Scalar One-point Func1ons in AdS/dCFT and Integrability - - PowerPoint PPT Presentation

¡Scalar ¡One-­‑point ¡Func1ons ¡ ¡ in ¡AdS/dCFT ¡and ¡Integrability ¡

Charlo=e ¡Kristjansen ¡ Niels ¡Bohr ¡Ins1tute ¡

Workshop ¡on ¡higher-­‑point ¡correla1on ¡func1ons ¡and ¡integrable ¡AdS/CFT ¡

HMI ¡Dublin, ¡April ¡ ¡16 ¡, ¡2018 ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Based ¡on: ¡ ¡ ¡

• M. ¡de ¡Leeuw, ¡C.K., ¡G. ¡Linardopoulos, ¡ArXiv:1802.01258[hep-­‑th], ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Phys.Le=. ¡B781 ¡(2018) ¡238 ¡

• I. ¡Buhl ¡Mortensen, ¡M. ¡de ¡Leeuw, ¡A. ¡Ipsen, ¡C.K., ¡M. ¡Wilhelm, ¡ArXiv: ¡1704.07386 ¡

[hep-­‑th], ¡Phys.Rev.Le=. ¡119 ¡(26) ¡(2017) ¡261604 ¡

• Previous ¡and ¡ongoing ¡work ¡involving ¡the ¡same ¡authors ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡plus ¡G. ¡Semenoff, ¡K. ¡Vardinghus ¡& ¡K. ¡Zarembo ¡ ¡

One-­‑point ¡func1ons: ¡Mo1va1on ¡ Possibly ¡the ¡simplest ¡observables ¡beyond ¡the ¡spectrum ¡ Have ¡strong ¡similari1es ¡with ¡three-­‑point ¡func1ons ¡ ¡ (determinant ¡formulas, ¡signs ¡of ¡higher ¡loop ¡integrability) ¡ ¡ Allow ¡for ¡a ¡test ¡of ¡AdS/CFT ¡in ¡a ¡situa1on ¡where ¡both ¡ ¡ supersymmetry ¡and ¡conformal ¡symmetry ¡are ¡(par1ally) ¡broken. ¡ Provide ¡input ¡for ¡the ¡boundary ¡conformal ¡bootstrap ¡program ¡ ¡ Reveal ¡interes1ng ¡connec1ons ¡to ¡sta1s1cal ¡physics ¡ ¡

Need ¡a ¡defect ¡CFT ¡-­‑-­‑-­‑-­‑ ¡with ¡string ¡theory ¡dual ¡

① One-­‑point ¡func1ons ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Normaliza1on ¡given ¡by: ¡ ¡

① Two-­‑point ¡func1ons ¡between ¡op’s ¡with ¡different ¡conf. ¡dims. ¡

¡

② Mixed ¡correlators ¡involving ¡bulk ¡and ¡defect ¡fields ¡ One-­‑point ¡func1ons ¡in ¡AdS/CFT ¡ hO

bulk

∆ (x)i =

C |x3|∆

Cardy ¡´84 ¡ McAvity ¡& ¡Osborn ¡’95 ¡

Consider ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡SYM ¡ ¡with ¡a ¡co-­‑dimension ¡one ¡defect ¡ ¡

N = 4

S = SN =4 | {z }

bulk

+ SD=3 | {z }

defect

Novel ¡features ¡

lim

x3→∞hO

bulk

∆ (y + x)O

bulk

∆0 (z + x)i =

δ∆∆0 |y z|2∆

Plan ¡of ¡the ¡talk ¡

u ¡The ¡AdS/dCFT ¡set-­‑up ¡and ¡its ¡parameters ¡ ¡ u ¡ ¡Gauge ¡theory ¡results ¡on ¡tree-­‑level ¡one-­‑point ¡func1ons ¡ u ¡ ¡String ¡theory ¡results ¡on ¡one-­‑point ¡func1ons ¡ u ¡Gauge ¡theory ¡results ¡on ¡one-­‑loop ¡one-­‑point ¡func1ons ¡ u ¡Summary/Open ¡problems ¡ ¡

AdS/dCFT ¡(D3-­‑D5 ¡or ¡D3-­‑D7 ¡case) ¡

String ¡theory ¡ ¡ Gauge ¡theory ¡

Defect ¡ ¡of ¡co-­‑dimension ¡one ¡

Parameters: ¡ ¡λ, N

Karch ¡& ¡Randall ¡’01, ¡ Freedman ¡& ¡Ooguri ¡’01, ¡

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 N D3 × × × × One D5 × × × × × × One D7 × × × × × × × ×

S = SN =4 | {z }

D3-D3 strings

+ SD=3 | {z }

D3-D5 strings or D3-D7 strings

Brane ¡Geometry ¡ Issues ¡

Geometry ¡of ¡D5 ¡brane: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡(1/2 ¡susy) ¡ ¡ ¡

AdS4 × S2

Precise ¡embedding ¡of ¡D-­‑brane ¡determined ¡by ¡ ¡S = SDBI + SW Z Geometry ¡of ¡D7 ¡brane: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡or ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡(No ¡susy) ¡

AdS4 × S2 × S2

AdS4 × S4

AdS/dCFT ¡a ¡strong-­‑weak ¡coupling ¡duality ¡(eternal ¡problem) ¡ ¡ One-­‑point ¡func1ons ¡at ¡leading ¡order ¡in ¡QFT ¡involve ¡a ¡high ¡number ¡ ¡

• f ¡loops ¡

¡ The ¡D3-­‑D7 ¡probe ¡brane ¡set-­‑up ¡is ¡unstable ¡to ¡fluctua1ons ¡

Consider ¡a ¡non-­‑trivial ¡vacuum ¡ ¡

ψcl

α = 0,

Acl

µ = 0,

φcl

i (x) = φcl i (x3),

i = 1, . . . , 6.

d2φcl

i

dx2

3

= [φcl

j , [φcl j , φcl i ]]

Constable, ¡Myers ¡ & ¡Taoord ¡´99 ¡

¡

Solution I

For x3 > 0 cl

i = 1

x3 ✓(ti)k×k ◆ , i = 1, 2, 3 cl

i = 0, i = 4, 5, 6

where ti constitute a k-dimensional irreducible representation of SU(2), in particular [ti, tj] = ✏ijktk,

For x3 < 0 φcl

i = 0 =

✓(∞)k×k ◆ , i = 1, 2, 3 φcl

i = 0, i = 4, 5, 6

Other ¡solu1ons ¡ ¡

For x3 > 0 φcl

i = 1

x3 ✓(ti)k1×k1 ⊗ 1k2×k2 ◆ , i = 1, 2, 3 φcl

i = 1

x3 ✓1k1×k1 ⊗ (ti)k2×k2 ◆ , i = 4, 5, 6

Broken SU(N) invariance

SU(N − dG) invariance

SU(N − k1k2) invariance

Broken SU(N) invariance

OBS: ¡AdS/CFT ¡with ¡addi1onal ¡parameters ¡-­‑-­‑-­‑ ¡The ¡dimension ¡of ¡the ¡representa1on ¡ ¡ ¡

k or (k1, k2) or dG

Solution II

Solution III

For x3 < 0 φcl

i =

✓(∞)k1k2×k1k2 ◆ , i = 1, . . . , 6

For x3 > 0 φcl

i =

1 √ 8x3 ✓(Gi)dG×dG ◆ , i = 1, 2, 3, 4, 5 φcl

6 = 0,

where Gij = [Gi, Gj] generate a dG-dimensional irreducible representation of SO(5)

For x3 < 0 φcl

i = 0 =

✓(∞)dG×dG ◆ , i = 1, . . . , 5 φcl

6 = 0

The ¡extra ¡parameter ¡on ¡the ¡string ¡theory ¡side ¡ ¡

Geometry ¡of ¡D5 ¡brane: ¡ ¡ AdS4 × S2 Background ¡gauge ¡field ¡F: ¡k ¡units ¡of ¡magne1c ¡flux ¡on ¡ ¡S2 Precise ¡embedding ¡of ¡D-­‑brane ¡determined ¡by ¡ ¡S = SDBI + SW Z

Constable, ¡Myers ¡ & ¡Taoord ¡´99 ¡

F = k (πα0) Vol[S2]

Geometry ¡of ¡D7 ¡brane: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡or ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

AdS4 × S2 × ˜ S2

AdS4 × S4

Background ¡gauge ¡field ¡F: ¡ F = k1 (πα0) Vol[S2] + k2(πα0) Vol[ ˜

S2]

• r ¡

dG = 1 8π Z

S4 F ∧ F

One-­‑point ¡func1ons ¡in ¡gauge ¡theory, ¡review ¡

¡Wish: ¡A ¡Systema1c ¡approach ¡to ¡the ¡computa1on ¡of ¡1-­‑pt ¡func1ons ¡ ¡ ¡ ¡of ¡conformal ¡operators ¡using ¡the ¡tools ¡of ¡integrability ¡ Conformal ¡scalar ¡operators=Eigenstates ¡of ¡integrable ¡SO(6) ¡spin ¡chain ¡ Scalar ¡operators ¡can ¡have ¡non-­‑zero ¡1-­‑pt ¡fcts ¡already ¡at ¡tree-­‑level ¡ Consider ¡first ¡SU(2) ¡subsector ¡for ¡D3-­‑D5 ¡case: ¡

Z = Φ1 + iΦ4, W = Φ2 + iΦ5

hO∆(x)i = 1 x∆

3

(Tr(ZZZWWZZ . . . W) + . . .) |Z→t1,W →t2 ⌘ C({ui}) x∆

3

O = Tr( Z Z ZW W Z Z . . . W | {z }

L fields

) ⇠ | """##"" . . . #iL

Eigenstates ¡(of ¡length ¡L= ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡with ¡M ¡flipped ¡spins): ¡

∆

O∆ ⇠ |{ui}i = ˆ B(uM) . . . ˆ B(u1)|0iL, |0iL = | "" . . . "iL

Tree-­‑level, ¡SU(2)-­‑subsector ¡ Matrix ¡Product ¡State ¡associated ¡with ¡the ¡defect ¡for ¡given ¡k: ¡ Object ¡to ¡calculate: ¡ ¡ hMPSk| = tra

L

Y

l=1

⇣ h"l| ⌦ (t(k)

1 )a + h#l| ⌦ (t(k) 2 )a⌘

No1ce: ¡3 ¡parameters: ¡k,L,M ¡ Non-­‑vanishing ¡result ¡only ¡if ¡

• L ¡and ¡M ¡both ¡even ¡
• Bethe ¡state ¡has ¡total ¡momentum ¡zero ¡
• The ¡rapidi1es ¡come ¡in ¡pairs, ¡i.e. ¡ ¡

{ui} = {−ui}

deLeeuw, ¡C.K. ¡ & ¡Zarembo ¡‘15, ¡

Ck ({uj}) = hMPSk

• {uj}M

j=1

E

L

h{uj}|{uj}i

1 2

Complete ¡result: ¡ ¡any ¡k, ¡M, ¡L ¡

• I. ¡Of ¡determinant ¡form ¡

OBS: ¡well-­‑known ¡determinants ¡ Follows ¡ ¡from ¡results ¡involving ¡overlaps ¡of ¡Bethe ¡states ¡and ¡the ¡Néel ¡state ¡

C2 ({uj}) = hMPS2 | {uj}i h{uj}|{uj}i

1 2

= 21−L s Q( i

2)

Q(0) r det G+ det G−

Q(u) =

M

Y

i=1

(u − ui)

Baxter ¡polynomial ¡

h{uj}|{uj}i = Q( i

2) det G = Q( i 2) det G+ det G−

exp[iΦk] ≡ uk − i

2

uk + i

2

!L M Y

j=1 j6=k

uk − uj + i uk − uj − i

Gij = ∂uiΦj,

Poszgay ¡‘13, ¡ Brockmann, ¡Nardis, ¡Wouter ¡& ¡Caux, ¡‘14, ¡Brockmann ¡‘14 ¡ deLeeuw, ¡C.K. ¡ & ¡Zarembo ¡‘15, ¡

¡the ¡transfer ¡matrix ¡ Tn(u) =

n 2

X

a=− n

2

(u + ia)L Q(u + n+1

2 i)Q(u − n+1 2 i)

Q(u + (a − 1

2)i)Q(u + (a + 1 2)i)

For ¡the ¡n+1 ¡dimensional ¡representa1on ¡(in ¡the ¡auxiliary ¡space) ¡ ¡ Plays ¡an ¡important ¡role ¡in ¡

• Extension ¡of ¡the ¡formula ¡to ¡one ¡and ¡higher ¡loops ¡
• Extension ¡of ¡the ¡formula ¡to ¡other ¡sectors, ¡SU(3), ¡SO(6) ¡
• II. ¡Interes1ng ¡factoriza1on ¡property ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡Can ¡be ¡proven ¡by ¡recursion ¡

Tn

Ck = iLTk−1(0) s Q( i

2)Q(0)

Q2( ik

2 )

s det G+ det G−

Buhl-­‑Mortensen, ¡de ¡Leeuw, ¡ C.K. ¡& ¡Zarembo, ¡15. ¡

|MPSk+2i = ˆ T ✓ik 2 ◆ |MPSki ✓k + 1 k 1 ◆L |MPSk−2i

Extension ¡to ¡full ¡scalar ¡SO(6) ¡sector ¡(D3-­‑D5 ¡case) ¡ Consider ¡operators ¡built ¡from ¡ ¡ Conformal ¡operators=Eigenstates ¡of ¡SO(6) ¡integrable ¡spin ¡chain ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡SO(6) ¡sector ¡closed ¡at ¡one-­‑loop ¡only ¡

Eigenstates ¡ ¡of ¡length ¡L: ¡ ¡ characterized ¡by ¡three ¡sets ¡of ¡rapidi1es ¡ ¡ Relevant ¡matrix ¡product ¡state ¡(in ¡the ¡basis ¡of ¡real ¡fields) ¡ ¡

X = φ1 + iφ4, W = φ2 + iφ5, Y = φ3 + iφ6 X = φ1 − iφ4, W = φ2 − iφ5, Y = φ3 − iφ6

|ui, v+

j , v− k iL

{ui}M

i=1, {v+ j }N + i=1, {v− j }N − i=1

hMPSk| = X

~ i

hφi1 . . . φiL| Tr(t(k)

i1 . . . t(k) iL )

Corresponding operator: L − M = #X − #X, M − N+ = # W + #X + #Y , N+ − N− = #Y − #Y , N− = # barred fields

Object ¡to ¡calculate: ¡

Extension ¡to ¡the ¡full ¡scalar ¡SO(6) ¡sector ¡(D3-­‑D5 ¡case) ¡ ¡ ¡

Ck ({uj}) = hMPSk

• {uj}M

j=1 ,

• v+

i

N+

i=1 ,

• v−

l

N−

l=1

E

L

⌦ uj, v+

i , v− l

• uj, v+

i , v− l

↵ 1

2

Result for Ck:

• Exact formula valid for any, L, M, N +, N − and k
• Expressed in terms of the norm function of the state and (generalised)

Baxter polynomials

• Proof is lacking. Can be checked numerically up to L = 8, k = 6 for SO(6)

and L = 16, k = 6 for SU(3)

Selection rules:

• Momentum of Bethe state equal to zero
• M and L + N+ + N− even
• The rapidities come in pairs, i.e. {ui}, {v+

j }, {v− l } = {−ui}, {−v+ j }, {−v− l }

Extension ¡to ¡other ¡vacua ¡(other ¡probe-­‑brane ¡set-­‑ups) ¡

For x3 > 0 φcl

i =

1 √ 8x3 ✓(Gi)dG×dG ◆ , i = 1, 2, 3, 4, 5, φcl

6 = 0

where Gij = [Gi, Gj] generate a certain dG-dimensional irreducible representation of SO(5)

Construction of Gi: Start from the 4d gamma matrices

{γi, γj} = 2δij, i, j = 1, . . . , 5

Relevant ¡matrix ¡product ¡state: ¡ ¡

hMPSn| = X

~ i

hei1 . . . eiL| Tr(G(n)

i1 . . . G(n) iL )

G(n)

i

= (γi ⊗ 1 ⊗ . . . ⊗ 1 | {z }

n terms

+ . . . + 1 ⊗ 1 . . . ⊗ γi)sym

dG = (n + 3)! 3!n! = 1 6(n + 1)(n + 2)(n + 3)

Object ¡to ¡calculate: ¡

Extension ¡to ¡the ¡D3-­‑D7 ¡brane ¡set-­‑up ¡

Cn ({uj}) = hMPSn

• {uj}M

j=1 ,

• v+

i

N+

i=1 ,

• v−

l

N−

l=1

E

L

⌦ uj, v+

i , v− l

• uj, v+

i , v− l

↵ 1

2

Selection rules:

• Momentum of Bethe state equal to zero
• The rapidities come in pairs, i.e. {ui}, {v+

j }, {v− l } = {−ui}, {−v+ j }, {−v− l }

• (L, M, N+, N−) = (L, M, M/2, M/2)

Result for Cn:

• Trivialises for SU(2) sub-sector, N− = N+ = 0.
• Trivialises for SU(3) sub-sector, N− = 0
• No closed expression found for the full SO(6) sector (yet)

Integrability ¡of ¡Matrix ¡Product ¡States ¡

When ¡does ¡a ¡matrix ¡product ¡state ¡correspond ¡to ¡an ¡integrable ¡boundary ¡state? ¡ Spin ¡chain ¡integrability: ¡ ¡

3

Q

Σ

n n n+1 n+2 m sites

Qm : H n,n+1

[

n+1,n+2

=

]

,

=

H ^ ^ ^ ^

∃ ˆ Qi, i = 1, . . . , L : [ ˆ Qi, ˆ Qj] = 0

ˆ Q1 =

L

X

i=1

ei ˆ

P ,

ˆ Q2 = ˆ H =

L

X

i=1

Hn,n+1,

Spin ¡chain ¡parity: ¡ ¡ Π Qm Π = (−1)mQm

Proposed ¡criterion ¡for ¡integrability ¡of ¡MPS: ¡ ˆ

Q2m+1|MPSi = 0, m 1

Can ¡be ¡packaged ¡in ¡transfer ¡matrix ¡

ˆ Qn+1 = ∂n ∂un log ˆ T(u)|u=0

Alterna1vely: ¡ ¡ ˆ

T(u)|MPSi = Π ˆ T(u) Π|MPSi

NB: ¡Imply ¡pairing ¡of ¡roots ¡for ¡Bethe ¡states ¡to ¡have ¡non-­‑vanishing ¡overlap ¡with ¡MPS ¡

Piroli, ¡Pozsgay ¡ Vernier ¡‘17 ¡

ˆ T(u) :

Π (|e1i ⌦ |e2i ⌦ . . . ⌦ |eLi) = |eLi ⌦ |eL−1i ⌦ . . . ⌦ |e1i, Π2 = 1

Integrability ¡of ¡Matrix ¡Product ¡States ¡(D3-­‑D5 ¡case) ¡

Transfer ¡matrix ¡of ¡integrable ¡SO(6) ¡spin ¡chain: ¡

ˆ T(u) = Tr0(L01(u)L02(u) . . . L0L(u)), L0i = 1 − i uP0i − i u − 2iK0i

Auxiliary ¡and ¡physical ¡Hilbert ¡space ¡of ¡dimension ¡6 ¡

|MPSki = Tr(t(k)

i1 . . . t(k) iL )

X

~ i

|φi1 . . . φiLi

ˆ T(u) |MPSki = Tr( τi1 . . . τiL | {z }

dim 6k × 6k

) X

~ i

|φi1 . . . φiLi

τA = 16 ⊗ tAδA=1,2,3 + i v − 2i EA

j ⊗ tj − i

v Ej

A ⊗ tj,

A = 1, . . . , 6 (t4 = t5 = t6 = 0)

∃ S : {τ1, τ2, τ3, τ4, τ5, τ6}T = S−1{τ1, −τ2, τ3, τ4, τ5, τ6}S,

• {t1, t2, t3}T = {t1, −t2, t3}T

Π ˆ T(u)Π |MPSki = Π ˆ T(u) X

~ i

tr[tT

i1 . . . tT iL]|φi1 . . . φiLi = Π ˆ

T(u) X

~ i

(1)#t2tr[ti1 . . . tiL]|φi1 . . . φiLi = Π X

~ i

(1)#t2tr[τi1 . . . τiL]|φi1 . . . φiLi = X

~ i

(1)#t2tr[τ T

i1 . . . τ T iL]|φi1 . . . φiLi

= X

~ i

(1)2#t2tr[τi1 . . . τiL]|φi1 . . . φiLi = ˆ T(u)|MPSki,

Integrability ¡Tests ¡of ¡Matrix ¡Product ¡States ¡

Conclusion: ¡ ¡

• D3-­‑D5 ¡MPS ¡fulfills ¡integrability ¡criterion ¡
• D3-­‑D7 ¡SO(3) ¡x ¡SO(3) ¡symmetric ¡MPS ¡fulfills ¡integrability ¡criterion ¡
• D3-­‑D7 ¡SO(5) ¡symmetric ¡MPS ¡fulfills ¡integrability ¡criterion ¡

Puzzle: ¡No ¡closed ¡form ¡1-­‑pt ¡func1ons ¡for ¡SO(5) ¡symmetric ¡D3-­‑D7 ¡case ¡ Possible ¡key ¡to ¡progress: ¡A ¡sca=ering ¡picture ¡with ¡a ¡reflec1on ¡matrix ¡ ¡

String ¡theory ¡suggests ¡a ¡new ¡double ¡scaling ¡limit ¡

One ¡can ¡compare ¡perturba1ve ¡gauge ¡theory ¡to ¡clasical ¡ ¡ string ¡theory ¡in ¡this ¡limit ¡ ¡(Reminiscent ¡of ¡BMN-­‑limit) ¡ NB: ¡D3-­‑D5 ¡Both ¡susy ¡and ¡conformal ¡symmetry ¡are ¡par1ally ¡broken ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡D3-­‑D7 ¡Susy ¡completely ¡broken ¡

Nagasaki ¡& ¡ ¡ Yamaguchi ¡‘12, ¡

cot α = πk √ λ

cot α = πk √ λ

λ → ∞, k → ∞, λ k2 finite (N → ∞)

D5-­‑brane ¡

The ¡double ¡scaling ¡limit ¡

For ¡D3-­‑D7: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡or ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡with ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

cot α = π p k2

1 + k2 2

√ λ

cot α = πn √ λ

dG = 1 6(n + 1)(n + 2)(n + 3)

C.K., ¡Semenoff ¡& ¡ ¡ Young ¡‘12, ¡

Results, ¡string ¡theory ¡side ¡(D3-­‑D5 ¡case) ¡

hOL(x)i for chiral primaries with SO(3) ⇥ SO(3) symmetry Only one such O for each even L

Computation: Heavy-Heavy-Light H H | {z }

D5-brane

L |{z}

chiral primary

Nagasaki ¡& ¡ ¡ Yamaguchi ¡‘12, ¡

• Find the variation δSE = δ(SDBI + SW Z)
• Expand fluctuations in terms of spherical harmonics on S5

δSE(X, Ω) = X

∆

X

I

s∆I(X) Y∆I(Ω)

• Pick Y∆I(Ω) the unique chiral primary with SO(3)×SO(3) symmetry and

(even) conf.dim. ∆.

• Replace s∆I(X) with a bulk-to-boundary propagator reaching from a point

z on the brane to x3 at the boundary. Integrate over z.

GKPW ¡method ¡in ¡prac1ce ¡

Results ¡in ¡d.s.l. ¡for ¡chiral ¡primary ¡

Ck(g) Ck(0)

• st

= Γ(L + 1

2)

κL+1√πΓ(L + 1) ⇥ κ2 + 1 ⇤ 3

2 ×

Z

π 2

− arctan κ

dθ cos2L−1 θ (κ + tan θ)L−2 =

• κ +

√ κ2 + 1 L L √ κ2 + 1 − κ

• 2L(L − 1)κL+1

= 1 + L(L + 1) 4(L − 1)κ2 | {z }

checked in 1611.04603 Buhl-Mortensen, de Leeuw, Ipsen,C.K.,Wilhelm

+O ✓ 1 κ4 ◆ , κ = πk √ λ = k 4g

Can ¡be ¡repeated ¡for ¡the ¡two ¡D3-­‑D7 ¡probe ¡brane ¡set-­‑ups ¡and ¡leads ¡to ¡similar ¡testable ¡

• predic1on. ¡ C.K. ¡, ¡Semenoff, ¡ ¡

Young ¡‘12, ¡

One-­‑loop ¡one-­‑point ¡func1ons ¡in ¡SU(2) ¡sector ¡ Mo1va1on: ¡

• I. ¡Sewng ¡up ¡the ¡quantum ¡computa1on ¡is ¡non-­‑trivial ¡
• II. ¡Checking ¡the ¡one-­‑loop ¡predic1on ¡from ¡string ¡theory ¡
• III. ¡Integrability, ¡finite ¡g ¡

Strategy ¡for ¡I.: ¡

• 1. ¡The ¡operator ¡should ¡be ¡a ¡chiral ¡primary ¡
• 2. ¡Choose ¡ O = TrZj ∈ SU(2) sector

= c1OL + . . .

• 3. ¡Compare ¡

hOLione-loop hOLitree-level

Extension ¡to ¡higher ¡loop ¡orders ¡

Reminder ¡for ¡the ¡spectral ¡problem: ¡ ¡

• Make ¡the ¡following ¡replacement ¡in ¡the ¡Bethe ¡eqns. ¡
• Introduce ¡phase ¡factor ¡in ¡Bethe ¡eqns. ¡(only ¡contributes ¡star1ng ¡at ¡4-­‑loop ¡order) ¡
• Take ¡into ¡account ¡wrapping ¡interac1ons ¡

eip = u + i

2

u − i

2

! − → x(u + i

2)

x(u − i

2) ≡ x+(u)

x−(u), u(x) = x + g2 x

eiθ(uj,uk)

One ¡point ¡func1ons ¡at ¡higher ¡loop ¡orders ¡ Idea: ¡ ¡

• Make ¡the ¡usual ¡replacement ¡in ¡the ¡Bethe ¡eqns. ¡and ¡in ¡the ¡Bethe ¡func1on ¡
• Make ¡the ¡same ¡replacement ¡in ¡the ¡transfer ¡matrix, ¡i. ¡e. ¡
• Possible ¡asympto1c ¡(i.e. ¡so ¡far ¡without ¡wrapping) ¡formula ¡

(plus ¡dressing ¡phase ¡ ¡ plus ¡wrapping ¡correc1ons) ¡

Tn(u) − → ˜ Tn(u) = gL

n 2

X

a=− n

2

x(u + ia)L Q(u + n+1

2 i)Q(u − n+1 2 i)

Q(u + (a − 1

2)i)Q(u + (a + 1 2)i)

Ck = iL ˜ Tk−1(0) s Q( i

2)Q(0)

Q2( ik

2 )

s det ˜ G+ det ˜ G−

u ± i 2 − → x±, Φk − → ˜ Φk

¡The ¡one-­‑loop ¡computa1on ¡

Fk = 1 + g2h Ψ( k+1

2 ) + γE − log 2

i ∆(1) + O(g4) ,

Checked ¡for: ¡L, ¡M=2, ¡any ¡k ¡(analy1cal ¡deriva1on) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡L=8, ¡M=4, ¡k=2,3,4,5,6 ¡(numerically) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Exponen1aliza1on ¡? ¡

Fk

?

= 2L−∆ exp h (∆ − L)(Ψ( k+1

2 ) + γE)

i

Two ¡loop ¡computa1on ¡might ¡clarify ¡this ¡

Buhl-­‑Mortensen, ¡ de-­‑Leeuw, ¡Ipsen, ¡ C.K., ¡Wilhelm ¡,17 ¡

Ck = iL ˜ Tk−1(0) s Q( i

2)Q(0)

Q2( ik

2 )

s det ˜ G+ det ˜ G− Fk

Two ¡types ¡of ¡correc1ons ¡ ¡ 1. Loop ¡contribu1on ¡to ¡one-­‑point ¡func1on ¡ 2. Correc1on ¡of ¡the ¡eigenstate ¡ ¡ Result ¡ Flux ¡factor ¡

Summary ¡of ¡results ¡ ¡

• A ¡closed ¡expression ¡for ¡all ¡tree-­‑level ¡scalar ¡one-­‑point ¡func1ons ¡in ¡the ¡D3-­‑D5 ¡case ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡for ¡any ¡representa1on ¡label ¡k. ¡

¡

• A ¡match ¡with ¡string ¡theory ¡for ¡D3-­‑D5 ¡at ¡next ¡to ¡leading ¡order ¡in ¡ ¡double ¡scaling ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡parameter ¡for ¡the ¡one-­‑pt ¡func1on ¡of ¡a ¡chiral ¡primary ¡

¡

• Ongoing ¡inves1ga1ons ¡of ¡the ¡SO(5) ¡symmetric ¡D3-­‑D7 ¡brane ¡system. ¡(One-­‑point ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡func1ons ¡vanishing ¡in ¡SU(2) ¡and ¡SU(3) ¡sector, ¡no ¡closed ¡formula ¡for ¡SO(6) ¡(yet)) ¡

¡

• ¡A ¡comparison ¡with ¡string ¡theory ¡at ¡next ¡to ¡leading ¡order ¡in ¡d.s.l. ¡seems ¡within ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡reach ¡also ¡for ¡both ¡D3-­‑D7 ¡set-­‑ups ¡(No ¡susy). ¡

¡

• Closed ¡one-­‑point ¡func1on ¡formula ¡in ¡SU(2) ¡sub-­‑sector ¡at ¡one-­‑loop ¡for ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡D3-­‑D5 ¡set-­‑up. ¡(Proposal ¡for ¡asympto1c ¡formula.) ¡

• Ini1ated ¡the ¡computa1on ¡of ¡two-­‑point ¡func1ons ¡and ¡exploita1on ¡of ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡conformal ¡boundary ¡bootstrap ¡(deLeeuw, ¡C.K., ¡Ipsen, ¡Vardinghus, ¡Wilhelm ¡’17) ¡

¡ ¡

Open ¡ques1ons: ¡

• Understanding ¡the ¡integrability ¡of ¡D3-­‑D5 ¡from ¡sca=ering ¡theory ¡
• Understanding ¡if ¡D3-­‑D7 ¡is ¡integrable ¡or ¡not ¡
• Proving ¡the ¡SU(3) ¡and ¡SO(6) ¡formulas ¡
• Working ¡out ¡the ¡precise ¡ac1on ¡of ¡the ¡3D ¡defect ¡field ¡theory ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡(important ¡for ¡higher ¡loop ¡computa1ons ¡as ¡well ¡as ¡the ¡conf. ¡bootstrap ¡program) ¡

• Tes1ng ¡the ¡string ¡theory ¡predic1on ¡for ¡the ¡D3-­‑D7 ¡chiral ¡primary ¡
• More ¡detailed ¡comparisons ¡with ¡string ¡theory ¡for ¡both ¡one-­‑ ¡and ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡two-­‑point ¡func1ons ¡: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f.inst. ¡involving ¡spinning ¡strings ¡(i.e. ¡non-­‑protected ¡operators) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

• Moving ¡on ¡to ¡higher ¡loop ¡orders ¡( ¡& ¡understand ¡wrapping) ¡

¡

Thank ¡you ¡