sst rst r srt rs - - PowerPoint PPT Presentation

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▼❛t❤❙♣♦rt ■♥t❡r♥❛t✐♦♥❛❧ ✷✵✶✼ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ P❛❞✉❛✱ P❛❞✉❛ ✭■t❛❧②✮ ✷✽ ❏✉♥❡ ✷✵✶✼

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◮ ●r♦✉♣✿ ♣♦✐♥ts ✐♥ ❤❡❛❞✲t♦✲❤❡❛❞ ♠❛t❝❤❡s ❛♠♦♥❣ t✐❡❞ t❡❛♠s ◮ ❇❡st r✉♥♥❡r✲✉♣✿ ♣♦✐♥ts ✴ ❣♦❛❧ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ✴ ❣♦❛❧s s❝♦r❡❞

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• ❡♥❡r❛❧✐③❡❞ t♦✉r♥❛♠❡♥t

◮ ❚✐❡s ❛♥❞ ❞✐✛❡r❡♥t ♠❛r❣✐♥s ♦❢ ✈✐❝t♦r② ✭♣r❡❢❡r❡♥❝❡ ✐♥t❡♥s✐t✐❡s✮ ◮ ❆r❜✐tr❛r② ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♠❛t❝❤❡s ❜❡t✇❡❡♥ ♣❧❛②❡rs✿ ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡ ✭♠✐ss✐♥❣✮

❛♥❞ ✐♠❜❛❧❛♥❝❡❞ ❞❛t❛ ❆✐♠s

◮ ❇❡tt❡r ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♦❢ r❛♥❦✐♥❣ t❤r♦✉❣❤ ❛♥ ❛①✐♦♠❛t✐❝ ❛♣♣r♦❛❝❤ ◮ ❊①♣❧♦r❡ tr❛❞❡✲♦✛s ❛♠♦♥❣ ❞✐✛❡r❡♥t ♣r♦♣❡rt✐❡s

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

◆❡✇❝♦♠❜❡ ◆❛st❛s❡ ❈♦♥♥♦rs ❇♦r❣ ▼❝❊♥r♦❡ ▲❡♥❞❧ ❲✐❧❛♥❞❡r ❊❞❜❡r❣ ❇❡❝❦❡r ▼✉st❡r ❆❣❛ss✐ ❈♦✉r✐❡r ❙❛♠♣r❛s ❘❛❢t❡r ❑❛❢❡❧♥✐❦♦✈ ❘✐♦s ▼♦②❛ ❑✉❡rt❡♥ ❙❛✜♥ ❋❡rr❡r♦ ❍❡✇✐tt ❋❡❞❡r❡r ❘♦❞❞✐❝❦ ◆❛❞❛❧ ❉❥♦❦♦✈✐❝

❋❡❞❡r❡r ❖♣♣♦♥❡♥t ❲✐♥ ▲♦ss ❆❣❛ss✐ ✽ ✸ ❉❥♦❦♦✈✐❝ ✶✻ ✶✺ ❋❡rr❡r♦ ✶✵ ✸ ❍❡✇✐tt ✶✽ ✽ ❑❛❢❡❧♥✐❦♦✈ ✷ ✹ ❑✉❡rt❡♥ ✶ ✷ ▼♦②❛ ✼ ✵ ◆❛❞❛❧ ✶✵ ✷✷ ❘❛❢t❡r ✵ ✸ ❘✐♦s ✷ ✵ ❘♦❞❞✐❝❦ ✷✶ ✸ ❙❛✜♥ ✶✵ ✷ ❙❛♠♣r❛s ✶ ✵ ❙✉♠ ✶✵✻ ✻✺ ▲ás③❧ó ❈s❛tó ✭▼❚❆ ❙❩❚❆❑■✮ ❆♥ ✐♠♣♦ss✐❜✐❧✐t② r❡s✉❧t ❢♦r s♣♦rt r❛♥❦✐♥❣s ▼❛t❤❙♣♦rt ✷✵✶✼ ✻ ✴ ✷✵

❘❛♥❦✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠s

▼♦❞❡❧ s❡tt✐♥❣

• ❡♥❡r❛❧ r❛♥❦✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ (N, ❚) = (N, T (✶), T (✷), . . . , T (m))

◮ ❙❡t ♦❢ ♣❧❛②❡rs✿ N = {X✶, X✷, . . . , Xn} ◮ ❚♦✉r♥❛♠❡♥t ♠❛tr✐① ♦❢ r♦✉♥❞ p✿ T (p) ∈ Rn×n ✭p = ✶, ✷, . . . , m✮ ✶ t(p)

ij

+ t(p)

ji

= ✶ ✐❢ ♣❧❛②❡rs Xi ❛♥❞ Xj ❤❛✈❡ ♣❧❛②❡❞ ✐♥ r♦✉♥❞ p

✷ t(p)

ij

= t(p)

ji

= ✵ ♦t❤❡r✇✐s❡

◮ ❆❣❣r❡❣❛t❡❞ t♦✉r♥❛♠❡♥t ♠❛tr✐①✿ A = m p=✶ T (p)

❘❛♥❦✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ (N, A) ♦r (N, R, M)

◮ ▼❛t❝❤❡s ♠❛tr✐① M = A + A⊤✿ s②♠♠❡tr✐❝✱ mii = ✵ ❢♦r ❛❧❧ Xi

mij = aij + aji = m

p=✶ t(p) ij

+ t(p)

ji

mij = mji ∈ N ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♠❛t❝❤❡s ❜❡t✇❡❡♥ Xi ❛♥❞ Xj

◮ ◆✉♠❜❡r ♦❢ ♠❛t❝❤❡s ♦❢ ♣❧❛②❡r Xi✿ di = Xj∈N mij ◮ ❘❡s✉❧ts ♠❛tr✐① R = T − T ⊤✿ s❦❡✇✲s②♠♠❡tr✐❝✱ rii = ✵ ❢♦r ❛❧❧ Xi

rji = −rij ❛♥❞ rij ∈ [−mij, mij]

▲ás③❧ó ❈s❛tó ✭▼❚❆ ❙❩❚❆❑■✮ ❆♥ ✐♠♣♦ss✐❜✐❧✐t② r❡s✉❧t ❢♦r s♣♦rt r❛♥❦✐♥❣s ▼❛t❤❙♣♦rt ✷✵✶✼ ✼ ✴ ✷✵

❘❛♥❦✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠s

❘❛♥❦✐♥❣s ❛♥❞ s♣❡❝✐❛❧ r❛♥❦✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠s

❍♦✇ t♦ r❛♥❦ t❤❡ ♦❜❥❡❝ts❄

◮ T n ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧ r❛♥❦✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠s (N, ❚) s✉❝❤ t❤❛t |N| = n ◮ ●❡♥❡r❛❧ s❝♦r✐♥❣ ♠❡t❤♦❞✿ g : T n → Rn ◮ Rn ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ r❛♥❦✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠s (N, R, M) s✉❝❤ t❤❛t |N| = n ◮ ❙❝♦r✐♥❣ ♠❡t❤♦❞✿ f : Rn → Rn ◮ ❘❛♥❦✐♥❣✿ Xi ✐s r❛♥❦❡❞ ✇❡❛❦❧② ❛❜♦✈❡ Xj ✭Xi Xj✮ ✐❢ fi(N, R, M) ≥

fj(N, R, M) ❆ r❛♥❦✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ (N, R, M) ∈ Rn ✐s ❝❛❧❧❡❞

◮ ❜❛❧❛♥❝❡❞ ✐❢ Xk∈N mik = Xk∈N mjk ❢♦r ❛❧❧ Xi, Xj ∈ N ⇒ RB ◮ r♦✉♥❞✲r♦❜✐♥ ✐❢ m = mij = mkℓ ❢♦r ❛❧❧ Xi = Xj ❛♥❞ Xk = Xℓ ⇒ RR ◮ ❡①tr❡♠❛❧ ✐❢ |rij| ∈ {✵; mij} ❢♦r ❛❧❧ Xi, Xj ∈ N ⇒ RE

❚❤❡r❡ ❛r❡ ♦♥❧② t❤r❡❡ ♣♦ss✐❜✐❧✐t✐❡s✿ ❝♦♠♣❧❡t❡ ✇✐♥✱ ❞r❛✇✱ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❧♦ss

▲ás③❧ó ❈s❛tó ✭▼❚❆ ❙❩❚❆❑■✮ ❆♥ ✐♠♣♦ss✐❜✐❧✐t② r❡s✉❧t ❢♦r s♣♦rt r❛♥❦✐♥❣s ▼❛t❤❙♣♦rt ✷✵✶✼ ✽ ✴ ✷✵

❆①✐♦♠s

❙❡❧❢✲❝♦♥s✐st❡♥❝②✿ ♠♦t✐✈❛t✐♦♥

❘❡q✉✐r❡♠❡♥ts Xi s❤♦✉❧❞ ❜❡ ❥✉❞❣❡❞ ❜❡tt❡r t❤❛♥ Xj ✐❢ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❤♦❧❞s✿

✶ Xi ❛❝❤✐❡✈❡s ❜❡tt❡r r❡s✉❧ts ❛❣❛✐♥st ♦♣♣♦♥❡♥ts ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ str❡♥❣t❤ ✷ Xi ❛❝❤✐❡✈❡s t❤❡ s❛♠❡ r❡s✉❧ts ❛❣❛✐♥st str♦♥❣❡r ♦♣♣♦♥❡♥ts ✸ Xi ❛❝❤✐❡✈❡s ❜❡tt❡r r❡s✉❧ts ❛❣❛✐♥st str♦♥❣❡r ♦♣♣♦♥❡♥ts

❊①❛♠♣❧❡ X✶ X✷ X✸ X✹ ■♠♣❧✐❝❛t✐♦♥s✿

◮ X✷ ∼ X✸✿ t❤❡② ❤❛✈❡ t❤❡ s❛♠❡ r❡s✉❧ts

❛❣❛✐♥st t❤❡ s❛♠❡ ♦♣♣♦♥❡♥ts

◮ X✶ ≻ X✹✿ t❤❡② ❤❛✈❡ t❤❡ s❛♠❡ ♦♣♣♦✲

♥❡♥ts✱ ❜✉t r✶✷ > r✹✷ ❛♥❞ r✶✸ > r✹✸

◮ ❋✐♥❛❧❧②✱ ♦♥❧② X✶ ≻ (X✷ ∼ X✸) ≻ X✹ ✐s

❛❧❧♦✇❡❞

▲ás③❧ó ❈s❛tó ✭▼❚❆ ❙❩❚❆❑■✮ ❆♥ ✐♠♣♦ss✐❜✐❧✐t② r❡s✉❧t ❢♦r s♣♦rt r❛♥❦✐♥❣s ▼❛t❤❙♣♦rt ✷✵✶✼ ✾ ✴ ✷✵

❆①✐♦♠s

❙❡❧❢✲❝♦♥s✐st❡♥❝②✿ ❢♦r♠❛❧ ❞❡✜♥✐t✐♦♥

◆♦t❛t✐♦♥s

✶ ▲❡t (N, ❚) ∈ T n ❜❡ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ r❛♥❦✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠✳ ❚❤❡ ♦♣♣♦♥❡♥t ♠✉❧✲

t✐s❡t ♦❢ ♣❧❛②❡r Xi ✐s Oi✱ ✇❤✐❝❤ ❝♦♥t❛✐♥s mij ✐♥st❛♥❝❡s ♦❢ Xj✳

✷ ▲❡t Xi, Xj ∈ N ❜❡ t✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t ♦❜❥❡❝ts ❛♥❞ h(p) : O(p) i

↔ O(p)

j

❜❡ ❛ ♦♥❡✲t♦✲♦♥❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡✳ ❚❤❡♥ h(p) ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② Xh(p)(k) = h(p)(Xk)✳ ❙❡❧❢✲❝♦♥s✐st❡♥❝② ✭SC✮ ❬❈❤❡❜♦t❛r❡✈ ❛♥❞ ❙❤❛♠✐s✱ ✶✾✾✼❪ ▲❡t (N, ❚) ∈ T n ❜❡ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ r❛♥❦✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠✳ ▲❡t Xi, Xj ∈ N ❜❡ t✇♦ ♣❧❛②❡rs ❛♥❞ g : T n → Rn ❜❡ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ s❝♦r✐♥❣ ♠❡t❤♦❞ s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ❛❧❧ p = ✶, ✷, . . . , m t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♦♥❡✲t♦✲♦♥❡ ♠❛♣♣✐♥❣ h(p) ❢r♦♠ O(p)

i

♦♥t♦ O(p)

j

✱ ✇❤❡r❡ t(p)

ik

≥ t(p)

jh(p)(k) ❛♥❞ gk(N, ❚) ≥ gh(p)(k)(N, ❚)✳

g ✐s ❝❛❧❧❡❞ s❡❧❢✲❝♦♥s✐st❡♥t ✐❢ gi(N, ❚) ≥ gj(N, ❚)✱ ❢✉rt❤❡r♠♦r❡✱ gi(N, ❚) > gj(N, ❚) ✐❢ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✐s str✐❝t✳

▲ás③❧ó ❈s❛tó ✭▼❚❆ ❙❩❚❆❑■✮ ❆♥ ✐♠♣♦ss✐❜✐❧✐t② r❡s✉❧t ❢♦r s♣♦rt r❛♥❦✐♥❣s ▼❛t❤❙♣♦rt ✷✵✶✼ ✶✵ ✴ ✷✵

❆①✐♦♠s

❆❞❞✐t✐✈✐t② ♦❢ r❛♥❦✐♥❣s ❛♥❞ r❛♥❦✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠s

❖r❞❡r ♣r❡s❡r✈❛t✐♦♥ ✭OP✮ ❬●♦♥③á❧❡③✲❉í❛③ ❡t ❛❧✳✱ ✷✵✶✹❪ ▲❡t (N, A), (N, A′) ∈ Rn ❜❡ t✇♦ r❛♥❦✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠s ✇❤❡r❡ ❛❧❧ ♣❧❛②❡rs ❤❛✈❡ ♣❧❛②❡❞ m ♠❛t❝❤❡s ❛♥❞ Xi, Xj ∈ N ❜❡ t✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t ♣❧❛②❡rs✳ ▲❡t f : Rn → Rn ❜❡ ❛ s❝♦r✐♥❣ ♠❡t❤♦❞ s✉❝❤ t❤❛t fi(N, A) ≥ fj(N, A) ❛♥❞ fi(N, A′) ≥ fj(N, A′)✳ f s❛t✐s✜❡s ♦r❞❡r ♣r❡s❡r✈❛t✐♦♥ ✐❢ fi(N, A + A′) ≥ fj(N, A + A′)✱ ❢✉rt❤❡r♠♦r❡✱ fi(N, A + A′) > fj(N, A + A′) ✐❢ fi(N, A) > fj(N, A) ♦r fi(N, A′) > fj(N, A′)✳ ❆♥ ❡①❛♠♣❧❡ ❢r♦♠ t❡♥♥✐s ❋❡❞❡r❡r ◆❛❞❛❧ ✐♥ ✷✵✶✶ ❛♥❞ ✷✵✶✷ ⇒ ❋❡❞❡r❡r ◆❛❞❛❧ ✐♥ ✷✵✶✶✲✷✵✶✷ ❘❡♠❛r❦ ❬●♦♥③á❧❡③✲❉í❛③ ❡t ❛❧✳✱ ✷✵✶✹❪ s❤♦✇ t❤❛t ♠♦st s❝♦r✐♥❣ ♠❡t❤♦❞s ❞♦ ♥♦t s❛t✐s❢② OP✳

▲ás③❧ó ❈s❛tó ✭▼❚❆ ❙❩❚❆❑■✮ ❆♥ ✐♠♣♦ss✐❜✐❧✐t② r❡s✉❧t ❢♦r s♣♦rt r❛♥❦✐♥❣s ▼❛t❤❙♣♦rt ✷✵✶✼ ✶✶ ✴ ✷✵

❆♥ ✐♠♣♦ss✐❜✐❧✐t② t❤❡♦r❡♠

▼❛✐♥ r❡s✉❧t✿ ❝♦♠♣❛t✐❜✐❧✐t② ♦❢ SC ❛♥❞ OP

❚❤❡♦r❡♠ ◆♦ s❝♦r✐♥❣ ♠❡t❤♦❞ s❛t✐s✜❡s ♦r❞❡r ♣r❡s❡r✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ s❡❧❢✲❝♦♥s✐st❡♥❝②✳ ❈♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥ ✐s ♣r♦✈❡❞ ❜② ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡

✭❛✮ (N, R, M) X✶ X✷ X✸ X✹ ✭❜✮ (N, R′, M′) X✶ X✷ X✸ X✹ ✭❝✮ (N, R + R′, M + M′) X✶ X✷ X✸ X✹

SC ✐♠♣❧✐❡s X✶ ∼ X✷ ∼ X✸ ∼ X✹ ✐♥ (N, R, M)✱ X✶ ∼ X✷ ❛♥❞ X✸ ≻ X✹ ✐♥ (N, R′, M′)✱ s♦ X✶ ∼ X✷ ❛♥❞ X✸ ≻ X✹ ✐♥ (N, R + R′, M + M′) ❢r♦♠ OP ❈♦♠♣❛r❡ X✶ ❛♥❞ X✷✿ t❤❡ ♦♥❧② ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ✐s t❤❛t X✶ ❤❛s ❛ ❞r❛✇ ❛❣❛✐♥st X✹ ❛♥❞ X✷ ❤❛s ❛ ❞r❛✇ ❛❣❛✐♥st X✸✱ ❜✉t X✸ ≻ X✹ ⇒ X✷ ≻ X✶ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ SC

▲ás③❧ó ❈s❛tó ✭▼❚❆ ❙❩❚❆❑■✮ ❆♥ ✐♠♣♦ss✐❜✐❧✐t② r❡s✉❧t ❢♦r s♣♦rt r❛♥❦✐♥❣s ▼❛t❤❙♣♦rt ✷✵✶✼ ✶✷ ✴ ✷✵

❍♦✇ t♦ ❛✈♦✐❞ ✐♠♣♦ss✐❜✐❧✐t②❄ ❉♦♠❛✐♥ r❡str✐❝t✐♦♥s

❉♦♠❛✐♥ r❡str✐❝t✐♦♥s

P♦ss✐❜✐❧✐t② r❡s✉❧t ■✳✿ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣❧❛②❡rs ✐s ❛t ♠♦st t❤r❡❡ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ s❝♦r✐♥❣ ♠❡t❤♦❞ s❛t✐s❢②✐♥❣ ♦r❞❡r ♣r❡s❡r✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ s❡❧❢✲ ❝♦♥s✐st❡♥❝② ♦♥ t❤❡ s❡t ♦❢ r❛♥❦✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠s ✇✐t❤ ❛t ♠♦st t❤r❡❡ ♦❜❥❡❝ts Rn|n ≤ ✸✳ ❘❡♠❛r❦ ❘❛♥❦✐♥❣ ♦❢ ♣❧❛②❡rs ✐s ♥♦t ♦❜✈✐♦✉s ✐❢ n = ✸✳ ❆♥♦t❤❡r ✐♠♣♦ss✐❜✐❧✐t② r❡s✉❧t✿ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣❧❛②❡rs ✐s ❛t ❧❡❛st ❢♦✉r ◆♦ s❝♦r✐♥❣ ♠❡t❤♦❞ ♠❡❡ts ♦r❞❡r ♣r❡s❡r✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ s❡❧❢✲❝♦♥s✐st❡♥❝② ♦♥ t❤❡ s❡t ♦❢ ❜❛❧❛♥❝❡❞ ❛♥❞ ❡①tr❡♠❛❧ r❛♥❦✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠s ✇✐t❤ ❢♦✉r ♣❧❛②❡rs R✹

B ∩ R✹ E✳

P♦ss✐❜✐❧✐t② r❡s✉❧t ■■✳✿ t❤❡ r♦✉♥❞✲r♦❜✐♥ ❝❛s❡ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ s❝♦r✐♥❣ ♠❡t❤♦❞ s❛t✐s❢②✐♥❣ ♦r❞❡r ♣r❡s❡r✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ s❡❧❢✲ ❝♦♥s✐st❡♥❝② ♦♥ t❤❡ s❡t ♦❢ r♦✉♥❞✲r♦❜✐♥ r❛♥❦✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠s RR✳

▲ás③❧ó ❈s❛tó ✭▼❚❆ ❙❩❚❆❑■✮ ❆♥ ✐♠♣♦ss✐❜✐❧✐t② r❡s✉❧t ❢♦r s♣♦rt r❛♥❦✐♥❣s ▼❛t❤❙♣♦rt ✷✵✶✼ ✶✸ ✴ ✷✵

❍♦✇ t♦ ❛✈♦✐❞ ✐♠♣♦ss✐❜✐❧✐t②❄ ❲❡❛❦❡♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❛①✐♦♠s

❲❡❛❦❡♥✐♥❣ ♦❢ OP ■✳

❘❡♠❛r❦ ❖r❞❡r ♣r❡s❡r✈❛t✐♦♥ st✐❧❧ r❡str✐❝ts t❤❡ ♠❛t❝❤❡s ♠❛tr✐① ♦❢ t❤❡ t✇♦ r❛♥❦✐♥❣ ♣r♦✲ ❜❧❡♠s s✐♥❝❡ ❛❧❧ ♣❧❛②❡rs s❤♦✉❧❞ ♣❧❛② m ♠❛t❝❤❡s ✐♥ ❜♦t❤ ♦❢ t❤❡♠✳ ❲❡❛❦ ♦r❞❡r ♣r❡s❡r✈❛t✐♦♥ ✭WOP✮ ▲❡t (N, R, M), (N, R′, kM) ∈ R ❜❡ t✇♦ r❛♥❦✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠s ❛♥❞ Xi, Xj ∈ N ❜❡ t✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t ♣❧❛②❡rs✳ ▲❡t f : R → Rn ❜❡ ❛ s❝♦r✐♥❣ ♠❡t❤♦❞ s✉❝❤ t❤❛t fi(N, R, M) ≥ fj(N, R, M) ❛♥❞ fi(N, R′, kM) ≥ fj(N, R′, kM)✳ f s❛t✐s✜❡s ✇❡❛❦ ♦r❞❡r ♣r❡s❡r✈❛t✐♦♥ ✐❢ fi(N, R + R′, M + kM) ≥ fj(N, R + R′, M +kM)✱ ❢✉rt❤❡r♠♦r❡✱ fi(N, R +R′, M +kM) > fj(N, R +R′, M +kM) ✐❢ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✐s str✐❝t✳ ❈♦r♦❧❧❛r② ❖r❞❡r ♣r❡s❡r✈❛t✐♦♥ ✐♠♣❧✐❡s ✇❡❛❦ ♦r❞❡r ♣r❡s❡r✈❛t✐♦♥✳

▲ás③❧ó ❈s❛tó ✭▼❚❆ ❙❩❚❆❑■✮ ❆♥ ✐♠♣♦ss✐❜✐❧✐t② r❡s✉❧t ❢♦r s♣♦rt r❛♥❦✐♥❣s ▼❛t❤❙♣♦rt ✷✵✶✼ ✶✹ ✴ ✷✵

❍♦✇ t♦ ❛✈♦✐❞ ✐♠♣♦ss✐❜✐❧✐t②❄ ❲❡❛❦❡♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❛①✐♦♠s

❲❡❛❦❡♥✐♥❣ ♦❢ OP ■■✳

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