ts rt - - PowerPoint PPT Presentation

❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ✶✵t❤ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ P❤②s✐❝s ▼❡❡t✐♥❣✿ ❙❝❤♦♦❧ ❛♥❞ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡ ♦♥ ▼♦❞❡r♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ P❤②s✐❝s ❇❡❧❣r❛❞❡✱ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✵✶✾

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❚❤❡r❡ ❛r❡ ❞✐✛❡r❡♥t ❛♣♣r♦❛❝❤❡s t♦ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ ❣r❛✈✐t②✳ ■ ♣r❡❢❡r t♦ ❛✈♦✐❞ t❤❡ ❣❛✉❣❡ t❤❡♦r② ✈✐❡✇♣♦✐♥t✳ ❲❡ ✇♦r❦ ✐♥ t❤❡ t❡tr❛❞ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥✱ t❤❡ ♠❡tr✐❝ ❛t ❡❛❝❤ ♣♦✐♥t ✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ s❡t ♦❢ t❛♥❣❡♥t ✈❡❝t♦rs ✈✐❛ gµν = eA

µ eB ν ηAB

✇❤✐❝❤ ❞❡✜♥❡s t❤❡ t❡tr❛❞ ✜❡❧❞s eA

µ ✉♣ t♦ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ r♦t❛t✐♦♥s✳

◆♦✇ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥s✐❞❡r ❡✈❡r② t❡♥s♦r ✇✐t❤ ▲❛t✐♥ ✐♥❞✐❝❡s ✐♥st❡❛❞ ♦❢ s♣❛❝❡t✐♠❡ ♦♥❡s ✇✐t❤ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ t✇♦ T A✶,...,An

B✶,...,Bm ≡ eA✶ α✶ · · · eAn αn T α✶,...,αn β✶,...,βmeβ✶ B✶ · · · eβm Bm.

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❖♥❡ ❝❛♥ ♥❛t✉r❛❧❧② ❤❛✈❡ t♦rs✐♦♥❢✉❧ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s ✇✐t❤♦✉t ♥♦♥✲♠❡tr✐❝✐t② ✇✐t❤ t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t ∂µeA

ν + ωA µBeB ν − Γα µνeA α = ✵

♦❢ ✈❛♥✐s❤✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ✧❢✉❧❧ ❝♦✈❛r✐❛♥t ❞❡r✐✈❛t✐✈❡✧ ♦❢ t❤❡ t❡tr❛❞✳ ❊✈❡♥ ✐❢ ♥❛✐✈❡ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ ✐♥✈❛r✐❛♥❝❡ ✐s ❜r♦❦❡♥✱ t❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ✐s t♦ ❜❡ ❛ss✉♠❡❞ ❧♦❝❛❧❧② ▲♦r❡♥t③ ✐♥✈❛r✐❛♥t ✉♥❞❡r eA

µ −

→ ΛA

CeC µ ,

ωA

µB −

→ ΛA

CωC µD(Λ−✶)D B − (Λ−✶)A C∂µΛC B .

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

◆♦t❛ ❜❡♥❡✦ ❖♥❡ ❝❛♥ ❛❧s♦ ✉s❡ ❢♦r♠❛❧✐s♠ ♦❢ ▲❛❣r❛♥❣❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❡rs t♦ s❡t ❝✉r✈❛t✉r❡ ✭❛♥❞ ♥♦♥✲♠❡tr✐❝✐t②✮ t♦ ③❡r♦✳ ❚❤✐s ✐s ❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥t ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❢♦r♠❛❧✐s♠✱ ❛❧s♦ t♦ ❜❡ ✉s❡❞ ❢♦r s②♠♠❡tr✐❝ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧✐s♠ ✭♥♦♥✲♠❡tr✐❝✐t② ✇✐t❤ ♥❡✐t❤❡r ❝✉r✈❛t✉r❡ ♥♦t tr♦s✐♦♥✮

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❚❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ♦❢ ✈❛♥✐s❤✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ✧❢✉❧❧ ❝♦✈❛r✐❛♥t ❞❡r✐✈❛t✐✈❡✧ ♦❢ t❤❡ t❡tr❛❞ ✐s s♦❧✈❡❞ str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞❧② t♦ ♦❜t❛✐♥ Γα

µν = eα A

• ∂µeA

ν + ωA µBeB ν

• ≡ eα

A DµeA ν

✇✐t❤ Dµ ❜❡✐♥❣ t❤❡ ▲♦r❡♥t③✲❝♦✈❛r✐❛♥t ✭✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ▲❛t✐♥ ✐♥❞❡① ♦♥❧②✮ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦r ❛♥♦t❤❡r ✇❛② ❛r♦✉♥❞ ωA

µB = eA αΓα µνeν B − eν B∂µeA ν

■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ♦♥❡ ❝❛♥ ✜♥❞ t❤❡ s♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥

(✵)

ω ✇❤✐❝❤ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ ▲❡✈✐✲❈✐✈✐t❛ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥

(✵)

Γ (g) ♦❢ ❛ ❣✐✈❡♥ ♠❡tr✐❝ g✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❇❛s✐❝❛❧❧②✱ ❜♦t❤ Γα

µβ ❛♥❞ ωA µB r❡♣r❡s❡♥t ♦♥❡ ❛♥❞ t❤❡ s❛♠❡

❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ✐♥ ❞✐✛❡r❡♥t ❞✐s❣✉✐s❡s✳ ❚❤✐s ❝♦♥❝❧✉s✐♦♥ ✐s ❢✉rt❤❡r s✉❜st❛♥t✐❛t❡❞ ❜② ❝♦♠♣❛r✐♥❣ t❤❡ ❝✉r✈❛t✉r❡s ❢♦r ❜♦t❤ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ RA

Bµν(ω) = ∂µωA νB − ∂νωA µB + ωA µCωC νB − ωA νCωC µB

❛♥❞ Rα

βµν(Γ) = ∂µΓα νβ − ∂νΓα µβ + Γα µρΓρ νβ − Γα νρΓρ µβ ,

✇❤✐❝❤ ❛❢t❡r ❛ s✐♠♣❧❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ❣✐✈❡s Rα

βµν(Γ) = eα ARA Bµν(ω)eB β .

■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ t❤❡ t✇♦ ❘✐❡♠❛♥♥ t❡♥s♦rs ❛r❡ r❡❧❛t❡❞ ❜② ♠❡r❡ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ t❤❡ t②♣❡s ♦❢ ✐♥❞✐❝❡s✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤♦s❡ ❛r❡ ♦♥❡ ❛♥❞ t❤❡ s❛♠❡ t❡♥s♦r ✉♥❞❡r ♦✉r ❝♦♥✈❡♥t✐♦♥s ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❝♦♠♠♦♥ ❢♦r ❛❧❧ t❤❡ t❡♥s♦rs ✇❡ ✉s❡✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❆ss✉♠✐♥❣ t❤❛t ▽αgµν = ✵✱ ♦♥❡ ❝❛♥ ❢♦❧❧♦✇ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ t❡①t❜♦♦❦ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▲❡✈✐✲❈✐✈✐t❛ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ❛♥❞ ♣r♦✈❡ t❤❛t Γα

µν = (✵)

Γ α

µν(g) + K α µν

✇❤❡r❡

(✵)

Γ α

µν(g) ✐s t❤❡ ▲❡✈✐✲❈✐✈✐t❛ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠❡tr✐❝ g✱ ✇❤✐❧❡

t❤❡ t❡♥s♦r K Kαµν = ✶ ✷ (Tαµν + Tναµ + Tµαν) = ✶ ✷ (Tµαν + Tναµ − Tανµ) , ✐s ❦♥♦✇♥ ✉♥❞❡r t❤❡ ♥❛♠❡ ♦❢ ❝♦♥t♦rt✐♦♥✳ ■t ✐s ♦❜✈✐♦✉s❧② ❛♥t✐s②♠♠❡tr✐❝ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t✇♦ ✐♥❞✐❝❡s✿ Kαµν = −Kνµα.

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❙✉❜st✐t✉t✐♥❣ ♦✉r ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ✐♥t♦ t❤❡ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ❝✉r✈❛t✉r❡✱ ✇❡ ❣❡t Rα

βµν(Γ) = Rα βµν( (✵)

Γ )+

(✵)

▽ µK α

νβ− (✵)

▽ νK α

µβ+K α µρK ρ νβ−K α νρK ρ µβ

❢♦r t❤❡ ❘✐❡♠❛♥♥ t❡♥s♦r ✇✐t❤

(✵)

▽ µ ❜❡✐♥❣ t❤❡ ❝♦✈❛r✐❛♥t ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦

(✵)

Γ α

µν(g)✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

▼❛❦✐♥❣ t❤❡ ♥❡❝❡ss❛r② ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥s ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ s❝❛❧❛r ❝✉r✈❛t✉r❡ R(Γ) = R(

(✵)

Γ ) + ✷

(✵)

▽ µT µ + T ✇❤❡r❡ t❤❡ t♦rs✐♦♥ ✈❡❝t♦r ✐s Tµ ≡ T α

µα = −T α αµ,

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❛♥❞ t❤❡ t♦rs✐♦♥ s❝❛❧❛r ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ s❡✈❡r❛❧ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ✇❛②s✿ T = ✶ ✷KαβµT βαµ − TµT µ = ✶ ✷TαβµSαβµ = ✶ ✹TαβµT αβµ + ✶ ✷TαβµT βαµ − TµT µ ✇✐t❤ t❤❡ s✉♣❡r♣♦t❡♥t✐❛❧ Sαµν ≡ K µαν + gαµT ν − gανT µ ✇❤✐❝❤ s❛t✐s✜❡s t❤❡ ❛♥t✐s②♠♠❡tr② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ Sαµν = −Sανµ.

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

■♥ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ ❣r❛✈✐t②✱ ♦♥❡ ✉s❡s t❤❡ ❲❡✐t③❡♥❜ö❝❦ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ❣✐✈❡♥ ❜②

W

ω A

µB = ✵

♦r

W

Γ α

µν = eα a ∂µea ν

✇❤✐❝❤ ✐s ♦❜✈✐♦✉s❧② ❝✉r✈❛t✉r❡✲❢r❡❡✱ Rα

βµν( W

Γ) = ✵✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

◆♦t❛ ❜❡♥❡✦ ■✳ ❚❤✐s ❝❤♦✐❝❡ ✐s ♦❜✈✐♦✉s❧② ❧♦❝❛❧❧② ▲♦r❡♥t③ ❜r❡❛❦✐♥❣✳ ■♥✈❛r✐❛♥t ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ✇♦✉❧❞ ❜❡ t♦ ❞❡♠❛♥❞ t❤❛t ω ✐s ✢❛t✱ s❡❡ ❜❡❧♦✇✳ ■■✳ ❆♥♦t❤❡r ✈✐❡✇♣♦✐♥t ♦♥ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ ❣r❛✈✐t② ✐s t❤r♦✉❣❤ ❣❛✉❣✐♥❣ tr❛♥s❧❛t✐♦♥s✳ ❚❤❡♥ r✐❝❤❡r str✉❝t✉r❡s ❛♥❞ ❜♦❧❞❡r ❝❧❛✐♠s ❛r❡ ♣♦ss✐❜❧❡✱ s✉❝❤ ❛s s❡♣❛r❛t✐♦♥ ♦❢ ✐♥❡rt✐❛ ❢r♦♠ ❣r❛✈✐t❛t✐♦♥✱ ♣r❡❢❡rr❡❞ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ❢♦r ❛ ❣✐✈❡♥ t❡tr❛❞ ❡t❝✳ ✭s❡❡ ❡✳❣✳ t❤❡ ❜♦♦❦ ❜② ❆❧❞r♦✈❛♥❞✐ ❛♥❞ P❡r❡✐r❛✮✳ ❲❡ ✇✐❧❧ st✐❝❦ t♦ ♦✉r s✐♠♣❧❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✭r♦✉❣❤❧②✱ ●❘ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t♦rs✐♦♥✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ✭✢❛t✮ s♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ✐♠♣♦rt❛♥t ❢♦r ✜♥✐t❡♥❡ss ♦❢ ❛❝t✐♦♥ ✭✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ♣r✐♥❝✐♣❧❡✱ q✉❛♥t✉♠ ❣r❛✈✐t②✱ ❡t❝✳✮✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❲❡ ❝❛♥ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t ♦❢ eA

µ ❜② e✱ ❛♥❞ s❡❡ ❢r♦♠

R(Γ) = R(

(✵)

Γ ) + ✷

(✵)

▽ µT µ + T t❤❛t t❤❡ ❛❝t✐♦♥ SW = −

• d✹xe · T

✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❛❝t✐♦♥ ♦❢ ●❘✱

• d✹x√−g · R(

(✵)

Γ ), ♠♦❞✉❧♦ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ t❡r♠✱ ✐❢ t❤❡ ❲❡✐t③❡♥❜ö❝❦✱ ♦r ❛♥② ♦t❤❡r ✐♥❡rt✐❛❧✱ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ✐s ❛ss✉♠❡❞✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❲❡ ❛r❡ ❛❧s♦ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠♦t✐♦♥✳ ❲❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✜rst ♦r❞❡r ✈❛r✐❛t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ t❡tr❛❞✱ ♠❡❛s✉r❡✱ ♠❡tr✐❝ ❛♥❞ t♦rs✐♦♥✿ δeµ

A

= −eµ

Beν AδeB ν ,

δe = e · eµ

AδeA µ ,

δgµν = ηAB

• eA

µ δeB ν + eA ν δeB µ

• ,

δgµν = −

• gµαeν

A + gναeµ A

• δeA

α,

δeT α

µν

= −eα

AT β µνδeA β + eα A

• DµδeA

ν − DνδeA µ

• .

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ❢♦r t❤❡ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ♦❢ ●❘ ✇❡ ❤❛✈❡ δeS = −

• d✹xe·
• −✷SαµνTαβνeβ

AδeA µ + Teµ AδeA µ − ✷S µα β

eβ

ADαδeA µ

• ✇✐t❤ t❤❡ ▲♦r❡♥t③✲❝♦✈❛r✐❛♥t ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ D ❜❡✐♥❣ ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ♦r❞✐♥❛r②

♦♥❡✱ s✐♥❝❡ ωB

αA = ✵ ✐♥ t❤❡ ❲❡✐t③❡♥❜ö❝❦ ❝❛s❡✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❲❡ ♥❡❡❞ t♦ ♣❡r❢♦r♠ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ ❜② ♣❛rts ✐♥ t❤❡ ❧❛st t❡r♠ ✇❤✐❝❤ ❣✐✈❡s ✷δeA

µ ·

• ∂α
• e · S µα

β

eβ

A

• − e · ωB

αAS µα β

eβ

B

• = ✷e ·
• (✵)

▽ αS µα

β

− K ν

αβS µα ν

• · eβ

AδeA µ

✇❤❡r❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ✉s❡❞ t❤❡ ❛♥t✐s②♠♠❡tr② ♦❢ S ❛♥❞ ❝♦rr❡❝t❡❞ ❢♦r t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ Γ ❛♥❞

(✵)

Γ ❜② t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ♦♥ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡✳ ■♥❞❡❡❞✱ ❞✉❡ t♦ t❤❡ ❛♥t✐s②♠♠❡tr② ♦❢ S ✇❡ ❤❛✈❡

(✵)

▽ νS

µν A

= ✶ e∂ν

• eSµν

A

• −

(✵)

ω B

νAS µν B

❛♥❞ ❝♦rr❡❝t ❢♦r t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ❜② ♥♦t✐♥❣ t❤❛t ωB

νA − (✵)

ω B

νA = K B νA✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❋✐♥❛❧❧②✱ ✉s✐♥❣ t❤❡ ♥♦♥✲❞❡❣❡♥❡r❛❝② ♦❢ t❡tr❛❞s✱ ✇❡ ❣❡t t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠♦t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❢♦r♠

(✵)

▽ αS µα

β

− Sαµν (Tαβν + Kανβ) + ✶ ✷Tδµ

β = ✵

✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ t♦ ❜❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ❣❡♥❡r❛❧ r❡❧❛t✐✈✐t② ❜② ❞✐r❡❝t s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ♦❢ Rα

βµν( (✵)

Γ ) = −

• (✵)

▽ µK α

νβ − (✵)

▽ νK α

µβ + K α µρK ρ νβ − K α νρK ρ µβ

• ✐♥t♦ t❤❡ ❊✐♥st❡✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥✱

G µ

β = ✵.

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❲❤❛t ✐❢ ✇❡ ❝♦✈❛r✐❛♥t✐s❡ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ❜② s✉❜st✐t✉t✐♥❣ ❛♥ ❡①♣❧✐❝✐t s♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥❄ ❱❛r✐❛t✐♦♥s ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ s♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❝❛♥ ❜❡ ❞❡r✐✈❡❞ ❡①❛❝t❧② s✐♥❝❡ δωT α

µν = δωα µν − δωα νµ,

✐s ❛♥ ❡①❛❝t r❡❧❛t✐♦♥ ❢♦r δωα

µν ≡ eα AeB ν δωA µB✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❙✉♣♣♦s❡✱ ✇❡ ✇❛♥t t♦ ❝♦✈❛r✐❛♥t✐s❡ t❤❡ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ ❛❝t✐♦♥ ❜② ❛❧❧♦✇✐♥❣ ❢♦r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② s♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ t♦rs✐♦♥ s❝❛❧❛r✱ S = −

• d✹xe · T(e, ω),

❛♥❞ ✈❛r②✐♥❣ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t❧② ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❜♦t❤ ✈❛r✐❛❜❧❡s e ❛♥❞ ω✳ ❲❡ ❤❛✈❡ δωS = −

• d✹xe · (T µ

αν + ✷Tνδµ α) δωα ν µ .

❚❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ♠♦t✐♦♥ ✐s T µ

αν + Tνδµ α − Tαδµ ν = ✵

✇❤✐❝❤ ✭✐♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ d = ✷✮ ❡♥t❛✐❧s Tµ = ✵ ✉♣♦♥ tr❛❝✐♥❣✱ ❛♥❞ t♦t❛❧❧② T µ

αν = ✵.

■t ❞♦❡s ♥♦t ❣✐✈❡ t❤❡ ❞❡s✐r❡❞ r❡s✉❧t✦

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❆ ❜❡tt❡r ✐❞❡❛ ✇♦✉❧❞ ❜❡ t♦ ✈❛r② t❤❡ s♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ✐♥❡rt✐❛❧ ❝❧❛ss ♦♥❧②✳ ❚❤❡ ❧❛tt❡r ❝❛♥ ❜❡ ✐♠♣♦s❡❞ ❜② ❞❡♠❛♥❞✐♥❣ ωA

µB = −(Λ−✶)A C∂µΛC B

✇❤❡r❡ Λ ✐s ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ▲♦r❡♥t③ ♠❛tr✐① ❛♥❞ ✈❛r②✐♥❣ SW′ = −

• d✹xe · T(e, ω(Λ))

✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ e ❛♥❞ Λ✳ ▲✐t❡r❛❧❧② ✐t ♠❡❛♥s t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❢r❛♠❡ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ω = ✵ ✭❲❡✐t③❡♥❜ö❝❦✮✱ ❤♦✇❡✈❡r ♦♥❡ ✐s ❛❧❧♦✇❡❞ t♦ ♠❛❦❡ ❛ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ r♦t❛t✐♦♥ ❜② ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ♠❛tr✐① ✜❡❧❞ ΛA

B(x) ✇❤♦s❡ ✈❛❧✉❡s ❜❡❧♦♥❣ t♦

▲♦r❡♥t③ ❣r♦✉♣✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❊①♣❧✐❝✐t ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s ❛r❡ ❣✐✈❡♥ ✐♥ ❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈✱ ❚♦♠✐ ❑♦✐✈✐st♦✱ ▼❛r✐t ❙❛♥❞st❛❞✳ ❖♥ t❤❡ ❝♦✈❛r✐❛♥❝❡ ♦❢ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ ❣r❛✈✐t② t❤❡♦r✐❡s✳ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ ◗✉❛♥t✉♠ ●r❛✈✐t② ✸✹ ✭✷✵✶✼✮ ✶✹✺✵✶✸ ❤tt♣s✿✴✴❛r①✐✈✳♦r❣✴❛❜s✴✶✼✵✶✳✵✻✷✼✶ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ❡ss❡♥❝❡ ✐s ✈❡r② s✐♠♣❧❡✳ ❱❛r②✐♥❣ t❤❡ s♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ✜①❡❞ t❡tr❛❞s ❞♦❡s ♥♦t ❝❤❛♥❣❡ t❤❡ ▲❡✈✐✲❈✐✈✐t❛ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥✱ ✇❤✐❧❡ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ✐♥ ❛♥② ❝❛s❡ δΛT = δΛR(ω) − ✷

(✵)

▽ µ(δΛT µ) ✇❤❡r❡ δΛ(...) = δω(...) · δΛω✳ ❙✐♥❝❡ R(ω(Λ)) ≡ ✵✱ t❤❡ ✈❛r✐❛t✐♦♥ δωSW′ ✐s ❛ s✉r❢❛❝❡ t❡r♠ ❛♥❞ ❞♦❡s ♥♦t ♣r♦❞✉❝❡ ❛♥② ♥❡✇ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ♠♦t✐♦♥✳ ❚❤❡ ♠♦❞❡❧✱ t❤♦✉❣❤ ❧♦❝❛❧❧② ▲♦r❡♥t③ ❝♦✈❛r✐❛♥t✱ ✐s t❤❡♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ ❣r❛✈✐t②✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

■t ✇♦✉❧❞ ❜❡ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ t♦ tr② ♠❛❦✐♥❣ ♠♦❞✐✜❝❛t✐♦♥s ♦❢ ●❘ ✐♥ t❤❡ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦✳ ❖♥❡ ✈❡r② ♣♦♣✉❧❛r ❡①❛♠♣❧❡ ✐s f (T) ❣r❛✈✐t②✳ ◆♦t❡ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ♥♦t ❡✈❡♥ ❛ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ❛❣r❡❡♠❡♥t ✐♥ t❤❡ ❝♦♠♠✉♥✐t② ❛❜♦✉t t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞❡❣r❡❡s ♦❢ ❢r❡❡❞♦♠ ✐♥ t❤✐s ♠♦❞❡❧✳ ❚❤❡ ❝♦✈❛r✐❛♥t✐s❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ✇♦r❦s ❞✐✛❡r❡♥t❧② ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✐s❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ ❣r❛✈✐t✐❡s✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦♥ t❤❡ s♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✐s❡❞ ♠♦❞❡❧s ❝❛♥♥♦t ❜❡ r❡❞✉❝❡❞ t♦ ❛ s✉r❢❛❝❡ t❡r♠✱ t❤❡ ✈❛r✐❛t✐♦♥ δω ♣r♦❞✉❝❡s ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠♦t✐♦♥✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❍♦✇❡✈❡r✱ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ ✈❛r✐❛t✐♦♥s ♦❢ ω ✐♥ t❤❡ ✐♥❡rt✐❛❧ ❝❧❛ss ❛♠♦✉♥t t♦ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s✳ ◆♦t❡ ❛❧s♦ t❤❛t ❛ ❝♦✈❛r✐❛♥t✐s❡❞ ❛❝t✐♦♥ ✐s✱ ❜② ❞❡✜♥✐t✐♦♥✱ ✐❞❡♥t✐❝❛❧❧② ✐♥✈❛r✐❛♥t ✉♥❞❡r s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ t❡tr❛❞ ✭❛♥❞ ♦t❤❡r ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧❧② tr❛♥s❢♦r♠✐♥❣ ✜❡❧❞s ✐❢ t❤❡r❡ ❛r❡ s♦♠❡✮✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ st❛t✐♦♥❛r✐t② ♦❢ t❤❡ ❛❝t✐♦♥ ✉♥❞❡r ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ s♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❛t ✉♥❞❡r ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ r♦t❛t✐♦♥s ♦❢ t❡tr❛❞s✳ ❚❤❡ ❧❛tt❡r ✐s ❛❧r❡❛❞② ❡♥s✉r❡❞ ❣✐✈❡♥ t❤❛t t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠♦t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ t❡tr❛❞ ❛r❡ s❛t✐s✜❡❞ s✐♥❝❡ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ r♦t❛t✐♦♥ ✐s ♥♦t❤✐♥❣ ❜✉t ❛ s♣❡❝✐❛❧ ❝❧❛ss ♦❢ ✈❛r✐❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ t❡tr❛❞✳ eA

µ −

→ ΛA

CeC µ ,

ωA

µB −

→ ΛA

CωC µD(Λ−✶)D B − (Λ−✶)A C∂µΛC B .

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❊①♣❧✐❝✐t ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s ❛r❡ ❣✐✈❡♥ ✐♥ ❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈✱ ❚♦♠✐ ❑♦✐✈✐st♦✱ ▼❛r✐t ❙❛♥❞st❛❞✳ ❖♥ t❤❡ ❝♦✈❛r✐❛♥❝❡ ♦❢ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ ❣r❛✈✐t② t❤❡♦r✐❡s✳ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ ◗✉❛♥t✉♠ ●r❛✈✐t② ✸✹ ✭✷✵✶✼✮ ✶✹✺✵✶✸ ❤tt♣s✿✴✴❛r①✐✈✳♦r❣✴❛❜s✴✶✼✵✶✳✵✻✷✼✶

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r ❛♥ f (T) ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ ✐♥❡rt✐❛❧ s♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥✱ Sf (T) = −

• d✹xe · f (T(e, ω(Λ)) .

❲❡ ✇❛♥t t♦ ❞❡r✐✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠♦t✐♦♥✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

▼❛❦✐♥❣ t❤❡ ✈❛r✐❛t✐♦♥ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ t❡tr❛❞ ❣✐✈❡s fT

(✵)

Gµν +fTTSµνα∂αT + ✶ ✷ (f − fTT) gµν = ✵. ❯♥❧✐❦❡ ✐♥ t❤❡ ❚❊●❘ ❝❛s❡✱ t❤✐s ❡q✉❛t✐♦♥ ❤❛s ❛ ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧ ❛♥t✐s②♠♠❡tr✐❝ ♣❛rt T αµν∂αfT(T) + T ν∂µfT(T) − T µ∂νfT(T) = ✵ ✇❤✐❝❤ r❡✢❡❝ts t❤❡ ♥♦♥✲✐♥✈❛r✐❛♥❝❡ ✉♥❞❡r ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ r♦t❛t✐♦♥s ♦❢ t❡tr❛❞s✳ ❱❛r✐❛t✐♦♥ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ♣✉r❡❧② ✐♥❡rt✐❛❧ s♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ❣✐✈❡s t❤❡ s❛♠❡ r❡s✉❧t✳ ◆♦t❛ ❜❡♥❡✦ ❚❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ♠♦t✐♦♥ ✐♥ ♦✉r ♣❛♣❡r ✇❛s ✐♥❝♦rr❡❝t✳ ❈♦rr❡❝t ❡q✉❛t✐♦♥ ❞❛t❡s ❜❛❝❦ t♦ ❛♥ ♦❧❞ ♣❛♣❡r ❜② ▲✐✱ ❙♦t✐r✐♦✉ ❛♥❞ ❇❛rr♦✇✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

▲❡t ✉s ❛❧s♦ ♠❛❦❡ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ❝♦♠♠❡♥t ♦♥ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ❚❤❡ ❜r♦❦❡♥ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ ✐♥✈❛r✐❛♥❝❡ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡ ❇✐❛♥❝❤✐ ✐❞❡♥t✐t✐❡s ❞♦ ♥♦t ❤♦❧❞ ❛✉t♦♠❛t✐❝❛❧❧②✳ ■♥❞❡❡❞✱ ✐❢ ✇❡ ❞❡✜♥❡ Tµν ✈✐❛ δS δeA

µ

≡ eTµνeB

ν ηAB,

t❤❡♥ ✐♥✈❛r✐❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❛❝t✐♦♥ ✉♥❞❡r ea

µ −

→ eA

µ − eA ν ∂µζν − ζν∂νeA µ

❧❡❛❞s t♦ ✶ e∂µ (eTµ

ν) − Tβ αeα A∂νeA β = ✵

✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❡❛s✐❧② ❜❡ tr❛♥s❢♦r♠❡❞ ✭✉s✐♥❣ Kαµβ − Tαµβ = −Kµβα✮ ✐♥t♦

(✵)

▽µ Tµν + K ανβTαβ = ✵.

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❲❤❡♥ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ ✐♥✈❛r✐❛♥❝❡ ✐s s❛t✐s✜❡❞✱ ✐♥✈❛r✐❛♥❝❡ ✉♥❞❡r eA

µ −

→ ΛA

BeB µ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t Tµν ✐s s②♠♠❡tr✐❝✱ ❛♥❞ ❜② ✈✐rt✉❡ ♦❢

❛♥t✐s②♠♠❡tr② ♦❢ ❝♦♥t♦rt✐♦♥ t❡♥s♦r✱ t❤❡ ✉s✉❛❧ ❇✐❛♥❝❤✐ ✐❞❡♥t✐t✐❡s ❛r❡ r❡st♦r❡❞✳ ■♥ f (T) t❤✐s ✐s ♥♦t t❤❡ ❝❛s❡✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ❛♥t✐s②♠♠❡tr✐❝ ♣❛rt ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥s r❡q✉✐r❡s t❤❛t t❤❡ ❛♥t✐s②♠♠❡tr✐❝ ♣❛rt ♦❢ Tµν ✈❛♥✐s❤❡s✱ ❛♥❞ ❛❢t❡r t❤❛t t❤❡ ❇✐❛♥❝❤✐ ✐❞❡♥t✐t✐❡s ❛r❡ ✐♥ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ❛❣❛✐♥✳ ❲❡ ✇✐❧❧ s❡❡ ❜❡❧♦✇ t❤❛t t❤✐s ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❛❧❧♦✇s ♦♥❡ t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ ζ✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❝❛s❡s ✇✐t❤ ❢❡r♠✐♦♥s ❛♥❞✴♦r s♣✐♥✲❞❡♥s✐t② s❤♦✉❧❞ ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ✇✐t❤ ❝❛r❡✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

f (T) ✐s q✉✐t❡ ♣♦♣✉❧❛r ❢♦r ❝♦s♠♦❧♦❣②✳ ❲❤❛t ❞♦ ✇❡ ❦♥♦✇ ❛❜♦✉t ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s❄ ❚❤❡r❡ ✉s❡❞ t♦ ❜❡ ❛ ❧♦t ♦❢ ❝♦♥❢✉s✐♦♥✳ ❲❡ ❞❡✈❡❧♦♣ ❛♥ f (T)✲t②♣❡ ❋❘❲ ❝♦s♠♦❧♦❣② ds✷ = a✷(τ)

• −dτ ✷ + dxidxi

✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❡tr❛❞ ❛♥s❛t③✿ eA

µ = a(τ) · δA µ.

◆♦t❛ ❜❡♥❡✦ ❆ t❡tr❛❞ ❝❤♦✐❝❡ ❢♦r t❤❡ ❣✐✈❡♥ ♠❡tr✐❝ ❤❛s ❜❡❡♥ ❞♦♥❡ ✇❤✐❝❤ ✐s ♥♦t ✐♥♥♦❝✉♦✉s ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ f (T)✱ ❜✉t ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡ s❡❡♠s r❡❛s♦♥❛❜❧❡✳ ▲❡t✬s ❤❛✈❡ µ = ✵, i ❛♥❞ A = ∅, a ❢♦r t✐♠❡ ❛♥❞ s♣❛❝❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ st❛♥❞❛r❞ ♣❛r❛♠❡tr✐s❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠❡tr✐❝ ✢✉❝t✉❛t✐♦♥s✿ g✵✵ = −a✷(τ) · (✶ + ✷φ) g✵i = a✷(τ) · (∂iζ + vi) gij = a✷(τ) ·

• (✶ − ✷ψ)δij + ✷∂✷

ijσ + ∂icj + ∂jci + hij

• ✇✐t❤ ❢♦✉r s❝❛❧❛rs φ✱ ψ✱ ζ✱ σ✱ t✇♦ ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡❧❡ss ✈❡❝t♦rs vi✱ ci✱ ❛♥❞

❞✐✈❡r❣❡♥❝❡❧❡ss tr❛❝❡❧❡ss t❡♥s♦r hij✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❖♥❡ ❝❛♥ ❝❤♦♦s❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣❛r❛♠❡tr✐s❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ t❡tr❛❞✿ e∅

✵

= a(τ) · (✶ + φ) e∅

i

= ✵ ea

✵

= a(τ) · (∂aζ + va) ea

j

= a(τ) ·

• (✶ − ψ)δa

j + ∂✷ ajσ + ∂jca + ✶

✷haj

• .

❍♦✇❡✈❡r✱ ✐♥ f (T) ✇❡ ♠✉st ❛❧s♦ ❝♦♥s✐❞❡r ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ r♦t❛t✐♦♥s ♦❢ t❤✐s ❝❤♦✐❝❡ ✭♦r ✈❛r✐❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ s♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥✮✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❋✐♥❛❧❧②✱ ✇❡ ❝❛♥ ✉s❡ ❛♥ ❛♥s❛t③ e∅

✵

= a(τ) · (✶ + φ) e∅

i

= a(τ) · (∂iβ + ui) ea

✵

= a(τ) · (∂aζ + va) ea

j

= a(τ) ·

• (✶ − ψ)δa

j + ∂✷ ajσ + ǫajk∂ks + ∂jca + ǫajkwk + ✶

✷haj

• .

✇✐t❤ t❤❡ ♠❡tr✐❝ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❣✐✈❡♥ ❜② g✵✵ = −a✷(τ) · (✶ + ✷φ) g✵i = a✷(τ) · (∂i (ζ − β) + vi − ui) gij = a✷(τ) ·

• (✶ − ✷ψ)δij + ✷∂✷

ijσ + +∂icj + ∂jci + hij

• .

❛♥❞ ♥❡✇ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❣✐✈❡♥ ❜② s❝❛❧❛r β✱ ♣s❡✉❞♦s❝❛❧❛r s✱ ✈❡❝t♦r ui✱ ❛♥❞ ♣s❡✉❞♦✈❡❝t♦r wj✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❯♥❞❡r ✐♥✜♥✐t❡s✐♠❛❧ ❞✐✛❡♦♠♦r♣❤✐s♠s xµ → xµ + ξµ(x) ✇✐t❤ ξ✵ ❛♥❞ ξi ≡ ∂iξ + ˜ ξi✱ ♦♥❡ ❝❛♥ s✐♠♣❧② ❞❡r✐✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❧❛✇s✿ φ − → φ − ξ✵′ − Hξ✵ ψ − → ψ + Hξ✵ σ − → σ − ξ β − → β − ξ✵ ζ − → ζ − ξ′ ci − → ci − ˜ ξi vi − → vi − ˜ ξ′

i.

• ✉❛❣❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥s ❛r❡ ♦❜✈✐♦✉s✳

❖✉r ❣❛✉❣❡ ❝❤♦✐❝❡✿ σ = ✵ ❛♥❞ β = ζ ✭❝♦♥❢♦r♠❛❧ ◆❡✇t♦♥✐❛♥ ❣❛✉❣❡✮✱ ❛♥❞ ci = ✵✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

◆♦✇ ✇❡ ❛r❡ ✐♥ ❛ ♣♦s✐t✐♦♥ t♦ ✈❛r② t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✇✐t❤ ♠❛tt❡r ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥✮ fT

(✵)

Gµν +fTTSµνα∂αT + ✶ ✷ (f − fTT) gµν = ✽πG · Θµν s✐♥❝❡ ❛❧❧ t❤❡ q✉❛♥t✐t✐❡s ❛r❡ ❦♥♦✇♥✱ ❡✐t❤❡r ❢r♦♠ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ t❤❡♦r② ♦r ❢r♦♠ t❤❡ t♦rs✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❛❜♦✈❡✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❚❤❡ ❛♥t✐s②♠♠❡tr✐❝ ♣❛rt ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐s r❡❧❛t✐✈❡❧② s✐♠♣❧❡✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t fTT = ✵ ❛♥❞ t❤❛t t❤❡ ❡♥❡r❣②✲♠♦♠❡♥t✉♠ t❡♥s♦r ♦❢ ♠❛tt❡r ✐s s②♠♠❡tr✐❝✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡ ✇❡ ❤❛✈❡ (Sµνα − Sνµα) ∂αT = ✵. ❖♥❡ ❝❛♥ ❡❛s✐❧② s❡❡ t❤❛t ✐t ❜♦✐❧s ❞♦✇♥ t♦ (Tαµν + gαµTν − gανTµ) ∂αT = ✵, ♦✉r ❛♥t✐s②♠♠❡tr✐❝ ♣❛rt ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥ ❢r♦♠ ♣r❡✈✐♦✉s ✇♦r❦✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❋♦r s②♠♠❡tr✐❝ ♣❛rt ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❧❡t ✉s ❞❡♥♦t❡ Qµν ≡ ✶ ✷ (Sµνα + Sνµα) ∂αT ✇❤❡r❡ ✇❡ ❡❛s✐❧② s❡❡ t❤❛t Sµνα + Sνµα = Tµνα + Tνµα + ✷gµνTα − (gαµTν + gανTµ) . ❆t t❤❡ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ❧❡✈❡❧ t❤❡ ♦♥❧② ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❛r❡ s♣❛t✐❛❧ Qi

j = −✷✹H✷

a✹ (H′ − H✷)δi

j.

❖♥❡ ❝❛♥ ✇r✐t❡ t❤❡ s②♠♠❡tr✐❝ ♣❛rt ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥ ❛s fT

(✵)

G µ

ν +fTTQµ ν + ✶

✷ (f − fTT) δµ

ν = ✽πGΘµ ν.

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❲❡ s❡❡ t❤❛t ❛t t❤❡ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ❧❡✈❡❧ ♦♥❧② Ti✵j = −Tij✵ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❛r❡ ♥♦♥✲✈❛♥✐s❤✐♥❣✳ ❚❤❡ ♦♥❧② ♥♦♥✲③❡r♦ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ t❤❡ s✉♣❡r♣♦t❡♥t✐❛❧ ❛t t❤❡ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ❧❡✈❡❧ ❛r❡ Si✵j = −Sij✵ = −✷a✷Hδij, ❛♥❞ ♦♥❡ ❝❛♥ ❡❛s✐❧② ❝❤❡❝❦ t❤❛t T ≡ ✶ ✷SαµνTαµν = ✻ a✷ H✷, ❛♥❞ ❛❧❧ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ❡q✉❛t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ✇♦r❦s ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r♦❞✉❝❡❞✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❚❤❡ t❡♥s♦r s❡❝t♦r ✐s s✐♠♣❧❡✳ ■t ✐s ❡❛s② t♦ s❡❡ t❤❛t✱ ✉♥❞❡r tr❛♥s✈❡rs❡ ❛♥❞ tr❛❝❡❧❡ss ❝♦♥❞✐t✐♦♥✱ t❤❡ ♦♥❧② ♥♦♥✲③❡r♦ t♦rs✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❛r❡ Tijk = a✷ ✷ (∂jhik − ∂khij) , Ti✵j = a✷

• Hδij + ✶

✷

• h′

ij + ✷Hhij

• ,

❛♥❞ ❜♦t❤ δT = ✵ ❛♥❞ δTµ = ✵✳ ❚❤❡ ❛♥t✐s②♠♠❡tr✐❝ ♣❛rt ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥ T✵ij = ✵ ✐s s❛t✐s✜❡❞ ✐❞❡♥t✐❝❛❧❧②✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

■♥ t❤❡ s②♠♠❡tr✐❝ ♣❛rt ✇❡ ❤❛✈❡ Qi

j =

• T i

j✵ + δi jT✵

• ∂✵T = ✶✷H(H′ − H✷)

a✹

• −✷Hδij + ✶

✷h′

ij

• ✇❤✐❝❤ ✈✐❛ a✷δG i

j = ✶ ✷

• h′′

ij + ✷Hh′ ij − △hij

• ❧❡❛❞s t♦

fTh′′

ij + ✷H

• fT + ✻fTT(H′ − H✷)

a✷

• h′

ij − fT △ hij = ✵

❢♦r ❛♥ ✐❞❡❛❧ ✢✉✐❞✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❖✉r ❛♥s❛t③ ✐s e∅

✵

= a(τ) · (✶ + φ) e∅

i

= a(τ) · (∂iβ + ui) ea

✵

= a(τ) · (∂aζ + va) ea

j

= a(τ) ·

• (✶ − ψ)δa

j + ∂✷ ajσ + ǫajk∂ks + ∂jca + ǫajkwk + ✶

✷haj

• .

▲❡t✬s ❧♦♦❦ ❛t ✈❡❝t♦rs ✐♥ c = ✵ ❣❛✉❣❡✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

■♥ t❤❡ ✈❡❝t♦r s❡❝t♦r✱ ✇❡ ❡❛s✐❧② ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t♦rs✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✿ T✵ij = a✷ (∂jui − ∂iuj) T✵✵i = a✷∂i

• −u′

i + H(vi − ui)

• Tijk

= a✷ · (ǫikl∂jwl − ǫijl∂kwl) Ti✵j = a✷ Hδij + ǫijkw′

k − ∂jvi

• ❛♥❞ t❤❡ t♦rs✐♦♥ ✈❡❝t♦r

T✵ = ✸H, Ti = ǫijk∂jwk. ❛♥❞ s❡❡ t❤❛t ❛t t❤❡ ❧✐♥❡❛r ♦r❞❡r δT = ✵. ✭❚❤❡ ❧❛tt❡r ✇❛s t♦ ❜❡ ❡①♣❡❝t❡❞ s✐♥❝❡ ✇❡ ❝❛♥♥♦t ❝♦♥str✉❝t ❛ s❝❛❧❛r ♦✉t ♦❢ ✈❡❝t♦rs✳✮

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❚❤❡ ❛♥t✐s②♠♠❡tr✐❝ ♣❛rt ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥s (Tαµν + gαµTν − gανTµ) ∂αT = ✵ t❤❡♥ ❜♦✐❧s ❞♦✇♥ t♦ T✵µν + g✵µTν − g✵νTµ = ✵. ❲✐t❤ s♣❛t✐❛❧ ✐♥❞✐❝❡s ✇❡ ❣❡t ∂jui − ∂iuj = ✵ ✇❤✐❝❤✱ ❛❢t❡r t❛❦✐♥❣ ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡✱ ✐♠♣❧✐❡s △ui = ✵ ❛♥❞✱ ✐♥ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ t❤❡♦r②✱ s❤♦✉❧❞ ❜❡ s♦❧✈❡❞ ❛s u = ✵.

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❚❤❡ ♠✐①❡❞ ✐♥❞✐❝❡s ❝❛s❡ ❣✐✈❡s u′

i + ✷H(vi − ui) + ǫijk∂jwk = ✵

✇❤✐❝❤ ❝♦♥str❛✐♥s w ❛s ǫijk∂jwk = −✷Hvi. ❍❡r❡ ✇❡ ❤❛✈❡ t✇♦ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❡q✉❛t✐♦♥s ❢♦r t✇♦ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ w✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

◆♦✇ ❧❡t ✉s ❧♦♦❦ ❛t t❤❡ s②♠♠❡tr✐❝ ♣❛rt✿ Qνµ = ✶ ✷ (Tµνα + Tνµα) + gµνTα − ✶ ✷ (gαµTν + gανTµ)

• ∂αT.

❋♦r ♠✐①❡❞ ✐♥❞✐❝❡s ✇❡ ❡❛s✐❧② ✜♥❞ t❤❛t Q✵i = −✻H(H′ − H✷) a✷

• u′

i + ✷H(vi − ui) + ǫijk∂jwk

• ✇❤✐❝❤ ✈❛♥✐s❤❡s ✉♥❞❡r t❤❡ ❛♥t✐s②♠♠❡tr✐❝ ♣❛rt ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥s✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤✐s ♣❛rt ♦❢ ❊✐♥st❡✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐s ♥♦t ♠♦❞✐✜❡❞✿ fT △ vi = ✶✻πGa(ρ + p)ui ✇❤❡r❡ u ✐s t❤❡ ✈♦rt✐❝❛❧ ♣❛rt ♦❢ ✐❞❡❛❧ ✢✉✐❞ ✈❡❧♦❝✐t②✱ ❛♥❞ ✇❡ ❤❛✈❡ ✉s❡❞ u = ✵ t♦ ✇r✐t❡ s✐♠♣❧② v ✐♥st❡❛❞ ♦❢ t❤❡ ♠❡tr✐❝ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ v − u✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❆♥❛❧♦❣♦✉s❧② ✇❡ ✜♥❞ δQij = −✻H(H′ − H✷) a✷ (∂ivj + ∂jvi) ✇❤✐❝❤ ✇✐t❤ a✷δG i

j = − ✶ ✷ (∂ivj + ∂jvi)′ − H (∂ivj + ∂jvi) ❣✐✈❡s

fT · v′

i + ✷

• fTH + ✻fTTH(H′ − H✷)

a✷

• vi = ✵

✐♥ ❝❛s❡ ♦❢ ♣❡r❢❡❝t ✢✉✐❞ ♠❛tt❡r✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ♣s❡✉❞♦s❝❛❧❛r ✈❛r✐❛t♦♥ ❣✐✈❡♥ ❜② ea

i = a(τ) (δa i + ǫaij∂js) . ❚❤❡ ♦♥❧② ♥♦♥✲③❡r♦ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ t❤❡

t♦rs✐♦♥ t❡♥s♦r ❛♥❞ t❤❡ t♦rs✐♦♥ ✈❡❝t♦r ❛r❡ Ti✵j = −Tij✵ = a✷ Hδij + ǫijk∂ks′ , T✵ = ✸H. ❖♥❡ ❝❛♥ ❡❛s✐❧② s❡❡ t❤❛t t❤✐s ✈❛r✐❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ t❡tr❛❞ ❞♦❡s ♥♦t ❝♦♥tr✐❜✉t❡ t♦ t❤❡ ❧✐♥❡❛r✐s❡❞ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠♦t✐♦♥ ❛t ❛❧❧✳ ❚r✉❡ ✧r❡♠♥❛♥t s②♠♠❡tr②✧❄ ❯♥❧✐❦❡ ♦t❤❡r ▲♦r❡♥t③✐❛♥ ♠♦❞❡s ✭✈❡❝t♦r✱ ♣s❡✉❞♦✈❡❝t♦r ❛♥❞ s❝❛❧❛r✱ s❡❡ ❜❡❧♦✇✮ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ♥♦t ❞②♥❛♠✐❝❛❧ ❜✉t ❝♦♥str❛✐♥❡❞✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❖✉r ❛♥s❛t③ ✐s e∅

✵

= a(τ) · (✶ + φ) e∅

i

= a(τ) · (∂iβ + ui) ea

✵

= a(τ) · (∂aζ + va) ea

j

= a(τ) ·

• (✶ − ψ)δa

j + ∂✷ ajσ + ǫajk∂ks + ∂jca + ǫajkwk + ✶

✷haj

• .

▲❡t✬s ❧♦♦❦ ❛t s❝❛❧❛rs ✐♥ σ = ✵✱ β = ζ ❣❛✉❣❡✳ ■♥ t❡r♠s ♦❢ ♠❡tr✐❝✱ t❤✐s ✐s ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ◆❡✇t♦♥✐❛♥ ❣❛✉❣❡✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❲❡ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ✜rst ♦r❞❡r ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ t♦rs✐♦♥ t❡♥s♦r Tαµν ≡ eB

α ηAB

• ∂µeA

ν − ∂νeA µ

• t♦ t❤❡ ❣❡t t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✿

T✵ij = ✵ T✵✵i = a✷∂i

• φ − ζ′

Tijk = a✷ · (δij∂kψ − δik∂jψ) Ti✵j = a✷ Hδij − ∂✷

ijζ − δij

• ✷Hψ + ψ′

✉♣ t♦ t❤❡ ❧✐♥❡❛r ♦r❞❡r✳ ◆♦t❡ t❤❛t Ti✵j ✐s s②♠♠❡tr✐❝ ✉♥❞❡r i ↔ j✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

▲❡t ✉s ❛❧s♦ ✜♥❞ t❤❡ t♦rs✐♦♥ ✈❡❝t♦r Ti = eµ

A

• ∂ieA

µ − ∂µeA i

• = gµνTµiν = ∂i
• φ − ζ′ − ✷ψ
• ❛♥❞ ❛♥❛❧♦❣♦✉s❧②

T✵ = gµνTµ✵ν = ✸H − △ζ − ✸ψ′, ❛♥❞ t❤❡ t♦rs✐♦♥ s❝❛❧❛r δT = −✹H a✷

• △ζ + ✸Hφ + ✸ψ′

.

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

▲❡t ✉s st❛rt ❢r♦♠ t❤❡ ❛♥t✐s②♠♠❡tr✐❝ ♣❛rt ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ❖♥❡ ❝❛♥ ❡❛s✐❧② ❝❤❡❝❦ t❤❛t (Sijα − Sjiα) ∂αT ✈❛♥✐s❤❡s ✐❞❡♥t✐❝❛❧❧② ✐♥ t❤❡ ❧✐♥❡❛r ♦r❞❡r✳ ❆♥❞ t❤❡ ♠✐①❡❞ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❣✐✈❡ ∂i

• H △ ζ + ✸H✷φ + ✸Hψ′ − ✸H′ψ + ✸H✷ψ
• = ✵.

✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ s♦❧✈❡❞ ❛s △ζ = −✸

• ψ′ + Hφ − H′ − H✷

H ψ

• .

❲❡ s❡❡ t❤❛t t❤❡ ❛♥t✐s②♠♠❡tr✐❝ ♣❛rt ♦❢ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥s ♠❛❦❡s ♣❡r❢❡❝t s❡♥s❡ ♠❛❦✐♥❣ t❤❡ ✭❡ss❡♥t✐❛❧❧② ▲♦r❡♥t③✮ ✈❛r✐❛❜❧❡ ζ ❝♦♥str❛✐♥❡❞✳ ◆♦✇✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ✉s✉❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ✉s✉❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❢♦r t❤❡ s②♠♠❡tr✐❝ ♣❛rt✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

■t ✐s ❡❛s② t♦ s❡❡ t❤❛t ❛t t❤❡ ❧✐♥❡❛r ❧❡✈❡❧ δQ✵

✵ = ✵ ❛♥❞ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥

fTδ

(✵)

G ✵

✵ +fTT

(✵) G ✵

✵ −✶

✷T

• δT = −✽πGδρ

②✐❡❧❞s t❤❡ r❡s✉❧t fT△ψ−✸H

• fT + ✶✷H✷

a✷ fTT ψ′ + Hφ

• −✶✷fTTH✸

a✷ △ζ = ✹πGa✷δρ ✇❤❡r❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ✉s❡❞ a✷

(✵)

G ✵

✵ = −✸H✷ − ✷ △ ψ + ✻H

• ψ′ + Hφ
• ❛nd

δΘ✵

✵ = −δρ.

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❋♦r t❤❡ ♠✐①❡❞ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ✇❡ ❤❛✈❡ δQ✵

i = −✹H✷

a✹ ∂i

• △ζ + ✸Hφ + ✸ψ′ + ✸H′ − H✷

H ψ

• ✇❤✐❝❤✱ ✇✐t❤ a✷δ

(✵)

G ✵

i = −✷∂i (ψ′ + Hφ) ❛♥❞ δΘ✵ i = − ✶ a(ρ + p)∂iu,

❜r✐♥❣s t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ fTδ

(✵)

G ✵

i +fTTδQ✵ i = ✽πGδΘ✵ i ✐♥t♦ t❤❡ ❢♦r♠

fT

• ψ′ + Hφ
• + ✷H✷

a✷ fTT

• △ζ + ✸Hφ + ✸ψ′ + ✸H′ − H✷

H ψ

• = ✹πGa(ρ + p)δu

✇❤❡r❡ u ✐s t❤❡ ✈❡❧♦❝✐t② ♣♦t❡♥t✐❛❧✱ ❛♥❞ ✉s✐♥❣ ♦✉r s♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r ζ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❜r♦✉❣❤t t♦ ❛ ♥✐❝❡r ❢♦r♠ ♦❢ fT

• ψ′ + Hφ
• + ✶✷H
• H′ − H✷

fTT a✷ ψ = ✹πGa(ρ + p)δu. ❆s ✉s✉❛❧✱ ✐t ❝♦♥str❛✐♥s t❤❡ ✈❡❧♦❝✐t② ♣♦t❡♥t✐❛❧✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❚❤❡ s♣❛t✐❛❧ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❛r❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞✳ ❆ss✉♠✐♥❣ ♥♦ ❛♥✐s♦tr♦♣✐❝ str❡ss✱ t❤❡✐r ∂✷

ij ♣❛rt ❣✐✈❡s

fT(φ − ψ) + ✶✷fTTH(H′ − H✷)ζ = ✵. ■t ✐s ✐♥t❡r❡st✐♥❣ t♦ ♥♦t❡ t❤❛t ✇❡ ❤❛✈❡ ❣r❛✈✐t❛t✐♦♥❛❧ s❧✐♣ φ − ψ = −✶✷fTTH(H′ − H✷) fT ζ ❡✈❡♥ ✇✐t❤♦✉t ❛♥✐s♦tr♦♣✐❝ str❡ss✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ❣✐✈❡♥ ♦✉r s♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r ζ △ζ = −✸

• ψ′ + Hφ − H′ − H✷

H ψ

• ,

✐t ♠✐❣❤t ❜❡ ✈❡r② ❜✐❣ ❛ s❧✐♣ ❢♦r s✉♣❡r❤♦r✐③♦♥ ♠♦❞❡s✱ ✉♥❧❡ss ✈❡r② ❝❧♦s❡ t♦ ❞❡ ❙✐tt❡r✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❋♦r t❤❡ r❡♠❛✐♥✐♥❣ ♣✐❡❝❡ ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✱ ♦♥❡ ❝❛♥ t❛❦❡ tr❛❝❡ ♦❢ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ t♦ ❣❡t fT

• ψ′′ + H(✷ψ + φ)′ + (H✷ + ✷H′)φ + ✶

✸ △ (φ − ψ)

• + ✹fTT

a✷

• H✷ △ ζ′ + H(✸H′ − H✷) △ ζ
• + ✶✷fTT

a✷

• H✷ψ′′ + H(✸H′ − H✷)ψ′ + H✸φ′ + H✷(✺H′ − ✷H✷)φ
• + ✹✽fTTTH✸(H′ − H✷)

a✹

• △ζ + ✸Hφ + ✸ψ′

= ✹πGa✷δp

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

Pr❡❝✐s❡❧② ❛s ✇❡ ❤❛✈❡ ❞♦♥❡ ❛❜♦✈❡ ❢♦r t❤❡ ♠✐①❡❞ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✱ ♦♥❡ ❝❛♥ s✉❜st✐t✉t❡ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r △ζ ❢r♦♠ t❤❡ ❛♥t✐s②♠♠❡tr✐❝ ♣❛rt ✐♥t♦ t❤❡ t❡♠♣♦r❛❧ ❛♥❞ ❞✐❛❣♦♥❛❧ s♣❛t✐❛❧ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ✭♦r ❡✈❡♥ ✐♥t♦ t❤❡ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ st❡♣s ♦❢ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥s ❢♦r t❤❡♥ t❤❡ ✇❛② t♦ t❤❡♠ ✇✐❧❧ ❜❡❝♦♠❡ ♠✉❝❤ s❤♦rt❡r✮ ❛♥❞ ❣❡t fT

• △ψ − ✸H(ψ′ + Hφ)
• − ✸✻fTTH✷(H′ − H✷)

a✷ ψ = ✹πGa✷δρ ❛♥❞ fT

• ψ′′ + H(✷ψ + φ)′ + (H✷ + ✷H′)φ + ✶

✸ △ (φ − ψ)

• + ✶✷fTT

a✷

• H(H′ − H✷)ψ′

+

• HH′′ + ✷H′✷ − ✺H✷H′ + H✹

ψ + H✷(H′ − H✷)φ

• + ✶✹✹fTTTH✷(H′ − H✷)✷

a✹ ψ = ✹πGa✷δp

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

■❢✱ ❢♦r ❛ ❣✐✈❡♥ ♠♦❞❡ ✇✐t❤ ❛ ✇❛✈❡♥✉♠❜❡r k✱ ✇❡ s♦❧✈❡ ❢♦r t❤❡ ❣r❛✈✐t❛t✐♦♥❛❧ s❧✐♣ ❛s ✭s❡❡ ❛♥t✐s②♠♠❡tr✐❝ ❛♥❞ s♣❛t✐❛❧ ♥♦♥✲❞✐❛❣♦♥❛❧ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✮ −k✷fT (φ − ψ) = ✸✻fTT(H′ − H✷)

• Hψ′ + H✷φ −
• H′ − H✷

ψ

• ,

s✉❜st✐t✉t❡ φ ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ψ ❛♥❞ ❝♦♠❜✐♥❡ t✇♦ ❡q✉❛t✐♦♥s ❢♦r ❛♥ ❛❞✐❛❜❛t✐❝ ♠♦❞❡ ❜② δp = c✷

s δρ✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❣❡t ❛ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r ❡q✉❛t✐♦♥

❢♦r ψ✱ ♠✉❝❤ t❤❡ s❛♠❡ ✇❛② ❛s ✐♥ ●❘✱ t❤♦✉❣❤ ♥♦t t❤❛t ♥✐❝❡✳ ◆♦t❡ t❤❛t ✐♥ t❤❡ ❧✐♠✐t ♦❢ k → ∞ t❤❡ ❣r❛✈✐t❛t✐♦♥❛❧ s❧✐♣ ✈❛♥✐s❤❡s✱ ❛♥❞ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♠✐❣❤t ❜❡ tr❛❝t❛❜❧❡✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❆❢t❡r ❝❛r❡❢✉❧ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s✱ t❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦ ♥❡✇ ❞②♥❛♠✐❝❛❧ ♠♦❞❡s ✐♥ ❧✐♥❡❛r ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s✦ ✭✺✰✶❂✻❀ t❤❡r❡ ❛r❡ ✺ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❛♥❞ ✶ ❞r♦♣♣✐♥❣ ♦✛ ❛♥② ❡q✉❛t✐♦♥s ✭✧r❡♠♥❛♥t s②♠♠❡tr②✧❄✮✮ ❉❡t❛✐❧s ❛r❡ ❣✐✈❡♥ ✐♥ ❆✳ ●♦❧♦✈♥❡✈✱ ❚✳ ❑♦✐✈✐st♦ ❤tt♣s✿✴✴❛r①✐✈✳♦r❣✴❛❜s✴✶✽✵✽✳✵✺✺✻✺

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❆ s❡t ♦❢ ♣❡rs♦♥❛❧ ♦♣✐♥✐♦♥s ❉②♥❛♠✐❝s ♦❢ f (T) ❛♥❞ ♦t❤❡r ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ ♠♦❞❡❧s ❛r❡ ♣♦♦r❧② ✉♥❞❡rst♦♦❞ ②❡t✳ ❚❤❡ ♥❡✇ ♠♦❞❡s r❡q✉✐r❡ ❢✉rt❤❡r ✐♥✈❡st✐❣❛t✐♦♥✳ ❊✈❡♥ t❤♦✉❣❤ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ ✢❛t s♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ❞♦❡s ♥♦t ❝❤❛♥❣❡ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ❜r✐♥❣✐♥❣ ❛ ❜✉♥❝❤ ♦❢ ♥❡✇ ✈❛r✐❛❜❧❡s✱ ✐t ♠✐❣❤t ❜❡ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ❛♥❞ ❤♦♣❡❢✉❧❧② ♣r♦❞✉❝t✐✈❡ t♦ ❧♦♦❦ ❢r♦♠ t❤✐s ♣♦✐♥t ♦❢ ✈✐❡✇✳ ▲✐♥❡❛r ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ❛r♦✉♥❞ s♣❛t✐❛❧❧② ✢❛t ❋❘❲ ❛r❡ ♥♦t ✈❡r② ❞✐✣❝✉❧t✳ ◆❡✇ ❞②♥❛♠✐❝❛❧ ♠♦❞❡s ❞♦ ♥♦t s❤♦✇ ✉♣✳ ❱❛❧✐❞✐t② ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✈✐❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ❛r❡ ✈❡r② q✉❡st✐♦♥❛❜❧❡✳ ❚♦♣✐❝s ❛r♦✉♥❞ r❡♠♥❛♥t s②♠♠❡tr② ❛r❡ ♥♦t ✇❡❧❧ ✉♥❞❡rst♦♦❞✳ ■♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ ❛♥❛❧②s✐s ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ▲♦r❡♥t③ ♠❛tr✐❝❡s ❛s ♥❡✇ ✜❡❧❞s ✐s ❛❧s♦ ❛ ✈❡r② ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ❛♣♣r♦❛❝❤✳ ■♥ ♠② ♦♣✐♥✐♦♥✱ f (T) ❣r❛✈✐t② ✐s ♣❛t❤♦❧♦❣✐❝❛❧✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐t ✇♦✉❧❞ ❜❡ ✈❡r② ✐♥t❡r❡st✐♥❣ t♦ ✉♥❞❡rst❛♥❞ t❤❡ ❞❡t❛✐❧s ♦❢ ♣❛t❤♦❧♦❣②✳

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②

❚❤❛♥❦ ②♦✉ ❢♦r ②♦✉r ❛tt❡♥t✐♦♥✦

❆❧❡①❡② ●♦❧♦✈♥❡✈ ❇r✐t✐s❤ ❯♥✐✈❡rs✐t② ✐♥ ❊❣②♣t ❙♣✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱ ❧♦❝❛❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✐♥ ♠♦❞✐✜❡❞ t❡❧❡♣❛r❛❧❧❡❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❣r❛✈✐t②