rs r - - PowerPoint PPT Presentation

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

◗✉❛♥t✉♠ ●r❛✈✐t② ✐♥ P❛r✐s ❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ■♥st✐t✉t ❍❡♥r✐ P♦✐♥❝❛ré✱ P❛r✐s ✷✵✶✼

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❖✉t❧✐♥❡

✶ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ✷ ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ✸ ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ❛ t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ✹ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ✺ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

▼❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❢♦r ✷❞ q✉❛♥t✉♠ ❣r❛✈✐t②

■♥t❡❣r❛❧s ♦❢ ♠❛tr✐❝❡s ✇✐t❤ ❋❡②♥♠❛♥ ❣r❛♣❤s ❂ ♣♦❧②✲❛♥❣✉❧❛t✐♦♥s ♦❢ s✉r❢❛❝❡s✳

p = 5 p = 4 p = 3 p = 2

❋✐❣✉r❡✿ ❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❛ ♣♦❧②✲❛♥❣✉❧❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✐ts ❞✉❛❧ ❋❡②♥♠❛♥ ●r❛♣❤✳

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❖❜s❡r✈❛❜❧❡s ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧✿ {Op = tr(Mp)|p ∈ N} ❘❡♣r❡s❡♥t ❜♦✉♥❞❛r② st❛t❡s ♦❢ t❤❡ tr✐❛♥❣✉❧❛t❡❞ s✉r❢❛❝❡s✳ Pr♦❞✉❝t ♦❢ Op ⇒ ♠✉❧t✐♣❧❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✳ ✏❚r❛♥s✐t✐♦♥ ❛♠♣❧✐t✉❞❡s✑ ❂ ♥✉♠❜❡rs ♦❢ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥s ♦❢ s✉r❢❛❝❡s ✇✐t❤ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✳ ❍✐❣❤❡r ❞✐♠❡♥s✐♦♥s❄ ❚❡♥s♦r ♠♦❞❡❧s✳ ●❡♥❡r❛❧✐③❡ t❤❡ t❡❝❤♥✐q✉❡s ♦❢ ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s t♦ t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧s✳

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❙❝❤✇✐♥❣❡r✲❉②s♦♥ ❊q✉❛t✐♦♥s

❖♥❡ ▼❛tr✐① ♠♦❞❡❧✿ Z =

• dM ❡①♣(−N❚rV (M)),

V (M) = ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ♣♦t❡♥t✐❛❧ pmax

p=✷ tpxp✳

❈❤❛♥❣❡ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✐♥ ♠❛tr✐① ✐♥t❡❣r❛❧ ✐♠♣❧✐❡s

k✶−✶

• m=✵

❚r(Mk✶−✶−m)❚r(Mm)

n

• i=✷

❚r(Mki) +

n

• j=✷

kj❚r(Mkj+k✶−✶)

n

• i=✷,i=j

❚r(Mki) − N❚r(Mk✶V ′(M))

n

• i=✷

❚r(Mki) = ✵

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

▲♦♦♣ ❊q✉❛t✐♦♥s

■♥ t❤❡ ♣❡rt✉r❜❛t✐✈❡ ✭❢♦r♠❛❧✮ s❡tt✐♥❣✿

• n
• i=✶

❚r(Mki)c =

• g≥✵

N✷−✷g−n

n

• i=✶

❚r(Mki)g

c .

❈✉♠✉❧❛♥ts ❤❛✈❡ ❛ ✶/N ❡①♣❛♥s✐♦♥✳ ❋r♦♠ ❝✉♠✉❧❛♥ts ❞❡✜♥❡ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡s✿ ∀(g, n) s✳t✳ ✷g−✷+n ≥ −✷, W g

n (x✶, . . . , xn) =

• pi≥✵
• i tr(Mpi)g

c

• i xpi+✶

i

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❙✲❉ ❊q✉❛t✐♦♥s ❜❡❝♦♠❡ ▲♦♦♣ ❡q✉❛t✐♦♥s✿ W g−✶

n+✶ (x, x, xI) +

• ✵≤h≤g

J⊆I

W h

✶+|J|(x, xJ)W g−h ✶+|I−J|(x, x|I−J|)

+

• i∈I

∂ ∂xi W g

n−✶(x, x✷, . . . , ˆ

xi, . . . , xn) − W g

n−✶(x✷, . . . , xn)

(x − xi)✷ − V ′(x)W g

n (x, xI) + Pg n (x; x✷, . . . , xn) = ✵.

Pg

n (x; x✷, . . . , xn) ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✐♥ x✳

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❙♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❧♦♦♣ ❡q✉❛t✐♦♥s

❈♦♠♣✉t❡ W ✵

✶ ❛♥❞ W ✵ ✷ ✳

W ✵

✶ (x) = ✶

✷(V ′(x) −

• V ′(x)✷ − ✹P✵

✶(x))

❚❤❡ ❢♦r♠ ♦❢ W ✵

✶ t❡❧❧s ✉s ❛❜♦✉t ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭❝♦✈❡r✐♥❣✮

x : Σ → C \

i γi✳

■♥ t❤❡ ✶✲❝✉t ❝❛s❡✿

• V ′(x)✷ − ✹P✵

✶(x) = M(x)

• (x − a)(x − b)

M(x) ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ♥♦t ✈❛♥✐s❤✐♥❣ ❛t a, b✳ a, b ❂ r❛♠✐✜❝❛t✐♦♥ ♣♦✐♥ts✳ Σ ✐s ❛ s♣❤❡r❡✳ x(z) = a+b

✷

+ a−b

✹ (z + ✶/z)✳ ❉❡✜♥❡

ωg

n = W g n (x(z✶), . . . , x(zn))dx✶ . . . dxn✳ ❖♥❡ s❤♦✇s

ω✵

✷(z✶, z✷) =

dz✶dz✷ (z✶ − z✷)✷ .

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❙♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❧♦♦♣ ❡q✉❛t✐♦♥s

❙♦❧✈❡ t❤❡ ❧♦♦♣ ❡q✉❛t✐♦♥s ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡❝✉rr❡♥❝❡ ❢♦r♠✉❧❛✿ ωg

n(z✶, . . . , zn) =

• pi

Res

z→piK(z, z✶)

• ωg−✶

n+✶(z, ι(z), z✷, . . . , zn)

+

′

• ✵≤h≤g

J⊆I

ωh

✶+|J|(z, zJ) · ωg−h ✶+|I−J|(ι(z), zI−J)

• .

✇✐t❤ x ◦ ι = x✱ ι(z) = ✶/z ✭ι❂❞❡❝❦ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦✈❡r✮ ❛♥❞ K(z, z✶) = ✶ ✷ z

ι(z) ω✵ ✷(·, z✶)

ω✵

✶(z) − ω✵ ✶(ι(z))

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

■❞❡❛ ♦❢ ♣r♦♦❢

▲♦♦♣ ❊q✉❛t✐♦♥s ⇔ ▲✐♥❡❛r ▲♦♦♣ ❡q✉❛t✐♦♥s ✭▲▲❊✮ ✰ ◗✉❛❞r❛t✐❝ ▲♦♦♣ ❊q✉❛t✐♦♥s ✭◗▲❊✮✳ ▲▲❊✿ ■♥tr♦❞✉❝❡ S✱ ❧✐♥❡❛r ♦♣❡r❛t♦r ❛❝ts ♦♥ ❢♦r♠s f (z) ❜② Sf (z) = f (z) + f (✶/z)✳ Sz✶ωg

n(z✶, . . . , zn) = ✵,

(g, n) = (✵, ✶), (✵, ✷). ❖❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ ❧♦♦♣ ❡q✉❛t✐♦♥s✳

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

■❞❡❛ ♦❢ ♣r♦♦❢

◗▲❊✿ Qg

n = ωg−✶ n+✶(z✶, ι(z✶), z✷, . . . , zn)

+

• ✵≤h≤g

J⊆I

ωh

✶+|J|(z✶, zJ) · ωg−h ✶+|I−J|(ι(z✶), z|I−J|)

❤❛s ❛ ❞♦✉❜❧❡ ③❡r♦ ✇❤❡♥ z✶ → x−✶(a, b)✳ ❙❤♦✇♥ ❢r♦♠ ❧♦♦♣ ❡q✉❛t✐♦♥s✳

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

■❞❡❛ ♦❢ ♣r♦♦❢

❈♦♥str✉❝t ❡❧❡♠❡♥t ♦❢ ❦❡r S✳ ✧❈❛✉❝❤② ❋♦r♠✉❧❛✧✿ ωg

n(z✶, . . . , zn) =

• p∈{x−✶(a),x−✶(b)}

Res

z→p

z ω✵

✷(·, z✶)

• ωg

n(z, . . . , zn).

❯s✐♥❣ Sω✵

✷ =

dx(z✶)dx(z✷) (x(z✶) − x(z✷))✷ ❛♥❞ ι(x−✶(a, b)) = x−✶(a, b), ♦♥❡ s❤♦✇s ✐♥❞❡❡❞ Sz✶

• p∈{x−✶(a),x−✶(b)}

Res

z→p

z ω✵

✷(·, z✶)

• ωg

n(z, . . . , zn) = ✵

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

■❞❡❛ ♦❢ ♣r♦♦❢

❯s✐♥❣ ◗▲❊ ♦♥❡ s❤♦✇s

• p∈{x−✶(a),x−✶(b)}

Res

z→p

z ω✵

✷(·, z✶)

• ωg

n(z, . . . , zn) =

• p

Res

z→pK(z, z✶)

• ωg−✶

n+✶(z, ι(z), z✷, . . . , zn)

+

′

• ✵≤h≤g

J⊆I

ωh

✶+|J|(z, zJ) · ωg−h ✶+|I−J|(ι(z), z|I−J|)

• .

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❆ ❝♦♠❜✐♥❛t♦r✐❛❧ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ s♦❧✉t✐♦♥✳

zin zout ι(zout) K(zout, zin) z z′ ω0

2(z, z′)

Reszout→pi ❋✐❣✉r❡✿ ❇✉✐❧❞✐♥❣ ❜❧♦❝❦s ♦❢ t❤❡ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ●r❛♣❤s✳

→ g = ✵ ❣r❛♣❤s ❛r❡ tr❡❡s✳ ❆❞❞✐♥❣ ❧♦♦♣s ♦♥ t❤❡s❡ tr❡❡s ր g✳

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧✿ t❤❡ ❣r❛♣❤s✳

■♥t❡❣r❛❧ ♦❢ t❡♥s♦r ✈❛r✐❛❜❧❡ T, ¯ T ∈ (CN)⊗d✳ ❋❡②♥♠❛♥ ❣r❛♣❤s ❂ (d + ✶)✲❝♦❧♦r❡❞ ❣r❛♣❤s✳ ❊♥❝♦❞❡ PL✲♠❛♥✐❢♦❧❞s✳

2 1 3 ❋✐❣✉r❡✿ ❱❡rt❡① ♦❢ ❛ ✹✲❝♦❧♦r❡❞ ❣r❛♣❤ ❛♥❞ ✐ts ❞✉❛❧ t❡tr❛❤❡❞r❛✳

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧✿ t❤❡ ❣r❛♣❤s✳

3

❊✈❡r② P▲ ♣s❡✉❞♦✲♠❛♥✐❢♦❧❞s ❤❛✈❡ ❝♦❧♦r❡❞ ❣r❛♣❤s r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✳

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❖❜s❡r✈❛❜❧❡s ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧s ❛r❡ ✐♥✈❛r✐❛♥ts ✉♥❞❡r t❤❡ ♥❛t✉r❛❧ U(N)×d ❛❝t✐♦♥ ♦♥ t❡♥s♦rs✳ ❚❤❡② ❛r❡ ✐♥❞❡①❡❞ ❜② d✲❝♦❧♦r❡❞ ❣r❛♣❤s✳ {B(T, ¯ T)|B ∈ {d − ❝♦❧♦r❡❞ ❣r❛♣❤s}} ❚❡♥s♦r ♣❛rt✐t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥✿ Z =

• dTd ¯

Te−Nd−✶ ¯

T·T+Nd−✶V (T, ¯ T),

✇✐t❤ V (T, ¯ T) =

B N−

✷ (d−✷)! ̟(B)tBB(T, ¯

T)✳

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧✿ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ r❡❝✉rs✐♦♥❄

n

i=✵ Bi(T, ¯

T) ❤❛✈❡ ✶/N ❡①♣❛♥s✐♦♥✳ ❙❝❤✇✐♥❣❡r✲❉②s♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ❡①✐sts✳ ❉❡s❝r✐❜❡ t❤❡ ❝♦♠❜✐♥❛t♦r✐❝s ♦❢ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥ ✐♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s ❣r❡❛t❡r t❤❛♥ ✷✳ ❇✉t ♥♦ ♥❛t✉r❛❧ s❡t ♦❢ W g

n ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳✳✳✳

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧✿ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ r❡❝✉rs✐♦♥❄

❙♦❧✉t✐♦♥✿ ❙t✉❞② s✐♠♣❧❡ t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧✦ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ V (T, ¯ T) = d

i=✶ λi ✷ Qm,i(T, ¯

T) ✇❤❡r❡ Qm,i(T, ¯ T) = (T ·ˆ

i ¯

T) ·i (T ·ˆ

i ¯

T).

1 1 2 d 2 d

❋✐❣✉r❡✿ Qm,✶ ✐♥✈❛r✐❛♥t

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧✳

❆❢t❡r s♦♠❡ ✇♦r❦ ♦♥❡ s❤♦✇s t❤❡ s✐♠♣❧❡st t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ r❡❢♦r♠✉❧❛t❡s✱ Z[{αc}, N] =

• f ,Hd

N

d

• c=✶

dMce− N

✷

d

c=✶ tr(M✷ c )e

−tr ❧♦❣✷

• ✶⊗d−N− d−✷

✷

d

c=✶ αcMc

• .

✇✐t❤ Mc = ✶⊗(c−✶) ⊗ Mc ⊗ ✶⊗(d−c). ♣❧❡♥t② ♦❢ ♠❛tr✐❝❡s Mc✳ ❲❡ ❢♦❝✉s ❤❡r❡ ♦♥ d = ✻ ❛s t❤✐s ✐♠♣❧✐❡s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❧✐❞❡s✳

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

▲♦♦♣ ❡q✉❛t✐♦♥s

P❧❡♥t② ♦❢ ♠❛tr✐❝❡s✿ W g

n → W g ❦ ✱ ❦ ∈ N✻

• ❡♥❡r❛❧ ❧♦♦♣ ❡q✉❛t✐♦♥s✿ ❧❡t ✉s ✇r✐t❡ ❛ ♣❛rt ♦❢ ✐t✳✳✳
• g≥h≥✵

q+r=❦|q,r,❦∈Nd=✻

W h

e✶+q(x, xq)W g−h e✶+r(x, xr) + W g−✶ ✷e✶+❦(x, x, x❦)

= ❙♦♠❡ ♠✉❧t✐✲❧✐♥❡❛r ♦♣❡r❛t♦r ♦♥ t❤❡ W h

q

s✳t✳ ✷h − ✷ + |q| ≤ ✷g − ✷ + |❦|

❚❤✐s ♠✉❧t✐✲❧✐♥❡❛r ♦♣❡r❛t♦r ❞♦❡s ❜❛s✐❝❛❧❧② t✇♦ ♦♣❡r❛t✐♦♥s✿

✶ ❝♦♥str✉❝t ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥s ♦❢ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ♦❢ W g

❦−e✶✳

✷ ❚❛②❧♦r ❡①♣❛♥❞ t❤❡ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛t ∞ ✐♥ s♦♠❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s

❛♥❞ s❡❧❡❝t ♦♥❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ♦❢ t❤✐s ❚❛②❧♦r ❡①♣❛♥s✐♦♥✳

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥

❍♦✇ ❞♦ ✇❡ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ t❤❡s❡ ❡q✉❛t✐♦♥s❄ → ❲❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ ♦♥❡ ❝♦♣② ♦❢ C ❜② ❝♦❧♦rs ❛♥❞ ❝♦♥s✐❞❡r ✈❛r✐❛❜❧❡s x ∈

c Cc✳ ❉♦✐♥❣ s♦ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥str✉❝t W g n s✉❝❤ t❤❛t ✐❢ k✶

✈❛r✐❛❜❧❡s ❧✐✈❡ ✐♥ C✶✱ k✷ ✐♥ C✷✱✳✳✳ ❲❡ ❤❛✈❡ W g

n = W g ❦ ,

❦ = (k✶, k✷, . . . , kd),

• c

kc = n. ❚❤❡ ♣❧❛♥❛r r❡s♦❧✈❡♥t W ✵

✶ ❤❛s ♦♥❡ ❝✉t ♦♥ ❡❛❝❤ ❝♦♣② ♦❢ C✳

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥

▲♦♦♣ ❡q✉❛t✐♦♥s st✐❧❧ ✐♥✈♦❧✈❡❞ ❜✉t ❧♦♦❦ ♠♦r❡ ❢❛♠✐❧✐❛r W g−✶

n+✶ (x, x, xI) +

• ✵≤h≤g

J⊆I

W h

✶+|J|(x, xJ)W g−h ✶+|I−J|(x, x|I−J|)

+

• i∈I

∂ ∂xi W g

n−✶(x, x✷, . . . , ˆ

xi, . . . , xn) − W g

n−✶(x✷, . . . , xn)

(x − xi)✷ = ▼✉❧t✐✲❧✐♥❡❛r ♦♣❡r❛t♦r ♦♥ W g′

n′ ✇✐t❤ ✷g′ − ✷ + n′ ≤ ✷g − ✷ + n.

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r t❡♥s♦rs

❍♦✇ t♦ s♦❧✈❡❄ ❙t✐❧❧ ❡①✐st ▲✐♥❡❛r ▲♦♦♣ ❊q✉❛t✐♦♥s ❛♥❞ ◗✉❛❞r❛t✐❝ ▲♦♦♣ ❊q✉❛t✐♦♥s✳ ▲▲❊✿ Sz✶ωg

n(z✶, . . . , zn) + Oz✶ωg n(z✶, . . . , zn) = lg n (z✶, . . . , zn),

✭✶✮ (g, n) = (✵, ✶), (✵, ✷)✳ ■♠♣♦rt❛♥t ♣♦✐♥t✿ lg

n (z✶, . . . , zn) ♦♥❧②

❞❡♣❡♥❞s ♦♥ ωg′

n′ ✇✐t❤ ✷g′ − ✷ + n′ < ✷g − ✷ + n ❛♥❞ ✐s ❡①♣❧✐❝✐t❧②

❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ✭❥✉st q✉✐t❡ ❤❡❛✈② t♦ ✇r✐t❡✮✳ ◗▲❊✿ ❙❛♠❡ ❛s ❜❡❢♦r❡✳✳✳

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r t❡♥s♦rs

❆♣♣r♦❛❝❤✭❞✉❡ t♦ ❇♦r♦t ❛♥❞ ❙❤❛❞r✐♥✮✿ ♣r♦❥❡❝t ωg

n ♦♥ ❦❡r(S + O)✳

❈❛❧❧ t❤✐s ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ Pωg

n✳ ❖♥❡ ❤❛s

ωg

n = Pωg n + Hωg n

✭✷✮ Pωg

n ❂ P♦❧❛r ♣❛rt✳

Hωg

n❂ ❍♦❧♦♠♦r♣❤✐❝ ♣❛rt✳

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

P♦❧❛r P❛rt

Pωg

n =

• p∈{x−✶

i

(ai),x−✶

i

(bi)}i=✶...d

Res

z→p

z ω✵

✷(·, z✶)

• ωg

n(z, . . . , zn),

s✐♥❝❡ t❤✐s t✐♠❡ ✇❡ ❤❛✈❡ (S + O)ω✵

✷ = dx(z✶)dx(z✷)

(z✶ − z✷)✷ . ✭✸✮ ❚❤❡♥ ✉s✐♥❣ ◗▲❊ Pωg

n =

• p

Res

z→pK(z, z✶)

• ωg−✶

n+✶(z, ι(z), z✷, . . . , zn)

+

′

• ✵≤h≤g

J⊆I

ωh

✶+|J|(z, zJ) · ωg−h ✶+|I−J|(ι(z), z|I−J|)

• .

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❍♦❧♦♠♦r♣❤✐❝ P❛rt

Hωg

n = −✶

✷iπ

• Γ=

c Γc

z ω✵

✷(·, z✶)lg n (z; z✷, . . . , zn),

✇❤✐❝❤ ✐s ❛ ❢✉❧❧② ❝❧♦s❡❞ ❡①♣r❡ss✐♦♥ s✐♥❝❡ ✐t ♦♥❧② ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ ωg′

n′ ✇✐t❤

✷g′ − ✷ + n′ < ✷g − ✷ + n✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛ ❣r❛♣❤✐❝❛❧ ❡①♣❛♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❢✉❧❧ ❢♦r♠✉❧❛✳ ❲✐❧❧ ♥♦t ❞❡s❝r✐❜❡ ✐t✳

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❊①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡s ❢r♦♠ Wn

◗✉❡st✐♦♥✿ ❍♦✇ t♦ ❡①tr❛❝t ❡①♣r❡ss✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠

• m
• i=✶

Bi(T, ¯ T) ❢r♦♠ W g

n ❄ ❆♥s✇❡r✿ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐♥✈❛r✐❛♥t✿

1 2 3 3 2 1 4 4 5 6 5 6

✇❤❛t ✐s ✐ts ♠❡❛♥ ✈❛❧✉❡❄

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❊①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡s ❢r♦♠ Wn

P❡r❢♦r♠ ❲✐❝❦ ♣❛✐r✐♥❣s✿

1 2 3 3 2 1 4 4 5 6 5 6 1 2 3 3 2 1 4 4 5 6 5 6 ❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❋♦r ❡❛❝❤ ❲✐❝❦ ♣❛✐r❡❞ ❣r❛♣❤✱ ❚♦ ❡❛❝❤ ❝②❝❧❡ f (i)

p

♦❢ ❝♦❧♦r ✵i✱ ❛ss♦❝✐❛t❡ ❛ ❝②❝❧❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ x(i)

p ✳

❚♦ ❡❛❝❤ ❧✐♥❡ l ♦❢ ❝♦❧♦r ✵ ❛ss♦❝✐❛t❡ ❛ ✧♣r♦♣❛❣❛t♦r✧✿ ✶ ✶ − N

✷−d ✷

c αcx(c) p→l

, ✇❤❡r❡ x(c)

p→l ♠❡❛♥s t❤❛t t❤❡ ❝②❝❧❡ f (c) p

t♦ ✇❤✐❝❤ x(c)

p

✐s ❛tt❛❝❤❡❞ ♣❛ss t❤r♦✉❣❤ l✳ ■♠♣♦rt❛♥t✿ ❚❤❡ ♣r♦♣❛❣❛t♦r t❡r♠ ❤❛s t♦ ❜❡ ✉♥❞❡rst♦♦❞ ❛s ❛ ❢♦r♠❛❧ s❡r✐❡s ✐♥ ♥❡❣❛t✐✈❡ ♣♦✇❡rs ♦❢ N✳ ♠✉❧t✐♣❧② ❛❧❧ ♣r♦♣❛❣❛t♦r ✇❡✐❣❤ts t♦❣❡t❤❡r ❛♥❞ ♠✉❧t✐♣❧② ❜② ¯ Wn({❝②❝❧❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s})✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ❲✐❝❦ ♣❛✐r❡❞ ❣r❛♣❤✿ ❣❡t ❛ ✇❡✐❣❤t✳ ■♥t❡❣r❛t❡ t❤❡ ❝②❝❧❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ♦❢ t❤❡s❡ ✇❡✐❣❤t ❛r♦✉♥❞ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❝✉ts✳ ❈②❝❧❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ♦❢ ❝♦❧♦r c ✐s ✐♥t❡❣r❛t❡❞ ❛❣❛✐♥st ❛ ❝✉t Γc✳ ❚❤❡♥ s✉♠ ❛❧❧ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❡❛❝❤ ❲✐❝❦ ♣❛✐r❡❞ ❣r❛♣❤✳

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❊①t❡♥s✐♦♥❄

❚✇♦ ♣♦ss✐❜❧❡ tr❛❝❦s✿

• ❡♥❡r❛❧✐③❡ t♦ ♠♦r❡✴❛❧❧ t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧s❄ P♦ss✐❜❧❡ ❤♦♣❡ ✧❚❤❡

❆❇❈❉ ♦❢ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ r❡❝✉rs✐♦♥✧ ✭❆♥❞❡rs❡♥✱❇♦r♦t✱❈❤❡❦❤♦✈✱❖r❛♥t✐♥✮✳ ✽ ❞❛②s ♦❧❞ ♣❛♣❡r✳ ❍♦✇❡✈❡r t❤❡✐r ✇♦r❦ ❛♣♣❧✐❡s t♦ q✉❛❞r❛t✐❝ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ♦♣❡r❛t♦rs✱ ✇❤✐❧❡ t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧s✱ ❛ ♣r✐♦r✐✱ ♥❡❡❞ d✲❧✐♥❡❛r ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ♦♣❡r❛t♦rs✳

• r♦✉♣ ❋✐❡❧❞ ❚❤❡♦r②❄

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s

❖✉t❧✐♥❡ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ♠❛tr✐① ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❡♥s♦r ♠♦❞❡❧ ❊①t❡♥s✐♦♥❄ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❚❤❛♥❦ ②♦✉✦ ❊♥❥♦② t❤❡ ❝♦♥❢❡r❡♥❝❡✦

❙té♣❤❛♥❡ ❉❛rt♦✐s ❇❧♦❜❜❡❞ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❘❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r ❚❡♥s♦r ▼♦❞❡❧s