Lecture 6 Lecture 6 - - PowerPoint PPT Presentation

• Lecture 6

Lecture 6

กําหนดการเชิงเสน กําหนดการเชิงเสน

( (Linear Programming) Linear Programming)

• อสมการเสนตรงสองตัวแปร

อสมการเสนตรงสองตัวแปรเขียนไดหลายแบบดังนี้

a, b, c = คาคงที่ และ a,b ≠ 0

• r
• r
• r

≥ + + > + + ≤ + + < + + c by ax c by ax c by ax c by ax

• คําตอบของอสมการ (พื้นที่ที่แรเงา)

คําตอบของสมการเสนตรง y = mx + c คือจุดทุกจุดบน

เสนตรงของสมการ

คําตอบของอสมการเสนตรง y < mx + c คือจุดทุกจุดบน

พื้นที่ใตเสนตรงของสมการ y = mx + c

คําตอบของอสมการเสนตรง y ≤ mx + c คือจุดทุกจุดบน

เสนตรงของสมการ y = mx + c รวมถึงจุดทุกจุดบนพื้นที่ใต เสนตรงดังกลาว

คําตอบของอสมการเสนตรง y > mx + c คือจุดทุกจุดบน

พื้นที่เหนือเสนตรงของสมการ y = mx + c

คําตอบของอสมการเสนตรง y ≥ mx + c คือจุดทุกจุดบน

เสนตรงของสมการ y = mx + c รวมถึงจุดทุกจุดบนพื้นที่ เหนือเสนตรงดังกลาว

• ตัวอยาง

• ตัวอยาง

• Linear Programming

กําหนดการเชิงเสน คือ ระเบียบวิธีทางคณิตศาสตร

เพื่อหาคําตอบที่เหมาะสมของสมการเสนตรง (เชน หาคาสูงสุดหรือต่ําสุด) ภายใตเงื่อนไขที่กําหนดไว ซึ่งเงื่อนไขดังกลาวอาจถูกเขียนอยูในรูปสมการ เสนตรงหรืออสมการเสนตรงก็ได

ฟงกชั่นที่เราตองการหาคําตอบเรียกวาฟงกชั่น

เปาหมาย (objective function)

• ตัวอยาง

หาคาสูงสุดของฟงกชั่น P = 3x + y ภายใตเงื่อนไข

ดังตอไปนี้

12 3 2 8 2 ≥ ≥ ≤ + ≤ + y x y x y x

• ตัวอยาง

Objective function: P = 3x + y y = -3x + P

คําตอบของสมการคือจุดสัมผัส (tangent point) ระหวาง

เสนตรง y = -3x + P กับพื้นที่ที่เปนไปได (feasible region)

คําตอบของสมการยังสามารถหาไดโดยการหา

จุดตัดยอดมุมของพื้นที่ที่เปนไปได หลังจากนั้นให แทนคาจุดตัดดังกลาวในฟงกชั่นเปาหมาย เสร็จ แลวพิจารณาดูวามูลคาของฟงกชั่นเปนไปตาม เปาหมายหรือไม ถาใช จุดตัดนั้นเปนคําตอบของ สมการ

• ตัวอยาง

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 4 3 11 2 3 3 12 4 3 3 = + = = + = = + = = + = D Z C Z B Z A Z

• พื้นที่ที่เปนไปไดไรขอบเขต (unbounded

feasible region)

เกษตรกรรายหนึ่งใชปุยสองประเภทในการเพาะปลูก โดยปุยแต

ละประเภทมีราคาตอกระสอบและสวนประกอบของธาตุอาหารตอ กระสอบดังแสดงในตาราง ถาเกษตรกรรายนี้ตองการทําตนทุน ใหต่ําสุดโดยที่ยังคงจํานวนธาตุอาหารเอาไวใหไมต่ํากวาที่ กําหนดไว เขาควรจะซื้อปุยอยางละกี่กระสอบ

• พื้นที่ที่เปนไปไดไรขอบเขต

ให x แทนจํานวนปุยสําหรับพืชที่โตเร็ว และ y แทน

จํานวนปุยสําหรับพืชที่โตชา

ฟงกชั่นเปาหมายคือ C = 8x + 6y

ฟงกชั่นนี้ใหคาต่ําสุดที่จุด (40,20) ฟงกชั่นนี้ไมมีคาสูงสุดเนื่องจากพื้นที่ที่เปนไปไดไร

ขอบเขต

เมื่อพื้นที่ที่เปนไดกวางขวางมาก จะทําใหฟงกชั่นเปาหมายเพิ่ม

คาไดไมจํากัด

• พื้นที่ที่เปนไปไดไรขอบเขต

เงื่อนไข

80 2 200 2 5 160 2 3 ≥ ≥ ≥ + ≥ + ≥ + y x y x y x y x

• ไมมีพื้นที่ที่เปนไปได (empty feasible

region)

ทําใหฟงกชั่น Z = 8x - 3y มีคาต่ําสุดภายใต

เงื่อนไข

• x + 3y = 21

x + y ≤ 5 x ≥ 0 y ≥ 0

• คําตอบที่เหมาะที่สุดมีหลายคําตอบ

(multiple optimal solution)

ถาฟงกชั่นเปาหมายเลื่อนไปทับซอนกับสวนใดสวน

หนึ่งกับสมการเงื่อนไข ฟงกชั่นเปาหมายนั้นจะมี คําตอบที่เหมาะที่สุดหลายคําตอบ

ตัวอยาง: หาคาต่ําสุดของ Z = 2x + 4y ภายใต

เงื่อนไขดังนี้

x - 4y ≤ 8 x + 2y ≤ 16 x,y ≥ 0

• คําตอบที่เหมาะที่สุดมีหลายคําตอบ

(multiple optimal solution)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(max) 32 8 4 2 (max) 32 4 4 8 2 8 2 4 2 = + = = + = = + = C Z B Z A Z

• วิธีแบบ simplex

เปนการหาคําตอบของระบบสมการเสนตรงภายใต

เงื่อนไขตางๆ ดวยการพิจารณาเปนขั้นตอนดังนี้

แทนคาคําตอบที่เปนไปไดพื้นฐาน (basic feasible

solution) ในฟงกชั่นเปาหมาย (objective function) แลวดูวาคาที่ไดตรงตามเปาหมายหรือไม

ถาไมระบบก็จะเคลื่อนที่ไปยังคําตอบถัดไปจนกระทั่งได

คําตอบที่ตองการ

• วิธีแบบ simplex

ปญหากําหนดการเชิงเสนแบบมาตรฐานนั่นคือการหาคาสูงสุด

(maximum) ของ ภายใตเงื่อนไขดังนี้

โดย x and b ≥ 0

• ≤

+ + + ≤ + + + ≤ + + + ≤ + + +

m n mn m m n n n n n n

b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a

• 2

2 1 1 1 1 2 12 1 11 1 1 2 12 1 11 1 1 2 12 1 11

. .

n nx

c x c x c Z + + + =

• 2

2 1 1

• ตัวแปรสแล็ค (slack variable)

สมมติวาอสมการเงื่อนไขอยูในรูปมาตรฐาน เชน

• 2x + y ≤ 8 ⇔ (1)

2x + 3y ≤ 12 ⇔ (2) x,y ≥ 0 (1) และ (2) สามารถเขียนในรูปของสมการดังนี้ ถา (1) เปนจริง 2x + y + s = 8; s ≥ 0 ตองเปนจริงดวย ถา (2) เปนจริง 2x + 3y + t = 12; t ≥ 0 ตองเปนจริงดวย s และ t คือตัวแปรสแล็ค ถา x = y = 0 แลว s = 8, t = 12 ⇐ นี่คือคําตอบที่เปนไปได

พื้นฐาน

• การจัดระบบสมการเสนตรงภายใต

เงื่อนไขในตาราง simplex

ตองการหาคาสูงสุดของ Z = 3x + y ภายใต

เงื่อนไขดังตอไปนี้

2x + y ≤ 8 ⇔ 2x + y + s = 8 2x + 3y ≤ 12 ⇔ 2x + 3y + t = 12 x,y ≥ 0

เขียนระบบสมการดังกลาวไดใหมเปน

2x + y + s + 0t +0Z = 8 2x + 3y + 0s + t +0Z= 12

• 3x - y +0s +0t + Z = 0

• การจัดระบบสมการเสนตรงภายใต

เงื่อนไขในตาราง simplex

ตาราง simplex เบื้องตนจะเปนดังนี้

x x x x y y y y s s s s t t t t Z Z Z Z x 2 1 1 8 s 2 3 1 12 Z

• 3
• 1

1 6

• คําตอบที่เปนไปไดพื้นฐาน

คําตอบที่มีอยางนอยตัวไมทราบคาสองตัวมีคาเปน

ศูนย คือ คําตอบที่เปนไปไดพื้นฐาน (basic feasible solution or BFS)

ตัวไมทราบคาใน BFS ที่เปนศูนยคือตัวแปรที่ไมใชฐาน

(non-basic variable)

ตัวไมทราบคาใน BFS ที่ไมเปนศูนยคือตัวแปรฐาน

(basic variable)

• หาคําตอบของระบบสมการจากตาราง

simplex

เริ่มตนโดยการเปรียบเทียบคาสัมประสิทธิ์ในแถว

สุดทายของตารางเบื้องตน (ยกเวนตัวสุดทายซึ่งเปนคา สัมประสิทธิ์ของ Z) ซึ่งเราเรียกวา indicators

คอลัมนของ indicator ที่เปนลบมากที่สุด (pivot column) จะ

บงชี้ถึงตัวแปรใหมที่จะเขามาแทนที่ตัวแปรฐานเดิม (entering variable) (เลือกตามใจชอบถามี pivot column มากกวาหนึ่ง)

x จากตารางกอนหนา

ถาเรานําตัวเลขที่เปนบวกใน pivot column ทุกตัวยกเวนแถว

สุดทายมาเปนตัวหารและนําตัวเลขในคอลัมนสุดทายของแตละ แถวเปนตัวตั้ง) แถวที่มีผลหารนอยที่สุด (pivot row) จะบงชี้ถึง ตัวแปรฐานที่จะออกไป (departing variable)

• s จากตารางกอนหนา

• หาคําตอบของระบบสมการจากตาราง

simplex

หลังจากนั้นเราจะทําตัวเลขในตารางที่จุด pivot ใหเปน 1

สวนตัวที่เหลือในคอลัมนเดียวกันใหเปน 0 โดยใชวิธีการ เดียวกับ reduced matrix

ผลลัพธที่ไดจะเปนตาราง simplex ใหม โดยมี BFS

เปลี่ยนไปจากเดิม (x=4, y=0, s=4, t=0) x x x x y y y y s s s s t t t t Z Z Z Z x 1 .5 .5 4 s 2

• 1

1 4 Z .5 1.5 1 12

• หาคําตอบของระบบสมการจากตาราง

simplex

ถาตัว indicators ของตารางใหมมีคาไมเปนลบ

ทั้งหมด เราถึงจุดสูงสุดของระบบสมการแบบมี เงื่อนไขแลว

ถาไมก็เริ่มตนกระบวนการทั้งหมดใหมจนกวาจะได จากตาราง simplex ที่สอง เราไดคําตอบของระบบ

สมการแบบมีเงื่อนไขแลว นั่นคือ Z จะมีคาสูงสุด (12) เมื่อ x = 4 และ y = 0

• ตัวอยาง

หาคาสูงสุดของ ภายใตเงื่อนไข

;x1, x2 ≥ 0

คาสูงสุดของ Z = 95

• ≤

+ − ≤ + ≤ + 12 3 35 2 20

2 1 2 1 2 1

x x x x x x

• −

− − 12 35 20 1 4 5 1 3 1 1 2 1 1 1

3 2 1 3 2 1 2 1

Z s s s R Z s s s x x B

• −

− − 95 52 15 5 1 1 3 1 4 5 1 1 1 1 2 1

3 1 2 3 2 1 2 1

Z s x x R Z s s s x x B

2 1

4 5 x x Z + =

• ถาอสมการเงื่อนไขไมอยูในรูปมาตรฐาน

ตองการหาคาสูงสุดของ Z = x + 2y ภายใตเงื่อนไข

ดังตอไปนี้

x + y ≤ 9 ⇔ x + y + s = 9 x - y ≥ 1 ⇔ x – y - a + b = 1 x, y, s, a, b ≥ 0 s และ a เปน slack variable b เปน artificial variable

x=y=0 ไมอยูใน BFS (x - y - a = 1 จะไมเปนจริง ดังนั้นเราจึง

ตองบวก b เขาไป)

BFS: x=y=a=0, s=9, b=1

• ถาอสมการเงื่อนไขไมอยูในรูปมาตรฐาน

แทนที่จะหาคาสูงสุดของ Z ใหหาคาสูงสุดของ W

= Z - Mb โดยที่ M = +∞ ภายใต

x + y ≤ 9 ⇔ x + y + s = 9 x - y ≥ 1 ⇔ x – y - a + b = 1 x, y, s, a, b ≥ 0

เขียนระบบสมการดังกลาวไดใหมเปน

x + y + s + 0a + 0b +0W = 9 x - y + 0s - a + b + 0W= 12

• x - 2y + 0s + 0a + Mb + W = 0

• ถาอสมการเงื่อนไขไมอยูในรูปมาตรฐาน

ตาราง simplex แรกจะเปนดังนี้ กอนเขากระบวนการ simplex แบบปกติ ใหใชเทคนิค

reduced matrix ทําใหสัมประสิทธิ์ของตัว artificial variable ในแถวสุดทายเปน 0 และสัมประสิทธิ์ของ W เปน 1

เนื่องจากใน BFS นั้น b = 1 ⇒ W = -M

x x x x y y y y s s s s a a a a b b b b W W W W S 1 1 1 9 b 1

• 1
• 1

1 1 W

• 1
• 2

M 1

• ถาอสมการเงื่อนไขไมอยูในรูปมาตรฐาน

เขากระบวนการ simplex แบบปกติ จนกระทั่ง b

เปนตัวแปรออก (departing variable) ใหตัด คอลัมนของ b ในตาราง simplex ทิ้ง แลวให เปลี่ยน W เปน Z (W = Z เมื่อ b = 0)

ทําไปเรื่อยจนกระทั่งตัว indicators ไมเปนลบ เรา

จะไดจุดสูงสุดของระบบสมการภายใตเงื่อนไข

• ถาเงื่อนไขเปนสมการ

เพิ่ม artificial variable เขาไปแตไมตองเพิ่ม slack

variable เชน หาคาสูงสุดของ Z = x + 3y - 2z ภายใตเงื่อนไขดังนี้

x + 2y + 2z = 6 x + 2y + 2z + b = 6

• x - y + z ≤ -2 x + y + z – a + c = 2

x,y,z ≥ 0

W = Z - Mb - Mc -x - 3y + 2z + Mb + Mc + W = 0 b และ c เปน artificial variable a เปน slack variable

• การหาจุดต่ําสุด (minimization)

การหาคาต่ําสุดของ f(x) คือการหาคาสูงสุดของ -f(x)

min f = - max(-f)

ตัวอยาง: หาคาต่ําสุดของ

ภายใตเงื่อนไข ดังนี้

2 1

2x x Z + =

• ≥

≥ + − ≥ + − , 2 1 2

2 1 2 1 2 1

x x x x x x

• การหาจุดต่ําสุด (minimization)
• −

− + − − − M M M M M W t t R W t t s s x x B 3 1 2 2 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2

2 1 2 1 2 1 2 1

• −

+ − − − − − − 4 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1

1 2 2 1 2 1 2 1

M M W s x R W t t s s x x B

• สภาวะลดรูป (Degeneracy)

BSF จะอยูในสภาวะลดรูปก็ตอเมื่อตัวแปรฐานตัว

หนึ่งเปนศูนย

ในตาราง simplex ชุดใหม

BFS ชุดใหมใหม = BFS ชุดเดิม เพียงแตตัวแปรฐาน (basic

variable) จะกลายมาเปนตัวแปรที่ไมใชฐาน (non-basic variable)

BFS ชุดใหมจะไมทําใหคาฟงกชั่นเปาหมายเพิ่มขึ้นจากเดิม

สภาวะลดรูปของ BFS จะเกิดขึ้นเมื่อผลหารสองตัว

ในตาราง simplex มีคาเทากัน

• คําตอบไรขอบเขต (unbounded

solutions)

เกิดขึ้นเมื่อไมมีผลหารที่เปนไปไดในตาราง simplex ตัวอยาง: หาคาสูงสุดของ

ภายใตเงื่อนไข

3 2 1

4 x x x Z − + =

• ≥

≤ + + − ≤ − + − , , 12 6 3 30 2 6 5

3 2 1 3 2 1 3 2 1

x x x x x x x x x

• 12

30 1 1

• 4
• 1
• 1

6 3 1

• 1

2

• 6

5

• Z

s s

2 1 3 2 1 2 1

R Z s s s x x B

• 16

4 6 1 9

• 2

1

• 2
• 1

14

• 3
• 3

4 3 7 3 1 3 1 2 1 3 2 1 2 1

Z x s R Z s s s x x B

• คําตอบหลายอัน (multiple solutions)

อาจเกิดขึ้นเมื่อ BFS ในตาราง simplex ตาราง

สุดทาย ตัว indicator ของตัวแปรที่ไมใชตัวแปร ฐาน (non-basic variable) มีคาเปนศูนย

เช็คไดโดยใหตัวแปรดังกลาวเปนตัวแปรเขา (entering

variable) แลวดูวาตาราง simplex ใหมไดคําตอบชุด ใหมที่ใหคาสูงสุดของฟงกชั่นเทาเดิมหรือไม

• ไมมีพื้นที่ที่เปนไปได (empty

feasible region)

เมื่อกระบวนการแบบ simplex ไมสามารถกําจัดตัวแปร

artificial ไดหมด

ตัวอยาง: หาคาสูงสุดของ ภายใตเงื่อนไขดังนี้

2 13

2 x x Z =

• ≥

≤ + ≥ + − , 1 2

2 1 2 1 2 1

x x x x x x

• −

− − + − − − M M M M W s t R W t s s x x B 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1

2 1 1 2 1 2 1

• −

+ + − − − − M M M M W s t R W t s s x x B 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2

2 1 1 2 1 2 1

• 4/6/2011

Natt Koowattanatianchai 37

• Email:

Email: Email: Email: Email: Email: Email: Email:

• fbusnwk@ku.ac.th

fbusnwk@ku.ac.th fbusnwk@ku.ac.th fbusnwk@ku.ac.th fbusnwk@ku.ac.th fbusnwk@ku.ac.th fbusnwk@ku.ac.th fbusnwk@ku.ac.th

• Homepage:

Homepage: Homepage: Homepage: Homepage: Homepage: Homepage: Homepage:

• http://

http:// http:// http:// http:// http:// http:// http://fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htm fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htm fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htm fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htm fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htm fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htm fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htm fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htm

• Mobile:

Mobile: Mobile: Mobile: Mobile: Mobile: Mobile: Mobile:

• 087

087 087 087 087 087 087 087-

• 5393525

5393525 5393525 5393525 5393525 5393525 5393525 5393525

• Office:

Office: Office: Office: Office: Office: Office: Office:

• ชั้น

ชั้น ชั้น ชั้น ชั้น ชั้น ชั้น ชั้น 9 9 9 9 9 9 9 9 ตึกใหมคณะบริหารธุรกิจ ตึกใหมคณะบริหารธุรกิจ ตึกใหมคณะบริหารธุรกิจ ตึกใหมคณะบริหารธุรกิจ ตึกใหมคณะบริหารธุรกิจ ตึกใหมคณะบริหารธุรกิจ ตึกใหมคณะบริหารธุรกิจ ตึกใหมคณะบริหารธุรกิจ