❛❛❝❝❜❝❜❝❝❜ ▲❊

❛ ❜ ❝

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 10

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

P❛tt❡r♥ ❧❛♥❣✉❛❣❡s ✷✴✷

α = ①✶ ❛❛ ①✷ ①✶ ①✷ ❝❜ ①✶ ❛❝❛❛❛❜❝❜❛❛❝❛❜❝❜❛❝❜❛❝ ▲◆❊,{❛,❜,❝}(α) = {✇ | ✇ = ✉ ❛❛ ✈ ✉ ✈ ❝❜ ✉, ✉, ✈ ∈ {❛, ❜, ❝}+}✳ ❝❝❜❛❛❝❝❜❝❜❝❝❜ / ∈ ▲◆❊,{❛,❜,❝}(α) ❝❝❜❛❛❝❝❜❝❜❝❝❜ ▲❊

❛ ❜ ❝

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 11

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

P❛tt❡r♥ ❧❛♥❣✉❛❣❡s ✷✴✷

α = ①✶ ❛❛ ①✷ ①✶ ①✷ ❝❜ ①✶ ❛❝❛❛❛❜❝❜❛❛❝❛❜❝❜❛❝❜❛❝ ▲◆❊,{❛,❜,❝}(α) = {✇ | ✇ = ✉ ❛❛ ✈ ✉ ✈ ❝❜ ✉, ✉, ✈ ∈ {❛, ❜, ❝}+}✳ ❝❝❜❛❛❝❝❜❝❜❝❝❜ / ∈ ▲◆❊,{❛,❜,❝}(α) ❝❝❜❛❛❝❝❜❝❜❝❝❜ ∈ ▲❊,{❛,❜,❝}(α)

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 12

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

◆♦t❛t✐♦♥

✈❛r(α)✿ ❙❡t ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s ♦❝❝✉rr✐♥❣ ✐♥ α✳ ❊✳ ❣✳ ✈❛r(①✶❛❜①✷❜❛①✶①✷❝①✸) = {①✶, ①✷, ①✸}✳ |α|①✐✿ ◆✉♠❜❡r ♦❢ ♦❝❝✉rr❡♥❝❡s ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡ ①✐ ✐♥ α✳ ❊✳ ❣✳ |①✶❛❜①✷❜❛①✶①✷❝①✸|①✷ = ✷✳ ❘❊● := r❡❣✉❧❛r ❧❛♥❣✉❛❣❡s✱ ❈❋ := ❝♦♥t❡①t✲❢r❡❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡s✱ ❈❙ := ❝♦♥t❡①t✲s❡♥s✐t✐✈❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡s✱ ❩ ∈ {❊, ◆❊}✱ ❩-P❆❚Σ = ❩✲P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ✭✇✳ r✳ t✳ Σ✮✳

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 13

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❛♥❞ t❤❡ ❈❤♦♠s❦② ❍✐❡r❛❝❤②

P❛tt❡r♥ ❧❛♥❣✉❛❣❡s ❛r❡ s♦♠❡✇❤❛t ✏♦rt❤♦❣♦♥❛❧✑ t♦ t❤❡ ❈❤♦♠s❦② ❤✐❡r❛r❝❤②✱ ✐✳ ❡✳✱ ❢♦r ❡✈❡r② ❩ ∈ {❊, ◆❊} ❛♥❞ ❡✈❡r② Σ ✇✐t❤ |Σ| ≥ ✷✿

❩ P❆❚ ❈❙✱ ❩ P❆❚ ❘❊●✱ ❩ P❆❚ ❈❋✱ ❩ P❆❚ ❘❊● ✱ ❩ P❆❚ ❈❋ ✳

❚❤❡ s❡ts ❩ P❆❚ ❘❊● ❛♥❞ ❩ P❆❚ ❈❋ ❛r❡ s✉r♣r✐s✐♥❣❧② ❞✐✣❝✉❧t t♦ ❝❤❛r❛❝t❡r✐s❡✳

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 14

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❛♥❞ t❤❡ ❈❤♦♠s❦② ❍✐❡r❛❝❤②

P❛tt❡r♥ ❧❛♥❣✉❛❣❡s ❛r❡ s♦♠❡✇❤❛t ✏♦rt❤♦❣♦♥❛❧✑ t♦ t❤❡ ❈❤♦♠s❦② ❤✐❡r❛r❝❤②✱ ✐✳ ❡✳✱ ❢♦r ❡✈❡r② ❩ ∈ {❊, ◆❊} ❛♥❞ ❡✈❡r② Σ ✇✐t❤ |Σ| ≥ ✷✿

❩-P❆❚Σ ⊆ ❈❙✱ ❩ P❆❚ ❘❊●✱ ❩ P❆❚ ❈❋✱ ❩ P❆❚ ❘❊● ✱ ❩ P❆❚ ❈❋ ✳

❚❤❡ s❡ts ❩ P❆❚ ❘❊● ❛♥❞ ❩ P❆❚ ❈❋ ❛r❡ s✉r♣r✐s✐♥❣❧② ❞✐✣❝✉❧t t♦ ❝❤❛r❛❝t❡r✐s❡✳

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 15

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❛♥❞ t❤❡ ❈❤♦♠s❦② ❍✐❡r❛❝❤②

P❛tt❡r♥ ❧❛♥❣✉❛❣❡s ❛r❡ s♦♠❡✇❤❛t ✏♦rt❤♦❣♦♥❛❧✑ t♦ t❤❡ ❈❤♦♠s❦② ❤✐❡r❛r❝❤②✱ ✐✳ ❡✳✱ ❢♦r ❡✈❡r② ❩ ∈ {❊, ◆❊} ❛♥❞ ❡✈❡r② Σ ✇✐t❤ |Σ| ≥ ✷✿

❩-P❆❚Σ ⊆ ❈❙✱ ❩-P❆❚Σ # ❘❊●✱ ❩-P❆❚Σ # ❈❋✱ ❩ P❆❚ ❘❊● ✱ ❩ P❆❚ ❈❋ ✳

❚❤❡ s❡ts ❩ P❆❚ ❘❊● ❛♥❞ ❩ P❆❚ ❈❋ ❛r❡ s✉r♣r✐s✐♥❣❧② ❞✐✣❝✉❧t t♦ ❝❤❛r❛❝t❡r✐s❡✳

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 16

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❛♥❞ t❤❡ ❈❤♦♠s❦② ❍✐❡r❛❝❤②

P❛tt❡r♥ ❧❛♥❣✉❛❣❡s ❛r❡ s♦♠❡✇❤❛t ✏♦rt❤♦❣♦♥❛❧✑ t♦ t❤❡ ❈❤♦♠s❦② ❤✐❡r❛r❝❤②✱ ✐✳ ❡✳✱ ❢♦r ❡✈❡r② ❩ ∈ {❊, ◆❊} ❛♥❞ ❡✈❡r② Σ ✇✐t❤ |Σ| ≥ ✷✿

❩-P❆❚Σ ⊆ ❈❙✱ ❩-P❆❚Σ # ❘❊●✱ ❩-P❆❚Σ # ❈❋✱ ❩-P❆❚Σ ∩ ❘❊● = ∅✱ ❩-P❆❚Σ ∩ ❈❋ = ∅✳

❚❤❡ s❡ts ❩ P❆❚ ❘❊● ❛♥❞ ❩ P❆❚ ❈❋ ❛r❡ s✉r♣r✐s✐♥❣❧② ❞✐✣❝✉❧t t♦ ❝❤❛r❛❝t❡r✐s❡✳

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 17

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❛♥❞ t❤❡ ❈❤♦♠s❦② ❍✐❡r❛❝❤②

P❛tt❡r♥ ❧❛♥❣✉❛❣❡s ❛r❡ s♦♠❡✇❤❛t ✏♦rt❤♦❣♦♥❛❧✑ t♦ t❤❡ ❈❤♦♠s❦② ❤✐❡r❛r❝❤②✱ ✐✳ ❡✳✱ ❢♦r ❡✈❡r② ❩ ∈ {❊, ◆❊} ❛♥❞ ❡✈❡r② Σ ✇✐t❤ |Σ| ≥ ✷✿

❩-P❆❚Σ ⊆ ❈❙✱ ❩-P❆❚Σ # ❘❊●✱ ❩-P❆❚Σ # ❈❋✱ ❩-P❆❚Σ ∩ ❘❊● = ∅✱ ❩-P❆❚Σ ∩ ❈❋ = ∅✳

❚❤❡ s❡ts ❩-P❆❚Σ ∩ ❘❊● ❛♥❞ ❩-P❆❚Σ ∩ ❈❋ ❛r❡ s✉r♣r✐s✐♥❣❧② ❞✐✣❝✉❧t t♦ ❝❤❛r❛❝t❡r✐s❡✳

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 18

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

◆♦t❛t✐♦♥

▲❊,Σ(α) ∈ ❘❊● ⇔ α ∈ ❘❊● ✭❊✱ Σ✮, ▲❩,Σ(α) ∈ ❘❊●, ❢♦r ❡✈❡r② ❩ ∈ {❊, ◆❊} ⇔ α ∈ ❘❊● ✭❩✱ Σ✮.

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 19

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❊①❛♠♣❧❡s

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P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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❩✲P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ✭✇✳ r✳ t✳ ✮ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❜❧♦❝❦✲r❡❣✉❧❛r ♣❛tt❡r♥s✳

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P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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❏❛✐♥ ❡t ❛❧✳ s❤♦✇ t❤❛t ✐❢ |Σ| ≥ ✹✱ t❤❡♥ ❊-P❆❚Σ,r❡❣ = ❊-P❆❚Σ,❜-r❡❣ = (❊-P❆❚Σ ∩ ❘❊●) = (❊-P❆❚Σ ∩ ❈❋) . ■❢ |Σ| = ✶ ❛♥❞ ❩ ∈ {❊, ◆❊}✱ t❤❡♥ ❩-P❆❚Σ = (❩-P❆❚Σ ∩ ❘❊●)✳ ❏❛✐♥ ❡t ❛❧✳ s❤♦✇ t❤❛t ❛ t❡r♠✐♥❛❧✲❢r❡❡ ♣❛tt❡r♥ α ❞❡s❝r✐❜❡s ❛ r❡❣✉❧❛r ✭❝♦♥t❡①t✲❢r❡❡✮ ❊✲♣❛tt❡r♥ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ✐✛ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐♥ α ❤❛s ♦♥❧② ♦♥❡ ♦❝❝✉rr❡♥❝❡✳ ❍❛r❞ ❝❛s❡s✿

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P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❑♥♦✇♥ ❈❤❛r❛❝t❡r✐s❛t✐♦♥s

❏❛✐♥ ❡t ❛❧✳ s❤♦✇ t❤❛t ✐❢ |Σ| ≥ ✹✱ t❤❡♥ ❊-P❆❚Σ,r❡❣ = ❊-P❆❚Σ,❜-r❡❣ = (❊-P❆❚Σ ∩ ❘❊●) = (❊-P❆❚Σ ∩ ❈❋) . ■❢ |Σ| = ✶ ❛♥❞ ❩ ∈ {❊, ◆❊}✱ t❤❡♥ ❩-P❆❚Σ = (❩-P❆❚Σ ∩ ❘❊●)✳ ❏❛✐♥ ❡t ❛❧✳ s❤♦✇ t❤❛t ❛ t❡r♠✐♥❛❧✲❢r❡❡ ♣❛tt❡r♥ α ❞❡s❝r✐❜❡s ❛ r❡❣✉❧❛r ✭❝♦♥t❡①t✲❢r❡❡✮ ❊✲♣❛tt❡r♥ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ✐✛ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐♥ α ❤❛s ♦♥❧② ♦♥❡ ♦❝❝✉rr❡♥❝❡✳ ❍❛r❞ ❝❛s❡s✿

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P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❘❡♣❡❛t❡❞ ❱❛r✐❛❜❧❡s

❚❤❡♦r❡♠ ✭❏❛✐♥ ❡t ❛❧✳✱ ✷✵✶✵✮ ▲❡t |Σ| ≥ ✷ ❛♥❞ ❧❡t α ∈ ❳ +✳ ■❢✱ ❢♦r ❡✈❡r② ① ∈ ✈❛r(α)✱ |α|① ≥ ✷✱ t❤❡♥ α / ∈ ❈❋ ✭❊✱ Σ✮ ❛♥❞ α / ∈ ❘❊● ✭◆❊✱ Σ✮✳ ❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t ✷ ❛♥❞ ❧❡t ❳ ✳ ■❢✱ ❢♦r ❡✈❡r② ① ✈❛r ✱

①

✷✱ t❤❡♥ ❘❊● ✭❩✱ ✮✳ ❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t ✸ ❛♥❞ ❧❡t ❳ ✳ ■❢✱ ❢♦r ❡✈❡r② ① ✈❛r ✱

①

✷✱ t❤❡♥ ❈❋ ✭❩✱ ✮✳

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 33

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❘❡♣❡❛t❡❞ ❱❛r✐❛❜❧❡s

❚❤❡♦r❡♠ ✭❏❛✐♥ ❡t ❛❧✳✱ ✷✵✶✵✮ ▲❡t |Σ| ≥ ✷ ❛♥❞ ❧❡t α ∈ ❳ +✳ ■❢✱ ❢♦r ❡✈❡r② ① ∈ ✈❛r(α)✱ |α|① ≥ ✷✱ t❤❡♥ α / ∈ ❈❋ ✭❊✱ Σ✮ ❛♥❞ α / ∈ ❘❊● ✭◆❊✱ Σ✮✳ ❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t |Σ| ≥ ✷ ❛♥❞ ❧❡t α ∈ (Σ ∪ ❳)+✳ ■❢✱ ❢♦r ❡✈❡r② ① ∈ ✈❛r(α)✱ |α|① ≥ ✷✱ t❤❡♥ α / ∈ ❘❊● ✭❩✱ Σ✮✳ ❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t |Σ| ≥ ✸ ❛♥❞ ❧❡t α ∈ (Σ ∪ ❳)+✳ ■❢✱ ❢♦r ❡✈❡r② ① ∈ ✈❛r(α)✱ |α|① ≥ ✷✱ t❤❡♥ α / ∈ ❈❋ ✭❩✱ Σ✮✳

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 34

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t Σ ❜❡ t❡r♠✐♥❛❧ ❛❧♣❤❛❜❡ts ✇✐t❤ |Σ| ≤ ✸ ❛♥❞ ❧❡t ❩ ∈ {❊, ◆❊}✳ ▲❡t α ❜❡ ❛ ♣❛tt❡r♥ ✇✐t❤ α = β · ❞ · γ · ❞′ · δ, ✇❤❡r❡ ❞, ❞′ ∈ Σ, γ ∈ ❳ +. ■❢ ✈❛r(γ) ⊆ ✈❛r(β) ∪ ✈❛r(δ)✱ t❤❡♥ α / ∈ ❘❊● ✭❩✱ Σ′✮✳

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 35

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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❲❡ ♥♦✇ ❢♦❝✉s ♦♥ ❊ ❝❛s❡✱ ♣❛tt❡r♥s ✇✐t❤ t❡r♠✐♥❛❧ s②♠❜♦❧s ❛♥❞ ♣❛tt❡r♥s ✇✐t❤ ✈❛r✐❛❜❧❡s t❤❛t ❛r❡ ♥♦t r❡♣❡❛t❡❞✳

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 36

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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❲❡ ♥♦✇ ❢♦❝✉s ♦♥ ❊ ❝❛s❡✱ ♣❛tt❡r♥s ✇✐t❤ t❡r♠✐♥❛❧ s②♠❜♦❧s ❛♥❞ ♣❛tt❡r♥s ✇✐t❤ ✈❛r✐❛❜❧❡s t❤❛t ❛r❡ ♥♦t r❡♣❡❛t❡❞✳

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 37

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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❲❡ ♥♦✇ ❢♦❝✉s ♦♥ ❊ ❝❛s❡✱ ♣❛tt❡r♥s ✇✐t❤ t❡r♠✐♥❛❧ s②♠❜♦❧s ❛♥❞ ♣❛tt❡r♥s ✇✐t❤ ✈❛r✐❛❜❧❡s t❤❛t ❛r❡ ♥♦t r❡♣❡❛t❡❞✳

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 38

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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❲❡ ♥♦✇ ❢♦❝✉s ♦♥ ❊ ❝❛s❡✱ ♣❛tt❡r♥s ✇✐t❤ t❡r♠✐♥❛❧ s②♠❜♦❧s ❛♥❞ ♣❛tt❡r♥s ✇✐t❤ ✈❛r✐❛❜❧❡s t❤❛t ❛r❡ ♥♦t r❡♣❡❛t❡❞✳

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 39

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❊①❛♠♣❧❡

❊ ❝❛s❡✿ |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ ∈ ❘❊●, ①✶ ❛(❜❜)∗❛ ①✸ |Σ| ≥ ✸ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ / ∈ ❘❊●, |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❜ ①✸ ∈ ❘❊●, ①✶ ❛❜ ①✸ |Σ| ≥ ✸ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❜ ①✸ / ∈ ❘❊● .

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 40

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❊①❛♠♣❧❡

❊ ❝❛s❡✿ |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ ∈ ❘❊●, ①✶ ❛(❜❜)∗❛ ①✸ |Σ| ≥ ✸ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ / ∈ ❘❊●, |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❜ ①✸ ∈ ❘❊●, ①✶ ❛❜ ①✸ |Σ| ≥ ✸ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❜ ①✸ / ∈ ❘❊● .

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 41

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❊①❛♠♣❧❡

❊ ❝❛s❡✿ |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ ∈ ❘❊●, ①✶ ❛(❜❜)∗❛ ①✸ |Σ| ≥ ✸ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ / ∈ ❘❊●, |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❜ ①✸ ∈ ❘❊●, ①✶ ❛❜ ①✸ |Σ| ≥ ✸ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❜ ①✸ / ∈ ❘❊● .

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 42

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❊①❛♠♣❧❡

❊ ❝❛s❡✿ |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ ∈ ❘❊●, ①✶ ❛(❜❜)∗❛ ①✸ |Σ| ≥ ✸ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ / ∈ ❘❊●, |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❜ ①✸ ∈ ❘❊●, ①✶ ❛❜ ①✸ |Σ| ≥ ✸ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❜ ①✸ / ∈ ❘❊● .

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 43

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❊①❛♠♣❧❡

❊ ❝❛s❡✿ |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ ∈ ❘❊●, ①✶ ❛(❜❜)∗❛ ①✸ |Σ| ≥ ✸ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ / ∈ ❘❊●, |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❜ ①✸ ∈ ❘❊●, ①✶ ❛❜ ①✸ |Σ| ≥ ✸ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❜ ①✸ / ∈ ❘❊● .

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 44

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❊①❛♠♣❧❡

❊, ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ❛ ①✷ ❛ ①✸ / ∈ ❘❊●, ❊, ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ❛ ①✷ ❜ ①✸ / ∈ ❘❊●, ❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ❜ ①✷ ❛ ①✸ ∈ ❘❊●, ①✶ ❛ (❜❜)∗❜ ❛ ①✸ ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ❜ ①✷ ❛ ①✸ / ∈ ❘❊●, ❊, ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| ≥ ✸ : ①✶ ❛ ①✷ ❜ ①✷ ❛ ①✸ / ∈ ❘❊● .

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 45

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❊①❛♠♣❧❡

❊, ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ❛ ①✷ ❛ ①✸ / ∈ ❘❊●, ❊, ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ❛ ①✷ ❜ ①✸ / ∈ ❘❊●, ❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ❜ ①✷ ❛ ①✸ ∈ ❘❊●, ①✶ ❛ (❜❜)∗❜ ❛ ①✸ ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ❜ ①✷ ❛ ①✸ / ∈ ❘❊●, ❊, ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| ≥ ✸ : ①✶ ❛ ①✷ ❜ ①✷ ❛ ①✸ / ∈ ❘❊● .

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 46

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❊①❛♠♣❧❡

❊, ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ❛ ①✷ ❛ ①✸ / ∈ ❘❊●, ❊, ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ❛ ①✷ ❜ ①✸ / ∈ ❘❊●, ❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ❜ ①✷ ❛ ①✸ ∈ ❘❊●, ①✶ ❛ (❜❜)∗❜ ❛ ①✸ ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ❜ ①✷ ❛ ①✸ / ∈ ❘❊●, ❊, ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| ≥ ✸ : ①✶ ❛ ①✷ ❜ ①✷ ❛ ①✸ / ∈ ❘❊● .

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 47

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❊①❛♠♣❧❡

❊, ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ❛ ①✷ ❛ ①✸ / ∈ ❘❊●, ❊, ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ❛ ①✷ ❜ ①✸ / ∈ ❘❊●, ❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ❜ ①✷ ❛ ①✸ ∈ ❘❊●, ①✶ ❛ (❜❜)∗❜ ❛ ①✸ ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ❜ ①✷ ❛ ①✸ / ∈ ❘❊●, ❊, ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| ≥ ✸ : ①✶ ❛ ①✷ ❜ ①✷ ❛ ①✸ / ∈ ❘❊● .

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 48

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❊①❛♠♣❧❡

❊, ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ❛ ①✷ ❛ ①✸ / ∈ ❘❊●, ❊, ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ❛ ①✷ ❜ ①✸ / ∈ ❘❊●, ❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ❜ ①✷ ❛ ①✸ ∈ ❘❊●, ①✶ ❛ (❜❜)∗❜ ❛ ①✸ ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ❜ ①✷ ❛ ①✸ / ∈ ❘❊●, ❊, ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| ≥ ✸ : ①✶ ❛ ①✷ ❜ ①✷ ❛ ①✸ / ∈ ❘❊● .

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 49

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❊①❛♠♣❧❡

❊, ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ❛ ①✷ ❛ ①✸ / ∈ ❘❊●, ❊, ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ❛ ①✷ ❜ ①✸ / ∈ ❘❊●, ❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ❜ ①✷ ❛ ①✸ ∈ ❘❊●, ①✶ ❛ (❜❜)∗❜ ❛ ①✸ ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ❜ ①✷ ❛ ①✸ / ∈ ❘❊●, ❊, ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| ≥ ✸ : ①✶ ❛ ①✷ ❜ ①✷ ❛ ①✸ / ∈ ❘❊● .

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 50

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❊①❛♠♣❧❡

❊, ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ ①✸ ❛ ①✹ / ∈ ❘❊●, ❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❜ ①✸ ①✸ ❛ ①✹ ∈ ❘❊●, ①✶ · ❛ · (❜❜)∗ · ❜ · ❛ · ①✹ ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❜ ①✸ ①✸ ❛ ①✹ / ∈ ❘❊●, ❊ ❝❛s❡ , |Σ| ≥ ✸ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❜ ①✸ ①✸ ❛ ①✹ / ∈ ❘❊●, ❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ ①✸ ❜ ①✹ ∈ ❘❊●, ①✶ · ❛ · (❜❜)∗ · ❛ · ❜ · ①✹ ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ ①✸ ❜ ①✹ / ∈ ❘❊●, ❊ ❝❛s❡ , |Σ| ≥ ✸ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ ①✸ ❜ ①✹ / ∈ ❘❊●, ▲❊

❛ ❜

①✶❞✶①✷①✷❞✷①✸①✸❞✸①✹ ❘❊● ✐✛ ❞✶ ❞✷ ❞✸✳

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 51

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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❊, ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ ①✸ ❛ ①✹ / ∈ ❘❊●, ❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❜ ①✸ ①✸ ❛ ①✹ ∈ ❘❊●, ①✶ · ❛ · (❜❜)∗ · ❜ · ❛ · ①✹ ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❜ ①✸ ①✸ ❛ ①✹ / ∈ ❘❊●, ❊ ❝❛s❡ , |Σ| ≥ ✸ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❜ ①✸ ①✸ ❛ ①✹ / ∈ ❘❊●, ❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ ①✸ ❜ ①✹ ∈ ❘❊●, ①✶ · ❛ · (❜❜)∗ · ❛ · ❜ · ①✹ ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ ①✸ ❜ ①✹ / ∈ ❘❊●, ❊ ❝❛s❡ , |Σ| ≥ ✸ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ ①✸ ❜ ①✹ / ∈ ❘❊●, ▲❊

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SLIDE 56

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❊, ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ ①✸ ❛ ①✹ / ∈ ❘❊●, ❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❜ ①✸ ①✸ ❛ ①✹ ∈ ❘❊●, ①✶ · ❛ · (❜❜)∗ · ❜ · ❛ · ①✹ ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❜ ①✸ ①✸ ❛ ①✹ / ∈ ❘❊●, ❊ ❝❛s❡ , |Σ| ≥ ✸ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❜ ①✸ ①✸ ❛ ①✹ / ∈ ❘❊●, ❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ ①✸ ❜ ①✹ ∈ ❘❊●, ①✶ · ❛ · (❜❜)∗ · ❛ · ❜ · ①✹ ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ ①✸ ❜ ①✹ / ∈ ❘❊●, ❊ ❝❛s❡ , |Σ| ≥ ✸ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ ①✸ ❜ ①✹ / ∈ ❘❊●, ▲❊

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SLIDE 57

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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❊, ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ ①✸ ❛ ①✹ / ∈ ❘❊●, ❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❜ ①✸ ①✸ ❛ ①✹ ∈ ❘❊●, ①✶ · ❛ · (❜❜)∗ · ❜ · ❛ · ①✹ ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❜ ①✸ ①✸ ❛ ①✹ / ∈ ❘❊●, ❊ ❝❛s❡ , |Σ| ≥ ✸ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❜ ①✸ ①✸ ❛ ①✹ / ∈ ❘❊●, ❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ ①✸ ❜ ①✹ ∈ ❘❊●, ①✶ · ❛ · (❜❜)∗ · ❛ · ❜ · ①✹ ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ ①✸ ❜ ①✹ / ∈ ❘❊●, ❊ ❝❛s❡ , |Σ| ≥ ✸ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ ①✸ ❜ ①✹ / ∈ ❘❊●, ▲❊,{❛,❜}(①✶❞✶①✷①✷❞✷①✸①✸❞✸①✹) / ∈ ❘❊● ✐✛ ❞✶ = ❞✷ = ❞✸✳

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SLIDE 58

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❊①❛♠♣❧❡

❊, ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ ①✸ ❛ ①✹ / ∈ ❘❊●, ❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❜ ①✸ ①✸ ❛ ①✹ ∈ ❘❊●, ①✶ · ❛ · (❜❜)∗ · ❜ · ❛ · ①✹ ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❜ ①✸ ①✸ ❛ ①✹ / ∈ ❘❊●, ❊ ❝❛s❡ , |Σ| ≥ ✸ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❜ ①✸ ①✸ ❛ ①✹ / ∈ ❘❊●, ❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ ①✸ ❜ ①✹ ∈ ❘❊●, ①✶ · ❛ · (❜❜)∗ · ❛ · ❜ · ①✹ ◆❊ ❝❛s❡ , |Σ| = ✷ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ ①✸ ❜ ①✹ / ∈ ❘❊●, ❊ ❝❛s❡ , |Σ| ≥ ✸ : ①✶ ❛ ①✷ ①✷ ❛ ①✸ ①✸ ❜ ①✹ / ∈ ❘❊●, ▲❊,{❛,❜}(①✶❞✶①✷①✷❞✷①✸①✸❞✸①✹) / ∈ ❘❊● ✐✛ ❞✶ = ❞✷ = ❞✸✳

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 59

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❚✇♦ ❇❛s✐❝ ▲❡♠♠❛s

▲❡♠♠❛ ✶✿ ▲❊,{❛,❜}(β·② ·β′·❛·γ·❜·δ′·③ ·δ) = ▲❊,{❛,❜}(β·② ·❛❜·③ ·δ) , ▲❡♠♠❛ ✷✿ ▲❊,{❛,❜}(β·②·β′·❛·γ·❛·δ′·③·δ) = ▲❊,{❛,❜}(β·②·❛(❜❜)∗❛·③·δ) , β, δ ∈ ({❛, ❜} ∪ ❳)∗✱ β′, γ, δ′ ∈ ❳ ∗✱ ②, ③ ∈ ❳✱ |α|② = |α|③ = ✶✱ ✈❛r(β′ · γ · δ′) ∩ ✈❛r(β · δ) = ∅✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ③ ✈❛r ✇✐t❤

③

✷✱

① ✐s ❡✈❡♥✱ ①

✈❛r ✳

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 60

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❚✇♦ ❇❛s✐❝ ▲❡♠♠❛s

▲❡♠♠❛ ✶✿ ▲❊,{❛,❜}(β·② ·β′·❛·γ·❜·δ′·③ ·δ) = ▲❊,{❛,❜}(β·② ·❛❜·③ ·δ) , ▲❡♠♠❛ ✷✿ ▲❊,{❛,❜}(β·②·β′·❛·γ·❛·δ′·③·δ) = ▲❊,{❛,❜}(β·②·❛(❜❜)∗❛·③·δ) , β, δ ∈ ({❛, ❜} ∪ ❳)∗✱ β′, γ, δ′ ∈ ❳ ∗✱ ②, ③ ∈ ❳✱ |α|② = |α|③ = ✶✱ ✈❛r(β′ · γ · δ′) ∩ ✈❛r(β · δ) = ∅✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ③′ ∈ ✈❛r(γ) ✇✐t❤ |α|③′ = ✷✱ |γ|① ✐s ❡✈❡♥✱ ① ∈ ✈❛r(γ)✳

❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 61

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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SLIDE 62

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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SLIDE 64

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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SLIDE 65

P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡♥❡ss ❆ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❘❡❣✉❧❛r✐t② ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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❉❛♥✐❡❧ ❘❡✐❞❡♥❜❛❝❤✱ ▼❛r❦✉s ▲✳ ❙❝❤♠✐❞✱ ▲♦✉❣❤❜♦r♦✉❣❤ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❯❑ ❘❡❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈♦♥t❡①t✲❋r❡❡ P❛tt❡r♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ❖✈❡r ❙♠❛❧❧ ❆❧♣❤❛❜❡ts

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SLIDE 83

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SLIDE 84

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