sts r - - PowerPoint PPT Presentation

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❙②♥❝❤r♦♥♦✉s tr❡❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ❣r❛♠♠❛r r✉❧❡✿ ❙ ◆P ✶ ❱P ❱ ◆P ✷ ✖ ❙ ❱ ◆P ✶ ◆P ✷ ❚r❡❡ tr❛♥s❞✉❝❡r r✉❧❡✿ q❙ ❙ ①✶ ❱P ①✷ ①✸ → ❙ q❱ ①✷ q◆P ①✶ q◆P ①✸ ❙✐♠♣❧✐✜❡❞ tr❛♥s❞✉❝❡r r✉❧❡✿ σ ①✶ σ ①✷ ①✸ → δ ①✷ ①✶ ①✸

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σ t✶ δ t✷ t✸ δ t♥−✹ t♥−✸ δ t♥−✷ t♥−✶ t♥ ⇒∗ σ t✶ σ t✷ σ t✸ σ t✹ σ t♥−✸ σ t♥−✷ σ t♥−✶ t♥ ⇒∗ δ t✷ t✶ δ t✹ t✸ δ t♥−✷ t♥−✸ σ t♥−✶ t♥

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σ t✶ δ t✷ t✸ δ t♥−✹ t♥−✸ δ t♥−✷ t♥−✶ t♥ ⇒∗ σ t✶ σ t✷ σ t✸ σ t✹ σ t♥−✸ σ t♥−✷ σ t♥−✶ t♥ ⇒∗ δ t✷ t✶ δ t✹ t✸ δ t♥−✷ t♥−✸ σ t♥−✶ t♥

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❙②♥❝❤r♦♥♦✉s ❚r❡❡ ❙✉❜st✐t✉t✐♦♥ ●r❛♠♠❛rs ✭❝♦♥t✬❞✮

❉❡r✐✈❛t✐♦♥✿ α ⇒∗ σ γ α α ⇒∗ σ γ γ γ α γ γ α ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❲❡ ❝❛♥♥♦t ❡✈❡♥ ❝♦♠♣♦s❡ ❧✐♥❡❛r ♥♦♥❞❡❧❡t✐♥❣ t♦♣✲❞♦✇♥ tr❡❡ tr❛♥s❞✉❝❡rs ✇✐t❤ ✲r✉❧❡s✦

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❉❡r✐✈❛t✐♦♥✿ α ⇒∗ σ γ α α ⇒∗ σ γ γ γ α γ γ α ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❲❡ ❝❛♥♥♦t ❡✈❡♥ ❝♦♠♣♦s❡ ❧✐♥❡❛r ♥♦♥❞❡❧❡t✐♥❣ t♦♣✲❞♦✇♥ tr❡❡ tr❛♥s❞✉❝❡rs ✇✐t❤ ✲r✉❧❡s✦

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❉❡r✐✈❛t✐♦♥✿ α ⇒∗ σ γ α α ⇒∗ σ γ γ γ α γ γ α ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❲❡ ❝❛♥♥♦t ❡✈❡♥ ❝♦♠♣♦s❡ ❧✐♥❡❛r ♥♦♥❞❡❧❡t✐♥❣ t♦♣✲❞♦✇♥ tr❡❡ tr❛♥s❞✉❝❡rs ✇✐t❤ ε✲r✉❧❡s✦

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❚♦♣✲❞♦✇♥ tr❡❡ tr❛♥s❞✉❝❡r ✇✐t❤ ε✲r✉❧❡s

❙②♥t❛①

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❝❢✳ ❬❘♦✉♥❞s ✬✼✵❪ ✫ ❬❚❤❛t❝❤❡r ✬✼✵❪✮ ❚♦♣✲❞♦✇♥ tr❡❡ tr❛♥s❞✉❝❡r ✭εt❞tt✮ ✇✐t❤ ε✲r✉❧❡s (◗, Σ, ∆, ■, ❘) ◗ ❛❧♣❤❛❜❡t ♦❢ st❛t❡s Σ ❛♥❞ ∆ r❛♥❦❡❞ ❛❧♣❤❛❜❡ts ♦❢ ✐♥♣✉t ❛♥❞ ♦✉t♣✉t s②♠❜♦❧s ■ ⊆ ◗ ✐♥✐t✐❛❧ st❛t❡s ❘ ✜♥✐t❡ s❡t ♦❢ ✭r❡✇r✐t❡✮ r✉❧❡s q(❧) → r ✇✐t❤

✭✐✮ q ∈ ◗✱ ✭✐✐✮ ❧ = ①✶ ♦r ❧ = σ(①✶, . . . , ①❦) ❢♦r s♦♠❡ σ ∈ Σ❦✱ ❛♥❞ ✭✐✐✐✮ r ∈ ❚∆(◗(✈❛r(❧)))

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢ ❚♦♣✲❞♦✇♥ ❚r❡❡ ❚r❛♥s❞✉❝❡rs ✇✐t❤ ε✲❘✉❧❡s ❆✳ ▼❛❧❡tt✐✱ ❍✳ ❱♦❣❧❡r · ✽

❚♦♣✲❞♦✇♥ tr❡❡ tr❛♥s❞✉❝❡r ✇✐t❤ ε✲r✉❧❡s

❆ ❢✉❧❧ ❡①❛♠♣❧❡

❊①❛♠♣❧❡ εt❞tt ▼ = (P, Σ, Σ, P, ❘) ✇✐t❤ P = {♣} Σ = {σ(✷), γ(✶), α(✵)} t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r✉❧❡s ✐♥ ❘ ♣ ①✶ → γ ♣ ①✶ ♣ γ ①✶ → γ ♣ ①✶ ♣ σ ①✶ ①✷ → σ ♣ ①✶ ♣ ①✷ ♣ α → α

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢ ❚♦♣✲❞♦✇♥ ❚r❡❡ ❚r❛♥s❞✉❝❡rs ✇✐t❤ ε✲❘✉❧❡s ❆✳ ▼❛❧❡tt✐✱ ❍✳ ❱♦❣❧❡r · ✾

❚♦♣✲❞♦✇♥ tr❡❡ tr❛♥s❞✉❝❡r ✇✐t❤ ε✲r✉❧❡s

❆ ❢✉❧❧ ❡①❛♠♣❧❡ ✭❝♦♥t✬❞✮

♣ ①✶ → γ ♣ ①✶ ♣ γ ①✶ → γ ♣ ①✶ ♣ σ ①✶ ①✷ → σ ♣ ①✶ ♣ ①✷ ♣ α → α ❊①❛♠♣❧❡ ♣ σ γ α α ⇒▼ σ ♣ γ α ♣ α ⇒✷

▼

σ γ ♣ α γ ♣ α ⇒✷

▼

σ γ γ ♣ α γ α ⇒▼ σ γ γ α γ α

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢ ❚♦♣✲❞♦✇♥ ❚r❡❡ ❚r❛♥s❞✉❝❡rs ✇✐t❤ ε✲❘✉❧❡s ❆✳ ▼❛❧❡tt✐✱ ❍✳ ❱♦❣❧❡r · ✶✵

❚♦♣✲❞♦✇♥ tr❡❡ tr❛♥s❞✉❝❡r ✇✐t❤ ε✲r✉❧❡s

❙❡♠❛♥t✐❝s

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ▼ = (◗, Σ, ∆, ■, ❘) εt❞tt τ▼ = {(t, ✉) | ∃q ∈ ■ : q(t) ⇒∗

▼ ✉}

❊①❛♠♣❧❡ ❖✉r ❡①❛♠♣❧❡ t❞tt ❝❛♥ ✐♥❝❧✉❞❡ ✲s②♠❜♦❧s ❛♥②✇❤❡r❡ ✐♥ t❤❡ ✐♥♣✉t tr❡❡✳

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢ ❚♦♣✲❞♦✇♥ ❚r❡❡ ❚r❛♥s❞✉❝❡rs ✇✐t❤ ε✲❘✉❧❡s ❆✳ ▼❛❧❡tt✐✱ ❍✳ ❱♦❣❧❡r · ✶✶

❚♦♣✲❞♦✇♥ tr❡❡ tr❛♥s❞✉❝❡r ✇✐t❤ ε✲r✉❧❡s

❙❡♠❛♥t✐❝s

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ▼ = (◗, Σ, ∆, ■, ❘) εt❞tt τ▼ = {(t, ✉) | ∃q ∈ ■ : q(t) ⇒∗

▼ ✉}

❊①❛♠♣❧❡ ❖✉r ❡①❛♠♣❧❡ εt❞tt ❝❛♥ ✐♥❝❧✉❞❡ γ✲s②♠❜♦❧s ❛♥②✇❤❡r❡ ✐♥ t❤❡ ✐♥♣✉t tr❡❡✳

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢ ❚♦♣✲❞♦✇♥ ❚r❡❡ ❚r❛♥s❞✉❝❡rs ✇✐t❤ ε✲❘✉❧❡s ❆✳ ▼❛❧❡tt✐✱ ❍✳ ❱♦❣❧❡r · ✶✶

❚♦♣✲❞♦✇♥ tr❡❡ tr❛♥s❞✉❝❡r ✇✐t❤ ε✲r✉❧❡s

❙②♥t❛❝t✐❝❛❧ r❡str✐❝t✐♦♥s

❉❡✜♥✐t✐♦♥ εt❞tt ▼ = (◗, Σ, ∆, ■, ❘) ✐s ❧✐♥❡❛r ✐❢ ❡✈❡r② r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ✭♦❢ ❛ r✉❧❡✮ ❞♦❡s ♥♦t ❝♦♥t❛✐♥ ❞✉♣❧✐❝❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ♥♦♥❞❡❧❡t✐♥❣✱ ✐❢ ❡✈❡r② r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ❝♦♥t❛✐♥s ❛❧❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s ♦❢ ✐ts ❧❡❢t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ t♦t❛❧ ✐❢ ❢♦r ❡✈❡r② q ∈ ◗ ❛♥❞ t ∈ ❚Σ t❤❡r❡ ❡①✐sts ✉ ∈ ❚∆ s✉❝❤ t❤❛t q(t) ⇒∗

▼ ✉

❊①❛♠♣❧❡ ❖✉r ❡①❛♠♣❧❡ t❞tt ✐s ❧✐♥❡❛r✱ ♥♦♥❞❡❧❡t✐♥❣✱ ❛♥❞ t♦t❛❧✳

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢ ❚♦♣✲❞♦✇♥ ❚r❡❡ ❚r❛♥s❞✉❝❡rs ✇✐t❤ ε✲❘✉❧❡s ❆✳ ▼❛❧❡tt✐✱ ❍✳ ❱♦❣❧❡r · ✶✷

❚♦♣✲❞♦✇♥ tr❡❡ tr❛♥s❞✉❝❡r ✇✐t❤ ε✲r✉❧❡s

❙②♥t❛❝t✐❝❛❧ r❡str✐❝t✐♦♥s

❉❡✜♥✐t✐♦♥ εt❞tt ▼ = (◗, Σ, ∆, ■, ❘) ✐s ❧✐♥❡❛r ✐❢ ❡✈❡r② r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ✭♦❢ ❛ r✉❧❡✮ ❞♦❡s ♥♦t ❝♦♥t❛✐♥ ❞✉♣❧✐❝❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ♥♦♥❞❡❧❡t✐♥❣✱ ✐❢ ❡✈❡r② r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ❝♦♥t❛✐♥s ❛❧❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s ♦❢ ✐ts ❧❡❢t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ t♦t❛❧ ✐❢ ❢♦r ❡✈❡r② q ∈ ◗ ❛♥❞ t ∈ ❚Σ t❤❡r❡ ❡①✐sts ✉ ∈ ❚∆ s✉❝❤ t❤❛t q(t) ⇒∗

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❊①❛♠♣❧❡ ❖✉r ❡①❛♠♣❧❡ εt❞tt ✐s ❧✐♥❡❛r✱ ♥♦♥❞❡❧❡t✐♥❣✱ ❛♥❞ t♦t❛❧✳

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢ ❚♦♣✲❞♦✇♥ ❚r❡❡ ❚r❛♥s❞✉❝❡rs ✇✐t❤ ε✲❘✉❧❡s ❆✳ ▼❛❧❡tt✐✱ ❍✳ ❱♦❣❧❡r · ✶✷

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❖♥❡✲s②♠❜♦❧ ❢♦r♠

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❝❢✳ ❬❇❡rst❡❧ ✬✼✾❪ ✫ ❬❊♥❣❡❧❢r✐❡t ❡t ❛❧ ✬✵✽❪✮ ❆♥ εt❞tt ✐s ✐♥ ♦♥❡✲s②♠❜♦❧ ❢♦r♠ ✐❢ ❛t ♠♦st ♦♥❡ ♦✉t♣✉t s②♠❜♦❧ ♦❝❝✉rs ✐♥ ❡❛❝❤ r✉❧❡✳ ❊①❛♠♣❧❡ ❖✉r ❡①❛♠♣❧❡ t❞tt ✐s ✐♥ ♦♥❡✲s②♠❜♦❧ ❢♦r♠✳

♣ ①✶ ♣ ①✶ ♣ ①✶ ♣ ①✶ ♣ ①✶ ①✷ ♣ ①✶ ♣ ①✷ ♣

❚❤❡♦r❡♠ ❋♦r ❡✈❡r② t❞tt ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥str✉❝t ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ♦♥❡ ✐♥ ♦♥❡✲s②♠❜♦❧ ❢♦r♠✳

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢ ❚♦♣✲❞♦✇♥ ❚r❡❡ ❚r❛♥s❞✉❝❡rs ✇✐t❤ ε✲❘✉❧❡s ❆✳ ▼❛❧❡tt✐✱ ❍✳ ❱♦❣❧❡r · ✶✹

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❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❝❢✳ ❬❇❡rst❡❧ ✬✼✾❪ ✫ ❬❊♥❣❡❧❢r✐❡t ❡t ❛❧ ✬✵✽❪✮ ❆♥ εt❞tt ✐s ✐♥ ♦♥❡✲s②♠❜♦❧ ❢♦r♠ ✐❢ ❛t ♠♦st ♦♥❡ ♦✉t♣✉t s②♠❜♦❧ ♦❝❝✉rs ✐♥ ❡❛❝❤ r✉❧❡✳ ❊①❛♠♣❧❡ ❖✉r ❡①❛♠♣❧❡ εt❞tt ✐s ✐♥ ♦♥❡✲s②♠❜♦❧ ❢♦r♠✳

♣ ①✶ → γ ♣ ①✶ ♣ γ ①✶ → γ ♣ ①✶ ♣ σ ①✶ ①✷ → σ ♣ ①✶ ♣ ①✷ ♣ α → α

❚❤❡♦r❡♠ ❋♦r ❡✈❡r② t❞tt ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥str✉❝t ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ♦♥❡ ✐♥ ♦♥❡✲s②♠❜♦❧ ❢♦r♠✳

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♣ ①✶ → γ ♣ ①✶ ♣ γ ①✶ → γ ♣ ①✶ ♣ σ ①✶ ①✷ → σ ♣ ①✶ ♣ ①✷ ♣ α → α

❚❤❡♦r❡♠ ❋♦r ❡✈❡r② εt❞tt ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥str✉❝t ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ♦♥❡ ✐♥ ♦♥❡✲s②♠❜♦❧ ❢♦r♠✳

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◆♦r♠❛❧ ❢♦r♠s

▼❛①✐♠❛❧❧② ♦✉t♣✉t✲s❡♣❛r❛t❡❞

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆♥ εt❞tt ✐s ♠❛①✐♠❛❧❧② ♦✉t♣✉t✲s❡♣❛r❛t❡❞ ✐❢ ❢♦r ❡✈❡r② r✉❧❡ q(❧) → r ∈ ❘ ✭✐✮ r = ❈[r′] ❢♦r ❡✈❡r② ♥♦♥tr✐✈✐❛❧ ❝♦♥t❡①t ❈ ∈ ❈∆ ❛♥❞ r′ ∈ ∆(❚∆(◗(❳)))✱ ✭✐✐✮ r = ❉[❈[q(①)]] ❢♦r ❡✈❡r② ♥♦♥tr✐✈✐❛❧ ❝♦♥t❡①t ❉ ∈ ❈∆(◗(❳)) ❛♥❞ ♥♦♥tr✐✈✐❛❧ ❝♦♥t❡①t ❈ ∈ ❈∆✳ ■❧❧✉str❛t✐♦♥

❈ σ r′ δ q′(①✐) ♣(①❥)

• ❉

σ q′(①✐) ♣(①❥) ❈ δ q(①)

• ✭✐✮

✭✐✐✮

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢ ❚♦♣✲❞♦✇♥ ❚r❡❡ ❚r❛♥s❞✉❝❡rs ✇✐t❤ ε✲❘✉❧❡s ❆✳ ▼❛❧❡tt✐✱ ❍✳ ❱♦❣❧❡r · ✶✺

◆♦r♠❛❧ ❢♦r♠s

▼❛①✐♠❛❧❧② ♦✉t♣✉t✲s❡♣❛r❛t❡❞ ✭❝♦♥t✬❞✮

❊①❛♠♣❧❡ q σ ①✶ ①✷ → γ σ q ①✶ σ α q ①✷ q γ ①✶ → γ q ①✶ q ①✶ → α

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢ ❚♦♣✲❞♦✇♥ ❚r❡❡ ❚r❛♥s❞✉❝❡rs ✇✐t❤ ε✲❘✉❧❡s ❆✳ ▼❛❧❡tt✐✱ ❍✳ ❱♦❣❧❡r · ✶✻

◆♦r♠❛❧ ❢♦r♠s

▼❛①✐♠❛❧❧② ♦✉t♣✉t✲s❡♣❛r❛t❡❞ ✭❝♦♥t✬❞✮

❊①❛♠♣❧❡ q σ ①✶ ①✷ → γ σ q ①✶ σ α q ①✷ q γ ①✶ → γ q ①✶ q ①✶ → α ✐s ♥♦t ♠❛①✐♠❛❧❧② ♦✉t♣✉t✲s❡♣❛r❛t❡❞ ❜❡❝❛✉s❡ ✭✐✮ r = ❈[r′] ✇✐t❤ ❈ = γ() ❛♥❞ r′ = σ(q(①✶), σ(α, q(①✷))) ✭✐✐✮ r = ❉[❈[q(①✷)]] ✇✐t❤ ❉ = γ(σ(q(①✶), )) ❛♥❞ ❈ = σ(α, )

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢ ❚♦♣✲❞♦✇♥ ❚r❡❡ ❚r❛♥s❞✉❝❡rs ✇✐t❤ ε✲❘✉❧❡s ❆✳ ▼❛❧❡tt✐✱ ❍✳ ❱♦❣❧❡r · ✶✻

◆♦r♠❛❧ ❢♦r♠s

▼❛①✐♠❛❧❧② ♦✉t♣✉t✲s❡♣❛r❛t❡❞ ✭❝♦♥t✬❞✮

❚❤❡♦r❡♠ ❋♦r ❡✈❡r② ✭❧✐♥❡❛r✱ ♥♦♥❞❡❧❡t✐♥❣✮ εt❞tt t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ♠❛①✐♠❛❧❧② ♦✉t♣✉t✲s❡♣❛r❛t❡❞ εt❞tt ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s✳ Pr♦♦❢✳ ❙❡♣❛r❛t❡ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ❈ ❢r♦♠ ❛ r✉❧❡ ❝r❡❛t✐♥❣ t✇♦ r✉❧❡s✱ ✇❤✐❝❤ ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞ ♦♥❡ ❛❢t❡r t❤❡ ♦t❤❡r ❜② ✐♥tr♦❞✉❝✐♥❣ ❛ ♥❡✇ st❛t❡✳ ❊①❛♠♣❧❡ q ①✶ ①✶ ①✶ ①✷ q ①✶ ①✷ ①✶ q ①✶

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢ ❚♦♣✲❞♦✇♥ ❚r❡❡ ❚r❛♥s❞✉❝❡rs ✇✐t❤ ε✲❘✉❧❡s ❆✳ ▼❛❧❡tt✐✱ ❍✳ ❱♦❣❧❡r · ✶✼

◆♦r♠❛❧ ❢♦r♠s

▼❛①✐♠❛❧❧② ♦✉t♣✉t✲s❡♣❛r❛t❡❞ ✭❝♦♥t✬❞✮

❚❤❡♦r❡♠ ❋♦r ❡✈❡r② ✭❧✐♥❡❛r✱ ♥♦♥❞❡❧❡t✐♥❣✮ εt❞tt t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ♠❛①✐♠❛❧❧② ♦✉t♣✉t✲s❡♣❛r❛t❡❞ εt❞tt ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s✳ Pr♦♦❢✳ ❙❡♣❛r❛t❡ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ❈ ❢r♦♠ ❛ r✉❧❡ ❝r❡❛t✐♥❣ t✇♦ r✉❧❡s✱ ✇❤✐❝❤ ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞ ♦♥❡ ❛❢t❡r t❤❡ ♦t❤❡r ❜② ✐♥tr♦❞✉❝✐♥❣ ❛ ♥❡✇ st❛t❡✳ ❊①❛♠♣❧❡ q ①✶ → γ ⊥ ①✶ ⊥ σ ①✶ ①✷ → σ q ①✶ ⊤ ①✷ ⊤ ①✶ → σ α q ①✶

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢ ❚♦♣✲❞♦✇♥ ❚r❡❡ ❚r❛♥s❞✉❝❡rs ✇✐t❤ ε✲❘✉❧❡s ❆✳ ▼❛❧❡tt✐✱ ❍✳ ❱♦❣❧❡r · ✶✼

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥

❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts

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▼♦t✐✈❛t✐♦♥

✷

❚♦♣✲❞♦✇♥ tr❡❡ tr❛♥s❞✉❝❡r ✇✐t❤ ε✲r✉❧❡s

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◆♦r♠❛❧ ❢♦r♠s

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❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢ ❚♦♣✲❞♦✇♥ ❚r❡❡ ❚r❛♥s❞✉❝❡rs ✇✐t❤ ε✲❘✉❧❡s ❆✳ ▼❛❧❡tt✐✱ ❍✳ ❱♦❣❧❡r · ✶✽

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥

❉❡✜♥✐t✐♦♥ εt❞tt ▼ = (P, Σ, Γ, ■✶, ❘✶) ❛♥❞ ◆ = (◗, Γ, ∆, ■✷, ❘✷) ❝♦♥str✉❝t ▼ ; ◆ = (◗ × P, Σ, ∆, ■✷ × ■✶, ❘′

✶ ∪ ❘′ ✷ ∪ ❘′)

✇✐t❤ ✸ t②♣❡s ♦❢ r✉❧❡s✿

✶ r✉❧❡s ❘′

✶ ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❢r♦♠ r✉❧❡s ♦❢ ❘✶ t❤❛t ❞♦ ♥♦t ♣r♦❞✉❝❡ ♦✉t♣✉t

❘′

✶ = {q(❧) → q(r) | q ∈ ◗, ❧ → r ∈ ❘✶, r ∈ P(❳)}

✷ ❡♣s✐❧♦♥ r✉❧❡s ❘✷ ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❢r♦♠ ❡♣s✐❧♦♥✲r✉❧❡s ♦❢ ❘✷ ✸ r✉❧❡s ❘ ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❢r♦♠ r✉❧❡s ♦❢ ❘✶ t❤❛t ❝♦♥t❛✐♥ ❛♥ ♦✉t♣✉t s②♠❜♦❧

t❤❛t ✐s ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧② ❝♦♥s✉♠❡❞ ❜② ❛ r✉❧❡ ♦❢ ❘✷

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢ ❚♦♣✲❞♦✇♥ ❚r❡❡ ❚r❛♥s❞✉❝❡rs ✇✐t❤ ε✲❘✉❧❡s ❆✳ ▼❛❧❡tt✐✱ ❍✳ ❱♦❣❧❡r · ✶✾

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥

❉❡✜♥✐t✐♦♥ εt❞tt ▼ = (P, Σ, Γ, ■✶, ❘✶) ❛♥❞ ◆ = (◗, Γ, ∆, ■✷, ❘✷) ❝♦♥str✉❝t ▼ ; ◆ = (◗ × P, Σ, ∆, ■✷ × ■✶, ❘′

✶ ∪ ❘′ ✷ ∪ ❘′)

✇✐t❤ ✸ t②♣❡s ♦❢ r✉❧❡s✿

✶ r✉❧❡s ❘′

✶ ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❢r♦♠ r✉❧❡s ♦❢ ❘✶ t❤❛t ❞♦ ♥♦t ♣r♦❞✉❝❡ ♦✉t♣✉t

✷ ❡♣s✐❧♦♥ r✉❧❡s ❘′

✷ ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❢r♦♠ ❡♣s✐❧♦♥✲r✉❧❡s ♦❢ ❘✷

❘′

✷ = {❧[♣(①✶)] → r[♣(①✶)] | ♣ ∈ P, ❧ → r ∈ ❘✷, ❧ ∈ ◗(❳)}

✸ r✉❧❡s ❘ ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❢r♦♠ r✉❧❡s ♦❢ ❘✶ t❤❛t ❝♦♥t❛✐♥ ❛♥ ♦✉t♣✉t s②♠❜♦❧

t❤❛t ✐s ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧② ❝♦♥s✉♠❡❞ ❜② ❛ r✉❧❡ ♦❢ ❘✷

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢ ❚♦♣✲❞♦✇♥ ❚r❡❡ ❚r❛♥s❞✉❝❡rs ✇✐t❤ ε✲❘✉❧❡s ❆✳ ▼❛❧❡tt✐✱ ❍✳ ❱♦❣❧❡r · ✶✾

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥

❉❡✜♥✐t✐♦♥ εt❞tt ▼ = (P, Σ, Γ, ■✶, ❘✶) ❛♥❞ ◆ = (◗, Γ, ∆, ■✷, ❘✷) ❝♦♥str✉❝t ▼ ; ◆ = (◗ × P, Σ, ∆, ■✷ × ■✶, ❘′

✶ ∪ ❘′ ✷ ∪ ❘′)

✇✐t❤ ✸ t②♣❡s ♦❢ r✉❧❡s✿

✶ r✉❧❡s ❘′

✶ ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❢r♦♠ r✉❧❡s ♦❢ ❘✶ t❤❛t ❞♦ ♥♦t ♣r♦❞✉❝❡ ♦✉t♣✉t

✷ ❡♣s✐❧♦♥ r✉❧❡s ❘′

✷ ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❢r♦♠ ❡♣s✐❧♦♥✲r✉❧❡s ♦❢ ❘✷

✸ r✉❧❡s ❘′ ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❢r♦♠ r✉❧❡s ♦❢ ❘✶ t❤❛t ❝♦♥t❛✐♥ ❛♥ ♦✉t♣✉t s②♠❜♦❧

t❤❛t ✐s ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧② ❝♦♥s✉♠❡❞ ❜② ❛ r✉❧❡ ♦❢ ❘✷ ❘′ = {q(❧) → r′ | q ∈ ◗, ❧ → r ∈ ❘✶, r ∈ Γ(P(❳)), q(r) ⇒◆ r′}

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢ ❚♦♣✲❞♦✇♥ ❚r❡❡ ❚r❛♥s❞✉❝❡rs ✇✐t❤ ε✲❘✉❧❡s ❆✳ ▼❛❧❡tt✐✱ ❍✳ ❱♦❣❧❡r · ✶✾

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ✭❝♦♥t✬❞✮

❊①❛♠♣❧❡

♣ σ ①✶ ①✷ → σ ♣ ①✶ ♣ ①✷ q σ ①✶ ①✷ → γ σ q ①✶ σ α q ①✷

❘❡s✉❧t✐♥❣ r✉❧❡ ♦❢ ❘′✿

(q, ♣) σ ①✶ ①✷ → γ σ (q, ♣) ①✶ σ α (q, ♣) ①✷

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢ ❚♦♣✲❞♦✇♥ ❚r❡❡ ❚r❛♥s❞✉❝❡rs ✇✐t❤ ε✲❘✉❧❡s ❆✳ ▼❛❧❡tt✐✱ ❍✳ ❱♦❣❧❡r · ✷✵

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥

❚❤❡♦r❡♠ ✭❝❢✳ ❬❊♥❣❡❧❢r✐❡t ✬✼✺❪ ✫ ❬❇❛❦❡r ✬✼✾❪✮ ▲❡t ▼ ❛♥❞ ◆ ❜❡ εt❞tts✳ ❚❤❡♥ ▼ ; ◆ ❝♦♠♣✉t❡s τ▼ ; τ◆ ✐❢ ◆ ✐s ❧✐♥❡❛r✱ ▼ ✐s t♦t❛❧ ♦r ◆ ✐s ♥♦♥❞❡❧❡t✐♥❣✱ ❛♥❞ ▼ ✐s ✐♥ ♦♥❡✲s②♠❜♦❧ ❢♦r♠✳ ❈♦♥s❡q✉❡♥❝❡s ❚❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❝♦♠♣✉t❡❞ ❜② ❧✐♥❡❛r ♥♦♥❞❡❧❡t✐♥❣ t❞tt ✐♥ ♦♥❡✲s②♠❜♦❧ ❢♦r♠ ✐s ❝❧♦s❡❞ ✉♥❞❡r ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❝♦♠♣✉t❡❞ ❜② s②♥❝❤r♦♥♦✉s ❝♦♥t❡①t✲❢r❡❡ ❣r❛♠♠❛rs ✭✐♥❝❧✳ ❝❤❛✐♥ r✉❧❡s✮ ✐s ❝❧♦s❡❞ ✉♥❞❡r ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✳

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢ ❚♦♣✲❞♦✇♥ ❚r❡❡ ❚r❛♥s❞✉❝❡rs ✇✐t❤ ε✲❘✉❧❡s ❆✳ ▼❛❧❡tt✐✱ ❍✳ ❱♦❣❧❡r · ✷✶

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥

❚❤❡♦r❡♠ ✭❝❢✳ ❬❊♥❣❡❧❢r✐❡t ✬✼✺❪ ✫ ❬❇❛❦❡r ✬✼✾❪✮ ▲❡t ▼ ❛♥❞ ◆ ❜❡ εt❞tts✳ ❚❤❡♥ ▼ ; ◆ ❝♦♠♣✉t❡s τ▼ ; τ◆ ✐❢ ◆ ✐s ❧✐♥❡❛r✱ ▼ ✐s t♦t❛❧ ♦r ◆ ✐s ♥♦♥❞❡❧❡t✐♥❣✱ ❛♥❞ ▼ ✐s ✐♥ ♦♥❡✲s②♠❜♦❧ ❢♦r♠✳ ❈♦♥s❡q✉❡♥❝❡s ❚❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❝♦♠♣✉t❡❞ ❜② ❧✐♥❡❛r ♥♦♥❞❡❧❡t✐♥❣ εt❞tt ✐♥ ♦♥❡✲s②♠❜♦❧ ❢♦r♠ ✐s ❝❧♦s❡❞ ✉♥❞❡r ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❝♦♠♣✉t❡❞ ❜② s②♥❝❤r♦♥♦✉s ❝♦♥t❡①t✲❢r❡❡ ❣r❛♠♠❛rs ✭✐♥❝❧✳ ❝❤❛✐♥ r✉❧❡s✮ ✐s ❝❧♦s❡❞ ✉♥❞❡r ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✳

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢ ❚♦♣✲❞♦✇♥ ❚r❡❡ ❚r❛♥s❞✉❝❡rs ✇✐t❤ ε✲❘✉❧❡s ❆✳ ▼❛❧❡tt✐✱ ❍✳ ❱♦❣❧❡r · ✷✶

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❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥

❚❤❡♦r❡♠ ✭❝❢✳ ❬❊♥❣❡❧❢r✐❡t ✬✼✺❪ ✫ ❬❇❛❦❡r ✬✼✾❪✮ ▲❡t ▼ ❛♥❞ ◆ ❜❡ εt❞tts✳ ❚❤❡♥ ▼ ; ◆ ❝♦♠♣✉t❡s τ▼ ; τ◆ ✐❢ ◆ ✐s ❧✐♥❡❛r✱ ▼ ✐s t♦t❛❧ ♦r ◆ ✐s ♥♦♥❞❡❧❡t✐♥❣✱ ❛♥❞ ▼ ✐s ✐♥ ♦♥❡✲s②♠❜♦❧ ❢♦r♠✳ ❈♦♥s❡q✉❡♥❝❡s ❚❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❝♦♠♣✉t❡❞ ❜② ❧✐♥❡❛r ♥♦♥❞❡❧❡t✐♥❣ εt❞tt ✐♥ ♦♥❡✲s②♠❜♦❧ ❢♦r♠ ✐s ❝❧♦s❡❞ ✉♥❞❡r ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❝♦♠♣✉t❡❞ ❜② s②♥❝❤r♦♥♦✉s ❝♦♥t❡①t✲❢r❡❡ ❣r❛♠♠❛rs ✭✐♥❝❧✳ ❝❤❛✐♥ r✉❧❡s✮ ✐s ❝❧♦s❡❞ ✉♥❞❡r ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✳

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❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥

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❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢ ❚♦♣✲❞♦✇♥ ❚r❡❡ ❚r❛♥s❞✉❝❡rs ✇✐t❤ ε✲❘✉❧❡s ❆✳ ▼❛❧❡tt✐✱ ❍✳ ❱♦❣❧❡r · ✷✸